Від стародавніх до сучасних теорій руху планет

Стародавня наука про теорії руху планет починається для нас від Гіппарха (II ст. до н.е.) і Птолемея (II ст. н.е.). Останній у широковідомому трактаті "Альмагест" подав геоцентричну картину світу і теорії руху планет, а також прокоментував погляди та розрахунки щодо руху світил свого попередника Гіппарха. У короткому нарисі немає змоги зосередити увагу навіть на основних положеннях теорій руху відомих на той час планет, а тому зупинимось лише на викладенні підходу, яким користувались Гіппарх та Птолемей для дослідження руху планет. З цією метою розглянемо один з простих випадків руху в площині - а саме обертання паралелограма навколо однієї з його сторін.

Нехай в паралелограмі TNPO сторони-стержні мають змогу обертатись в площині навколо кожної з вершин завдяки наявності в них шарнірів. Закріпимо на площині сторону ТО паралелограма і повернемо його на 360° проти годинникової стрілки. Неважко збагнути і довести, що вершини N і Р, які лежать на одній із сторін паралелограма, опишуть два кола однакового діаметра з центрами в точках Т і О. При обертанні сторони TN проти годинникової стрілки сторона NP буде обертатись за годинниковою стрілкою. Причому за повний оберт сторони TN відрізок NP зробить теж повний оберт навколо точки N. Отже, точка Р опише коло радіусом NP з центром в точці N. Така сукупність рухів дістала в кінематиці назву пари обертань: одне з них зводиться до переносного обертання відрізка NP разом із NT, а інше є відносним обертанням NP навколо шарніра N. Абсолютний рух NP, тобто його рух відносно нерухомих осей в площині рисунка, зводиться до поступального переміщення. Крім того, в даному випадку поступальний рух є коловим. Розглянута схема руху шарнірного паралелограма надає можливість зрозуміти вчення про теорії руху стародавніх вчених.

Нагадаємо, що коло радіуса TN в "Альмагесті" названо деферентом (основне коло), коло радіуса ОР - ексцентром (ексцентричне коло), а коло радіуса NP - епіциклом. Точка N зображає так знану середню (фіктивну) планету, точка Р - реальну планету, а точка Т збігається з оком спостерігача і разом з тим, за уявленнями древніх, з центром світу. Відмітимо два особливі положення шарнірного паралелограма. В першому з них планета Р збігається з точкою А і знаходиться на найбільшій відстані від Т (паралелограм витягується в одну лінію), в другому положенні планета Р збігається з точкою D і віддалена від ока спостерігача Т на найменшу відстань. За грецькою термінологією ці точки дістали назви апогей і перигей. Якщо позначимо радіус деферента або ексцентра через а, радіус епіцикла - b (приймається, що b < а), r₁ = ТА і r₂ = TD, то

Відношення

одержало назву ексцентриситет ексцентра. Саме від t: залежить відхилення реального нерівномірного руху планет від рівномірного.

Наведена геометрична модель деферентів, ексцентрів і епіциклів та співвідношення (1) і (2) надають можливість вивести всі необхідні формули для розрахунку широти і довготи планети. Такий геометричний, а по своїй суті кінематичний підхід використовувався для створення перш за все теорій руху Сонця і Місяця, а потім вже планет і одержав назву гіпотези простого ексцентриситету. Саме завдяки цій гіпотезі вдалось пояснити та врахувати відмінність швидкостей Сонця і Місяця поблизу апогею і перигею, тобто так звану першу нерівність в рухові планет. З наявністю цієї нерівності пов'язане виникнення таких фундаментальних понять, як середній рух Сонця, тропічний рік й інших. Проте Гіппарху і Птолемею була відома також нерівність руху і зореподібних планет по підношенню до Сонця, яка дістала назву другої нерівності. Задачу про врахування другої нерівності Птолемей вирішив тим же методом деферентів і епіциклів, як і для випадку першої нерівності. Але з метою уточнення теорії руху цих планет ним було здійснене бісектування ексцентриситету. Суть його можна пояснити за допомогою рисунка.

