Арифметико-логічні основи ЕОМ
Загальні відомості про системи числення. Поняття основи. Машинні коди чисел. Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання в арифметико-логічному пристрої ЕОМ, множення і ділення двійкових чисел в АЛП. Логічні основи ЕОМ. Досконалі нормальні форми.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 09.02.2012 |
| Размер файла | 355,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
10. 3(Х1, Х2) - заперечення імплікації Х2 в Х1, тобто . Дану функцію можна розглядати як функцію заборони з боку вхідної змінної Х1. Це означає, що вихідна функція має значення 0, якщо вхідна змінна Х1 = 1, у інших випадках вона повторює змінну Х2.
Шість функцій, що залишилися 1, 4, 6, 11, 13 і 16 є або константами, або залежними тільки від однієї змінної Х1 чи Х2. Так, функції 1 і 16 є відповідно тотожньо рівними нулю і одиниці, тобто 1(Х1, Х2)0 і 16(Х1, Х2)1. Функції 13 і 11 повторюють відповідно змінні Х1 і Х2, тобто 13(Х1, Х2)=Х1 і 11(Х1, Х2)=Х2. Функції 4 і 6 є запереченнями відповідно змінних Х1 і Х2, тобто 4(Х1, Х2) = і 6(Х1, Х2)= .
Основні закони алгебри логіки
В алгебрі логіки є чотири основні закони: переставний, сполучний, розподільний і закон інверсії. Наведемо співвідношення, які відображають ці закони.
1. Переставний закон: для логічного додавання Х1 Х2 = Х2 Х1; для логічного множення Х1 Х2 = Х2 Х1
2. Сполучний закон: для логічного додавання (Х1 Х2) Х3 = Х1 (Х2 Х3); для логічного множення (Х1 Х2) Х3 = Х1 (Х2 Х3).
3. Розподільний закон: для логічного додавання (Х1 Х2) Х3 = (Х1 Х3) (Х2 Х3); для логічного множення (Х1 Х2) Х3 = (Х1 Х3) (Х2 Х3).
4. Закон інверсії: для логічного додавання = ; для логічного множення = .
Закони переставний і сполучний, а також розподільний для логічного додавання мають повну аналогію з відповідними законами звичайної алгебри і тому не потребують спеціального доведення. Така аналогія відсутня для розподільного закону логічного множення і закону інверсії.
Справедливість законів алгебри логіки можна довести табличним способом, знаходячи значення лівої й правої частин логічного виразу, що доводиться, для усіх можливих наборів вхідних змінних. Якщо ці вирази співпадуть, то закон буде доведено.
Доведемо, наприклад, справедливість закону інверсії для логічного додавання і множення. З цією метою складемо таблицю для чотирьох можливих комбінацій (наборів) вхідних змінних Х1 і Х2, а потім у стовбчиках цієї таблиці обчислимо за відповідними правилами алгебри логіки значення лівих і правих частин виразів, що доводяться. Отримані результати занесемо у таблицю:
Таблиця 9.
|
Х1 |
Х2 |
Х1 Х2 |
* |
Х1 Х2 |
** |
* |
** |
|||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Порівнюючи в ній стовбці, відмічені відповідно однією чи двома зірочками, переконуємося в тому, що вони співпадають. Отже, доведена справедливість законів інверсії для логічного додавання і множення.
Аналогічним чином можна довести справедливість інших співвідношень в алгебрі логіки, що існуюють між різними логічними функціями двох змінних. Так, справедливі наступні співвідношення для функцій імплікації:
Х1 Х2 = Х2; Х2 Х1 = ;
заперечення імплікації:
= Х1 ; = ;
рівнозначності:
Х1Х2 = ( ) (Х1 Х2);
нерівнозначності:
= ( ) (Х1 Х2).
З розподільного закону для логічного додавання і множення витікають так звані формули склеювання:
(Х1 ) (Х1 Х2) = Х1 ; (Х1 ) (Х1 Х2) = Х1
і формули поглинання:
Х1 (Х1 Х2) = Х1; Х1 (Х1 Х2) = Х1;
Х1 ( Х2) = Х1 Х2; Х1 ( Х2) = Х1 Х2.
