Прийняття рішень у інформаційно-вимірювальних системах (ІВС)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прийняття рішень у інформаційно-вимірювальних системах (ІВС)

1. Прийняття рішень про виявлення явища

У ряді задач, розв'язуваних за допомогою ІВС, повинне виявлятися деяке явище. Такими явищами можуть бути атмосферні явища, витік теплоносія - сповільнювача з водоводяного енергетичного реактора АЕС, поява літальних апаратів у контрольованій області простору й інші. Якісні показники й критерії якості виявлення розглянуті Я.Д. Ширманом, Б.Р. Левіним і іншими дослідниками. У цьому випадку методика Я.Д.Ширмана представляється найбільш зручною, використовується далі й поширюється на виявлення інших явищ.

Формально виявлення представляє перевірку статистичних гіпотез про характеристики випадкової величини або випадкового процесу. У результаті процесу виявлення повинне бути видане рішення про наявність або відсутність явища (цілі) у контрольованій області. Рішення може бути прийняте при двох умовах, які взаємно виключають одне одного.

Умова - явище існує ("ціль є"),

умова - явище відсутнє ("цілі немає"),

які при виробці рішення невідомі. За рахунок перешкод і флуктуацій корисного сигналу при кожній умові можуть бути прийняті два рішення:

рішення - явище існує ("ціль є"),

рішення - явище відсутнє ("цілі немає").

Третього рішення - "не знаю" після завершення процесу виявлення бути не повинно.

При виявленні можливі чотири ситуації суміщення випадкових подій "рішення" і "умови":

ситуація - правильне виявлення;

ситуація - пропуск явища (цілі);

ситуація - хибна тривога;

ситуація - правильне невиявлення.

Цим ситуаціям відповідають чотири ймовірності суміщення подій, сума яких дорівнює одиниці

. (1)

Кожному помилковому рішенню можна поставити у відповідність деяку плату - вартість помилки . Для безпомилкових рішень ця вартість приймається рівною нулю . Тоді систему виявлення можна характеризувати середньою вартістю (математичним очікуванням вартості) помилкових рішень

. (2)

У якості кращої з порівнюваних систем обробки можна вважати систему, що задовольняє критерію мінімуму цієї вартості - критерію мінімуму середнього ризику. У зв'язку з тим, що визначення апріорних імовірностей наявності цілі або її відсутності важко обґрунтувати, утруднений і розрахунок імовірностей суміщення подій і . Тому при проектуванні й випробуваннях апаратури використовують умовні ймовірності, які є якісними показниками виявлення при наявності або відсутності явища.

Якісними показниками виявлення за умови наявності явища називаються відповідні умовні ймовірності правильного виявлення

(3)

і пропуск цілі

. (4)

Оскільки при виконанні умови рішення взаємовиключні, то

. (5)

Якісними показниками виявлення за умови відсутності цілі є умовні ймовірності хибної тривоги

(6)

і правильного невиявлення

, (7)

які в сумі також дають одиницю

.

Використовуючи співвідношення (3) - (7), середню вартість помилкових рішень (2) можна виразити

або , (8)

де

. (9)

При цьому критерій оптимізації виявлення по мінімуму середнього ризику зводиться до вагового критерію

, (10)

який показує, що по сукупності вимог підвищення умовної ймовірності правильного виявлення й зниження умовної ймовірності хибної тривоги необхідно прагнути до збільшення "зваженої" різниці . Множник називають ваговим множником, він залежить від співвідношення вартості помилок кожного виду й імовірностей наявності або відсутності явища в контрольованому просторі подій.

Якщо при однаковому ваговому множнику порівнюються дві системи обробки інформації, з яких перша є оптимальною, тобто для неї , то в силу цієї умови маємо , або . Тоді при маємо або . Це значить, що оптимальний виявник дає найменшу ймовірність пропуску серед всіх виявників, у яких умовна ймовірність хибної тривоги не більше, ніж в оптимального. Ця умова приймається як самостійний критерій оптимальності (критерій Неймана - Пірсона), що є наслідком більше загального критерію мінімуму середнього ризику.

