Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

4,47

8,13

11,04

13,25

4,34

7,64

9,98

11,49

Як відомо, одноразова нетто-ставка дорівнює сучасній вартості взаємних фінансових зобов'язань страховика і страхувальника. Якщо страхувальник погашає свої фінансові зобов'язання річними внесками, одноразова ставка дорівнює сучасній вартості суми річних внесків.

Коефіцієнт розстрочки дорівнює сучасній вартості річних внесків у розмірі 1грн. Отже, одноразова ставка так відноситься до річної, як коефіцієнт розстрочки до 1грн. Складемо пропорцію

Одноразова ставка: пах = річна ставка / .

Звідси річна ставка дорівнює одноразовій, помноженій на 1грн і поділеній на коефіцієнт розстрочки, або = одноразова ставка /.

Абсолютні значення коефіцієнтів розстрочки близькі до значення п - терміну страхування, але трохи нижчі за нього (див. табл. 3). У результаті розміри річних ставок виходять більш високими, ніж при механічному діленні одноразової ставки на число років страхування. Так відшкодовуються втрати на відсотках і враховується зменшення протягом терміну страхування кількості осіб, що роблять внески.

Застосувавши коефіцієнт розстрочки у розмірі 4,53; обчислимо річні ставки для особи у віці 40 років при терміні страхування 5 років.

Річна нетто-ставка по дожиттю дорівнює 18грн 64коп (84грн 45 коп. / 4,53); річна нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті складе 42 коп. (1грн 91 коп./4,53), а по змішаному страхуванню (без відповідальності за втрату працездатності) _ 19грн 06коп.

Таким чином, договір змішаного страхування життя терміном на 5 років для сорокарічної особи характеризується такими даними: 100 грн - страхова сума; 95грн 30 коп. - сума річних внесків _ нетто; 86грн 36 коп - одноразовий внесок - нетто.

4) Нетто-ставки на випадок утрати працездатності.

Нетто-ставку по страхуванню на випадок утрати працездатності прийнято включати в усі річні тарифні ставки в єдиному розмірі, незалежно від віку застрахованого. ЇЇ розмір установлюється на основі практичних даних страхових компаній про виплати страхових сум у зв'язку з утратою застрахованими працездатності від нещасного випадку.

Остаточний розмір річної нетто-ставки по змішаному страхуванню життя із 100грн страхової суми, що передбачає відповідальність страхових компаній по дожиттю, на випадок смерті і втрати працездатності для особи у віці 40 років при терміні страхування 5 років складе 19грн 38коп, у тому числі:

18 грн 64 коп _ нетто-ставка по страхуванню на дожиття;

42 коп _ нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті;

32 коп _ нетто-ставка по страхуванню на випадок утрати працездатності.

Переважну питому вагу займає нетто-ставка на дожиття.

Величина нетто-ставки залежить, таким чином, від рівня смертності застрахованих, ймовірності втрати працездатності від нещасного випадку і норми прибутковості. Оскільки ця залежність носить об'єктивний характер, розміри нетто-ставок не можна довільно змінювати.

4) Брутто-ставки.

Одержуючи внески в розмірі нетто-ставок, страховик акумулює у своїх руках стільки коштів, скільки йому знадобиться для виплати страхових сум. Але він несе витрати, пов'язані з витратами на проведення страхування, тобто повинен оплатити працю всіх працівників по укладанню договорів страхування та інші витрати.

Оскільки страхування проводиться, в основному, за рахунок самих страхувальників, кошти на покриття цих витрат також передбачаються у тарифній ставці. Тому до нетто-ставки приєднується навантаження.

У тарифних ставках по змішаному страхуванню життя у навантаження включені лише чисті витрати страхових компаній по проведенню страхових операцій. Річна брутто-ставка по змішаному страхуванню життя на 100 грн для особи у віці 40 років і терміном на 5 років складає 21 грн 11 коп.

Брутто-ставки обчислюються за формулою

де _ брутто-ставка;

_ нетто-ставка;

_ питома вага навантаження у брутто-ставці.

Тут нетто-ставка позначається символом , тому що за цією формулою обчислюються одноразові і річні ставки. У процесі розрахунків замість підставляється відповідна нетто-ставка, наприклад, , тощо. Якщо йдеться про одноразові внески, вживаються символи і , якщо про річні - і

Правилами змішаного страхування життя надається можливість щомісячної чи одноразової сплати внесків. Щомісячні внески за своїм розміром дорівнюють 1/12 частині річних брутто-ставок.