Слід зазначити, що розглянуті закони справедливі не лише для двох, але і для будь якої кількості аргументів. Наприклад, закон інверсії логічного додавання і множення в загальному випадку має вигляд
… = …; … = …
Відповідно для розподільного закону можливі наступні співвідношення:
Х1 (Х2 Х3 …) = (Х1 Х2) (Х1 Х3) …; Х1 (Х2 Х3 …) = (Х1 Х2) (Х1 Х3) …
Використовуючи наведені вище закони і співвідношення алгебри логіки, можна істотньо спростити складні логічні вирази і отримати простіші формули. Розглянемо приклад перетворення складної логічної функції трьох аргументів:
f (Х1, Х2, Х3) = Х1 Х2 Х3 (Х1 Х2 ).
Користуючись законом інверсії і розподільним законом, перетворимо спочатку
= = ( Х2) (Х1 ) = Х2 Х1 Х2 Х2 = Х1 Х2 Х2
(тут враховувалось також, що = Х і Х = 0). Тепер перетворимо наступну складову заданої функції, розкриваючи в ній дужки:
Х2 Х3 (Х1 Х2 ) = Х1 Х2 Х3 Х2 Х3 Х2 = Х1 Х2 Х3 (враховуючи, що другий член останнього виразу містить кон'юнкцію Х3 , яка перетворює його в нуль).
Підставляючи отримані вирази перетворених членів в вихідну формулу заданої функції, маємо
f (Х1, Х2, Х3) = Х1 Х1 Х2 Х2 Х1 Х2 Х3.
Застосовуючи до отриманого виразу формули поглинання і склеювання, отримаємо
f (Х1, Х2, Х3) = (Х1 ) Х1 Х2 (1 Х3) Х2 = Х3 Х1 Х2 Х2 Х3 = (1 Х2) Х1 Х2 = Х1 Х2. Таким чином, в результаті перетворення вихідна логічна функція значно спростилась і в результаті має вигляд f (Х1, Х2, Х3) = Х1 Х2 .
Базиси перемикальних функцій
При використанні аналітичних форм представлення логічних функцій широко використовують принцип суперпозиції, який полягає в заміні одних аргументів даної функції іншими. Наприклад, якщо аргументи функції Z = Z (X,Y) є, в свою чергу, функціями інших аргументів X = X (a,b) i Y = Y (c,d), то можна утворити функцію вигляду Z = Z (a,b,c,d).
Спрощення логічних виразів можна досягнути виразивши складні логічні функції через інші функції. При цьому система логічних функцій f0, f1, f2,…, fk називається функціонально повною, якщо будь яку функцію алгебри логіки можна представити в аналітичній формі через ці функції.
Прикладом функціонально повної системи логічних функцій можуть бути функції інверсії, диз'юнкції і кон'юнкції. Оскільки закон інверсії дозволяє перетворювати диз'юнкцію в кон'юнкцію і навпаки, то функціонально повними системами будуть диз'юнкція і інверсія, а також кон'юнкція і інверсія.
Функціонально повними є також функції заперечення кон'юнкції , або заперечення диз'юнкції тому що через будь яку з цих функцій можна представити будь яку логічну функцію від n змінних при будь якому значенні n. По цій причині ці дві функції називаються також універсальними логічними функціями.
Тема 2.2 Нормальні форми. Досконалі нормальні форми
Розглядуване нами раніше табличне представлення логічних функцій суттєво ускладнюється зі збільшенням числа аргументів, наприклад, вже для трьох аргументів буде (22)3 = 256 логічних функцій. Для цієї мети зручнішим є аналітичне представлення логічних функцій у вигляді відповідних формул. Найраціональнішим є представлення логічних функцій в нормальних формах. В основі цих форм лежать поняття елементарних кон'юнкцій і елементарних диз'юнкцій.
Елементарна кон'юнкція (мінтерм) утворюється кон'юнкцією кінцевої множини логічних змінних та їх заперечень, наприклад, Р(Х,Y,Z) = . Елементарна диз'юнкція (макстерм) утворюється диз'юнкцією кінцевої множини логічних змінних та їх заперечень, наприклад, Q(Х,Y,Z) = . Елементарна кон'юнкція (мінтерм) приймає значення одиниці при одному із усіх можливих наборів вхідних аргументів, а елементарна диз'юнкція (макстерм) навпаки, приймає нульове значення при одному з можливих наборів аргументів і значення одиниці - при усіх інших.
Отже, мінтерм алгебраїчно представляє кон'юнкцію аргументів та їх заперечень, а макстерм - диз'юнкцію аргументів та їх заперечень. Число мінтермів чи макстермів співпадає з числом наборів різних аргументів (див. таблицю), тобто для n аргументів їх буде відповідно N = = 2n (N = 22 = 4, знаки кон'юнкції в таблиці пропущені).
