Структурная надежность радиотехнических систем

Разработка современных информационных систем включает в качестве одного из обязательных этапов проектирования анализ их надежности. Проблема усложняется тем, что коммутационные сети, к анализу которых в конечном итоге сводится данная задача, являются сильно связными структурами (междугородние сети связи, системы управления и др.). Это затрудняет, а порой делает невозможным расчет их надежности строго аналитическими методами, как это имеет место, например, для параллельно-последовательных сетей. Единственным численным методом расчета надежности сильно связанных сетей остается метод полного перебора, который, однако, даже с привлечением быстродействующих ЭВМ, не позволяет анализировать сети, содержащие более 15-20 случайных компонент.

В тех случаях, когда в состав информационной системы включены не только физические объекты (каналы связи, транспортные средства, релейно-контактные элементы и т.п.), но и объекты, означающие такие понятия, как ”логическая связь", ”операция" и т.п. Одним из способов повышения надежности таких сетей является простое дублирование составляющих их элементов. Однако вследствие ограниченности ресурсов такой путь в большинстве случаев нерационален. К настоящему времени аналитический аппарат синтеза оптимальных структур коммуникационных сетей практически еще не разработан вследствие исключительной сложности в самой задаче. В инженерной практике при решении подобного рода задач часто прибегают к методу частичного перебора. Так, например, при выборе оптимальной структуры сети связи в качестве частных вариантов могут анализироваться некоторые типовые схемы соединения узловых пунктов. Применяется так называемый радиальный принцип соединения узлов, принцип связи ”каждого с каждым” или ”каждого с ближайшим", иерархический принцип соединения и т.д. Одним из основных критериев оценки этих вариантов является прежде всего надежность передачи сообщения в сети.

Среди методов вероятностного анализа коммуникационных сетей будем различать алгоритмические, являющиеся по существу программами для решения задач на ЭВМ, и методы аналого-вероятностного моделирования.

Одним из основных методов решения поставленных задач является метод статистического моделирования. Критерием оценки структурной надежности сетей связи по этому методу является вероятность наступления события - сеть связанна.

1. Классификация структур радиотехнических систем

K_п=1-K_г=ф_{в ?} (T_и+ ф_в). (2.2)

Опыт показывает, что коэффициенты готовности и простоя в значительно меньшей степени зависят от критического времени перерыва связи и, кроме того, допускают обобщения на сеть в целом. Поэтому при оценках структурной надежности в качестве исходных данных примем коэффициенты готовности (простоя) компонентов сети.

При последовательном соединении п компонентов сети, например каналов связи, результирующая цепочка будет исправна только в случае исправности всех ее составляющих. Предполагая независимость отказов последовательно соединенных компонентов, результирующий коэффициент готовности K_гр можно представить в виде

K_гр=K_гі, (2.3)

где K_гі - коэффициент. готовности i-ro компонента.

Для повышения надежности направлений связи и технических средств на узлах связи часто используется параллельное включение п каналов или процессоров, при котором результирующий элемент сети будет исправен, если исправен хотя бы один из входящих в него компонентов. Отказ такого составного элемента наступит лишь в случае отказа всех входящих в его состав компонентов, что случится с вероятностью

К_пэ=K_пі, (2.4)

где К_пэ-коэффициент простоя элемента; K_пі-коэффициент простоя i-го компонента. Если

K_пі= K_п, , то К_пэ=Кⁿ_п. (2.5)

Формулы (2.4) и (2.5) справедливы лишь в том случае, когда отказы всех рассматриваемых компонентов независимы. Это условие заведомо нарушается, если каналы связи одного направления проходят по одной линии связи или, тем более, находятся в одной системе передачи. Поэтому в дальнейшем будем считать, что все каналы связи каждого направления сети проходят по географически разнесенным линиям связи.

