Математична модель системи тиристорний перетворювач – двигун постійного струму

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Цей курсовий проект призначений для поглибленого вивчення студентами теорії планування експерименту, ознайомлення з основними методами проведення експерименту та аналізу отриманих даних, вивчення програм візуалізації отриманих результатів.

У курсовому проекту розглядають питання:

- планування ПФЕ;

- ротатабельне центральне композиційне планування;

- дослідження математичної моделі ТП-ДПС;

- регресійний аналіз.

При виконанні курсового проекту досліджуємо математичну модель системи ТП-ДПС.

1. АНАЛІЗ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

Найважливішою складовою частиною наукових досліджень є експеримент, основою якого є науково поставлений дослід з точно враховуються і керованими умовами. Основною метою експерименту є виявлення властивостей досліджуваних об'єктів, перевірка справедливості гіпотез і на цій основі широке і глибоке вивчення теми наукового дослідження.

Планування експерименту - вибір плану експерименту, що задовольняє заданим вимогам, сукупність дій спрямованих на розробку стратегії експериментування (від отримання апріорної інформації до отримання працездатною математичної моделі або визначення оптимальних умов). Це цілеспрямоване керування експериментом, що реалізовується в умовах неповного знання механізму досліджуваного явища.

У процесі вимірювань, наступної обробки даних, а також формалізації результатів у вигляді математичної моделі, виникають похибки і втрачається частина інформації, що міститься у вихідних даних. Застосування методів планування експерименту дозволяє визначити похибка математичної моделі і судити про її адекватності. Якщо точність моделі виявляється недостатньою, то застосування методів планування експерименту дозволяє модернізувати математичну модель з проведенням додаткових дослідів без втрати попередньої інформації і з мінімальними витратами.

Мета планування експерименту - знаходження таких умов і правил проведення дослідів при яких вдається отримати надійну і достовірну інформацію про об'єкт з найменшою витратою праці, а також представити цю інформацію в компактній і зручній формі з кількісною оцінкою точності.

1.1 Необхідність планування експерименту

Експериментальні дослідження ведуться у всіх областях науки і техніки. Мета цих експериментів - або встановити нові факти про досліджуване явище, або порівняти вплив різних умов на даний процес. Припустимо, наприклад, що інженера-металурга цікавлять ефекти двох різних процесів загартування алюмінієвого сплаву. Метою експерименту в даному випадку є визначення охолоджуючого середовища, яке забезпечує найбільшу твердість даного сплаву.

Результати будь-якого експерименту і висновки, які з них можна зробити, залежать більшою мірою від того, яким чином збираються дані. Для ілюстрації цього положення допустимо, що інженер-металург в описі вище експерименті використовував зразки з однієї партії нагріву для обробки в маслі. А з іншої партії - в солоній воді. Тепер при порівнянні середньої твердості інженер не може сказати, якою мірою спостереження різниця обумовлена охолоджуючої середовищем, а в якій - відмінностями, властивими партіям нагріву. Таким чином, метод збору несприятливо вплинув на висновки, які можна зробити з цього експерименту.

1.2 Основні принципи планування експерименту

Якщо ми хочемо провести експеримент найбільш ефективно, то необхідний науковий підхід до його планування. Під статичним плануванням експерименту ми розуміємо таку організацію експериментального дослідження, яка дозволить зібрати необхідні дані, застосувати для їх аналізу статичні методи і зробити правильні і об'єктивні висновки. Без статичного підходу до планування експерименту не обійтися, якщо ми не хочемо, щоб висновки, отримані на основі його даних, виявилися позбавленими сенсу. Якщо дані експерименту містять помилки, то статичні методи є єдиним об'єктивних підходом до їх аналізу. Таким чином, у будь експериментальної задачі два аспекти: планування експерименту і статичний аналіз даних, причому ці два аспекти тісно взаємопов'язані, так як метод аналізу безпосередньо залежить від використання плану.

В основі планування експерименту лежать два основні принципи - реплікація і рандомізація. Під реплікацією ми розуміємо повторення основного експерименту. Повторні досліди володіють двома важливими властивостями. По-перше, вони дозволяють експериментатору отримати оцінку помилки експерименту (випадкової похибки). Ця оцінка стає основною «мірою» при визначенні того, чи є спостережені відмінності в даних насправді статично різними. По-друге, якщо вибіркове середнє використовується для оцінювання ефект фактора в експерименті, то повторні спостереження дозволяють досліднику отримати більш точну оцінку цього ефект.