Нехай через С позначена планета, Ф - око спостерігача або центр екліптики, О - центр рівномірного обертання. Тому, як і раніше, ОТ = аг (г - повний ексцентриситет, а - радіус ексцентра). Поділимо ОТ пополам і з'єднаємо планету С із середньою точкою відрізка ОТ, яку позначимо через С. Нехай планета Р рухається по колу радіуса PC, яке є ексцентром, але так, що рівномірно обертається не радіус PC, а пряма РО. До цього і зводиться Птолемеєве бісектування ексцентриситету. За теорією, побудованою на основі такої геометричної моделі, рух планети є нерівномірним, бо точка О обумовлює нерівність руху планети по ексцентру. Отже, поруч з ексцентром і деферентом з'являється ще одне коло рівномірного обертання точки Р' - проекції точки С на коло, яке дістало назву еквант в Альфонсійських таблицях (у Птолемея ця назва відсутня). Порівняно з гіпотезою простого ексцентриситету, яка відповідає врахуванню членів першого порядку, його бісектування уточнює теорії руху до рівня збереження деяких членів другого порядку відносно ексцентриситету.

Необхідно звернути увагу ще на дві обставини, які можна кваліфікувати як визначне досягнення древніх астрономів. Одна з них стосується відліку напрямків кутів при астрономічних спостереженнях. Справа в тому, що положення світил проектуються на небесну сферу, радіус якої, за уявленням древніх, вважався безмежно великим в порівнянні з відстаннями до Сонця, Місяця і планет. Отже, два паралельні напрямки НС - радіус епіцикла і ТА - лінія абсид (див. рис. на с 206) практично "збігаються" в одній точці небесної сфери. Положення цієї точки серед "нерухомих" зір наперед невідоме, тому неможливо проводити відлік кутів від неї. Гіппарх прийняв за початок відліку кутів точку весняного рівнодення, положення якої визначалось з певною точністю по рівності тривалості дня і ночі весною. Інша обставина свідчить про факт відкриття ще Гіппархом поступального руху рівнодення вздовж екліптики, або так званої прецесії, яка становить лише біля 50" за рік. Останнє підтверджує досить високий рівень по точності теорій руху планет стародавніх вчених бо на гой час точність спостережень не перевищувала 10'.

Загалом, теорії руху планет Птолемея, подані в "Альмагесті". є унікальним досягненням. Точність обчислених положень окремих планет сягає 2' на інтервалі в декілька десятиріч. Крім того, уже в постньютонівський період з'ясувалось, що три із чотирьох визначуваних Птолемеєм елементів орбіти, а саме ексцентриситет в, довгота перигею р і середня довгота, по своїй суті є геліоцентричними. Лише радіус епіцикла 6 має геоцентричну суть. Залишається нерозгаданою одна з найбільших таємниць в історії астрономічної науки: як могло статися гак, що стародавні вчені фактично користувались геліоцентричними параметрами руху планет, і чому Птолемей не зміг перейти до геліоцентричної моделі побудови Сонячної системи. Деякі відомі вчені навіть висувають припущення про те, що система Птолемея є переробкою і відлунням ще раніше детально розробленої геліоцентричної моделі про будову планетної системи, але залишеної потім в зв'язку з протиріччям її релігійній схоластиці та догмам верховних жерців.