Таблиця 10. Набори елементарних кон'юнкцій і диз'юнкцій для двох аргументів
|
Значення аргумен-тів |
Значення елементарних кон'юнкцій |
Значення елементарних диз'юнкцій |
||||||||
|
X |
Y |
P= |
P= |
P= |
P=XY |
P=XY |
P=X |
P=Y |
P= |
|
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
0 1 1 1 |
1 0 1 1 |
1 1 0 1 |
1 1 1 0 |
Якщо логічна функція виражена через інверсію, кон'юнкцію і диз'юнкцію, то така форма її представлення називається нормальною. Розрізняють диз'юнктивну і кон'юнктивну нормальні форми. Диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ) є логічною сумою елементарних кон'юнкцій (мінтермів), наприклад, Р(X,Y) = Кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) є логічним добутком елементарних диз'юнкцій (макстермів), наприклад, Q(X,Y) = (X Y) ( Y).
Кількість аргументів, які утворюють елементарну кон'юнкцію чи диз'юнкцію, є її рангом. Наприклад, функція Р (Х1, Х2, Х3, Х4) = Х1Х2Х3Х4 є елементарною кон'юнкцією четвертого рангу, а функція Q(Х1,Х2,Х3) = Х1 Х2 Х3 - елементарною диз'юнкцією третього рангу.
Якщо до складу логічної формули входять набори елементарних кон'юнкцій однакового рангу, пов'язані диз'юнкцією, то така форма представлення логічної функції отримала назву диз'юнктивна досконала нормальна форма (ДДНФ). Логічну функцію, яка містить елементарні диз'юнкції одного рангу, пов'язані кон'юнкцією, прийнято називати кон'юнктивною досконалою нормальною формою (КДНФ).
Слід зазначити, що одна й та сама логічна функція може бути представлена різними ДНФ і КНФ. З усієї сукупності цих нормальних форм виділяють одну ДНФ і одну КНФ, а саме ті форми, які є інверсними одна до одної, тобто якщо одна з них дорівнює 1, то інша при цьому рівна 0 і навпаки. Саме ці форми називаються досконалими, тобто ДДНФ і КДНФ.
В алгебрі логіки суворо доводиться, що будь яка логічна функція, окрім f 0, може бути представлена в ДДНФ, а будь яка функція, окрім f 1, може бути представлена в КДНФ.
Прикладом ДДНФ логічної функції Р можна назвати наступну функцію: Р(X,Y,Z) = XYZ . Дана функція відповідає вимогам, які пред'являються до ДДНФ, тому що у ній нема двох одинакових кон'юнкцій; жодна кон'юнкція не містить двох однакових змінних; жодна кон'юнкція не містить двійкову змінну разом з її запереченням; усі кон'юнкції одного рангу.
Якщо логічна функція містить кон'юнкції різних рангів, то слід використати властивість Х = 1 для кон'юнкції молодшого рангу і підвищити її ранг для утворення ДДНФ. Наприклад, P (X,Y,Z) = Y XYZ = Y (Z ) XYZ = YZ Y XYZ.
При аналізі та синтезі логічних схем зазвичай використовують опис їхньої роботи, заданий у вигляді відповідної таблиці, з якої легко можуть бути отримані логічні формули в ДДНФ чи КДНФ. Правило утворення ДДНФ функції від n аргументів полягає в наступному:
1. По кожному набору двійкових змінних, при якому логічна функція приймає значення одиниці, скласти елементарні кон'юнкції (мінтерми).
2. В елементарні кон'юнкції записати неінвертованими змінні, задані одиницею в табличному представленні функції, а інвертованими - ті змінні, які у цій таблиці задані нулем.
3. З'єднати елементарні кон'юнкції знаком диз'юнкції.
Нехай деяка функція Р від трьох аргументів X,Y,Z задана в наступній таблиці. Ця функція приймає значення одиниці для чотирьох наборів аргументів, тому функція Р в ДДНФ буде складатися із логічної суми чотирьох елементарних кон'юнкцій (мінтермів) третього рангу, тобто P(X,Y,Z) = Y Y Z XZ XYZ.
