Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
Использование дифференциальных уравнений, передаточных функций, переходной и весовой функций, частотных передаточных функций. Устойчивые и неустойчивые системы. Комплексный коэффициент передачи. Обратное преобразование. Гармоническое входное воздействие.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.01.2009 |
| Размер файла | 67,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
«Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций»
МИНСК, 2008
Всякая система, рассматриваемая с точки зрения зависимости выходных и входных величин как функций времени, носит название динамической системы. Система слежения и ее отдельные звенья относятся к динамическим системам. Для исследования динамических систем используются временные и частотные методы.
Временные методы используют дифференциальные уравнения и полученные с их помощью передаточные функции, переходные и весовые функции.
Частотные - используют частотные передаточные функции и логарифмические частотные характеристики.
Временные методы используются при исследовании линейных нестационарных систем. Для стационарных систем предпочтительно применение частотных методов.
Задачей исследования системы является определение реакции системы на входное воздействие, либо определение параметров систем.
Использование дифференциальных уравнений
Для составления дифференциального уравнения (ДУ), связывающего входные и выходные величины в системе, составляют дифференциальные (или алгебраические) уравнения, для всех звеньев, входящих в систему, на основе физики происходящих в них процессов. Число таких дифференциальных уравнений равно числу звеньев системы. Затем, оставляя входную и выходную величины в качестве основных, избавляются от промежуточных величин, производя последовательную подстановку одного уравнения во второе. Для упрощения процесса подстановки уравнения записывают в сокращенной форме.
В общем виде ДУ можно записать следующим образом:
, при (1)
x2(t), x1(t) - выходные и входные величины соответственно; a,b - коэффициенты.
ДУ может быть записано в сокращенной форме.
Введем обозначение .
Теперь мы можем формально вынести за знак суммы значения x2(t) и x1(t).
или
(2)
дифференциальные полиномы.
,
или же можно записать в сокращенной форме:
,
где - операторный коэффициент передачи.
Приведенную форму записи определяют как алгебраизированную (символическую).
Общее решение ДУ определяет изменение во времени управляемой величины при заданном входном воздействии, и позволяет, таким образом, полностью описать процессы в следящей системе. Общее решение ДУ является суммой общего решения однородного ДУ, получаемого из уравнения (1) приравниванием нулю его правой части, и частного решения неоднородного ДУ.
Однородное ДУ определяет характер собственных колебаний в системе. Его решение позволяет исследовать систему на устойчивость.
Неоднородное ДУ определяет реакцию системы на внешние воздействия. Его решение позволяет оценить точность воспроизведения задающего воздействия.
Использование передаточных функций
Для получения алгебраической формы записи надо перейти в область изображений по Лапласу.
Пусть система описывается уравнением (3.1) .
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (1), учитывая, что:
,
где - переменная Лапласа;
и при нулевых начальных условиях (* .
,
отсюда найдем х2
,
где W(s) - передаточная функция - реакция системы на входное воздействие в области изображений Лапласа.
Таким образом, передаточная функция W(s) определяется как отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.
В последующем изложении W(s) и W(p) мы будем именовать передаточной функцией, имея в виду, что s- комплексная переменная, а p- оператор дифференцирования.
В данном случае мы получили алгебраическую форму записи ДУ. Формально она может быть получена из упрощенной символической формы заменой оператора дифференцирования на переменную s и оригиналов на изображения:
Для нахождения оригинала может быть использовано обратное преобразование Лапласа:
.
Обратное преобразование выполняют путем разложения изображения на простейшие дроби и последующего использования таблиц.
Использование переходной и весовой функций
Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию, которую определяют как 1(t) (рис. 3.1):
.
Рис. 1. Единичная ступенчатая функция
Переходная функция используется при исследовании переходных режимов следящих систем. Переходная характеристика - графическое изображение переходной функции. Типовые переходные характеристики следящих систем изображены на рис. 2.
Устойчивые системы
Неустойчивые системы
Рис. 2. Переходные характеристики
Переходная характеристика может быть найдена аналитически. Запишем реакцию системы на 1(t) в виде ДУ в сокращенной форме:
,
где W(p) - операторный коэффициент передачи.
Перейдя в область изображений по Лапласу, получим следующие выражения:
Осуществив обратное преобразование Лапласа, получим переходную функцию q(t).
.
Весовая функция (импульсная характеристика) - реакция системы на воздействие в виде д-функции, определяемой как
.
Отметим некоторые свойства д-функции:
;
.
Весовая функция h(t) равна:
.
Переходя в область изображений, получим следующие выражения:
Таким образом, весовая и передаточная функции связаны преобразованием Лапласа.