При використанні статичного підходу до планування експериментів і аналізу даних необхідно, щоб всі учасники експерименту ще до його початку ясно розуміли, що саме належить досліджувати і яким чином потрібно збирати дані або хоча б мали представлення про те, як ці дані потрібно аналізувати.

Можна рекомендувати наступну схему:

Визнання факту існування задачі та її формулювання

Вибір факторів і рівнів

Вибір змінної відгуку

Вибір плану експерименту

Проведення плану експерименту

Аналіз даних

Висновки та рекомендації

1.3 Регресійний аналіз

У багатьох задачах зустрічаються дві або більше змінних, між якими існує характерний зв'язок, причому необхідно досліджувати природу цього зв'язку. Наприклад, у хімічному процесі вихід продукту реакції пов'язаний з робочою температурою, і може становити інтерес побудувати модель, що зв'язує вихід з температурою, а потім скористатися цією моделлю для прогнозування, оптимізації процесу або управління їм.

Нехай в загальному випадку є одна залежна змінна, або відгук y, яка залежить від k незалежних змінних, наприклад,x1, x2,…xk. Зв'язок між цими змінними характеризується математичною моделлю, яка називається рівнянням регресії. Точніше, ми говоримо про регресію y за ,x1, x2,…xk. Регресійна модель повинна апроксимувати сукупність експериментальних даних. У деяких випадках досліднику відомий точний вид істинної функціональної залежності між y і x1, x2,…xk, скажімо, y=ш( x1, x2,…xk). Проте найчастіше істинний функціональний зв'язок невідомий, і експериментатору потрібно вибирати підходящу функцію для апроксимації. Для апроксимації широко використовують поліноміальні моделі.

Регресійні методи часто використовуються при аналізі даних не запланованих експериментів; така ситуація може виникнути при спостереженні неконтрольованих явищ чи історичних записів. Однак планування експериментів для вивчення регресії, дає великі переваги.

2. ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕП

2.1 Моделювання двигуна постійного струму

Для дослідження статичних та динамічних режимів роботи електроприводів з електричними машинами постійного струму необхідно скласти математичну модель у формі диференційних рівнянь або у вигляді передатних функцій. Взагалі, опис об'єкта у вигляді системи диференційних рівнянь є найбільш загальним, тому що з нього, як окремий випадок, можна одержати рівняння для статичних режимів, прирівнявши похідні функцій до нуля.

Математична модель електричної машини складається з рівнянь електричної рівноваги всіх контурів ЕМ та рівняння руху ротора.

Найбільші проблеми виникають при моделюванні Е.Р.С. обертання. Розглянемо її формування. Відомо, що , де k - коефіцієнт пропорційності, ф - потік у зазорі ЕМ, щ - кутова швидкість. У загальному випадку магнітний потік МПС не залишається незмінним. Магнітний потік залежить від струму збудження, але навіть при постійному значенні струму збудження магнітний потік не залишається постійним через вплив реакції якоря.

Крім насичення ЕМ по контуру основного магнітного потоку, іноді необхідно враховувати насичення по контуру потоку розсіювання. Індуктивність якоря визначається двома складовими:

,

що відповідають основному магнітному полю і полю розсіювання, зчепленому з якірною обмоткою. Значення залежить від величини струму якоря. Насичення по контуру розсіювання проявляється при значних струмах якоря, порядку і полягає в зменшенні величини . Якщо здійснювати заходи для обмеження пускового струму на рівні , це явище можна не враховувати. Подібний вплив на динамічні параметри ЕМ чинять вихрові струми і явища комутації. Усі перераховані фактори за певних умов можуть проявлятися, тому необхідно заздалегідь визначитись з їх якісним і кількісним впливом. У номінальних режимах цими факторами нехтують і кажуть, що прийняті наступні основні припущення:

струм збудження має стале значення;

нехтуємо значенням насичення як по контуру основного магнітного потоку, так і по контуру розсіювання;

не враховуємо вплив контуру вихрових струмів;

машина цілком скомпенсована, тобто вплив реакції якоря відсутній.

З урахуванням припущень вважаємо, що всі параметри схеми заміщення сталі і .

Тоді рівняння електричної рівноваги за 2-м законом Кіргофа:

,

та рівняння руху електропривода:

Розділимо рівняння електричної рівноваги на і введемо позначення електромагнітної сталої часу:

Тоді

або в операторній формі:

Підставивши коефіцієнт передачі - , одержимо передаточну функцію за струмом у вигляді аперіодичної ланки:

Записавши в операторній формі основне рівняння динаміки отримаємо передаточну функцію за швидкістю - передаточну функцію інтегруючої ланки:

З урахуванням виразів і складемо структурну схему:

Рис. 2.1 - Структурна схема двигуна постійного струму незалежного збудження

Конструктивна особливість двигуна послідовного збудження полягає в тому, що магнітний потік є функцією струму якоря, при чому ця залежність нелінійна.

