OFDM модуляція передбачає використання ряду ортогональних піднесучих, модуляція яких здійснюється комплексними інформаційними символами. Введемо інтервал часу, на якому поднесущие будуть ортогональними. Ортогональность забезпечується умовами:

,

Комплексний інформаційний модулюючий символ має вигляд:

,

- Амплітуда символу, - фаза символу, n = 0, 1, 2, 3,., (N-1).

Безперервний сигнал на інтервалі часу, що складається з N піднесучих, модульованих символами:

Де

- частота n - ної піднесучої.

Таким чином, для забезпечення ортогональності модульованих піднесучих, достатньо виконання умови:

.

Перейдемо від безперервного сигналу до дискретного:

t=kT, k=0, 1, 2, 3, …, (N-1).

Період дискретизації виберемо з умови:

T_u/T = N.

В результаті отримаємо форму сигналу:

,

де - значення сигналу в момент часу kT.

Таким чином ми перейшли від безперервної форми опису OFDM - сигналу до дискретного. Отриманий вираз являє собою дійсну частину зворотного дискретного перетворення Фур'є. У збудниках ОДПФ здійснюється в комплексній формі, тому наш сигнал набуває вигляду:

.

Розкриємо цей вираз, попередньо опустивши коефіцієнт 1/N. В результаті отримаємо систему з N рівнянь, кожне з яких з точністю до постійного коефіцієнта визначає значення сигналу в момент часу (kT):

Дана система рівнянь відображає процес модуляції піднесучої інформаційними символами. При цьому:

· Кожен символ модулює тільки одну поднесущую;

· У формуванні кожного відліку беруть участь всі символи;

· Процеси формування піднесучих і їх модуляції в рамках ОДПФ суміщені.

Для того щоб цей вид модуляції був застосуємо на практиці, а саме можна було як передавати так і приймати сигнал сформований таким чином, покажемо що його можна демодулювати. При цьому будемо вважати, що в приймальному пристрої на основі прийнятого сигналу сформовані відліки. Застосуємо до них пряме дискретне перетворення Фур'є:

.

Розкриємо отриманий вираз. В результаті отримаємо систему з N рівнянь, кожне з яких визначає значення комплексного інформаційного символу:

Аналіз цієї системи рівнянь показує, що виділення кожного символу реалізується шляхом інтегрування на інтервалі часу Tu твори комплексного значення OFDM-сигналу на певну комплексну експоненту і стає можливим завдяки ортогональності системи.

Таким чином ми показали можливість демодуляції OFDM - сигналу, смодулірованнго за допомогою ОДПФ. Тепер перетворимо формулу модуляції, виділивши дійсну і уявну частини:

За цією формулою і будемо здійснювати модуляцію з використанням емпіричних функцій синуса і косинуса.

У формулі по якій ми здійснюємо даний метод модуляції присутні тригонометричні функції sin () і cos (). Комп'ютер обчислює їх шляхом розкладання в ряд і внаслідок це займає багато часу. Розглянемо інші методи обчислення тригонометричних функцій на прикладі синуса. Якщо обчислювати синус звичайним оператором sin (), то це дає точний результат. Таким методом зручно користуватися, якщо значення синуса потрібно обчислити один або кілька разів. Якщо ж синус доводиться рахувати багато разів, то буде зручно скористатися іншим методом, який буде витрачати менше часу. Суть методу полягає в тому, що спочатку вираховуються значення синуса аргументів, які беруться з невеликим інтервалом. Ці значення запам'ятовуються. А потім, коли нам потрібно обчислити синус, то ми із заповнених значень відшукуємо те значення, яке відповідає аргументу, найбільш наближеному до того, який потрібно порахувати. При цьому може утворитися похибку. Вона буде тим менше, чим менше ми будемо вибирати крок, з яким вважалися значення синуса для запам'ятовування. Ще один метод обчислення синуса - за допомогою розкладання в ряд Маклорена.