Аналізуючи брутто-ставки, можна зробити такі висновки: розмір тарифів збільшується слідом за віком особи, що укладає договір страхування; чим довший термін страхування, тим нижча тарифна ставка; одноразовий внесок менший страхової суми і нижчий суми місячних внесків; перевищення загальної суми сплачених у розстрочку внесків буде тим меншим або його зовсім не буде, чим довший термін страхування і молодша особа, що укладає договір.

3.6.2 Приклад короткострокової моделі страхування життя

Припустимо, що страхова компанія уклала N = 10000 договорів страхування життя терміном на один рік на наступних умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія виплачує укладачу договору 400 000 грн., а у випадку смерті від природних причин -- 100 000 грн. Компанія не платить нічого, якщо застрахований не помре протягом року. Імовірність смерті від нещасного випадку одна й та сама для всіх застрахованих і дорівнює 0,0005. Імовірність смерті від природних причин залежить від віку. Застрахованих можна розбити на дві вікові групи, що містять = 4000 і = 6000 людей, з імовірністю смерті протягом року = 0,0040 і = 0,0020 відповідно.

Потрібно підрахувати премію, достатню для виконання компанією своїх зобов'язань із імовірністю 95% без залучення додаткових засобів. Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційною

нетто-премії

дисперсії виплат за договором;

середньому квадратичному відхиленню виплат за договором.

Для розв'язання задачі приймемо суму 100 000 грн за одиницю виміру грошових сум.

Тоді для першої групи договорів індивідуальний збиток приймає три значення: 0, 1 й 4 з імовірностями 0,9955, 0,0040 й 0,0005 відповідно. Середнє значення й дисперсія величини індивідуального збитку рівні

= 1 · 0,0040 + 4 · 0,0005 = 0,0060,

= · 0,0040 + · 0,0005 _ 0,0120.

Для другої групи договорів індивідуальний збиток приймає ті ж три значення 0, 1 й 4, але з іншими ймовірностями: 0,9975, 0,0020 й 0,0005. У цій групі середнє значення й дисперсія індивідуального збитку є

Таким чином, для договорів першої групи нетто-премія рівна а для договорів другої групи нетто-премія рівна

Займемося тепер ризиковими надбавками.

Середнє значення й дисперсія сумарних виплат по всьому портфелю рівні:

Припустимо, що сумарна премія дорівнює u. Використовуючи гауссівське наближення для центрованої й нормованої величини сумарних виплат, ми можемо представити ймовірність нерозорення компанії в наступному виді:

Якщо ми хочемо, щоб імовірність банкрутства була 5 %, величина повинна бути рівною тобто сумарна премія повинна бути рівною Перший доданок, є сумарною нетто-премією (як ми бачили, вона дорівнює 48), а другий дає загальну ризикову надбавку l:



Щодо індивідуальних ризикових надбавок для договорів з першої й другої груп відповідно ми знаємо поки лише те, що

1. Якщо індивідуальні захисні надбавки пропорційні до нетто-премій:

то відносна страхова надбавка одна і та сама для всіх договорів і дорівнює

Тому для договорів з першої групи премія рівна

грн.

Для договорів із другої групи премія рівна

грн.

2. Якщо додаткова сума l ділиться пропорційно до дисперсій, то коефіцієнт пропорційності k дорівнює



Тому для договорів з першої групи страхова надбавка дорівнює

так що премія рівна

грн,

а відносна ризикова надбавка

Для договорів із другої групи ризикова надбавка дорівнює

так що премія рівна

грн,

а відносна ризикова надбавка

3. Якщо додаткова сума ділиться пропорційна середнім квадратичним відхиленням (вони рівні для договорів першої групи і для договорів другої групи), то коефіцієнт пропорційності k дорівнює

Тому для договорів із першої групи ризикова надбавка рівна

так що премія рівна

грн.,

а відносна ризикова надбавка

Для договорів із другої групи ризикова надбавка дорівнює

так що премія рівна

грн,

а відносна ризикова надбавка



Зауваження. Зміна принципу призначення індивідуальних премій приводить до зменшення відносної ризикової надбавки для договорів першої групи:

Відповідно для договорів другої групи відносна ризикова надбавка збільшується:

Це пов'язане з тим, що коефіцієнт розсіювання сумарного збитку рівний

у той час як для договорів першої (другої) групи він дорівнює - (відповідно, ). Коефіцієнт варіації величини індивідуального збитку для договорів першої групи рівний

а для договорів другої групи він дорівнює

Середній коефіцієнт варіації, усереднений по всьому портфелю з вагами рівний

Таким чином, хоч дисперсія величини індивідуального збитку для договорів другої групи менша, ніж для договорів першої групи, флуктуації індивідуальних збитків для договорів другої групи (виміряні як коефіцієнтом розсіювання, так і коефіцієнтом варіації) перевищують середні флуктуації по всьому портфелю. Тому було б виправданим прийняти один із принципів 2 або 3 за основу для призначення індивідуальних премій.

Маючи на увазі тільки небанкрутство компанії, зовсім неважливо, як загальна ризикова надбавка розподіляється по індивідуальних договорах (рівною мірою не грає ролі розподіл сумарної нетто-премії на індивідуальні нетто-премії). Однак маючи на увазі маркетингові міркування, важливо зробити це «справедливим» чином. Насамперед, зрозуміло, що в силу статистичної однорідності договорів у межах однієї групи (із двох розглянутих), захисна надбавка повинна бути однією й тією ж для договорів з однієї групи. Однак одного рівняння недостатньо для однозначного визначення індивідуальних надбавок Необхідно прийняти деяке принципове рішення про “справедливе” співвідношенні між ними.

3.6.3 Приклад обчислення нетто-премії при довгостроковому страхуванні життя

Страхова компанія уклала N = 10000 договорів довічного страхування зі страховою сумою грн кожний. Припустимо, що залишковий час життя кожного із застрахованих характеризується інтенсивністю смертності , що не змінюється із часом, а інтенсивність відсотків

Підрахуємо величину премії, що гарантувала б 95% імовірність виконання компанією своїх зобов'язань без залучення додаткових коштів.

Приймемо страхову суму за одиниця виміру грошових сум.

Підрахуємо спочатку нетто-премію:

де _ щільність залишкового часу життя. Оскільки інтенсивність смертності відома, ми можемо знайти функцію виживання:

,

що, у свою чергу, дає наступну формулу для

Тепер ми можемо підрахувати нетто-премію:

Другий момент сучасної величини виплат за індивідуальним договором може бути отриманий із цієї формули заміною на 2:

Отже,

Тепер можна підрахувати відносну ризикову надбавку:

Відповідно, премія рівна

Нагадаємо, що величина страхової суми b використовується нами як одиниця виміру грошових сум, так що в абсолютних цифрах р = 2274880 грн.

3.6.4 Приклад обчислення величини періодичних премій

Розглянемо N = 2500 договорів 3-х річного змішаного дискретного страхування життя зі страховим відшкодуванням b = 1000 грн. Премії вносяться в кожну річницю укладання договору протягом усього терміну його дії, вік всіх застрахованих - 30 років. Компанія використовує наступну таблицю смертності:

= 96307, = 96117, = 95918,

і технічну процентну ставку i = 25%.

Визначимо величину періодичної премії Р, що гарантувала б відсутність втрат по всьому портфелю з імовірністю = 99%.

Зобов'язання застрахованого полягає у виплаті 3-х річної тимчасової довічної ренти. Приведена вартість цього зобов'язання в момент укладання договору рівна з середнім значенням . Величина може бути легко підрахована:

Відзначимо, крім того, що для подвоєної інтенсивності відсотків



Зобов'язання страхової компанії полягають у виплаті страхової суми b = 1000 грн. наприкінці року смерті, якщо вона наступить не пізніше, ніж через 3 роки після укладання договору, або в момент закінчення терміну дії договору, якщо застрахований проживе ці 3 роки. Приведена вартість цього зобов'язання в момент укладання договору рівна з середнім значенням . Як відомо,

Відзначимо, крім того, що

і тому

Сучасна величина збитку, пов'язаного з одним договором, може бути записана у вигляді:

Ми хотіли б, щоб

Переписуючи цю умову у вигляді

і використовуючи гауссівске наближення, ми одержимо:

Але

Тому

звідки

Нетто-премія за розглянутим договором рівна

Таким чином, відносна ризикова надбавка приблизно дорівнює 0,26%. Настільки мала величина відносної ризикової надбавки пов'язана з тим, що при змішаному страхуванні з імовірністю близькою до 1 виплата здійснюється по закінченні терміну дії договору. Відповідно відхилення, пов'язані зі смертністю, украй малі.