Таблиця 11. Значення функції Р від трьох змінних
|
Значення аргу-менту |
Зна-чення функції Р |
ДДНФ |
КДНФ |
Значення аргументу |
Зна-чення функції Р |
ДДНФ |
КДНФ |
|||||
|
X |
Y |
Z |
мін-терм |
макс-терм |
X |
Y |
Z |
мін-терм |
макстерм |
|||
|
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 1 1 |
- - Y YZ |
XYZ XY - - |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 0 1 |
- XZ - XYZ |
YZ - Z - |
Кон'юнктивна досконала нормальна форма відповідає наступним вимогам: у ній нема двох однакових елементарних диз'юнкцій; жодна диз'юнкція в ній не містить двох одинакових змінних; жодна диз'юнкція не містить змінну разом з її запереченням; усі диз'юнкції одного рангу. Прикладом КДНФ деякої функції Р(X,Y,Z) може служити, зокрема, функція вигляду P(X,Y,Z) = (X Y Z) ( Y ).
За табличним представленням логічної функції можна також отримати кон'юнктивну досконалу нормальну форму. Правила утворення КДНФ полягає в наступному:
1. По кожному набору двійкових змінних, при якому дана функція приймає значення нуля, скласти елементарні диз'юнкції (макстерми).
2. В елементарні диз'юнкції записати неінвертованими змінні, задані нулем у відповідному наборі, а інвертованими - ті змінні, які задані одиницею.
3. Елементарні диз'юнкції поєднати знаками кон'юнкції.
Задана в останній таблиці логічна функція трьох змінних P(X,Y,Z) приймає значення нуля при чотирьох наборах аргументів. Отже, КДНФ цієї функції буде складатися із логічного добутку чотирьох елементарних диз'юнкцій (макстермів) третього рангу: P(X,Y,Z) = (X Y Z) (X Y ) ( Y Z) ( Z).
Аналітичне представлення логічних функцій є зручнішим порівняно з табличним представленням при аналізі та синтезі лоігчних пристроїв в ЕОМ.
Тема 2.3 Мінімізація логічних функцій
Логічна функція, яка описує принцип функціонування синтезованого цифрового пристрою, може бути представлена у вигляді таблиці, відповідно до якої складаються ДДНФ і КДНФ даної функції.
Потім застосовують низку методів для спрощення аналітичного виразу логічної функції. Основними вимогами до цієї задачі є мінімальна кількість елементарних кон'юнкцій чи диз'юнкцій в логічній формулі і однорідність виконуваних операцій. Перетворення логічної функції з метою спрощення її аналітичного виразу отримало назву мінімізації. Розглянемо деякі методи мінімізації.
Метод безпосередніх перетворень (метод Квайна). На першому етапі застосування цього методу будується ДДНФ логічної функції. Потім дана форма перетворюється і спрощується з використанням різних законів і співвідношень алгебри логіки.
Спочатку доцільно виявити у вихідній ДДНФ так звані сусідні елементарні кон'юнкції, тобто такі, у яких є по одній неспівпадаючій змінній. Наприклад, Х1, , Х3 і Х1, Х2, Х3; , , і , Х2, і т.д.
Відносно таких кон'юнкцій застосовується метод склеювання, в результаті чого ранг цих кон'юнкцій знижується на одиницю. Наприклад, Х1Х3 Х1Х2Х3 = Х1Х3( Х2) = Х1Х3. Кон'юнкції, утворені в результаті склеювання, отримали назву імплікант.
Отримані після першого склеювання імпліканти при можливості склеюються повторно і так до тих пір, поки склеювання можливо. Несклеювані імпліканти називають простими, а формула, яка складається з простих імплікантів, називається тупіковою.
Розглянемо даний метод мінімізації на конкретному прикладі. Нехай логічна функція трьох аргументів F (X1, X2, X3) задана таблицею.
Таблиця 12.
|
Значення аргументу |
Значення функції F |
Значення аргументу |
Значення функції F |
|||||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|||
|
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 1 1 1 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 0 |
Утворюємо ДДНф даної функції: F = Х3 Х2 Х2Х3. Тут перша і друга кон'юнкції, а також третя і четверта є сусідніми. Застосувавши склеювання цих кон'юнкцій, отримаємо F = ( Х3) Х2 ( Х3) = Х2.
До отриманих імплікантів застосуємо повторне склеювання: F = Х2 = ( Х2) = .
Таким чином, в результаті проведених перетворень вихідна функція трьох аргументів виявилась інверсією лише однієї змінної . В цьому можна також переконатись за таблицею, наведеною вище.
Якщо на певному етапі склеювання утворюється форма R, яка містить члени виду aXi i b, то для неї справделиво R = R ab. Це дає можливість додати до вихідної форми R декілька членів виду ab в залежності від кількості наявних пар членів aXi i b. Після додавання вказаних членів зазвичай стає можливим продовжити подальше склеювання за формулою ab a = a (b ) = a.