Система диференційних рівнянь ДПС ПЗ набуває вигляду:

У модель додається одне нелінійне алгебраїчне рівняння.

Тепер структурна схема моделі має вигляд:

Рис. 2.2 - Структурна схема ДПС послідовного збудження

2.2 Моделювання тиристорного перетворювача

Для точного опису фізичних процесів в електромеханічних системах потрібне складання нелінійних диференційних рівнянь. Навіть невелика відмінність у схемі може привести до того, що моделюватися буде, по суті, новий об'єкт, для якого необхідно вводити нові припущення, наближення тощо.

Розглянемо основні прийоми, що застосовуються в практиці моделювання тиристорних перетворювачів.

Метод припасовування (кусково-лінійної апроксимації). Нелінійні диференційні рівняння замінюються сукупністю лінійних диференційних рівнянь, кожне з яких натуральне тільки для свого інтервалу часу.

Перехідний натурал визначається на окремих інтервалах, причому значення шуканих величин і їхніх похідних наприкінці попереднього інтервалу є початковими умовами для наступного.

Цей метод найчастіше застосовують для дослідження несиметричних режимів і розрахунку аварійних струмів.

Недоліками цього методу є великий обсяг обчислень і необхідність рішення трансцендентних рівнянь, що визначають моменти переходу від одного інтервалу до іншого.

Метод кінцево-різницевих рівнянь. Дійсна крива перехідного натураль замінюється наближеною, що є огинаючою дискретних значень досліджуваної величини, взятої через рівні проміжки часу.

В основі методу лежить заміна диференційного рівняння наближеним кінцево-різницевим, розв'язання якого можливе в рекурентній формі.

Цей метод зручний для аналізу усталених процесів (при сталих кутах керування, комутації тощо.).

Ітераційний метод. Відповідно до цього методу виконується послідовне інтегрування системи рівнянь, що описує об'єкт

Недоліки методу - велика кількість ітерацій, великий обсяг обчислень, одержання рішення в незручному вигляді (вигляді нескінченого ряду).

Метод гармонічного аналізу. Шукана величина (струм або напруга) подається у вигляді ряду, що складається з першої і вищих гармонік. За принципом гармонічного балансу або колокації складають рівняння для амплітуд і фаз цих гармонік. Рішення одержують у вигляді ряду Фур'є.

Основний недолік методу - для підвищення точності необхідно збільшувати кількість гармонік, що збільшує обсяг і час обчислень.

Графоаналітичний метод. Розрахунок перехідних процесів здійснюється за миттєвими значеннями струмів і напруг із використанням кусочно-лінійної апроксимації вольт-амперної характеристики вентилів.

Метод неточний, громіздкий, незручний у складних схемах.

Для моделювання тиристорного перетворювача за середнім значенням випрямленої ЕРС представимо його у вигляді трьох функціональних елементів (рис. 2.3): системою імпульсно-фазового керування (СІФУ), силовою ланкою (СЛ) та ланкою навантаження (ЛН). Система імпульсно-фазового керування перетворює аналоговий сигнал керування Uk в послідовність імпульсів керування, які мають відповідний фазовий зсув відносно точки природного відкривання тиристора, що визначається кутом керування б.

Вхідною величиною для ТП є напруга керування Uk, регульованою координатою - середнє значення випрямленої ЕРС. Ed на інтервалі провідності. На величину Ed впливає струм навантаження Id.

Рис. 2.3 - Функціональна схема - а) та сигнали керування ТП - б)

В даний час найбільш часто використовують СІФУ з вертикальним принципом керування. Нагадаємо суть цього принципу: пилоподібна опорна напруга порівнюється з напругою керування і у момент, коли досягається їх рівність, формується керуючий імпульс на тиристор.

Рівняння пилообразної напруги на ділянці провідності має вигляд:



де - кут провідності.

Рівність пилоподібної і керуючої напруг настає в момент часу, коли

Таким чином

Знайдена величина є кут керування б, що відрахований від точки природної комутації тиристора.

З отриманого виразу випливає, що СІФУ можна представити безінерційною (пропорційою) ланкою.