ВИСНОВКИ

У даній дипломній роботі висвітлюється таке питання актуарних розрахунків, як побудова тарифних ставок по страхуванню життя, яке є особливо важливим для діяльності страхових компаній в ринкових умовах. Неправильний розрахунок тарифних ставок може привести до банкрутства страхової компанії. Тому, не дивно, що актуарій (фахівець, який за допомогою методів математичної статистики розраховує страхові тарифи) - одна з найбільш престижних професій у західних країнах, про що свідчать проведені газетами "Нью-Йорк Таймс" і "Крисчиен Сайенс Монітор" опитування молоді США про найбільш привабливі з їхнього погляду професії.

У дипломній роботі наведена методика розрахунків тарифних ставок по страхуванню життя. Показано, що величина нетто-ставки залежить від рівня смертності застрахованих, ймовірності втрати працездатності від нещасного випадку і норми прибутковості. Оскільки ця залежність носить об'єктивний характер, розміри нетто-ставок не можна довільно змінювати. Також, узагальнюючи розрахунки тарифних ставок, наведена методика побудови математичних моделей страхування життя, які ґрунтуються на принципі еквівалентності страхових відносин сторін, тобто нетто-ставки повинні максимально відповідати ймовірності збитку. Також розв'язано декілька задач по знаходженню тарифний ставок, які мають практичне спрямування і їх результати можуть бути використані пенсійним фондом і страховими компаніями.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. В.Д.Базилевич, К.С.Базилевич, Страхова справа. - 5-те вид., стер. - Знання, 2006. - 351с.

2. Брагинский М.И. Договор страхования. - М.: Статут, 2000. - 174 с.

3. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Изд-во Института математики. 1997, 772 с.

4. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. М.: Энергия, 1979. - 320 с.

5. Гербер Х. Математика страхования жизни. М. Мир, 1995, 154 с.

6. Залєтов О.М., Страхування. Навчальний посібник. - К.: Міжнародна агенція "BeeZone", 2003. - 320 с.

7. Закон України “ Про внесення змін до Закону України “ Про страхування” // Урядовий кур'єр. - 2001. - 7 листопада.

8. Крамер Г. Математические методы статистики М.: Мир. 1975. - 648 с.

9. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Инфра-М, 1997, 302 с.

10. Кошкин Г.М., Основы актуарной математики. - Учебное пособие / Томск: Томский государственный университет, 2002. 116 с.

11. С.М.Лаптєв, В.І.Грушко, М.П.Денисенко, В.Г.Кабанов, І.О.Ковтун, О.С.Любунь. Основи актуарних розрахунків: Навчально-методичний посібник. К.: Алерта, 2004. - 328с.

12. Е.Марецька, Математичні моделі страхування життя - Вісник Львів. ун-ту, сер. прикл. матем. інформ., 2002, Вип. 5, С. 112-117.

13. А.Я.Оленко. Збірник задач з актуарної математики - К.: ВПЦ “Київський університет”, 2005.-67с.

14. Програма розвитку страхового ринку України 2001-2004 р. //Страхова справа № 1. 2001. - с. 48-55.

15. Самойловский А.Л. Моделі державного регулювання страхової діяльності: досвід західноєвропейських країн // Нацыональна безпека ы оборона. - 2000. _ № 4. - с. 40-42.

16. Страховий ринок в Україні стан, проблеми, перспективи. - Національна оборона і безпека, № 6 (42) 2003. - 56 с.

17. Страхування. Підручник // Керівник авт. колективу і наук. Редактор С.С.Осадець. - Вид. 2-ге, перероб, і доп. - К.: КНЕУ, 2002. - 599 с.

18. Філонюк О.Ф. Сучасні тенденції розвитку страхування // Страхова справа. - 2002. _ №3. - с. 6-9.

19. Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 192 с.

20. Фалин Г. И., Фалин А. И. Введение в атуарную математику. М.: Изд-во МГУ, 1994, 86 с.

21. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994, 130 с.

22. Філонюк О.Ф. Кроки становлення страхового ринку України або 10 років життя єдиної страхової сім'ї // Страхова справа. - 2002. _ № 1. - с. 2-5.

23. Філонюк О.Ф. Сучасні тенденції розвитку страхування // Страхова справа. - 2002/ _ № 3/ _ c. 6-9.

24. Філонюк О.Ф. Чинники, що стримують розвиток страхового ринку // Страхова справа. - 2001. _ № 3. - с. 32-35.

Додаток 1

Зразок таблиці смертності

Вік у роках	Кількість доживаючих до віку x років	Кількість помираючих при переході від віку x до x+1 років	Ймовірність померти на протязі майбутнього року життя	Ймовірність дожити до віку x+1 років
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 … 30 … 40 41 42 43 44 45 …	100000 98719 98547 98454 98385 98326 98273 98225 98180 98138 98099 98062 98026 97988 97945 97894 97833 97760 97674 97575 97464 … 95982 … 93597 93262 92902 92512 92090 91631 …	1281 172 93 69 59 53 48 45 42 39 37 36 38 43 51 61 73 86 99 111 122 … 179 … 335 360 390 422 459 498 …	0,01281 0,00174 0,00094 0,00070 0,00060 0,00054 0,00049 0,00046 0,00043 0,00040 0,00038 0,00037 0,00039 0,00044 0,00052 0,00062 0,00075 0,00088 0,00101 0,00114 0,00125 … 0,00186 … 0,00358 0,00386 0,00420 0,00456 0,00498 0,00543 …	0,98719 0,99826 0,99906 0,99930 0,99940 0,99946 0,99951 0,99954 0,99957 0,99960 0,99962 0,99963 0,99961 0,99956 0,99948 0,99938 0,99925 0,99912 0,99899 0,99886 0,99875 … 0,99814 … 0,99642 0,99614 0,99580 0,99544 0,99502 0,99457 …

Додаток 2

Таблиця відсоткових множників

Кількість років, n	Значення чисел при:
	i=0,03	i=0,04	i=0,05
1 2 3 4 5 10 14 15 18 20 23 30 50	1,03000 1,06090 1,09273 1,12551 1,15927 1,34392 1,51259 1,55797 1,70243 1,80611 1,97359 2,42726 4,38391	1,04000 1,08160 1,12486 1,16986 1,21665 1,48824 1,73168 1,80094 2,02582 2,19112 2,46472 3,24340 7,10668	1,05000 1,10250 1,15763 1,21551 1,27628 1,62889 1,97993 2,07893 2,40662 2,65330 3,07152 4,32194 11,46740

Додаток 3

Таблиця дисконтуючих множників

Кількість років, n	Дисконтуючі множники при:
	і=0,03	і=0,04	і=0,05
1 2 3 4 5 10 14 15 18 20 23 30 40 50	0,97087 0,94260 0,91514 0,88849 0,86261 0,74409 0,66112 0,64186 0,58739 0,55368 0,50669 0,41199 0,30656 0,22811	0,96154 0,92456 0,83900 0,85480 0,82193 0,67556 0,57748 0,55526 0,49363 0,45639 0,40573 0,30832 0,20829 0,14071	0,95238 0,90703 0,86384 0,82270 0,78353 0,61391 0,50507 0,48102 0,41552 0,37689 0,32557 0,23138 0,14205 0,08720

Доповід

Слайд 1. Шановний голово, шановні члени державної кваліфікаційної комісії. До Вашої уваги виноситься дипломна робота на тему «Економіко-математичне моделювання страхування життя», яка складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаної літератури. Слайд 2.

Найважливіша проблема страхового бізнесу - це обчислення вартості премії за страхування (страхового тарифу). З одного боку, вона повинна забезпечувати страховій компанії не тільки захист від збитків, а й хороший прибуток, з іншого - конкурувати з преміями інших страхових компаній.