Уявімо функцію синуса у вигляді перших двох членів розкладання ряду Маклорена:

Для того, щоб знайти коефіцієнти і спочатку візьмемо похідну цієї функції і знайдемо точки екстремумів, потім прирівняємо значення функції в точках, відповідних максимуму, - одиниці, як максимальному значенню синуса:

Для того щоб знайти коефіцієнти і потрібно ще одне рівняння. Підставами у вихідне розкладання синуса і прирівняємо до к :.

Виходить система рівнянь:

Вирішуючи цю систему, отримаємо:

Таким чином, синус в діапазоні від 0 до можна вважати за формулою:

sin (x) =x (0.99904-0.16037x)

Аналогічно можна зробити і для косинуса:

cos (x) =0.99809-0.4749x

Канал з адитивним білим гаусовим шумом. Адитивний білий гаусів шум (АБГШ, англ. Additive white Gaussian noise, AWGN) - вид білого шуму, що заважає в каналі передачі інформації.

Характеризується рівномірною спектральню щільністю, нормально розподілленням значенням амплітуди і адитивним способом впливу на сигнал. Найбільш поширений вид шуму, який використовується для розрахунку і моделювання систем радіозв'язку. Термін "адитивний" означає, що даний вид шуму підсумовується з корисним сигналом. На противагу адитивному, можна вказати мультиплікативний шум - шум, який перемножується з сигналом.

Широкосмуговий шум випромінюється від багатьох природних джерел, таких як теплові коливання атомів в провідниках (теплові шуми або шуми Найквіста), дробовий шум, випромінювання абсолютно чорного тіла від землі та інших теплих об'єктів, і з небесних джерел, таких як Сонце. Центральна гранична теорема з теорії ймовірностей означає, що підсумовування багатьох випадкових процесів буде мати тенденцію до гауссівского або звичайного розподілу.

AWGN часто використовується як модель каналу, в якому погіршення у зв'язку являє собою лінійне додавання білого шуму з постійною спектральною щільністю (вираженої як ват в герцах від пропускної здатності) із гаусовим розподілом амплітуди.

Модель не враховує завмирання, частотну селективність, інтерференцію, нелінійність або дисперсію.

Тим не менш, він виробляє прості і податливі математичні моделі, які корисні для отримання розуміння основної поведінки системи, перш ніж ці інші явища розглядаються.

Канал АБГШ є гарною моделлю для багатьох супутникових ліній зв'язку та ліній зв'язку для далекого космосу. Це не дуже хороша модель для більшості наземних ліній зв'язку через багатопроменевість, блокування місцевості, інтерференції і т.д. Проте, при моделюванні таких ліній, AWGN зазвичай використовується для імітації фонового шуму каналу в стадії вивчення, на додаток до явищ багатопроменевості, блокування місцевості, інтерференції, шумів землі і само втручання, з якими сучасні радіо системи можуть зіткнутися.

Пропускна здатність каналу. Канал АБГШ представлений серією виходів на індекс подій дискретного часу i. є сумою вхідного сигналу і шуму, , де є незалежні і однаково розподілені взяті з нульового середнього нормального розподілу з дисперсією (шум). Далі планується не корелювати з :

Пропускна здатність каналу нескінченна, якщо шум n не дорівнює нулю, і в достатній мірі обмежені. Найбільш поширеним обмеженням на вході є таке обмеження, при якому для кодового слова , переданого через канал, маємо:

де

являє собою максимальну потужність каналу. Таким чином, пропускна здатність каналу для каналу з обмеженою потужністю визначається за формулою:

де

це функція розподілу . Запишемо , в термінах диференціальної ентропії. Диференціальна ентропія - частина ентропії джерела безперервних повідомлень, яка залежить від щільності ймовірності сигналу, що видається джерелом:

Але і незалежні, тому:

Оцінюючи диференціальну ентропію як гауссову маємо:

Тому і незалежні і їх сума дає :

За цією оцінкою, з властивості диференціальної ентропії випливає, що

Тому пропускна здатність каналу задається максимально можливою границею взаємної інформації:

Де максимізує, коли:

Таким чином, пропускна здатність каналу для каналу з AWGN визначається за формулою:

Існує ряд моделей каналів, стандартизованих і рекомендованих до застосування при моделюванні систем рухомого зв'язку. Широке поширення отримали моделі, рекомендовані Міжнародним Союзом Електрозв'язку (ITU), такі як Channel model A, B, C та D.

