Разработка систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является освоение методики анализа и синтеза систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик и уточненных расчетов на ЭВМ.

Проектирование системы автоматического регулирования (САР) выполняется по заданной принципиальной схеме и заданным параметрам элементов основного контура обратной связи. Цель расчета состоит в том, чтобы при заданной структуре построения системы выбрать параметры параллельного корректирующего устройства, обеспечивающие запас устойчивости системы и максимальное ослабление влияния возмущений на регулируемую величину. При этом САР должна обеспечивать требования к ее статической точности и качеству переходного процесса при ступенчатом входном воздействии.

Анализ устойчивости системы и выбор параметров корректирующего устройства выполняются по линеаризованной структурной схеме САР с помощью асимптотических логарифмических частотных характеристик. Затем делается проверка выбранных параметров и формулируются выводы о качестве спроектированной системы путем построения точных частотных характеристик и графиков переходных процессов на ЭВМ.

Итогами работы являются результаты расчёта устойчивости системы, коррекция динамических свойств системы, построенная логарифмическая частотная характеристика и передаточная функция, рассчитанные показатели качества процесса управления, запасоустойчивость по амплитуде и фазе, расчёт показателей качества системы в переходном режиме, расчёт точности системы.

1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ САР

Для составления структурной схемы системы необходимо знать математические модели всех звеньев системы и связи между ними. Эти данные нам известны из технического задания:

Wдос(p)=Kдос = 17;

Wум(p)=Kум = 28;

Wред(p)=1;

;

.

Для того чтобы линеаризовать характеристики нелинейных элементов пренебрежем наличием нелинейных элементов, то есть будем считать, что усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности, а зазор в кинематической связи «выход системы - датчик обратной связи» отсутствует, и коэффициент передачи равен единице.

Каждый функциональный блок с одним входом и выходом изобразим в виде абстрактного однонаправленного структурного блока с заданной передаточной функцией.

Измеритель рассогласования изобразим сумматором с вычитающим вертикальным входом.

Схему линейной модели САР изобразим на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок - Функциональная структура (схема) САР

Определим минимальное допустимое значение коэффициента передачи регулятора Kp. Так как в техническом задании задано ограничение на относительную (по отношению к амплитуде эквивалентного гармонического сигнала) величину допустимой динамической ошибки дм, то вначале определим минимальное значение требуемой величины коэффициента передачи разомкнутого (по отрицательному входу сумматора) контура:

Kmin = = = 72.

Теперь можно определить соответствующее значение коэффициента передачи регулятора Kp:

Кp== ==8.4.

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САР И ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

2.1 Исследование устойчивости САР с пропорциональным регулятором

Исследуем устойчивость САР с пропорциональным регулятором (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр), применяя критерий Гурвица и критерий Найквиста (в логарифмической форме):

Wк(раз)=КрКумКдос= =3998,4= .

Характеристический полином замкнутой САР равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции W(p) разомкнутого контура САР:

А(р)= +71,97=

.

Все коэффициенты полинома A(p) положительны, следовательно, согласно критерию Гурвица, для устойчивости САР необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства : a1(a2a3-a1a4)-a0(a3)2>0.

Проверим: 1(0,000257-0,000002)-0,000323=-0,00005.

Равенство не выполняется, следовательно, система неустойчива.

Для применения критерия Найквиста построим ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. Из графиков этих характеристик видно, что частота среза для ЛАХ ср = 1,4, критическая частота для ЛФХ кр = 1,3, то есть, ср> кр, а значит, система неустойчива.

2.2 Показатели качества переходного процесса заданной САР

Для замкнутой САР с помощью программы VisSim построим график переходной функции h(t) на рисунке. По рисунку видим, что график переходной функции не стремится к постоянному значению, а следовательно, система неустойчива.

Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:

p1 = -61.909;

p2 = -999.962;

p3 = 0.9352-24.063i;

p4 = 0.9352+24.063i.

Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что два корня характеристического полинома расположены в правой полуплоскости, а значит, система неустойчива.