У нашій країна з огляду на погане становище страхового бізнесу в цілому відшукання оптимальної премії є особливо важливим. Але сьогодні страхові компанії України переважно не рахують тарифи самостійно, а беруть їх з російського страхового ринку. Однак зрозуміло, що становище українського ринку значно відрізняється від російського. Крім того, одна з проблем, які постають на шляху обчислення премій за страхування, полягає у тому, що дуже важко знайти статистичні дані, які б реально описували становище українського страхового ринку. Часто беруть дані європейських страхових ринків, оскільки такої статистики немає і в Росії. І як наслідок знову неправильна оцінка премії, а неправильна оцінка премій за страхування в багатьох випадках призводить до банкрутства страхових компаній. І ще одна перешкода для правильної оцінки страхових премій - це нестабільність нашого ринку на законодавчому рівні. Швидкі зміни законодавства в галузі страхування зумовлюють коливання страхового ринку, зміни економічного становища. Оскільки змінюється ситуація на ринку, то повинна змінюватися і стратегія поведінки страхової компанії.

Загальноприйнята назва наукового напряму, що займається вивченням математичних моделей і методів страхової справи - актуарна математика (aktuarial mathematics) яка походить від actuary - актуарій, статистик страхового товариства. Разом з відповідними економічними і юридичними дисциплінами актуарна математика утворює більш широку область знань - актуарну науку (actuerial science), яка є теоретичною основою страхового бізнесу.

Дослідження, виконані в Україні в останнє десятиліття в області актуарной математики носять фрагментарний й епізодичний характер, відносяться в першу чергу до прикладних робіт. Відсутність статистичних даних (часто вони є комерційною таємницею) і недостатнє цільове фінансування, очевидно, є основними причинами цього, крім зазначеної вище «молодості» і нерозвиненості цієї області в цілому, що виражається в недостачі інформаційного забезпечення й кваліфікованих кадрів. Основною рисою сучасного стану актуарної науки в Україні можна назвати воістину величезний розрив, що існує між теорією й практикою. Украй мало таких робіт, де досить передові теоретичні розробки були б доведені до практичної реалізації; навіть демонстрації їхнього застосування одиничні, не говорячи вже про систематичне використання.

Розрізняють актуарну математику у майновому і особистому страхуванні. Під майновим страхуванням (non-life insurance) розуміють всі види страхової діяльності, не пов'язані з особистим страхуванням (страхування житла, автомобілів, підприємств і т.д.). У найзагальнішому плані особисте страхування можна визначити як галузь страхової діяльності, яка забезпечує страховий захист громадян або зміцнення досягнутого ними сімейного добробуту.

Особисте страхування включає:

­ страхування життя;

­ страхування від нещасних випадків;

­ страхування додаткової пенсії;

­ добровільне медичне страхування;

­ страхування від нещасних випадків на транспорті.

Особисте страхування має багато спільного з соціальним, насамперед у об'єктах страхового захисту громадян. Головна відмінність між ними - в джерелах формування страхових фондів: для соціального - це в основному кошти підприємств, установ, організацій, і лише незначною мірою - індивідуальні доходи, тоді як для особистого індивідуальні доходи є головним джерелом, а кошти підприємств, установ і організацій - тією мірою, якою особисте страхування є обов'язковим.

Необхідність особистого добровільного страхування зумовлюється як ризиковим характером відтворення робочої сили, так і підвищенням ступеня ризику життя у зв'язку з урбанізацією, погіршенням довкілля, а також зростанням частки людей похилого віку у загальній чисельності населення. Це ускладнює захист особистих інтересів громадян з боку держави та за її рахунок і передбачає формування захисних механізмів за рахунок перерозподілу індивідуальних доходів.

Історія страхування життя налічує приблизно 20 століть. Зародковими формами страхування життя були [1] грошові фонди для благодійних цілей у древній Індії, комунальні установи древніх іудеїв, колегії Римської імперії. Організації, подібні до римських колегій, існували в епоху середніх віків у цехах і гільдіях. Надаючи матеріальну підтримку своїм членам у скрутних випадках, вони піклувалися також про забезпечення близьких померлого.

При капіталізмі страхування поступово перетворюється в особливу галузь економіки, здобуває загальне поширення як необхідний її елемент.

У 1706 р. в Англії виникло перше товариство страхування життя - "Емікебл". Система тарифних ставок у нього була недосконалою, вони ще не диференціювалися за віком.

Значно вплинули на розвиток страхування життя статистика і математика.