Розглянемо приклад, який ілюструє такий підхід. Нехай була отримана формула для логічної функції трьох аргументів: F (Х1, Х2, Х3) = Х1Х2 Х1 Х1Х3 Х1. У перших двох кон'юнкціях містяться змінні Х2 і , тому можна додати добуток наявних при них змінних, тобто Х1 Х1 = Х1. У третій і четвертій кон'юнкціях містяться змінні Х3 і , тому до них можна додати Х1 = Х1. В результаті отримаємо F (X1, X2, X3) = Х1Х2 Х1 Х1Х3 Х1 Х1Х3 Х1.
Тепер можна продовжити подальше спрощення: F (Х1, Х2, Х3) = Х1 (Х2 ) Х1 ( Х3) Х1 = Х1 Х1 Х1 = Х1 (1 ) = Х1 . В отриманому виразі можна замінити кон'юнкцію заперечень заперченням диз'юнкцї . Після такої заміни операції, які використовуються в лгічному виразі, стали однорідними, тобто F (Х1, Х2, Х3) = Х1 .
Метод Карно-Вейча
Метод діаграм Вейча, удосконалений Карно, застосовують у тому випадку, коли число аргументів не перевищує 5-6. Для мінімізації функції використовують карти Карно, що представляють собою таблиці, розділені на клітинки. Число клітинок дорівнює числу різних наборів аргументів, причому кожній клітинці відповідає певний набір аргументів.
На мал.1,а показана картка Карно для двох аргументів. Аналогічно складають карти для трьох (мал.1,б) і чотирьох (мал.1,в) аргументів, які містять відповідно 8 і 16 клітинок.
|
Х2 |
|||
|
Х1 |
Х1 Х2 |
Х1 |
|
|
Х2 |
Мал. 1а
|
Х1 |
|||||
|
Х3 |
|||||
|
Х2 |
Мал. 1б
|
Х2 |
||||||
|
Х1 |
||||||
|
Х3 |
||||||
|
Х4 |
Мал. 1в
Таблиця 13. Значення функції F від трьох змінних
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
F(Х1, Х2, Х3) |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
F(Х1, Х2, Х3) |
|
|
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 1 0 1 |
В клітинки карти Карно, що відповідають тим наборам аргументів, для яких функція, що мінімізується, у відповідності до заданої таблиці приймає значення 1, заносяться одиниці. Наприклад, для функції трьох аргументів F(Х1, Х2, Х3), яка задана таблицею 13, карта Карно має вигляд, показаний на мал.2а.
|
Х1 |
|||||
|
1 |
|||||
|
Х3 |
1 |
1 |
1 |
||
|
Х2 |
Мал. 2а
Дана функція приймає значення одиниці при чотирьох наборах змінних. У відповідних клітинках карти Карно проставлені одиниці. Правила застосування карт Карно полягають у наступному:
Якщо одиниці знаходяться в двох сусідніх клітинках рядка, стовбчика чи на протилежних кінцях будьякого рядка чи стовбчика, то відповідні цим одиницям кон'юнкції (див. мал.2,б) замінюються однією кон'юнкцією на ранг нижче, причому в неї включаються змінні з одинаковими показниками інвертування.
Якщо чотири клітинки складають великий квадрат, рядок чи стовбчик, то відповідні їм кон'юнкції заміняються однією на два ранги нижче, в якій включені змінні з однаковими показниками інвертування.
Кон'юнкції, які відповідають решті одиниць, зберігаються без змін.
Розглянемо застосування карт Карно на прикладах. Для функції, заданої таблицею 13, карта Карно представлена на мал.2,а. В правому крайньому стовбчику цієї карти сусіднім одиницям відповідають кон'юнкції (див. мал.1,б) і , які замінюються однією кон'юнкцією на ранг менше з одниковими показниками інвертування, тобто Х1. Дві останні одиниці знаходяться в сусідніх клітинках другого рядка, тому відповідні їм кон'юнкції і Х1Х2Х3 замінюються однією Х2Х3. В результаті скорочена (чи мінімальна) диз'юнктивна нормальна форма даної функції прийме вигляд F(Х1, Х2, Х3) = Х1 Х2Х3. Дана форма значно простіша ДДНФ вихідної функції, яка відповідно до таблиці 13 має вигляд F(Х1, Х2, Х3) = Х1Х2Х3.