2. Приклад оптимізації виявлення

Розглянемо наступний приклад оптимізації виявлення. Нехай на вхід прибору надходить або сума напруг сигналу й перешкоди , причому , або одна напруга перешкоди . Ця ситуація може відображатися формулою

, (11)

де - невідомий дискретний параметр, що може приймати значення 1 або 0. Щільність розподілу величини наведена на рис.4а.

Завдання полягає в тому, щоб по обмірюваній величині дати оцінку параметра , оптимальну з погляду критерію мінімуму середнього ризику або еквівалентного йому вагового критерію. Будемо вважати, що при вимірюванні величини не міняються. Очікуване значення сигналу точно відомо, закон розподілу випадкової величини також відомий. На рис.1.а показана щільність розподілу випадкової величини за умови відсутності сигналу й при його наявності

, . (12)

Індекси "п" і "сп" указують на різницю математичних виразів і при наявності однієї перешкоди й наявності сигналу з перешкодою. Крива зсунута стосовно кривої на постійну величину .



Математично це має вигляд

. (13)

Будь-яке рішення задачі виявлення може бути описане розв'язувальною функцією , що залежно від реалізації приймає одне із двох значень: 0 або 1 (див. рис.1.б).

Із графіка розв'язувальної функції видно, що при приймається рішення про наявність сигналу, тобто про виявлення явища. Умовні ймовірності мають сенс ймовірностей влучення випадкової величини в інтервал за умови " сигнал-перешкода" або "перешкода" і відповідають заштрихованим площам під кривими й на графіку (рис.1а). Якщо розв'язувальна функція буде довільною, вираз для можна записати у вигляді інтегралів у нескінченних межах

, . (14)

Дійсно, ділянки осі , для яких , визначають площі під кривими й подібно тому, як це показано на рис.1а. Ділянки, для яких , при інтегруванні дадуть нуль.

У цьому випадку вираз , що відповідає ваговому критерію, може бути представлений у вигляді

, (15)

де

. (16)

Відповідно до вагового критерію оптимальною є така система виявлення, що забезпечує максимум інтеграла (15). Щоб виконати цю умову, досить для кожного домогтися найбільшого значення виразу, який стоїть під інтегралом, за рахунок вибору розв'язувальної функції . У даному випадку ця функція приймає тільки два значення: 0 або 1. Тому вираз, який стоїть під інтегралом, або обертається в нуль, або множиться на одиницю. Щоб досягти найбільшого значення всього інтеграла в цілому, досить забезпечити найбільше значення виразу, який стоїть під інтегралом, для кожного . Тому можна прийняти:

, якщо вираз, який стоїть під інтегралом, при цьому позитивний;

у противному випадку.

Оскільки щільність імовірності не може приймати негативних значень, то оптимальне правило рішення задачі виявлення може бути записане у вигляді

(17)

Величина називається відношенням (коефіцієнтом) правдоподібності. Відношення правдоподібності являє собою відношення щільностей імовірності однієї й тієї же реалізації при двох умовах: коли діють сигнал і перешкода й коли діє тільки перешкода. Відношення правдоподібності характеризує, яку з гіпотез про виконання зазначених взаємовиключних умов варто вважати більш правдоподібною. Як і щільності ймовірності, відношення правдоподібності не може виражатися негативним числом. Рішення про виявлення сигналу приймається, якщо відношення правдоподібності перевищує граничну величину , у противному випадку приймається рішення про відсутність сигналу.

Таким чином, критерієм оптимального виявлення може служити критерій відношення правдоподібності, що є наслідком критерію мінімуму середнього ризику. Цей критерій зручний для практичних розрахунків.