Выражение для результирующего коэффициента простоя элемента К_пэ, состоящего из п параллельно включенных идентичных. компонентов, можно получить и другим способом, пользуясь формулой Энгсета. Действительно, совокупность компонентов. можно рассматривать как п конечных источников, причем заявка на обслуживание - это требование ремонта (восстановления). Для определения коэффициента простоя элемента достаточно определить вероятность того, что все п источников будут находиться на обслуживании. Согласно формуле Энгсета эта вероятность

К_пэ=С_nⁿAⁿ ? C_nⁱAⁱ, (2.6)

где А=ф_в ? T_и. Легко установить эквивалентность выражений (2.6) и (2.5). Действительно,

С_nⁿAⁿ ? C_nⁱAⁱ= (ф_в ? T_и) ⁿ? (1-ф_в ? T_и) ⁿ= Кⁿ_п

Иногда производительности одного компонента недостаточно для нормальной работы элемента сети, и, чтобы обслужить поступающую нагрузку, необходима одновременная работа, но крайней мере, s компонентов. В этом случае элемент сети (например, направление связи) признается неисправным в случае отказа s+1 и более компонентов. Вероятность этого события можно сразу записать как вероятность того, что одновременно s+1 или более источников (компонентов) потребуют обслуживания (восстановления), исходя из формулы Энгсета

К_пэ (s) =C_nⁱAⁱ? C_nⁱAⁱ (2.7)

Если рассматриваемый элемент сети является узлом коммутации, состоящим из п параллельно включенных процессоров, причем минимально необходимую производительность узла могут обеспечить не менее чем s процессоров, то при отказе (s+l) - ro процессора узел коммутации может выключаться и ресурс оставшихся п-s-1 процессоров расходоваться не будет.д.ля нахождения коэффициента простоя такого элемента можно воспользоваться формулой Энгсета и мнемоническим правилом. Согласно этому правилу можно сразу записать коэффициент простоя интересующего нас элемента

К_пэ (s+1) = C_n^s+1A^s+1? C_nⁱAⁱ (2.8)

Здесь в числителе приводится число ситуаций, благоприятных для отказа элемента, а в знаменателе - общее число ситуаций, соответствующих отказу 0, 1,..., s+1 компонентов. Отказ более чем s+1 компонентов здесь не учитывается, так как по условию в этом случае узел коммутации отключается и ресурс оставшихся компонентов не расходуется. В дальнейшем мы уже не будем интересоваться внутренней структурой элементов сети, полагая, что их показатели надежности p=1 - К_пэ определены по одной из приведенных формул.

2.2 Приближенные методы анализа структурной надежности радиотехнических систем

H_rl=p₅ (1-q₁q₃) (1-q₂q₄) +q₅ [1- (1-q₁q₂) (1-q₃q₄)].

В более сложных структурах может потребоваться неоднократное применение теоремы разложения. Так, на рис.2.2 показано разложение относительно элемента 7 (верхняя строка), а затем по элементу 8 (нижняя строка). Получившиеся четыре подсети имеют последовательно-параллельные структуры и больше не требуют разложений. Легко видеть, что на каждом шаге число элементов в получающихся подсетях уменьшается на единицу а число подсетей, требующих дальнейшего рассмотрения удваивается. Поэтому описанный процесс в любом случае конечен, а число результирующих последовательно-параллельных структур составит 2^m, где т - число элементов, по которым пришлось провести разложение. Трудоемкость этого метода можно оценить величиной 2^m, что меньше трудоемкости полного перебора, но тем не менее все еще неприемлемо для расчета надежности реальных сетей коммутации.

Рисунок.2.2 Последовательное разложение сети

2.2.2 Метод сечений или совокупности путей

Рассмотрим еще один метод расчета структурной надежности сетей. Предположим, как и ранее, что необходимо определить вероятность связности сети между заданной парой узлов A,B. Критерием исправной работы сети в данном случае является наличие хотя бы одного пути передачи информации между рассматриваемыми узлами. Предположим, что имеется список возможных путей в виде перечня элементов (узлов и направлений связи), входящих в каждый путь. В общем случае пути будут зависимы, поскольку любой элемент может входить в несколько путей. Надежность R_s любого s-ro пути можно вычислить по формуле последовательного соединения R_s=p_1sp_2s…p_ts, где p_is-надежность i-го элемента s-ro пути.

