Все схемные решения корреляционных обнаружителей одиночных сигналов связаны с формированием корреляционного интеграла

где - опорный сигнал.

Независимо от степени известности начальной фазы принятого сигнала, т.е. независимо от того, совпадает начальная фаза опорного сигнала ?г с начальной фазой принятого сигнала ?с или не совпадает, удвоенная мощность сигнальной составляющей корреляционного интеграла не зависит от их соотношения:

Удвоенная мощность шумовой составляющей корреляционного интеграла равна:

При этом отношение мощности сигнальной составляющей к мощности шумовой составляющей оказывается равным:

Отношение сигнал/шум по мощности после оптимальной корреляционной обработки определяется исключительно отношением энергии сигнала Эс к спектральной плотности шума N0 и не зависит от формы сигнала. Этот результат является фундаментальным выводом теории потенциальной помехоустойчивости, развитой В.А. Котельниковым. Часто вместо отношения сигнал/шум по мощности используют другой показатель q - отношение амплитуды сигнальной составляющей |Wс| к среднеквадратическому значению шумовой составляющей , которое связано с отношением сигнал/шум по мощности :

Критичность корреляционной обработки к параметрам опорного сигнала.

До сих пор предполагалось, что задержка по времени tз и смещение по частоте ?к опорного сигнала равны соответственно времени запаздывания tr и доплеровскому смещению частоты ?дс принятого сигнала. В действительности время задержки опорного сигнала tз может точно не совпадать со временем запаздывания принятого сигнала

tз - tr ? 0,

а частота коррекции спорного сигнала ?к может точно не совпадать с доплеровским сдвигом частоты принятого сигнала

Fк - Fдс ? 0

Опорный сигнал с произвольной задержкой и частотой коррекции представляется в виде

Нормированная сигнальная составляющая на выходе детектора корреляционного обнаружителя определяется функцией неопределённости сигнала, аргументы которой представляют расстройку опорного сигнала по времени и частоте:

Следовательно, функция неопределённости определяет критичность корреляционной обработки к параметрам опорного сигнала. Критичность к расстройке опорного сигнала по времени запаздывания ? = tз - tr определяется сечением функции неопределённости плоскостью F = 0. Учитывая, что это сечение есть квадрат модуля корреляционной функции закона модуляции сигнала

?(?, о) = |С0(?) |2,

а эффективная ширина этого сечения или ширина диаграммы неопределённости по оси ?, соответствующей области высокой корреляции, обратно пропорциональна ширине спектра модуляции сигнала

?? = 1/?f0

значение расстройки по времени, при которой уменьшение сигнальной составляющей не превышает 3 дБ (2 раза), должно удовлетворять условию:

Критичность к расстройке опорного сигнала по частоте F = Fk - Fдс определяется сечением функции неопределённости плоскостью ? = 0, Учитывая, что это сечение есть нормированный энергетический спектр квадрата амплитудного закона модуляции сигнала

а эффективная ширина этого сечения или ширина диаграммы неопределённости по оси F, соответствующей области высокой корреляции, обратно пропорциональна длительности сигнала

значение допустимой расстройки по частоте должно удовлетворять условию:

Изложенные соображения относительно допустимой расстройки опорного сигнала по времени и частоте имеют важное логическое продолжение. Формирование корреляционных интегралов (или квадратов их модулей) для двух принятых сигналов происходит раздельно, без всякого взаимного влияния этих сигналов, в том случае, если разность по времени запаздывания ?tr = tr1 - tr2,

или по доплеровскому смещению частоты ?Fд = Fдс1 - Fдс2

принятых сигналов не меньше ширины соответствующих сечений функции неопределённости:

Эти соотношения определяют, следовательно, разрешающую способность системы по времени запаздывания и доплеровскому смешению частоты принятых сигналов.

В заключение следует подчеркнуть, что рассмотренный корреляционный обнаружитель предназначен для принятия решения по одному элементу разрешения "дальность - скорость" в некотором анализируемом угловом направлении. Для просмотра всех элементов разрешения по дальности и скорости необходимо иметь либо многоканальный корреляционный обнаружитель (число каналов определяется числом элементов разрешения по дальности и скорости, а взаимная расстройка каналов по времени и частоте определяется соответствующей разрешающей способностью), либо при Наличии одного корреляционного обнаружителя осуществлять перестройку опорного сигнала по времени и частоте. Первый вариант соответствует параллельному или одновременному просмотру всех элементов разрешения по дальности и скорости, а второй - их последовательному просмотру.

Характеристики обнаружения

Ниже рассматриваются три варианта степени известности параметров принятого сигнала.

а) Сигнал с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой

При этом решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Х* квадратурной составляющей корреляционного интеграла

формируемой на выходе одноканальной схемы корреляционной обработки на видеочастоте, когда опорный сигнал формируется с учетом известной начальной фазы принятого сигнала

В отсутствие полезного сигнала, т.е. при наличии только гауссова шума, случайная величина X распределена по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией

При наличии полезного сигнала распределение случайной величины смещается на величину среднего значения сигнальной составляющей

На рис.1. показаны возможные реализации напряжения на выходе коррелятора в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от tr до tr + Т0, равном длительности сигнала. На рис.2 показаны соответствующие распределения случайной величины X, формируемой на выходе коррелятора в момент времени t = tr + T0, в отсутствие сигнала Р0(х) и при наличии сигнала P0(x).

При этом вероятность ложной тревоги, как площадь под кривой p0(x) правее порога X*, определяется выражением:

где - относительный порог,

- закон распределения (плотность вероятности) случайной величины X на выходе коррелятора в отсутствие сигнала,

- интеграл вероятности, поведение которого показано на рис.3.