Розглянемо тепер приклад мінімізації функції чотирьох аргументів, ДДНФ якої задана у вигляді F(Х1, Х2, Х3, Х4) = .
За картою Карно (мал.2,б) кон'юнкції, що утворюють великий квадрат, знижуються на два ранги; кон'юнкції в двох сусідніх клітинках знижуються на один ранг, а одинична кон'юнкція залишається без змін.
|
Х2 |
||||||
|
Х1 |
1 |
1 |
||||
|
1 |
1 |
1 |
Х3 |
|||
|
1 |
1 |
|||||
|
Х4 |
Мал. 2б
В результаті отримаємо:
F(Х1, Х2, Х3, Х4) = Х1 Х2Х3 Х2Х3Х4.
Метод Карно-Вейча спрощує знаходження зклеюваних кон'юнкцій в ДДНФ вихідної логічної функції.
Додаток
Лабораторні роботи
Лабораторна робота №1
Тема: “Перетворення десяткових чисел у двійкову систему числення”.
Мета: засвоєння на практиці правил перетворення десяткових чисел у двійкову систему числення.
Теоретичні відомості
Хід роботи
1. Табличний спосіб перетворення десяткових чисел в систему з іншою основою.
Сутність цього способу полягає у тому, що вихідне десяткове число представляється у вигляді суми цілих ступенів нової основи, вибраних відповідної таблиці цих степенів. Послідовність розміщення цих степенів починається з тої, яка дає число, що не перевищує вихідне десяткове. Підбирають для степенів відповідні коефіцієнти з алфавіту нової системи таким чином, щоб їх сума дорівнювала вихідному десятковому числу
2. Переведення цілих десяткових чисел в іншу систему числення способом ділення
Для переводу цілого числа з десяткової системи числення в іншу систему з основою S треба це число послідовно ділити на основу S нової системи доти поки не отримаємо ділене < S.
Число в новій системі запишеться в вигляді остач ділення, починаючи з останньої. Ця остання остача дає цифру старшого розряду в нові системі числення. Ділення виконують у вихідній системі числення.
1. Виконайте завдання по варіантах:
Варіант 1
1. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення табличним способом:
Х=132;Y=75.
2. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення способом ділення:
Х=38;Y=297.
Варіант 2
1. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення табличним способом:
Х=431Y=54.
2. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення способом ділення:
Х=217;Y=65.
Варіант 3
1. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення табличним способом:
Х=154;Y=43.
2. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення способом ділення:
Х=38;Y=297.
Варіант 4
1. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення табличним способом:
Х=122;Y=76.
2. Переведіть десяткове число в двійкову систему числення способом ділення:
Х=67;Y=138.
2. Заповніть таблицю:
|
Десяткові числа |
Двійкові числа |
|
3. Оформіть звіт.
Контрольні запитання
В чому полягає суть табличного способу перетворення десяткових чисел у двійкову систему числення?
В чому полягає суть способу ділення для перетворення десяткових чисел у двійкову систему числення?
Лабораторна робота №2
Тема: утворення машинних кодів в певній розрядній сітці.
Мета: засвоїти на практиці утворення машинних кодів.
Теоретичні відомості
Правило 1. Число X у зворотньому коді позначається [Х]зв. Як уже відзначалося, зворотний код додатнього числа збігається з його прямим кодом, тобто при X 0 [Xзв]=[Xпр]=X. Для від'ємного числа зворотній код отримують за наступним правилом: у знаковий розряд числа записується одиниця, а в цифрових розрядах нулі заміняються одиницями, а одиниці -- нулями. Таким чином, якщо маємо від'ємне число Х = -0, Х1Х2,…Хn, то його зображення в зворотньому коді буде [Х]зв= 1, Х1Х2, ..., Хn, де Xі (i= 1,2,..., n) означає звертання (чи інверсію) цифрових розрядів, тобто Xі=l, якщо Xі = 0, і Xі= 0, якщо Хі=1. Наприклад, переведемо число --0,1001 у зворотній код: якщо Х= -0,1001, то [Х]зв = 1,0110. В ЕОМ при додаванні зворотніх кодів за відповідними правилами виходить зворотній код суми.