Данні моделі розробленні для перевірки та визначення параметрів обладнання, але на відміну від таких же моделей 3GPP, націлені на мережевих проектувальників для побудови системи та перевірки працездатності. Оскільки не має сенсу для побудови моделей всіх можливих варіантів середовищ розповсюдження, МСЕ запропонувало набір тестових середовищ, що адекватно обхоплює загальний діапазон можливої експлуатації середовища та мобільність користувача.

У Табл.3 та Табл.4 наведені основні параметри для моделі каналу рухомого зв'язку Channel A та B.

Моделі мають 6 променів із заданими затримками і потужностями. Завмирання в каналі мають релеєвский розподіл, а доплерівська частота залежить від швидкості руху абонента.

Таблиця 3. Параметри моделі каналу Channel A

Таблиця 4. Параметри моделі каналу Channel B

Моделі каналу Channel A та B використовуються для моделювання закритих (офіси, робочі приміщення, тощо) та відкритих (великі площі з можливим пересуванням значних мас людей) середовищ передачі, моделі C і D призначенні для розгляду каналу в середовищі швидкого переміщення абонентського терміналу (авто-, мототехніка, авіація, громадський транспорт).

Завадостійкість - здатність обладнання функціонувати за призначенням без погіршення його роботи за наявності електромагнітних завад. Серед параметрів, що характеризують завадостійкість радіотрактів багаточастотних широкосмугових сигналів слід виділити відношення сигнал/шум та ймовірність помилки прийому сигналу.

Співвідношення сигнал/шум (ССШ або ВСШ, англ. SNR або S/N, Signal-to-noise ratio, рос. Отношение сигнал/шум) - міра, що застосовується в науці та інженерії для визначення наскільки сильно сигнал спотворений шумом. Визначається як відношення потужності корисного сигналу до потужності шуму. Співвідношення вище ніж 1: 1 вказує, що сигнал більший за шум. Хоча SNR переважно стосується електричних сигналів, він може бути застосований до будь-яких видів сигналу (наприклад, для біохімічного сигналізування між клітинами).

Іншими словами, співвідношення сигнал/шум порівнює рівень бажаного сигналу (для прикладу, музики) та рівень фонового шуму. Чим більше SNR тим менш помітний фоновий шум.

Співвідношення сигнал/шум визначається як відношення потужності сигналу (значимої інформації) до потужності фонового шуму (небажаного сигналу) , де P середня потужність. Сигнал і шум обидва повинні бути виміряні в тій же або еквівалентній точці в системі, в межах однієї і тої ж смуги пропускання системи.

Для кількісної оцінки впливу перешкод та інших факторів, що викликають відміну прийнятої послідовності від переданої, вводиться критерій оцінки якості прийнятої інформації. При передачі дискретних повідомлень за такий критерій приймають ймовірність помилки прийому одного елемента двійковій послідовності.

Середня ймовірність помилки визначається за формулою:

.

Імовірність помилки залежить: від виду модуляції, способу детектування (когерентний, некогерентний), способу фільтрації сигналів в приймачі (оптимальний фільтр, неоптимальний фільтр), потужності P_c (енергії E_c) сигналу, потужності P_п (спектральної щільності N₀) перешкоди. Якщо в приймачі використовується неоптимальний фільтр, ймовірність помилки залежить від величини відношення потужності сигналу до потужності перешкоди (відношення сигнал/шум по потужності) h² = P_с/P_п.

При використанні в приймачі оптимального фільтра ймовірність помилки визначається величиною відносини енергії елемента сигналу до спектральної щільності потужності перешкоди:

.

У приймачі з оптимальним фільтром відношення сигнал / шум більше, ніж в приймачі з неоптимальним фільтром і, відповідно, завадостійкість вище.

Приймач з оптимальним фільтром і когерентним способом прийому забезпечує потенційну перешкодостійкість для заданого виду модуляції.