В результате анализа системы мы выяснили, что полученная САР неустойчива, значит, простейший пропорциональный закон регулирования (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр) не может обеспечить устойчивость системы. Поэтому необходимо усложнить закон регулирования и расчета Wк(p). Для этого воспользуемся методом типовых асимптотических ЛАХ.

2.3 Построение желаемой ЛАХ

Построим асимптотическую желаемую ЛАХ разомкнутой САР, обеспечивающую выполнение заданных ТЗ требований и инженерных рекомендаций по сложности реализации. Для этого предварительно определим ограничения на показатель колебательности М и базовую частоту 0, соответствующие заданным в техническом задании прямым показателям качества % и tp. Таблица для такого перехода приведена ниже. Базовая частота для желаемой ЛАХ должна быть не меньше найденного значения.

Таблица 1 - Переход от прямых показателей качества % и tp к ограничению на показатель колебательности М

M	1.05	1.10	1.15	1.2	1.25	1.30	1.35	1.40	1.45	1.50
, %	9	14	18	22	25	28	31	33	38	42
0tp	1.21	2.88	3.44	3.60	3.54	3.38	3.32	3.32	3.36	3.42

При заданной величине 35%; tp 0.3с получаем М=1,42.

Полученной величине М=1,42 соответствует произведение tp=3,36, следовательно, =3,36/0,3=11,2.

При построении желаемой асимптотической ЛАХ выполним следующие вычисления:

(1)

Следовательно, = 2 = 11,22=125.

(2)

из формулы (2): =.

Теперь из формулы (1) получаем: .

Зная, что , найдем минимальное значение

.

Теперь можно найти остальные постоянные времени, используя нижеприведенные формулы:

; (3)

(4)

. (5)

По формуле (4) определим минимальное значение :

Зная , можно найти значение по формуле (3):

.

Так как в нашем случае первоначально желаемая ЛАХ имеет наклон 20 дб/дек., а конечный наклон она должна иметь -80дб/дек, как и начальная ЛАХ, то при построении симметричной ЛАХ с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…) необходимо найти еще три точки перелома. Сумму их значений можно определить по формуле (5):

Учитывая, что малые постоянные времени, для которых частоты сопряжения больше частоты среза ср, желательно назначать так, чтобы возможно большее их количество совпадало с постоянными времени заданной части САР, то выберем Т3=0,02, Т5=0,001.

Найдем Т4=0,03-0,021=0,009.

В результате вычислений получили

Т1=0,84; lg = 0.1

Т2=0,16; lg = 0.8

=0.05 lg = 1.3

Т3=0,02; lg = 1.7

Т4=0,009; lg = 2

Т5=0,001; lg = 3

Построим желаемую ЛАХ и сформулируем желаемую передаточную функцию разомкнутого контура:

2.4 Построение ЛАХ корректирующего звена

Получим передаточную функцию корректирующего звена Wк(p) и соответствующие ей асимптотические ЛАХ корректирующего звена. Передаточная функция Wк(p) определяется как частное от деления желаемой передаточной функции скорректированной системы на передаточную функцию не скорректированной САР:

Асимптотическую ЛАХ корректирующего устройства получим графическим способом, вычитая ЛАХ нескорректированной системы из желаемой ЛАХ (см. рисунок 3).

3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ САР

3.1 Показатели качества переходного процесса скорректированной САР

Для скорректированной САР определим прямые, частотные и корневые показатели качества переходного процесса (ПП) и сравним их с ранее полученными для случая, когда Wк(p)=1. Для этого получим приведем передаточную функцию разомкнутой САР, замкнутой САР и характеристический полином:

Передаточная функция для разомкнутой САР:

Передаточная функция для замкнутой САР:

W(p) =

Характеристический полином

A(p) =

3.1.1 Прямые показатели качества ПП

Для определения прямых показателей качества ПП построим график переходной функции САР в программе VisSim. По графику переходной функции можно судить о том, что система устойчива.

Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,3, а также установившийся уровень h()=1.

Следовательно, перерегулирование

% =

Так как в результате проведенного анализа мы получили перерегулирование намного меньше, чем задано в задании (30%<35%), то можно увеличить его значение, то есть увеличить склонность системы к переходным процессам в пользу точности проектируемой САР. Для этого изменим величину Т4 до значения 0,011с.