Геометричний, а по суті кінематичний підхід до створення теорій руху планет зберігався аж до XVI століття і був "похований" видатними досягненнями середньовічних вчених Коперника (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601), Галілея (1564 - 1642), Кеплера (1571 - 1630), Ньютона (1643-1727) та інших. Спочатку Коперник намагався уточнити теорії руху Сонця і планет на основі геометричного підходу і замінив паралелограм Птолемея подвійним паралелограмом. Проте він не зміг впоратись з відомими на той час нерівностями в рухові Сонця, Місяця і планет в рамках геоцентричної будови планетної системи, тому відмовився від неї і кінець кінцем дійшов висновку, що Земля обертається навколо Сонця. Потім Тихо Браге на основі спостережень Місяця з небувалою до того часу точністю 0.5' знайшов третю нерівність, суть якої полягає у відхиленні на 40.5' спостереженого положення Місяця від розрахованого за теорією Птолемея-Коперника між сизигіями і квадратурами. Ця нерівність дістала назву варіації Місяця. Надалі Тихо Браге знайшов четверту нерівність - річну нерівність руху Місяця з амплітудою 4.5', згідно з якою довгота Місяця зменшується в період руху Землі від перигелію до афелію її орбіти, а потім збільшується в наступні шість місяців. Із спостережень Тихо Браге випливає також п'ята нерівність - евекція по широті, перша з відкритих в широті Місяця. Аналізуючи теорію Птолемея, Кеплер дійшов висновку, що рух планет відбувається по овальній кривій. Згодом він зрозумів, а потім і довів, що така крива є еліпсом. Ця геометрична крива була відома ще стародавнім математикам. Надалі Кеплер усвідомив, що Сонце розташоване в одному з фокусів сімейства еліпсів, а кожна планета рухається по своєму еліпсові. Це надало змогу сформулювати три знамениті закони Кеплера. Відомий астроном Галілей, сучасник Кеплера, винайшов оптичну трубу-телескоп і відкрив чотири супутники Юпітера та фази Венери. Після цього не лишилося сумніву відносно геліоцентричної будови планетної системи. Нарешті, геніальний Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння

де F - стала тяжіння, т₁ і m₂ - маси матеріальних частинок, r - відстань між ними. Отже, був виявлений механізм взаємодії окремих членів планетної системи, що надало змогу відмежуватися назавжди від кінематичного підходу і перейти до динамічного при створенні теорій руху планет.

Такою була сукупність найбільш вагомих факторів перед початком створення динамічних теорій руху планет. Проте понад 150 років пройшло ще до того часу, як закон Ньютона набув повного визнання і разом із законами Кеплера став теоретичною основою для побудови сучасних теорій руху планет, їхніх супутників, комет, астероїдів і інших космічних тіл. Утвердженню закона Ньютона сприяли створення нових методів вищої математики та розробка способів визначення збурень планет видатними математиками і механіками Клеро (1713-1765), Д'Аламбером (1717-1783), Ейлером (1707-1783), Лагранжем (1736-1813), Лапласом (1749 - 1827) та іншими. Під збуреннями розуміється відхилення реального руху небесних тіл від руху по еліпсу, параболі чи гіперболі. В епоху Кеплера спостереження велись неозброєним оком і збурення були мало помітними, а коли положення почали визначати за допомогою телескопів і різних вимірювальних пристроїв в десятки і сотні разів точніше, збурення набули реальних фактів і їх необхідно було враховувати при дослідженні руху планет і супутників. В цей період і була започаткована сучасна небесна механіка. На той час її розвиток обумовлювався двома основними факторами: потребами практичної астрономії та необхідністю перевірки закону Ньютона.

Практичний аспект небесної механіки зводився у XVIII ст. (перед винайденням хронометра) до розробки точної теорії руху Місяця, бо саме за його спостереженнями визначались довготи пунктів на Землі. Невдовзі небесні механіки опанували загальний підхід до задачі про рух тіл Сонячної системи. Оскільки наймасивнішим тілом є Сонце, то, безперечно, на рух окремої планети його вплив буде незрівнянно більшим, піж вплив від інших членів планетної системи. Це надає: змогу обмежитися іноді взаємним притяганням тільки Сонця і планети або планети та її супутника. Так виникла задача двох тіл. Врахування збурень від третього тіла або з тіл призводить до так званих задач трьох тіл та з тіл. До цього часу в аналітичному вигляді не знайдені повні розв'язки про рух трьох і більшого числа тіл. Ось тому рух небесних тіл досліджувався здебільшого методами кількісної небесної механіки, зокрема способом послідовних наближень. Оскільки цим способом побудовані аналітичні теорії всіх великих планет, зупинимось на його суті.