3. Виявлення при перешкоді з нормальним розподілом

Якщо перешкода описується центральним гауссовським розподілом зі стандартним відхиленням і дисперсією , то при відсутності сигналу , коли сумарна напруга включає тільки шум , тобто ,

, (18)

а при наявності сигналу

. (19)

При цьому відношення правдоподібності буде

. (20)

Залежність для показана на рис.2. На осі ординат відкладене граничне значення . У силу монотонного ходу кривої умова еквівалентна , а - умові (див. рис.2). Тоді при

(21)

Звідси видно, що раніше прийнята розв'язувальна функція (див. рис.1б) була неоптимальною. Залежність, що відображає оптимальну розв'язувальну функцію, представлена на рис.3. У ньому не відкидається ділянка площі під кривої праворуч точки (див. рис.1); це збільшує ймовірність . Величина ймовірності при гауссівський статистиці зростає в істотно меншому ступені й відповідає при цьому площі під кривою праворуч абсциси (див. рис.3). Величину називають порогом. При заданому рівні перешкод умовна ймовірність хибної тривоги може бути виражена

, (22)

де - інтеграл імовірності,

- нова змінна.

Таким чином, величину порога можна вибирати безпосередньо по заданому рівню ймовірності хибної тривоги, що відповідає критерію Неймана - Пирсона.

Це дозволяє уникати обліку апріорних даних про наявність або відсутність сигналу.

Умовна ймовірність правильного виявлення відповідає площі під кривій праворуч абсциси (див. рис.3)



або в силу остаточно

, (23)

де - енергетичне відношення сигнал/перешкода.

При заданому рівні перешкод величина залежить не тільки від порога але й від величини очікуваного сигналу (див. рис.4). Залежність може бути побудована якісно при аналізі площі під кривою на рис.3 і кількісно за допомогою співвідношення (23). Зокрема, при значення , при значення , при значення . Чим вище рівень порога й менше умовна ймовірність хибної тривоги , тим більше крива зміщується вправо. При цьому для забезпечення тої ж імовірності потрібен більший рівень корисного сигналу. Залежності, наведені на рис.4 звуться криві виявлення.

4. Задача оптимального виявлення реальних сигналів

На сумарне коливання на вході приймача, яке ще не спотворене його електричними колами, має вигляд функції, у число аргументів якої входить час

, (24)

де - коливання перешкоди, яке являє собою стаціонарний випадковий процес із відомими статистичними характеристиками;

- дискретний випадковий параметр, що приймає значення 0 або 1;

- відома функція часу й інформаційного й неінформаційного параметрів, що описує очікуваний сигнал з урахуванням закону його модуляції;

-- інформаційний параметр, що фіксується при виявленні, або сукупність інформаційних параметрів очікуваного сигналу; при виявленні явища в діапазоні параметрів необхідно забезпечити прийняття оптимального рішення;

- випадковий нефіксуємий при виявленні параметр або сукупність таких параметрів; оскільки при виявленні ці параметри не фіксуються, задається щільність імовірності їхнього розподілу або .

Нехай зондувальний сигнал не змінюється під впливом прийнятих коливань і, таким чином, функція від не залежить. Це означає, що зворотний зв'язок через блок на моделі узагальненої вимірювальної системи розірвано.

Найбільш істотною задачею теорії оптимального виявлення є відшукання закономірного вирішального правила прийняття рішень про наявність або відсутність явища залежно від виду функції . Це еквівалентно відшуканню дискретного функціонала , тобто змінної величини, значення якої залежить від виду функції.

Якщо рішення приймається для різних значень у деякому діапазоні їхньої зміни, то необхідно знайти як функцію тобто . Критерієм оптимальності може служити критерій мінімуму середнього ризику, або ваговий критерій, який випливає з нього, є більш зручним, не потребує безпосереднього використання апріорних даних про наявність або відсутність явища.

Поряд із зазначеною задачею у теорії виявлення вирішується задача встановлення практично прийнятних принципів синтезу (побудови) апаратури обробки сигналів, що буде працювати відповідно до вирішаю чого правила, і оцінки якісних показників виявлення.