Искомая надежность H_AB зависит от надежности каждого пути и вариантов их пересечений по общим элементам. Обозначим надежность, которая обеспечивается первыми r путями, через H_r. Добавление очередного (r+1) - го пути с надежностью R_r+1, очевидно, приведет к увеличению структурной надежности, которая теперь будет определяться объединением двух событий: исправен хотя бы один из первых r путей или исправен (r+1) - й путь. Вероятность наступления этого объединенного события с учетом возможной зависимости. отказов (r+1) - го и остальных путей

H_r+i=H_r+R_r+i-R_r+1H_{r/ (r+1),} (2.10)

где H_{r/ (r+1) -} вероятность исправности хотя бы одного из первых r путей при условии, что исправен (r+1) - й путь.

Из определения условной вероятности H_{r/ (r+1)} следует, что при ее расчете вероятность исправной работы всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, необходимо положить равной единице. Для удобства дальнейших расчетов представим последний член выражения (2.10) в следующем виде:

R_r+1H_{r/ (r+1)} = R_r+1¤ H_r (2.11)

где символ (¤) означает, что при перемножении показатели надежности всех элементов, входящих в первые r путей и общих с (r+l) - м путем, заменяются единицей. С учетом (2.11) можно переписать (2.10):

?H_r+1= R_r+1 ¤ Q_r (2.12)

где ?H_r+1=H_r+1-H_r-приращение структурной надежности при введении (r+1) - го пути; Q_r=1 - H_r вероятность того, что произойдет одновременный отказ первых r путей.

Учитывая, что приращение надежности ?H_r+1 численно равно уменьшению ненадежности ?Q_r+1 получаем следующее уравнение в конечных разностях:

?Q_r+1=R_r+1¤ Q_r (2.13)

Легко проверить, что решением уравнения (2.13) является функция

Q_r= (1-R₁) ¤ (1-R₂) ¤…¤ (1-R_r) (2.14)

В случае независимых путей операция символического умножения совпадает с обычным умножением и выражение (2.14) аналогично (2.4) дает коэффициент простоя системы, состоящей из параллельно включенных элементов. В общем случае необходимость учета общих элементов путей заставляет производить умножение согласно (2.14) в алгебраическом виде. При этом число членов в результирующей формуле с умножением на каждый очередной двучлен удваивается и окончательный результат будет иметь 2^r членов, что эквивалентно полному перебору совокупности всех r путей. Например, при r=10 число членов в окончательной формуле превысит 1000, что уже выходит за рамки ручного счета. С дальнейшим увеличением числа путей довольно быстро исчерпываются и возможности современных ЭВМ.

Однако свойства введенной выше операции символического умножения позволяют резко сократить трудоемкость расчетов. Рассмотрим эти свойства более подробно. Согласно операции символического умножения для показателя надежности p_i любого элемента справедливо следующее правило:

p_i¤p_i=p_i. (2.15)

Напомним, что второй сомножитель (2.15) имеет смысл вероятности исправной работы i-го элемента при условии его исправности, которая, очевидно, равна единице.

Для сокращения дальнейших выкладок введем следующее обозначение ненадежности i-го элемента:

=1-p_i (2.16)

С учетом (2.15) и (2.16) можно записать следующие простые правила преобразования выражений, содержащих р и р:

p_i¤ _i=0

¤ =

p_i¤p_i=p_i (2.17)

¤ =

p_ip_j¤ =p_ip_j-p_ip_s

-p_i=

Для примера использования этих правил при расчете надежности рассмотрим простейшую сеть связи, изображенную на. рис.2.3 Буквы, стоящие у ребер графа, обозначают показатели надежности соответствующих линий связи.

Узлы для простоты будем считать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать все пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных линий, т.е. следует учесть подмножество путей {м} = {ab, cdf, cgb, ahf}. Определим приращение надежности, обеспечиваемое каждым последующим путем, по формуле (2.12) с учетом (2.14):

?З_r+1=R_r+1¤ (¤₁¤…¤) (2.18),

Рисунок.2.3 - Пример сети расчета на ограниченном подмножестве путей

Рисунок 2.4 - Пример сети для расчета надежности по полной совокупности путей, где R_i=1-R₁ аналогично (2.16).