При використанні способу послідовних наближень враховують ту обставину, що планети рухаються наближено по незбурених еліптичних орбітах, тому за законами Кеплера можна обраховувати їхні наближені положення на будь-який момент. Враховуючи приблизне взаємне розташування всіх чи окремих планет, можна знайти сили взаємного тяжіння і обумовлені ними прискорення планет для кожного моменту. Ці додаткові прискорення від Сонця будуть збурюючими прискореннями. Вони визначають не самі траєкторії руху, а їхні відхилення від еліптичних орбіт. За цими збурюючими прискореннями можна знайти і збурення для кожного моменту часу. Це будуть збурення, знайдені в першому наближенні, або збурення першого порядку. Врахування збурень першого порядку надає можливість обчислити для кожної планети на будь-який момент нові положення в просторі (перше наближення). Ці нові наближені положення будуть більш точними в порівнянні з обчисленими за формулами еліптичного руху. Надалі, враховуючи більш точне взаємне розташування планет на кожний момент із першого наближення, знову знаходять взаємне притягання і збурюючі прискорення, а потім і самі збурення. Знайдені збурення в другому наближенні будуть точнішими за збурення першого порядку. Після врахування останніх знаходять положення планет ще точніше (друге наближення). В такий спосіб можна обчислити збурення третього порядку і т.д. Практична цінність аналітичних теорій руху зводиться не тільки до обчислення видимих положень небесних тіл, а й до можливості дослідити характер взаємного впливу планет та інших небесних об'єктів, а також до можливості обрахувати їхні маси.

З 50-х років XX ст. почали інтенсивно розвиватися так звані чисельні теорії руху планет. Цьому сприяло створення та нарощування потужності сучасних електронно-обчислювальних машин. Основна відмінність чисельних теорій полягає в тому, що за їхньою допомогою одержують не формули для визначення збурень в залежності від часу, а лише певні числа, які фіксують положення небесного тіла в просторі на вибрані моменти часу. Пояснимо суть використання чисельних методів для створення теорій руху небесних тіл.

Якщо небесні тіла притягаються за законом Ньютона і якщо для кожного тіла відомі в початковий момент to положення і швидкість, то легко знайти сили, з якими тіла діють одне на друге, а також прискорення, які вони надають одне другому в початковий момент. Тепер виберімо момент ty, близький до t₀, і приймемо, що за інтервал часу At - t\ - Я$ прискорення не змінюється. Тоді за формулами рівноприскореного руху для кожного тіла розраховують відхилення від рівномірного і прямолінійного руху за час Д/, а також положення і швидкість в момент t\. За новими положеннями тіл знову можна обрахувати діючі сили між ними і прискорення в t\. Надалі визначаються положення і швидкості для наступного близького моменту t₂ і т.д. В такий спосіб послідовно, крок за кроком, можна обчислити і скласти таблицю положень тіл на моменти t\, t₂, t$,..., тобто побудувати чисельну теорію руху на певному інтервалі часу.

Основним недоліком чисельних теорій руху є те, що для їхнього створення уже необхідно знати точні маси досліджуваних небесних тіл і повні відомості про величини і характер їхнього притягання.

Крім того, при чисельних розрахунках одержують безпосередньо збурення, а не залежності між цими збуреннями і величинами, які пов'язані з масами, елементами орбіт і іншими властивостями збурюючих тіл і їхніх рухів.

Тому без наявності аналітичних теорій руху, можливо, не знали б маси Венери і Меркурія, не змогли б відкрити "па кінчику пера" планети Нептун, Плутон і т.д. Чисельні методи не дозволяють ефективно вивчати також загальні властивості руху небесних тіл. Ось тому зараз чисельні й аналітичні теорії руху поєднуються і створюються чисельно-аналітичні теорії руху. Загалом, чисельні теорії не можуть замінити аналітичні, проте вони широко розповсюджені і мають велику практичну цінність.

Сучасні теорії руху небесних тіл