5. Методика оптимального виявлення реальних сигналів

Завдання полягає в знаходженні відповідного способу зіставлення ймовірностей різних реалізацій коливання при наявності й відсутності сигналу. Одним з найбільш простих шляхів рішення є введення припущення про спектр сигналів і перешкод, обмежений деякою найвищою частотою , величину якої надалі можна буде вибрати довільно великою і зняти тим самим дане обмеження. Відомо, що для функцій з обмеженим спектром справедлива теорема Котельникова, що дозволяє представити функцію у вигляді однієї з різновидів розкладання в ряд по невипадкових функціях з випадковими коефіцієнтами . Розкладання має вигляд

 , (25)

де - значення функції в дискретні рівновіддалені моменти часу , для яких інтервал дискретизації пов'язаний із граничною частотою співвідношенням

; (26)

- зрушені між собою на час функції виду

. (27)

На рис.5 графічно представлені компоненти формули (25). Як видно із цього рисунка, при підсумовуванні зрушених у часі добутків , у момент часу всі значення обертаються в нуль крім .

У проміжні моменти часу сума ряду й описувана нею функція збігаються тому, що сума ряду не містить спектральних складових, період яких менш .

Використовуючи теорему Котельникова, різні реалізації безперервної функції можна звести до багатомірних випадкових величин . Область визначення цих величин називають багатомірним простором.

Багатомірний простір розуміють як деяку абстракцію. Його можна наочно ілюструвати за допомогою тривимірного (об'єм) простору, двовимірної площині або одномірної прямої. Точку багатомірного простору в цьому випадку розуміють як умовне найменування реалізації коефіцієнтів розкладання . При безперервному розподілі ймовірностей кожну реалізацію можна характеризувати своєю багатомірною щільністю ймовірності . Помножені на ці щільності характеризують спільну ймовірність реалізації першої одномірної величини в межах від , другий - у межах і так далі. Оскільки величини однозначно визначають всю криву, то величина являє собою ймовірність влучення реалізації кривої на "доріжку" (див. рис. 6), обумовлену інтервалами завдання дискретів .

Коротко багатомірну щільність імовірності будемо позначати , а відповідні умовні щільності ймовірності при наявності однієї перешкоди й сигналу й перешкоди . Дискретний функціонал переходить у дискретну функцію , як і раніше приймаючу залежно від два значення: 0 або 1. Вибір найкращої вирішальної функції , тобто найкраща розбивка простору на області або , являє собою задачу теорії виявлення.

Знайдемо вирази для й для довільної функції :

(28)

де , а область інтегрування відповідає всім можливим значенням величини . Складаючи ваговий критерій , знаходимо

, (29)

Де - (30)

- відношення правдоподібності для багатомірної випадкової величини.

Максимум вагового критерію досягається при оптимальній вирішальній функції

(31)

де - граничне значення відношення правдоподібності, яке звичайно обирається залежно від заданого рівня умовної ймовірності хибної тривоги.

Прийняте коливання з необмеженим спектром описується багатомірною вибіркою тим краще, чим менше інтервал дискретизації , тобто більше гранична смуга апроксимації . Тому можна вважати, що в межі при визначається шуканий функціонал

(32)

Де . (33)

У співвідношенні (33) інформаційний параметр увійшов тільки в чисельник, тому що при відсутності сигналу щільність імовірності реалізації від параметрів сигналу не залежить.

Описана методика з використанням теореми Котельникова не є єдино можливої, але зручна для вивчення.

6. Прийняття рішення про виявлення сигналу з повністю відомими параметрами

Як виходить з попередніх розділів, рішення про виявлення приймається на підставі обчислення відносини правдоподібності. Найбільш простим є випадок, коли очікуваний сигнал не має невідомих параметрів. За умови наявності сигналу й перешкоди прийняте коливання відрізняється від випадкового коливання шуму на відому функцію :

 , (34)

де - означає всі параметри сигналу, інформаційні й нефіксуємі.

