Для определения устойчивости существует несколько критериев:

1) Критерий устойчивости Гурвица

Пусть дано характеристическое уравнение системы вида при а0 > 0.

Гурвиц предложил алгебраический критерий, который основан на построении специальных определителей характеристического уравнения (2), называемых определителями Гурвица. Они составляются по следующим правилам:

по главной диагонали выписывают все коэффициенты от а1 до аn в порядке возрастания индекса;

дополняют столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз - с последовательно убывающими индексами;

на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0, ставят нули.

В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица n-го порядка имеет вид:

регулятор устойчивость передаточная функция

Определители Гурвица более низкого порядка являются диагональными минорами Dn. Например, при n = 3

; ;

Поскольку в последнем столбце определителя Dn стоят нули, за исключением, то Критерий Гурвица формулируется следующим образом:

для того чтобы АСУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительными, и при этом выполнялось условие a0>0.

2) Критерий устойчивости Рауса

Этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.

Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.

Таблица Рауса

В первой строке таблицы записывают коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четные индексы в порядке их возрастания. Во второй строке таблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. В последующие строки вписывают коэффициенты, определяемые как

Условия устойчивости Рауса: Чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, то есть были положительными. Если не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то есть САУ неустойчива, число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

В данной работе, поскольку количество коэффициентов мало, удобнее использовать критерий устойчивости Гурвица.

Найдем область устойчивости по критерию Гурвица. Для этого составим из коэффициентов матрицу и потребуем, чтобы ее главные миноры были положительны.

k₃ > 0

k₁k₃ - k₂ > 0

k₂ (k₁k₃ - k₂) > 0

т.к. k₁k₃ - k₂ > 0, то в последнем неравенстве достаточно потребовать, чтобы k₂ > 0. В итоге имеем систему:

k₃ > 0

k₂ > 0

k₁k₃ > k₂

Найдем область устойчивости сначала для двух коэффициентов k₂ и k₃:

Далее будем подбирать k₁ так, чтобы выполнялось неравенство k₁k₃ > k₂.

4. Подбор коэффициентов для определения наибольшей устойчивости системы

Увеличиваем остальные коэффициенты: k₁ = 9 k₂ = 1 k₃ = 11

На примере был исследован ПИД-регулятор. Построена область устойчивости с помощью критерия Гурвица.

Математическая модель реальной системы не выбирается однозначно, это связано с тем, что существуют факторы, влияние которых можно проверить лишь экспериментально. Но она должна как можно полнее отражать свойства оригинала, и оставаться по возможности простой чтобы не усложнять исследования.

Исходя из структурной схемы, я построил передаточную функцию и определила область устойчивости системы.

Подбирая различные коэффициенты из области устойчивости, я выяснил, что система работает наиболее устойчиво при как можно меньшем k₂ и как можно больших k₁ и k₃. ь

Путем построения графика переходного процесса в системе MatLab мною было выяснено, что система наиболее устойчива при k₁ = 30 k₂ = 0,1 k₃ = 30.

Список использованных источников

1. Курс лекций по ТАУ, Лозгачев Г.И.

2. Теория автоматического управления. Том 1. Линейные системы.

3. Ким Д.П., Москва "ФизМатЛит - 2003"

4. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1989. - 304 с.

5. ПИД-регулятор [статья]: - . - (URL: http://ru. cybernetics. wikia.com/wiki/%D0%9F%D0%98%D0%94-%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80) (дата обращения: 12.06.2012).

Размещено на Allbest.ru