Применяя последовательно формулу (2.18) и правила символического умножения (2.17). к рассматриваемой сети, получаем

?З₁=;

?З₂=cdf¤ () =cdf*;

?З₃=cgb¤ (¤) =cgb**;

?З₄=ahf¤ (¤¤) =ahf**.

При расчете последнего приращения мы использовали правило 4, которое можно назвать правилом поглощения длинных цепей короткими; в данном случае его применение дает b¤cgb=b. Если разрешено использование других путей, например пути cdhb, то не представляет труда рассчитать обеспечиваемое им приращение надежности ?H₅=cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Результирующую надежность сети можно теперь вычислить как сумму приращений, обеспечиваемых каждым из рассмотренных путей:

H_R=?H_{i (}2.19)

Так, для рассмотренного примера в предположении, что надежность. всех элементов сети одинакова, т.е. a=b=c=d=f=h=g=p, получаем H₅=p²+p³ (1-p²) + +2p³ (1-p) (1-p²) +p⁴ (1-p) ³. При машинной реализации в основу расчета можно также положить формулу (2.13), с учетом того, что

Q_r=?Q_i (2.20)

Согласно (2.13) имеем следующее рекуррентное соотношение

Q_r+i=Q_r-R_r+1¤Q_r. (2.21)

При начальном условии Q₀=l на каждом последующем шаге из полученного ранее выражения для Q_r следует вычесть произведение надежности очередного (r+1) - го пути на это же выражение, в котором только показатели надежности всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, нужно положить равными единице.

В качестве примера рассчитаем надежность сети, изображенной на рис.2.4, относительно узлов А и В, между которыми имеется 11 возможных путей передачи информации. Все расчеты сведены в табл.2.1: перечень элементов, входящих в каждый путь, результат умножения надежности данного пути на значение Q_r, полученное при рассмотрении всех предыдущих путей, и результат упрощения содержимого третьего столбца по правилам (2.17). Окончательная формула для q_AB содержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз. В таблице полностью приведены все выкладки, необходимые для расчета структурной надежности рассматриваемой сети.

Таблица 2.1 Результаты расчета надежности сети, изображенной на рис.2.4

Для уменьшения объема вычислений не следует без необходимости раскрывать скобки; если промежуточный результат допускает упрощения (приведение подобных членов, вынесение за скобку общего множителя и т.д.), их следует выполнить.

Поясним несколько шагов расчета. Поскольку Q₀= 1 (при отсутствии путей сеть разорвана), то для Q₁ из (2.21) Q₁=1-ab=ab. Делаем следующий шаг (6.21) для Q₂=ab-fghab==ab*fgh и т.д.

Рассмотрим подробнее шаг, на котором учитывается вклад пути 9. Произведение показателей надежности составляющих его элементов, записанное во втором столбце табл.2.1, переносится в третий. Далее в квадратных скобках записана вероятность разрыва всех предыдущих восьми путей, накопленная в четвертом столбце (начиная с первой строки), с учетом правила (2.15), согласно которому показатели надежности всех элементов, вошедших в путь 9, заменяются единицами. Вклад четвертой, шестой и седьмой строк оказывается равным нулю по правилу 1. Далее выражение, стоящее в квадратных скобках, упрощается по правилам (2.17) следующим образом: b [fh-cfh-hfc-fhc] =b (fhc-hfc-fhc) =bc (h-fh) =bchf. Аналогично производится расчет относительно всех других путей.

Использование рассматриваемого метода позволяет получить общую формулу структурной надежности, содержащую в рассмотренном случае всего 15 членов вместо максимального числа 2¹¹=2048, получающегося при непосредственном перемножении вероятностей отказов этих путей. При машинной реализации метода удобно представить все элементы сети в позиционном коде строкой бит и использовать встроенные булевы функции для реализации логических элементов преобразований (2.17).