Рис.1. Возможные реализации напряжения на выходе коррелятора для сигнала с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

Рис.2. Законы распределения случайной величины на выходе коррелятора для сигнала с известной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

Рис.3. Интеграл вероятности.

Вероятность правильного обнаружения, как площадь под кривой p1(х) правее порога X, определяется выражением:

где - закон распределения случайной величины X на выходе коррелятора при наличии полезного сигнала,

- отношение сигнал/шум по напряжению на выходе коррелятора.

б). Сигнал с неизвестной начальной фазой и неслучайной амплитудой

При этом решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Z* модуля (или квадрата модуля) корреляционного интеграла

формируемого на выходе одноканальной схемы корреляционной обработки на промежуточной частоте или на выходе двухканальной схемы корреляционной обработки на видеочастоте (с двумя квадратурными каналами), когда произвольная начальная фаза опорного сигнала не зависит от начальной фазы принятого сигнала, поскольку последняя не известна:

В отсутствие полезного сигнала случайная величина Z, как модуль нормального распределенного корреляционного интеграла, распределена по релеевскому закону

причем ее второй начальный момент (или дисперсия корреляционного интеграла) равен:

Вероятность ложной тревоги, как площадь под кривой P0 (z) правее порога Z*, определяется следующим образом:

где V = Z/?w - новая переменная интегрирования,

?* = Z*/?w - относительный порог.

При наличии полезного сигнала случайная величина Z, как модуль нормального распределенного корреляционного интеграла с выраженным средним значением сигнальной составляющей

распределена по, так называемому, закону Райса (обобщенному релеевскому закону)

среднее значение и дисперсия которого равны

При ? >> ?w обобщённый релеевский закон можно аппроксимировать нормальным законом

полагая

При этом вероятность правильного обнаружения, как площадь под кривой р1(z) правее порога Z*, определяется выражением:

где - отношение сигнал/шум по напряжению на выходе коррелятора.

На рис.4 показаны возможные реализации напряжения на выходе "линейного" детектора после коррелятора в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от tr до tr + T0, равном длительности сигнала. На рис.3 показаны распределения случайной величины Z, формируемой в момент времени t = tr + T0, как в отсутствие сигнала p0(z), так и при его наличии p1(z) а также дана геометрическая интерпретация вероятностей F и D.

в) Сигнал с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой

При этом, как и в предыдущем случае, решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения с порогом Z* квадрата модуля (или модуля) корреляционного интеграла

где - опорный сигнал с произвольной начальной фазой.

В отсутствие полезного сигнала случайная величина Z, как квадрат модуля нормально распределенного корреляционного интеграла, распределена по экспоненциальному закону:

, .

Рис.4. Возможные реализации напряжения.

Рис.5. Законы распределения случайной величины Z для сигнала с неизвестной начальной фазой и неслучайной амплитудой.

причем ее среднее (или дисперсия корреляционного интеграла) равно:

.

При наличии полезного сигнала выходная случайная величина Z, как квадрат модуля нормально распределенного корреляционного интеграла с нулевыми средними значениями квадратурных составляющих (благодаря принятой модели сигнала)

сохраняет экспоненциальное распределение

причем ее среднее значение равно:

На Рис.6 показаны возможные реализации напряжения на выходе детектора (после коррелятора) в отсутствие и при наличии полезного сигнала на интервале времени от tr до tr +T0, равном длительности сигнала. На рис.7 показаны распределения случайной величины Z, формируемой в момент времени t = tr + T0, как в отсутствии сигнала p0(z), так и при его наличии p1(z), а также дана геометрическая интерпретация вероятностей F и D.

Вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения, как площади под кривыми р0(z) и p1(z) правее порога Z* определяются следующим образом:

где ?* = Z*/Zш - относительный порог,

- отношение сигнал/шум по мощности.

Характеристики обнаружения, т.е. зависимости вероятностей правильного обнаружения D от отношения сигнал/шум q при фиксированной вероятности ложной тревоги F, для трех рассмотренных случаев приведены на рис.8. По этим кривым можно определить пороговые сигналы - отношения сигнал/шум qпср, соответствующие заданным фиксированным вероятностям ложной тревоги и требуемым вероятностям правильного обнаружения:

qпор = q(F, D).

При фиксированной вероятности ложной тревоги F = 10-3 и требуемой вероятности правильного обнаружения D = 0,9 пороговые сигналы, соответствующие рассмотренным трем случаям равны:

qa = 4.4,

qб = 5.0,

qв = 11.7.

Таким образом, пороговый сигнал растет по мере увеличения априорной неопределенности относительно параметров принимаемого сигнала.

Рис.6. Возможные реализации напряжения на выходе детектора после коррелятора для сигнала с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой.

Рис.7. Законы распределения случайной величины Z для сигнала с неизвестной начальной фазой и случайной амплитудой.

Рис.8. Характеристики обнаружения сигналов с различной степенью известности их параметров.

ЛИТЕРАТУРА

Охрименко А.Е. Основы извлечения, обработки и передачи информации. (В 6 частях). Минск, МРТИ, 2004.

Медицинская техника, М., Медицина 1996-2000 г.

Сиверс А.П. Проектирование радиоприемных устройств, М., Радио и связь, 2006.

Чердынцев В.В. Радиотехнические системы. - Мн.: Высшая школа, 2005.

Радиотехника и электроника. Межведомств. темат. научн. сборник. Вып. 22, Минск, БГУИР, 2004.