Правило 2. Число X у додатковому коді позначається [X]дод. Додатковий код додатнього числа збігається з його прямим кодом, тобто при X > 0 [Х]дод = [Х]пр= X. Для від'ємного числа додатковий код отримуємо за наступним правилом: у знаковому розряді записується одиниця, у всіх цифрових розрядах нулі заміняються одиницями, а одиниці нулями (аналогічно тому, як це виконується в зворотному коді), після чого до молодшого розряду додається одиниця. Таким чином, для від'ємного числа X = -- 0, Х1Х2,…,Хn додатковий код буде представлений у виді [X]дод =1, Х1Х2, ..., Хn,+0,00...01, де Хі = 1, якщо Хі = 0, і Xi = 0, якщо Хі = 1.
Хід роботи
1.Виконайте завдання по варіантах:
Варіант 1
1. Запишіть двійкове число в прямому, зворотьному, додатковому і модифікованому кодах: 0,1000011; -0,10011010; -0,1111001; 0,110.
2. Числа, що записані в зворотньому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,0100; 1,011100; 0,00001; 1,001101.
3. Числа, що записані в додатковому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,0101; 1,1001101; 0,00101; 1,1011101.
4. Числа, що записані в додатковому модифікованому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 00,10011; 11,0001011; 00,010010; 11,011010.
Варіант 2
1. Запишіть двійкове число в прямому, зворотьному, додатковому і модифікованому кодах: 0,111001; -0,10101010; -0,1001101; 0,100.
2. Числа, що записані в зворотньому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,0100; 1,00010; 0,00101; 1,001011.
3. Числа, що записані в додатковому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,0001; 1,010001; 0,01011; 1,010001.
4. Числа, що записані в додатковому модифікованому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 00,11101; 11,010011; 00,01110; 11,111110.
Варіант 3
1. Запишіть двійкове число в прямому, зворотьному, додатковому і модифікованому кодах: 0,110101; -0,11010010; -0,1101101; 0,101.
2. Числа, що записані в зворотньому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,01000; 1,0100010; 0,010101; 1,001011.
3. Числа, що записані в додатковому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,01001; 1,0110001; 0,011011; 1,1010001.
4. Числа, що записані в додатковому модифікованому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 00,011101; 11,010011; 00,011110; 11,001110.
Варіант 4
1. Запишіть двійкове число в прямому, зворотьному, додатковому і модифікованому кодах: 0,110010; -0,1101100; -0,1101110; 0,101100.
2. Числа, що записані в зворотньому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,01111; 1,011010; 0,011011; 1,010101.
3. Числа, що записані в додатковому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 0,01101; 1,011011; 0,011000; 1,101111.
4. Числа, що записані в додатковому модифікованому коді перетворіть в звичайний двійковий запис: 00,011011; 11,011100; 00,011010; 11,001000.
2. Заповніть таблицю:
|
Двійковий запис числа (В) |
Зворотній код (Р) |
Додатковий код (Н) |
|
3. Оформіть звіт.
Контрольні запитання:
Яким чином в ЕОМ виконується операція віднімання?
Що таке інверсія цифрових розрядів?
Чим відрізняється зворотній код від додаткового для від'ємних чисел?
Для чого використовують машинні коди?
Лабораторна робота №3
Тема: “Додавання та віднімання двійкових чисел”.
Мета: засвоєння на практиці правил додавання і віднімання двійкових чисел.
Теоретичні відомості
Для додавання чисел у машинах з фіксованою крапкою повинна бути виконана така послідовність дій: перетворення прямого коду вихідних чисел у зворотний (чи додатковий); порозрядне додавання кодів (з урахуванням можливих переносів з розряду в розряд); перетворення результату знову в прямий код при його передачі в інші пристрої машини.
При порозрядному додаванні зворотних (чи додаткових) кодів знакові розряди складають як розряди мантис. Якщо в результаті додавання утвориться одиниця переносу зі знакового розряду, то при використанні зворотних кодів її додають до молодшого розряду суми (ця операція називається циклічним переносом), а у випадку додаткових кодів цей перенос не враховують.
Хід роботи
1. Виконайте завдання по варіантах:
Варіант 1
1. Додайте два числа в зворотніх і модифікованих кодах: Х=-9;Y=3
2. Додайте два числа з плаваючою крапкою:
Х=-3; Y=6
Варіант 2
1. Додайте два числа в зворотніх і модифікованих кодах: Х=-7;Y=3
2. Додайте два числа з плаваючою крапкою:
Х=-3; Y=9
Варіант 3
1. Додайте два числа в зворотніх і модифікованих кодах: Х=-8;Y=5
2. Додайте два числа з плаваючою крапкою:
Х=-2; Y=7
Варіант 4
1. Додайте два числа в зворотніх і модифікованих кодах: Х=-5;Y=7
2. Додайте два числа з плаваючою крапкою:
Х=-4; Y=7
2. Заповніть таблицю:
|
Двійкові числа |
Сума чисел |
|
3. Оформіть звіт
Контрольні запитання
1. Яку послідовність дій треба виконати, щоб виконати додавання чисел у машинах з фіксованою крапкою?