Тогда передаточная функция разомкнутой САР примет вид:

Передаточная функция для замкнутой САР:

W(p) =

Характеристический полином

A(p) =

Построим график переходной функции модифицированной САР (рисунок 7) в программе VisSim. Листинг программы приведен в приложении Г.

Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,35,

а также установившийся уровень h()=1.

Перерегулирование

% =

Значит, теперь перерегулирование полностью удовлетворяет условию.

Определим по графику время регулирования, т.е. время, за которое h(t) целиком заходит в 5%-ную зону относительно установившегося уровня h():

tр = 0,25с,

а также время нарастания процесса до уровня h():

tн = 0,09с

3.1.2 Корневые показатели качества ПП

Корневые показатели - это параметры области расположения характеристических корней pк. Основными из них будут: а) =min|Re pк| и б) = max|Im pк/Re pк|. Для нахождения корневых характеристик определим корни характеристического полинома в программе MathCad:

A(p) = =

+

Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:

p1 = -8,59

p2 = -124,501

p3 = -999,866

p4 = -14,7+21,12j

p5 =-14,7-21,12j

Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что все корни характеристического полинома расположены в левой полуплоскости, а значит, система устойчива.

Определим коэффициент быстродействия, или степень устойчивости системы: =min|Re pк| =-8.59. По этой величине можно приближенно судить о времени затухания переходного процесса в САР

где k - время затухания.

Определим также коэффициент колебательности: = max|Im pк/Re pк|=1.4. Знание этой величины дает представление о колебательных свойствах САР в переходном процессе N = max nk= /2=0.7.

3.1.3 Частотные показатели качества ПП

К частотным показателям качества ПП относятся:

а) запасы устойчивости по модулю ( Lз) и по фазе (з)

Определим эти показатели по ЛАХ разомкнутой САР. Запас устойчивости по модулю Lз определяется как расстояние ЛАХ до оси 0 дБ на критической частоте. Запас устойчивости по фазе з определяется как расстояние ЛФХ до критического уровня -180° на частоте среза.

Получаем:

Lз = 12 дБ;

з = 45 град.

По данным значениям можно судить о достаточном запасе устойчивости полученной САР.

б) параметры графика АЧХ замкнутой системы

Построим график АЧХ замкнутой системы в программе MathCad.

· показатель колебательности М

Определим следующие значения:

M(0) = 1

Mmax = 1.41

· На основе полученных данных определим показатель колебательности М:

M =

Полученная величина М=1,41 характеризует склонность системы к колебаниям. Она меньше заданной в задании М=1,42, следовательно, требования, предъявленные к системе выполняются.

· частота амплитудного резонанса р - значение частоты, при котором график АЧХ принимает максимальное значение:

р = 17,8 рад/с

· граница полосы пропускания пр - определяется по уровню 0.707 от начального значения АЧХ замкнутой системы:

пр = 37 рад/с

Полученные значения р и пр характеризуют быстродействие системы.

в) параметры графика ВЧХ замкнутой системы

Построим график ВЧХ замкнутой системы в программе MathCad. Листинг программы приведен в Приложении Ж.

По полученному графику определим:

· диапазон положительности ВЧХ - характеризует быстродействие системы:

п=23,2

Полученная величина достаточно высокая, следовательно, затухание переходного процесса будет происходить достаточно быстро.

· максимум Pmax = 1,18 и минимум Pmin =0,55- характеризуют склонность системы к колебаниям в переходном процессе. Полученные значения невысоки, значит, обеспечивается требуемое качество системы.

3.2 Реакция САР на линейный и квадратичный сигналы

Построим реакцию САР на линейный (y=26t) и квадратичный (y= 26t + 27t2) сигналы в программе VisSim.

Построим также графики вынужденных реакций, рассчитанных с помощью коэффициентов ошибок С0, С1 и С2. Коэффициенты ошибок С0, С1 и С2 рассчитаем с помощью разложения в ряд в программе MathCad. Получаем:

С0=0

С1= 0,0098039

С2= 0,006884

Найдем вынужденную составляющую ошибки:

· для линейного сигнала

F=26t: E1(t) = С0х(t)+ С1

E1(t) = 0+0,098039·26=0,2548

· для квадратичного сигнала F=26t+27t2:

E2(t) = С0х(t)+ С1 + С2

E2(t) = 0+0,098(26+54t)+0.065*54=0.62+0.53t

3.3 Построение области устойчивости

анализ логарифмический частотный параллельный

На плоскости параметров корректирующего звена «коэффициент передачи К - постоянная времени T2» построим область устойчивости с отметкой расчетной точки.