До сих пор мы рассматривали показатели структурной надежности сети относительно выделенной пары узлов. Совокупность таких показателей для всех или некоторого подмножества пар может достаточно полно характеризовать структурную надежность сети в целом. Иногда используется другой, интегральный, критерий структурной надежности. По этому критерию сеть считается исправной, если имеется связь между всеми ее узлами и задается требование на вероятность такого события.

Для расчета структурной надежности по этому критерию достаточно ввести обобщение понятия пути в виде дерева, соединяющего все заданные узлы сети. Тогда сеть будет связана, если существует, по крайней мере, одно связывающее дерево, и расчет сводится к перемножению вероятностей отказа всех рассматриваемых деревьев с учетом наличия общих элементов. Вероятность. Q_s отказа s-го дерева определяется аналогично вероятности отказа пути

Q_s=1-p_is,

где p_is - показатель надежности i-ro элемента, входящего в s-e дерево; n_s число элементов в s-м дереве.

Рассмотрим для примера простейшую сеть в виде треугольника, стороны. которого взвешены показателями надежности а, b, с соответствующих ветвей. Для связности такой сети достаточно существования, по крайней мере, одного из деревьев аb, bс, са. Используя рекуррентное соотношение (2.12), определяем вероятность связности этой сети H. _cb=ab+bca+cab. Если а=b=с=р, получаем следующее значение вероятности связности, которое легко проверить перебором: H. _cb=3р²-2р³.

Для расчета вероятности связности достаточно разветвленных сетей вместо перечня связывающих деревьев, как правило, удобнее пользоваться перечнем сечений {у} которые приводят к потере связности сети по рассматриваемому критерию. Легко показать, что для сечения справедливы все введенные выше правила символического умножения, только вместо показателей надежности элементов сети в качестве исходных данных следует использовать показатели ненадежности q=1-p. Действительно, если все пути или деревья можно считать включенными "параллельно" с учетом их взаимозависимости, то все сечения включены в этом смысле "последовательно". Обозначим вероятность того, что в некотором сечении s нет ни одного исправного элемента, через р_s. Тогда можно записать

р_s=q_1sq_2s…q_ms, (2.22)

где q_{is -} показатель ненадежности i-ro элемента, входящего в s-e сечение.

Вероятность Н_cb связности сети можно тогда представить аналогично (2.14) в символическом виде

Н_cb= (1-р₁) ¤ (1-р₂) ¤…¤ (1-р_r) (2.23)

где r - число рассматриваемых сечений. Другими словами, для того чтобы сеть была связна, необходимо, чтобы одновременно были исправны хотя бы по одному элементу в каждом сечении с учетом взаимной зависимости сечений по общим элементам. Формула (2.23) является в некотором смысле двойственной по отношению к формуле (2.14) и получается из последней заменой путей на сечения и вероятностей исправной работы на вероятности пребывания в состоянии отказа. Аналогично двойственным по отношению к формуле (2.21) является рекуррентное соотношение

H_r+1=H_r - р_r+1¤ H_r (2.24)

Рассчитаем для примера вероятность связности рассмотренной выше треугольной сети с набором сечений ab, bc, ca. Согласно (2.23) при начальном условии H₀=1 имеем H_cd=ab-bca-cab. При одинаковых показателях ненадежности элементов сети a=b=c=q получаем H_cb=1-q²-2q² (1 - q). Этот результат совпадает с ранее полученным по методу перечисления деревьев.

Метод сечений можно, конечно, применять и для расчета вероятности связности сети относительно выделенной пары узлов, особенно в тех случаях, когда число сечений в рассматриваемой сети значительно меньше числа нулей. Однако наибольший эффект в смысле сокращения трудоемкости вычислений дает одновременное использование обоих методов, которое будет рассмотрено дальше.