Реально, через інерційність фільтрів та інших елементів, що входять до схеми СІФУ, залежність б від Uk описується диференціальним рівнянням виду:

що відповідає передатній функції аперіодичної ланки.

Іноді СІФУ, як динамічний об'єкт, приводять до виду ланки з чистим запізнюванням або комбінації аперіодичної і ланки запізнювання.

Нехтуючи нелінійністю регулювальної характеристики ТП одержимо наступну передатну функцію:

При моделюванні роботи ТП на навантаження з великою індуктивністю, наприклад, обмотку збудження, інерційністю ТП можна знехтувати і тоді

Недоліком моделей ТП відносно середніх значень є те, що відсутня можливість урахування зони переривистих струмів, пульсацій натуральне ЕРС і струму.

2.3 Досліджувана модель ТП-ДПС

В роботі досліджуємо систему електроприводу тиристорний перетворювач - двигун постійного струму з параметрами:

Модель має вигляд:



Рис. 2.4 - Модель ТП-ДПС

Рис. 2.5 - Елемент моделі Subsystem

3. ПЛАНУВАННЯ ПФЕ

Експеримент в якому реалізуються всі можливі комбінації факторів, називають повним факторним експериментом (ПФЕ).

При варіюванні факторів на двох рівнях необхідно і достатньо експериментів, де - кількість рівнів; - кількість факторів.

Побудова плану ПФЕ зводиться до вибору експериментальної точки натуральнее відносно до нульового рівня. Для спрощення запису вводять кодовані значення:

+\- - верхній рівень;

-\- - нижній рівень.

Ці значення виходять з наступного перетворення:

,

- кодоване значення фактору;

- натуральнее значення фактору;

- значення фактору у центрі плану;

- натуральнее значення інтервалу варіювання;

- номер фактору;

Для спрощення розглянемо план ПФЕ для двох факторів: . необхідна і достатня кількість іспитів.

N			y
1	-1	-1	y1
2	-1	1	y2
3	1	1	y2
4	1	-1	y4



Рис. 3.1 - Графічне трактування плану експерименту

Властивості матриці планування типу

Властивість симетрії відносно центру плану

, ,,

вектор-стовпчиків = 0.

Властивість ортогональності.

, ,

вектор-стовпчиків ефектів взаємодії факторів дорівнює нулю.

Властивість нормування

,

квадратів кожного стовпчика = кількості експериментів.

4. Властивість ротатабельності.

,

Дисперсія параметра оптимізації (точність значення функції відгуку) в усіх напрямках однакова.

4. РЕЗУЛЬТАТИ ПРОВЕДЕНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ

4.1 Лінійна модель

План ПФЕ для двох факторів досліджуваної системи зведений до таблиці .

Таблиця 4.1 - Матриця планування експерименту

№ п/п	, в.о.	, в.о.	, В	, В	I, А	I, А	I,А	, А
1	+1	+1	10,6	10,6	31,061	31,860	31,682	31,534
2	+1	-1	10,6	9,4	33,249	32,120	33,314	32,894
3	-1	+1	9,4	10,6	31,240	32,123	31,739	31,701
4	-1	-1	9,4	9,4	32,657	31,853	32,132	32,214

Використовуючи пакет програм статистики Statgraphics plus 5.0 відтворюємо карту Парето:

Рис. 4.1 - Карта Парето регресійної моделі

Розрахунок коефіцієнтів регресії

Оцінка коефіцієнтів рівняння регресії розраховуються по формулі:

де - середнє значення параметра оптимізації в -ому вектор-рядку; - кількість вектор-рядків; - кількість факторів.

; ; ;

Знаходження дисперсії відтворюваності

Оцінка дисперсії для кожної ї точки факторного простору визначається по формулі:

де - середнє значення параметра у в й строчці; число паралельних іспитів; - значення вихідного параметра в й строчці.

Розрахункове значення критерію Кохрена розраховуємо по формулі:

де - числа степенів вільності дисперсій відповідних рядків.

Для заданого за спеціальної таблицею знаходимо ., який дорівнює

, дисперсія вважається однорідною.

Розрахунок дисперсії відтворюваності:

Обчислюється дисперсія середнього значення:

де кількість повторних спостережень у кожному рядку.

Розрахунок дисперсії коефіцієнтів регресії.

де кількість вектор-рядків.

Звідси похибка коефіцієнтів регресії дорівнює:

Кількість ступенів свободи .

Перевірка значимості коефіцієнтів регресії.