Весовая функция используется для определения выходной величины с помощью интеграла Дюамеля:
. (3)
В соответствии с условием физической реализуемости: реакция системы на входное воздействие появляется не раньше воздействия, т. е
, при t<0,
можно записать:
. (4)
Для определения установившегося значения можно полагать, что воздействие началось в момент и для расчета использовать выражение:
.
Использование частотных передаточных функций
Частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи) определяет реакцию системы на гармоническое входное воздействие и используется для анализа следящих систем. Ее можно найти, используя ДУ (3.1), если полагать, что - гармоническое воздействие в комплексной форме определяется выражением
, (5)
где - комплексная амплитуда.
Будем искать частное решение неоднородного ДУ (1) в виде:
, (6)
где .
Подставляя (3.5), (3.6) в (3.1) и учитывая, что
,
получим:
,
где - частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи).
Частная передаточная функция - это отношение комплексных амплитуд входных и выходных гармонических воздействий при нулевых начальных условиях.
W(jщ) можно получить формально из W(s), заменой s на jщ.
W(jщ)можно представить а показательной и алгебраической форме:
- модуль частотной передаточной функции.
W(jщ) на комплексной плоскости изображается в виде вектора. При изменении частоты в интервале () конец вектора прочерчивает кривую, называемую амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) (рис. 3).
Рис. 3. Амплитудно-фазовая характеристика
- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).
АЧХ - зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты при неизменной амплитуде входного сигнала.
- фазочастотная характеристика (ФЧХ).
ФЧХ определяет зависимость фазового сдвига выходного сигнала относительно входного от частоты. Она симметрично относительно начала координат.
Годограф - кривая, прочерчиваемая концом вектора, при изменении частоты щ в интервале ().
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Высш.шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов./ Под ред. В.А. Бесекерского.- М.: Высш. шк., 2005.
3.. Первачев. С.В Радиоавтоматика: Учебник для вузов.- М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации/ Под ред. М.И. Жодзишского - М.: Радио, 2000
Подобные документы
Введение в теорию частотных фильтров. Определение постоянных времени, передаточных функций системы. Нахождение частотных характеристик. Расчёт коэффициентов усиления корректирующих звеньев. Определение устойчивости САР. Построение активных характеристик.
курсовая работа [159,8 K], добавлен 26.12.2014Определение передаточных функций системы по управляющему сигналу и по помехе для системы радиоавтоматики. Построение логарифмических и графических амплитудно-фазовых, амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик разомкнутой системы радиоавтоматики.
контрольная работа [1,5 M], добавлен 02.01.2009Системы автоматического регулирования положения, функциональная связь элементов САР. Структурная схема следящей системы, управление перемещением. Определение передаточных функций. Построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик.
контрольная работа [230,0 K], добавлен 22.01.2015Структурная схема нескорректированной системы автоматического управления и определение передаточных функций её звеньев. Метод логарифмических амплитудных частотных характеристик. Построение и реализация аналогового регулятора с пассивной коррекцией.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 21.12.2010Определение передаточных функций звеньев системы автоматического регулирования (САР). Оценка устойчивости и исследование показателей качества САР. Построение частотных характеристик разомкнутой системы. Определение параметров регулятора методом ЛАЧХ.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 31.05.2013Виды автоматизированного регулирования оптических дисковых систем. Передаточные функции звеньев. Характеристика сигнала расфокусировки, полученного методом ножа Фуко. Расчёты передаточных функций звеньев и функций замкнутой и разомкнутой системы.
курсовая работа [126,8 K], добавлен 25.01.2011Выбор силовой исполнительной и измерительной части системы (двигателя и усилителя мощности). Составление уравнения динамики и передаточных функций. Синтез последовательного корректирующего устройства методом логарифмических частотных характеристик.
контрольная работа [377,1 K], добавлен 10.04.2015Расчёт и построение частотных характеристик трёхкаскадного усилителя переменного тока. Схема усилительного каскада с RC-связями: составление схем замещения, определение передаточных функций. Сравнительный анализ схем усилителей аналогичного назначения.
курсовая работа [727,0 K], добавлен 28.09.2012Общие понятия об автоматическом управлении и регулировании. Классификация автоматических систем регулирования, отличительные черты видов, структура и особенности их применения. Краткая характеристика передаточных функций, их определение и преобразование.
контрольная работа [51,8 K], добавлен 19.11.2010Получение математической модели объекта управления в форме передаточных функций по управляющему и возмущающему каналам. Аппроксимация переходной характеристики объекта по управляющему и возмущающему каналу. Порядок составления структурной схемы САУ.
курсовая работа [597,4 K], добавлен 11.05.2011