Під аналізом в режимі реального часу мається на увазі, що аналіз даних здійснюється відразу ж після їх збору. Якщо програма повинна виконувати якісь дії в залежності від зміни параметрів сигналу, отже, необхідно проводити аналіз даних відразу після отримання. Аналізуючи зміни сигналу, можна змінювати поведінку програми у відповідності з ними, наприклад, зберігати певні дані на диск або міняти частоту оцифровки, а також виконувати функції автоматичного керування. Це лише кілька прикладів, на ділі ж існують тисячі додатків, в яких потрібна та чи інша ступінь "інтелектуальності" і здатності приймати рішення в залежності від різних умов - адаптованості. Все це можна реалізувати тільки шляхом вбудовування алгоритмів аналізу в програму.

Зазвичай рішення, засновані на результатах вимірів, приймаються в автоматичному режимі, тобто в програму вбудовується логіка роботи в певних умовах. Наприклад, система автоматизації на виробництві може включити світлову індикацію, коли температура піднімається вище заданого порогу. Однак автоматичний режим прийняття рішення підходить не для всіх додатків. Дуже часто необхідно особисто контролювати процес виконання програми, щоб уникнути ситуацій, коли користувачі зберігають дані у файли або базу даних, а потім витягують і аналізують їх лише для того, щоб виявити помилки і скоригувати процес збору. У таких випадках застосування повинне надати користувачеві зібрані і оброблені дані в максимально зручному для сприйняття вигляді.

Незалежно від методу аналізу, програми надають користувачеві набори математичних функцій і функцій аналізу, які природним чином взаємодіють з функціями збору даних і відображення інформації. При цьому користувач позбавлений від необхідності конвертації даних з одних форматів в інші, що вимагається при роботі з декількома різними інструментами збору та аналізу даних. Крім цього, є можливість проведення аналізу по точкам - методу, найбільш відповідного для додатків, що працюють в режимі реального часу.

Більшість середовищ розробки не дозволяють вести одночасно і збір даних та їх відображення в одному додатку. Типовий продукт - це або мова програмування загального призначення з мінімумом бібліотек для обробки сигналів, придатний в основному для розробки додатків по збору даних, або середу з величезною кількістю інструментів для аналізу сигналів, але обмеженою підтримкою роботи з обладнанням. У результаті доводиться витрачати час на конвертацію та передачу даних з однієї програми в іншу.

Функції які повинна виконувати програма:

спектральні вимірювання

виміри спотворень

тональні вимірювання

вимірювання амплітуди та рівня

вимірювання перехідних процесів

апроксимація кривих

статистика

згортка та кореляційні функції

імітація та моделювання сигналів

маскування і обмеження

згладжування і пере дискретизація

MATLAB, Simulink і продукти для обробки сигналів дозволяють аналізувати сигнали, що надходять з інструментів та інших джерел даних. У цих продуктах реалізовано повноцінне середовище для отримання сигналу, аналізу, обробки, візуалізації і розробки алгоритму. Пропоновані підходи до вирішення завдань легко освоїти: розробник не зобов'язаний бути фахівцем в області цифрової обробки сигналів.

Продукти MathWorks дозволяють отримувати та обробляти сигнали в єдиному середовищі. Сигнали в реальному часі надходять в робоче середовище безпосередньо з підключених осцилографів, генераторів функцій і інших сумісних з персональним комп'ютером апаратних засобів і інструментів для тестування і вимірювань.

За допомогою вбудованих засобів можна проводити аналіз характеристик отриманих сигналів і використовувати різні варіанти візуалізації: графіки у часовій і частотній області, двовимірні та тривимірні графіки, об'ємні уявлення та ін.

Вбудовані бібліотеки дозволяють досліджувати ідеї і тестувати їх реалізацію в системі обробки сигналів. Для цього в них реалізована вся необхідна функціональність: перетворення сигналу, віконні функції, швидкісні і статистичні операції обробки сигналу, методи розробки фільтрів. Завдяки цим бібліотекам стає можливим прискорення ітерацій розробки, оптимізація швидкодії та точності, вибір кращого алгоритму для системи.

Для вирішення складних завдань, які зачіпають різні сфери інженерної діяльності, розробник може застосувати алгоритми обробки зображень, статистики, управління та бібліотеки сучасних чисельних обчислень.