2. Яку послідовність дій треба виконати, щоб виконати додавання чисел у машинах з плаваючою крапкою?
Рекомендована література
арифметична логічна основа система числення
1. Костинюк Л.Д., Паранчук Я.С., Щур І.З. Мікропроцесорні засоби та ситеми.-2-ге видання. - Львів:Видавництво Національного університету „Львівська політехніка”, 2002. -200 с.
2. Семененко В..А., Балтрушевич А.В. Электронно вычислительное машины:: Учеб. Пособие.-М.: Высшая школа, 1985.-272с.
3. Скаржепа В.А. Луценко А.Н. Электроника и микроэлектроника. - К.:Высшая школа, 1989. - 430 с.
4. Шило В.Л. Популярные цифровые микросхемы. Справочник.-Челябинск: Металургия, 1988. -340с.
5. Аналоговые и цифровые и интегральные микросхемы. Справочное пособие. Под редакцией Якубовского С.В. - 2-е издание переработаное и дополненое - М.: Радио и связь, 1984. -432с.
Размещено на Allbest
Подобные документы
Розрізняють дві форми подання двійкових чисел у ЕОМ: із фіксованою комою і з "плавучою" комою. Прямий, обернений і додатковий коди двійкових чисел. Алгоритми виконання арифметичних операцій (додавання, множення, ділення) над двійковими числами із знаком.
лекция [28,1 K], добавлен 13.04.2008Поняття арифметико-логічного пристрою. Правила формування прямого, оберненого та додаткового коду двійкових чисел. Побудова електрично-принципової схеми модулю блоку керування, який міг би виконувати не тільки операцію додавання, але й віднімання.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 27.02.2012Подання чисел у нормальній формі. Порядок нормалізації чисел з рухомою комою. Правила додавання двійкових чисел з рухомою комою. Алгоритми і програми додавання чисел в арифметиці з рухомою комою в інструкціях навчального комп'ютера-симулятора DeComp.
лабораторная работа [31,7 K], добавлен 13.03.2011Операція алгебраїчного додавання, множення, ділення. Алгоритм ділення модулів чисел. Поняття граф-схеми алгоритму та правила її складання. Основні поняття теорії цифрових автоматів. Синтез керуючого автомата. Контроль виконання арифметичних операцій.
реферат [55,4 K], добавлен 24.03.2009Розробка алгоритму множення чисел у прямому коді з молодших розрядів із пропусканням тактів сумування для двійкових чисел. Синтез операційного та керуючого автоматів з жорсткою логікою. Описання технології числового контролю операції додавання по модулю.
курсовая работа [74,9 K], добавлен 14.03.2013Бібліотеки для дій з розрядно-логарифмічними діями. Перевірка оберненої матриці за допомогою одиничної у розрядно-логарифмічній формі. Код розрахунку оберненої матриці за методом Крамера. Алгоритми додавання, віднімання, множення, ділення чисел у РЛ.
курсовая работа [18,6 K], добавлен 17.10.2013Синтез цифрового автомата для виконання операції множення в оберненому коді двох двійкових чисел з фіксованою комою. Будування керуючого автомату з жорсткою логікою по принципу Мілі. Використання алгоритму множення з пропусканням тактів додавання.
курсовая работа [279,6 K], добавлен 14.03.2013Опис базової мікросхеми оперативного запам'ятовувального пристрою. Призначення виводів мікросхеми 132РУ6А, технологічні параметри. Спеціалізований арифметико-логічний пристрій з додавання двійкових чисел. Схема модуля керуючого й операційного блоків.
реферат [3,8 M], добавлен 25.11.2011Функції арифметико-логічного пристрою - виконання операцій над числами, що надходять до нього, за сигналами з пристрою керування. Правила переводу чисел з однієї системи числення в іншу. Розроблення алгоритму; функціональна і принципова електричні схеми.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.04.2014Арифметичні основи, на яких ґрунтується функціонування комп'ютерної техніки. Основні поняття дискретної обробки інформації. Системи числення, форми подання чисел у комп'ютерах. Арифметичні операції, що виконуються над числами, подані у двійковому коді.
учебное пособие [903,6 K], добавлен 18.12.2010