2.2.3 Метод итераций (двухсторонней оценки)

При проектировании реальных сетей пакетной коммутации обычно отсутствует необходимость точного расчета надежности сети, так как исходные данные по надежности элементов задаются, как правило, с некоторой конечной точностью. Проектировщикам необходимо лишь убедиться в том, что надежность сети, с одной стороны, не ниже заданной и, с другой стороны, не имеет экономически необоснованного запаса. Другими словами, на практике достаточно гарантировать, что истинное значение надежности H₀ находится в некоторых пределах H_min<H₀<H_max.

Можно ожидать, что оценка надежности сети с заданной конечной точностью дозволит сократить трудоемкость расчетов в тем большей мере, чем ниже требуемая точность оценки. Действительно, при расчете надежности по совокупности путей добавление каждого следующего пути приводит к увеличению надежности, а при расчете по совокупности сечений добавление каждого следующего сечения приводит к уменьшению структурной надежности, что создает предпосылки для двусторонней оценки структурной надежности с гарантированной точностью по ограниченным наборам путей и сечений. Рассмотрим эту возможность более подробно.

Обозначим через Q_м ^(r) результат, полученный при перемножении вероятностей отказов 1-R_s первых r из общего числа n путей. Тогда с учетом следующего (r +1) - го пути получим согласно (2.21) уточненную оценку Q_м ^(r+1):

Q_м ^(r+1) = Q_м ^{(r) -} R_r+1* Q_м ^{(r) (}2.25)

Функция H_м ^(r) = l - Q_м ^(r) является монотонно неубывающей с возрастанием r и при r=n дает точное значение H₀=H_м ^(n). Промежуточные значения H_м ⁽ⁿ⁾ при r<n можно рассматривать, как оценки H₀ снизу. Аналогично, исходя из формулы (2.23), можно получить монотонно не возрастающую последовательность H_у ^(R+1), которую можно рассматривать, как последовательность оценок H₀ сверху. Характер зависимости H_м ^(r) и H_у ^(r) от r представлен на рис.2.5 Опыт показывает, что рассматриваемые зависимости при малых r меняются весьма круто, а с дальнейшим увеличением r очень медленно приближаются к общему пределу H₀. Это свойство можно использовать для сокращения трудоемкости оценок надежности с заданной точностью. Действительно, для решения задачи достаточно последовательно просматривать пути м, пока не выполнится условие H_м ^(m) ?H_min и затем просматривать сечения у, пока не выполнится условие H_у ^(r) ?H_min. Если для некоторого m окажется, что H_м ^(m) >H_max, то можно прекратить расчеты и принять решение, что в сети заложена излишняя избыточность, а если для некоторого r окажется, что H_у ^(r) <H_min, то это значит, что требования к надежности сети не выполняются. Число требующих просмотра путей m и сечений r обычно гораздо меньше общего числа путей n и общего числа сечений k (m<<n, k<<r) чем и достигается сокращение трудоемкости оценки. Одновременно гарантируется, что истинное значение надежности сети лежит в заданных пределах H_min?H₀?H_max

Рисунок 2.5 Характер изменения оценок структурной надежности по совокупности путей и сечений

Точность оценки может быть задана в виде допустимых отклонений от истинного значения H_-b^+a. В этом случае просмотр путей и сечений следует вести до тех пор, пока не выполнится условие. | H_м ^{(m) -} H_у ^(r) |?a+b. В частности, если a=b, то условие прекращения расчетов имеет вид |H_м ^{(m) -} H_у ^(r) |? ?2a, а в качестве оценки надежности следует принять величину H= (H_м ^{(m) -} H_у ^(r)) /2. В ходе расчетов решения о рассмотрении на следующем шаге очередного пути или сечения целесообразно принимать по критерию большего абсолютного приращения надежности по соответствующему параметру (m или r).

Пример. Пусть необходимо оценить надежность сети, представленной графом на рис.2.6, с точностью H±0,01. Узлы сети идеально надежны. Линии, обозначенные буквами имеют одинаковую надежность p_a=p_b=…p_k=p=0.9.

Выпишем первые несколько путей и сечений, которые могут потребоваться для расчета:

М' = {аЬс, def, abhf, dgbc... };

S' = {ad, be, cf, age... }.