Дискретні значення , що відповідають цьому коливанню, мають вигляд

де - відомі величини - дискретні значення сигналу з обмеженим спектром,

. З останніх рівностей виходить, що наявність сигналу приводить до зсуву розподілу величин у порівнянні з випадком, коли діє одна перешкода. Аналогічно співвідношенню (13) можна написати

. (35)

Звідси виходить відношення правдоподібності для сигналу з повністю відомими параметрами

. (36)

Якщо перешкода описується центральним гаусовим розподілом з ефективним відхиленням і дисперсією , то аналогічно виразам (18), (19) і (20) можемо записати

сигнал гауссівський правдоподібність перешкода



або

. (37)

Отриманий вираз (37) визначає відношення правдоподібності для сигналу з повністю відомими параметрами й перешкоди у вигляді квазібілого шуму. Цей вираз допускає простий граничний перехід до випадку білого шуму при , а . При цьому сума в першій експоненті перейде в інтеграл, чисельно рівний енергії очікуваного сигналу,

, (38)

Сума в другій експоненті виразу (37) перейде в інтеграл

, (39)

який називається кореляційним. Остаточне відношення правдоподібності може бути представлене у вигляді

, (40)

де - спектральна щільність шуму,

- енергія очікуваного сигналу,

- кореляційний інтеграл

. (41)

Таким чином, відношення правдоподібності є монотонною функцією кореляційного інтеграла, який з метою прийняття оптимального рішення може бути розрахований по прийнятій реалізації для будь-якого фіксованого параметра, наприклад, для заданої дальності радіолокаційної цілі. Порівняння відношення правдоподібності з порогом еквівалентно порівнянню кореляційного інтеграла з відповідним порогом :

,

тобто оптимальний виявник повинен обчислювати кореляційний інтеграл (45) і порівнювати його з порогом.

Структурна схема найпростішого виявника сигналу з повністю відомими параметрами представлена на рис.7. Як видно зі схеми, на множник подається опорне коливання й прийнятий сигнал. Безпосереднє інтегрування добутку дає кореляційний інтеграл; тому виявник називається кореляційним. Величина кореляційного інтеграла порівнюється з порогом , рівень якого підбирається так, щоб імовірність помилкового перевищення порога була не більше допустимої. Опорне коливання може вироблятися спеціальним малопотужним генератором і залежати, наприклад, від установленого часу запізнювання відбитого сигналу. Опорний сигнал може бути отриманий також безпосередньо від передавача за допомогою лінії затримки.

7. Методика прийняття рішення про виявлення сигналів з випадковими нефіксуємими параметрами

Спільну щільність імовірності реалізації сигналу й перешкоди, і випадкового нефіксуємого параметра можна представити у вигляді

. (42)

Інтегруючи (42) по параметру у всій області його визначення й зауважуючи, що незалежно від виду реалізації завжди

,

знаходимо

.

Тоді відношення правдоподібності

, (43)

де

. (44)

Вводячи поряд з нефіксуємими параметрами фіксуємі інформаційні параметри , здійснюючи граничний перехід , тобто переходячи від багатомірних реалізацій до реалізацій у вигляді функцій , можна одержати

, (45)

де

(46)

- часткове відношення правдоподібності при фіксованих значеннях . Оскільки при кожній такій фіксації сигнал повністю відомий, використовуючи формулу (40), знаходимо часткове відношення правдоподібності у вигляді

, (47)

де й - частки значення кореляційного інтеграла й енергії сигналу для фіксованих значень параметрів :

 , (48)

. (49)

Таким чином, методика визначення відношень правдоподібності для сигналів з випадковими нефіксуємими (неінформаційними) параметрами по прийнятій реалізації зводиться:

- до обчислення кореляційного інтеграла, енергії очікуваного сигналу й часткового відношення правдоподібності при фіксованих параметрах ;

- до усереднення часткового відношення правдоподібності по випадковому нефіксуємому параметру (або сукупності параметрів) .

Размещено на Allbest.ru