Для кожного коефіцієнту обчислюємо статистику:

Лінійна модель має вигляд:

Графік функції відгуку побудований використовуючи пакет програм статистики Statgraphics plus 5.0 і приведений на рисунку:

Рис. 4.2 - Залежність струму якоря від напруги обмотки збудження та якоря

Оцінка адекватності моделі

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
A:Factor_A	0,878906	1	0,878906
B:Factor_B	0,1802	1	0,1802
AB	0,0663063	1	0,0663063
Total error	0,0	0
Total (corr.)	1,12541	3

R-squared = 100,0 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 0,0 percent

Оптимізація

Goal: maximize Var_1

Optimum value = 32,896

Factor	Low	High	Optimum
Factor_A	-1,0	1,0	1,0
Factor_B	-1,0	1,0	1,0

МНК графік апроксимації

Рис. 4.3

Контурний графік

Рис. 4.4

4.2 Ротабельне композиційне планування

План РЦКП досліджуваної системи зведений до таблиці:

Таблиця 4.2 - Матриця планування експерименту

№ п/п	, в.о.	, в.о.	, В	, В	I, А	I, А	I, А	, А
1	+1	+1	10,6	10,6	31,061	31,860	31,682	31,534
2	+1	-1	10,6	9,4	33,249	32,120	33,314	32,894
3	-1	+1	9,4	10,6	31,240	32,123	31,739	31,701
4	-1	-1	9,4	9,4	32,657	31,853	32,132	32,214
5	0	0	10	10	32,139	32,739	32,505	32,461
6	0	+1,414	10	10,85	30,436	30,672	31,088	30,732
7	0	-1,414	10	9,15	32,548	32,633	32,530	32,57
8	+1,414	0	10,85	10	32,437	32,848	32,428	32,571
9	-1,414	0	9,15	10	31,169	32,448	31,523	31,713

Використовуючи пакет програм статистики Statgraphics plus 5.0 відтворюємо карту Парето.

Рис. 4.5 - Карта Парето

В результаті розрахунків було отримано рівняння регресії:

Обробка отриманих рівнянь регресії за допомогою програми Statgraphics plus 5.0 дозволила представити отримані дані графічно - отримати поверхні відгуку зміни досліджуваних параметрів від змінних чинників.

Рис. 4.6 - Залежність струму якоря від напруги якоря та обмотки збудження

експеримент композиційний тиристорний перетворювач

Оцінка адекватності моделі

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
A:Factor_A	0,372555	1	0,372555	5,62	0,0985
B:Factor_B	2,50021	1	2,50021	37,71	0,0087
AA	0,036613	1	0,036613	0,55	0,5113
AB	0,179352	1	0,179352	2,71	0,1986
BB	0,372188	1	0,372188	5,61	0,0986
Total error	0,198897	3	0,066299
Total (corr.)	3,68834	8

R-squared = 94,6074 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 85,6198 percent

Standard Error of Est. = 0,257486

Mean absolute error = 0,116707

Durbin-Watson statistic = 1,90321 (P=0,5852)

Lag 1 residual autocorrelation = -0,095636

Оптимізація

Goal: maximize Var_1

Optimum value = 33,0569

Factor	Low	High	Optimum
Factor_A	-1,41421	1,41421	1,41421
Factor_B	-1,41421	1,41421	-1,20036

МНК графік апроксимації

Рис. 4.7

Контурний графік

Рис. 4.8

ВИСНОВОК

В роботі дослідили математичну модель ТП-ДПС з можливістю регулювання напруги якоря, напруги обмотки збудження та сталим реактивним моментом опору. Був складений план ПФЕ за яким розраховані коефіцієнти рівняння регресії та побудована поверхня відгуку. Провівши експеримент, виконали обробку результатів: оцінили дисперсію, перевірили однорідність дисперсії, перевірили значимість коефіцієнтів регресії та адекватність моделі. В результаті обробки отриманих даних можна зробити висновок, що модель є адекватною.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Чорний О.П., Родькін Д.Й. Моделювання електромеханічних систем. - Кременчук, 2001. - 410 с.

2. Монтгомері Д.К. Планування експерименту та аналіз даних. 1980. - 380 с.

3. Зедгінідзе І.Г. Планування експерименту для дослідження багатокомпонентних систем. - М.: Наука, 1976. - 380 с.

4. Яворський В.А. Планування наукового експерименту та обробка експериментальних даних. - М.: МФТИ, 2006. - 44 с.

5. Красовський Г.І. Планування експерименту. - Мінськ: БГУ, 1982. - 300 с.

Размещено на Allbest.ru