Полные множества путей М и сечений S для рассматриваемого метода можно не выписывать. При необходимости, если на начальном подмножестве М', S' но удается достичь необходимой точности, эти подмножества можно будет расширить по ходу расчетов.

Поскольку первые два пути из М' независимы, можно сразу записать на чальную нижнюю оценку вероятности несвязности сети Q ⁽²⁾ _м=abc*def= (1-p³) ² ?0,073. Переходя к оценке надежности, H ⁽²⁾ _м=1 - Q ⁽²⁾ _м получаем H ⁽²⁾ _м=0,927. Начальную верхнюю оценку надежности можно получить по первым трем независимым сечениям множества S':

H_у ⁽³⁾ =ad*be*cf. (2.26)

При рассмотрении сечений запись вида xyz интерпретируется как наличие, по крайней мере, одного исправного элемента в сечении, поэтому при подстановке исходных данных в (2.26) получим H_у ⁽³⁾ = [l- (1-p) ²] ³?0,970. Разница между полученными верхней и нижней оценками составляет |H_у ^{(3) -} H ⁽²⁾ _м|=0.044>0.02, поэтому необходимо продолжить расчет.д.обавление следующего пути дает большее абсолютное приращение надежности, чем добавление следующего сечения. Поэтому вводим в рассмотрение очередной путь abhf из множества М' согласно формуле (2.25) Q ⁽³⁾ _м =abc*def-abhfcde= = (l-p³) ²-p⁴ (1-p) (1-p²). Отсюда получаем очередную оценку надежности снизу. H ⁽³⁾ _м=1 - Q ⁽³⁾ _м?0,939.

Убеждаемся, что заданная точность еще не достигнута и добавление очередного пути снова даст большее абсолютное приращение надежности, поэтому вводим следующий путь dgbc из множества М' для уточнения нижней границы надежности Q ⁽⁴⁾ _м =Q ⁽³⁾ _м - dgbcaef= Q ⁽³⁾ _{м -} p⁴ (1-p) (l-p²) ?0,049, что соответствует H ⁽⁴⁾ _м=1 - Q ⁽⁴⁾ _м?0,951.

Разница между верхней и нижней оценками надежности теперь составляет-| H_у ^{(3) -} H ⁽⁴⁾ _м |=0,019<0,02, что позволяет прекратить расчеты, так как заданная точность H±0,01 достигнута. В качестве оценки надежности рассматриваемой сети принимаем среднеарифметическое H= (H_у ^{(3) -} H ⁽⁴⁾ _м) /2=0,962 с гарантией, что 0,961<H₀< 0,963. При этом из полного множества, включающего девять сечений и восемь путей, нам удалось ограничиться рассмотрением всего трех сечений и четырех путей.

Рисунок 2.6 - Пример сети для двусторонней оценки надежности

Для разветвленных сетей связи использование предлагаемого метода позволяет значительно сократить трудоемкость расчетов по сравнению с методом полного перебора путей или сечений. При этом метод гарантирует любой заданный уровень точности оценки вероятности связности сети.

2.2.4 Метод статистической оценки структурной надежности

Широко распространенным методом оценки надежности сложных технических систем является метод статистических испытаний. Однако для получения статистически достоверных результатов, особенно при высокой исходной надежности элементов системы и ее большой структурной избыточности, требуются значительные затраты машинного времени.

Опыт показывает, что основные затраты времени при статистических испытаниях сложной системы сопряжены с проверкой ее работоспособности в каждой реализации. При высокой исходной надежности p_i элементов или большой структурной, избыточности, характерной для разветвленных сетей коммутации, проверка на работоспособность подавляющего большинства реализации дает положительный результат, что обусловливает их малую информативность. Поэтому возникает естественное желание найти некоторое преобразование сети, позволяющее искусственно уменьшить исходную надежность ее элементов, чтобы быстрее набрать необходимую статистику отказов и получить обратное преобразование, позволяющее пересчитывать получаемые результаты на реальные показатели надежности элементов сети. Покажем, что такая возможность действительно существует.