A(p)=+= + .

Для построения границ области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения в программе MathCad. Используем равенство нулю функции Михайлова A(j, К, Т2)=0 как параметрическое уравнение границы Д разбиения. Решая это уравнение относительно К, Т2 при различных значениях из некоторого диапазона, найдем точки основной границы. Значение =0 будет соответствовать особой границе. Все границы отметим штриховкой: двойная - для основной и одинарная, направленная в сторону (встречно) штриховке основной границы, - для особой границы. Так как график определителя на рисунке 13.1 отрицательный, то штриховка основной границы будет располагаться справа от графика.

Та область Д-разбиения, для которой все границы имеют штриховку, направленную вовнутрь области, является областью-претендентом. Так как номинальная точка (при Т2=102, К=0,16) принадлежит этой области, то это и будет искомая область устойчивости. Полученная область устойчивости отображена на рисунке 13.

Определим по графику диапазоны значений К и Т2, при которых САР остается устойчивой:

· для фиксированного значения К=102 диапазон значений Т2 может меняться от 0.023 до 0.92, САР при этом будет устойчива.

· для фиксированного значения Т2 =0.16 диапазон значений К может меняться от 0 до 493, САР при этом будет устойчива.

По графику найдем точку максимума области устойчивости: Кmax= 790 при Т2 = 0.057.

На основании полученных графиков можно сделать вывод, что система будет устойчива и работоспособна при отклонении заданных параметров в указанных выше диапазонах. При приближении значений параметров к границам диапазонов система будет находиться на колебательной границе устойчивости.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ НА ВОЗМОЖНОСТЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОДНОЧАСТОТНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

С помощью метода гармонической линеаризации исследуем влияние нелинейностей на возможность возникновения одночастотных автоколебаний и их устойчивость в замкнутой автономной САР.

Предположим, что в автономной САР существуют периодические колебания, при которых вход нелинейного безынерционного звена изменяется во времени по закону, близкому к гармоническому с неизвестной амплитудой А= Ап и частотой =п. Нелинейное звено заменим на гармонически линеаризованное звено с комплексным коэффициентом передачи J(A). Искомые параметры автоколебательного режима найдем графоаналитическим способом по методу Гольдфарба. В плоскости ЛФХ построим фазовую границу устойчивости (ФГУ).

Для нелинейности «люфт» ФГУ состоит из множества точек, для которых при одинаковых частотах выполняются условия равенства модулей и фаз для W(j) и для (-J-1(A)). При построении ФГУ будем использовать таблицу 2.

Таблица 2 - Расчетная таблица для всех характеристик нелинейности типа «люфт»

	Jн(a)	Mн(a)	Lmн(a),	? н(a),
a	q(a)	q'(a)	m(a)	m'(a)	дБ	град.
1,001	0,00005	-0,00127	-33,13	-785,57	57,91	-92
1,002	0,00015	-0,00254	-23,44	-392,87	51,90	-93
1,003	0,00028	-0,00380	-19,14	-261,97	48,39	-94
1,004	0,00043	-0,00505	-16,59	-196,52	45,90	-95
1,005	0,00059	-0,00630	-14,84	-157,25	43,97	-95
1,008	0,00109	-0,00941	-12,13	-104,89	40,47	-97
1,010	0,00167	-0,01248	-10,52	-78,71	38,00	-98
1,020	0,00463	-0,02448	-7,47	-39,44	32,07	-101
1,030	0,00836	-0,03600	-6,12	-26,35	28,64	-103
1,040	0,01266	-0,04709	-5,32	-19,81	26,24	-105
1,050	0,01739	-0,05774	-4,78	-15,88	24,39	-107
1,060	0,02247	-0,06799	-4,38	-13,26	22,90	-108
1,075	0,03062	-0,08263	-3,94	-10,64	21,10	-110
1,100	0,04524	-0,10523	-3,45	-8,02	18,82	-113
1,150	0,07677	-0,14441	-2,87	-5,40	15,73	-118
1,200	0,10955	-0,17684	-2,53	-4,09	13,64	-122
1,250	0,14238	-0,20372	-2,30	-3,30	12,09	-125
1,300	0,17458	-0,22602	-2,14	-2,77	10,89	-128
1,400	0,23576	-0,25984	-1,92	-2,11	9,10	-132
1,500	0,29179	-0,28294	-1,77	-1,71	7,82	-136
1,600	0,34252	-0,29842	-1,66	-1,45	6,85	-139
1,800	0,42941	-0,31438	-1,52	-1,11	5,48	-144
2,000	0,50000	-0,31831	-1,42	-0,91	4,54	-148
2,500	0,62647	-0,30558	-1,29	-0,63	3,14	-154
3,000	0,70821	-0,28294	-1,22	-0,49	2,35	-158
4,000	0,80450	-0,23873	-1,14	-0,34	1,52	-163
5,000	0,85762	-0,20372	-1,10	-0,26	1,10	-167
10,000	0,94796	-0,11459	-1,04	-0,13	0,40	-173
20,000	0,98131	-0,06048	-1,02	-0,06	0,15	-176
40,000	0,99334	-0,03104	-1,01	-0,03	0,05	-178

Произвольно выбирая значение относительной амплитуды гармонического сигнала на входе нелинейного звена, будем отмечать на графике соответствующие ей значения логарифмической амплитудной характеристики и фазовой характеристики ОЭКПП (обратного эквивалентного комплексного коэффициента передачи) нелинейного звена. В результате получим множество точек, формирующих искомую ФГУ. Для нелинейности типа «люфт» ФГУ отмечается штриховкой снизу.

По графику мы видим, что ФГУ и ЛФХ пересекаются. Точка пересечения с ФГУ имеет относительную амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А = a·=1.5·0.02=0.03 дБ и частоту =7.82 с-1. В точке пересечения с ЛФХ ФГУ переходит из заштрихованной в не заштрихованную область, следовательно, соответствующие автоколебания устойчивы.

Для нелинейности «ограничение» ФГУ имеет вид отрезка прямой, совпадающей с критическим уровнем - в диапазоне частот до частоты среза, т.е. в диапазоне положительности ЛАХ линейной части. Пересечений ЛФХ с ФГУ нет, следовательно, одночастотные периодические колебания в контуре САР отсутствуют.

Для САР с люфтом результат проведенного исследования проверим моделированием в среде VisSim. Воспользуемся упрощенной моделью в виде структуры с единичной отрицательной обратной связью. В прямой цепи этой структуры последовательно включены: 1) безынерционное нелинейное звено типа «зона нечувствительности» (величина зоны равна 2) и 2) интегратор с достаточно большим ( равным 1000) значением коэффициента передачи. Из графика мы можем определить амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А=0.04 дБ, следовательно, погрешность вычислений, приведенных выше, составляет 1%.

В результате моделирования можно сделать вывод, что при нулевых внешних воздействиях в системе существуют периодические колебания. При учете нелинейности типа «люфт» с интегратором с достаточно большим значением коэффициента передачи эти автоколебания устойчивы относительно нуля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполненной работы было осуществлено исследование исходной системы, выбор параметров корректирующего устройства, проверка выбранных параметров и корректировка системы в соответствии с заданными требованиями.

Работа содержит достаточно информативные графики и рисунки, которые совместно с текстовым пояснением и формулами помогают легко разобраться в сути данного исследования.

В ходе корректировки удалось достичь заметного улучшения САР. Скорректированная и оптимизированная САР была исследована на качество и устойчивость и показала неплохие результаты, то есть цель коррекции и оптимизации была выполнена.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Зырянов, Г.В. Динамический синтез САУ: Учебное пособие по выполнению курсовой работы/ Г.В.Зырянов, А.А Кощеев. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001.

2 Бесекерский, В.А.Теория автоматического управления/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - Спб.: Профессия, 2003.

Размещено на Allbest.ru