Виникла статистика у так званій школі "політичних арифметиків". Один із засновників цієї школи англійський учений Д. Граунт у 1662 р. опублікував роботу "Природні і політичні спостереження, виконані над бюлетенями смертності", яка поклала початок страховій математиці _ теорії актуарних розрахунків.

Майже одночасно з Д. Граунтом питання залежності страхування життя від смертності людей досліджував голландець Я. де-Вітт, який написав роботу про ціну довічної ренти, де розробив метод розрахунку страхових внесків у залежності від віку застрахованого і норми зростання грошей.

Своє продовження теорія актуарних розрахунків знайшла в працях англійського вченого Е. Галлея. Він склав таблицю смертності на основі матеріалів про смертність населення Бреславля за період 1687-1691 рр., дав визначення основних функцій таблиці смертності, обчислював ймовірності дожити і вмерти, увів у науку поняття ймовірної тривалості життя, застосував принцип розрахунку середньої тривалості життя при обчисленні щорічної ренти в залежності від віку, показав, що таблиця смертності дозволяє регулювати розміри страхових внесків. Форма таблиці Галлея застосовується в страхуванні життя дотепер.

Потім англійський математик А. Муавр, вивчивши таблицю смертності Е.Галлея, зумів спростити актуарні розрахунки. Він склав три інші таблиці на основі даних про смертність застрахованих у Голландії і Франції, а також про смертність населення Лондона за 1728-1737 рр.

Проблемами, пов'язаними з актуарними розрахунками, займалися майже такі великі математики як Л. Ейлер, Н. Фус, С. Лакруа та ін. Були складені таблиці смертності В. Керсебума, А. Депарс'є. У теорії актуарних розрахунків застосовуються новітні досягнення математики і статистики. Страхові товариства одними з перших стали використовувати обчислювальну техніку.

Тарифна ставка - ціна страхового ризику та інших витрат, необхідних для виконання зобов'язань страховика перед страхувальником за підписаним договором страхування.

Нетто-ставка - ціна страхового ризику, тобто гроші, зібрані з нетто-ставок підуть виключно на виплати клієнтам страхової компанії у разі настання страхового випадку.

Навантаження - вартість, яка покриває витрати страховика з організації та ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.

Для розрахунку тарифів можуть бути використані кілька методів [8]:

· на основі теорії імовірності та методів математичної статистики з використанням часових рядів;

· на базі експертних оцінок;

· за аналогією до інших об'єктів або компаній;

· з використанням математичної статистики і розрахунку дохідності.

Слайд 3. (Наведено структуру тарифної ставки по змішаному страхуванню життя).

Тарифна ставка визначає, скільки грошей кожний із страхувальників повинен внести в загальний страховий фонд з одиниці страхової суми. Тому тарифи повинні бути розраховані так, щоб сума зібраних внесків виявилася достатньою для виплат, передбачених умовами страхування. Таким чином, тарифна ставка - це ціна послуги, що надається страховиком населенню, тобто своєрідна ціна страхового захисту.

Від чого ж залежать її розміри, як установити ціну на той чи інший вид страхування життя?

Для розрахунку обсягу страхового фонду при страхуванні життя потрібно мати відомості про те, скільки осіб з числа застрахованих доживе до закінчення терміну дії їх договорів страхування і скільки з них щороку може померти; у скількох і в якому ступені настане втрата здоров'я. Кількість виплат, помножена на відповідні страхові суми, дозволить визначити розміри майбутніх виплат, тобто з'явиться можливість дізнатися, у яких розмірах потрібно буде акумулювати страховий фонд.

Тривалість життя окремих людей коливається в широких межах. Вона відноситься до категорії випадкових величин. Теорія ймовірності і статистика досліджують випадкові явища, що мають масовий характер, у тому числі смертність населення. Установлено, що демографічний процес зміни поколінь, що виражається в зміні рівня повікової смертності, підпорядкований закону великих чисел, настільки одноманітному у своїх проявах і настільки достовірному в результатах, що він може бути основою фінансових розрахунків у страхуванні.

Демографічною статистикою виявлена і виражена за допомогою математичних формул залежність смертності від віку людей. Розроблено спеціальну методику складання так званих таблиць смертності, де на конкретних цифрах показується послідовна зміна смертності слідом за віком. Цими таблицями страхові компанії користуються для розрахунку тарифів.

Крім закономірностей, пов'язаних із процесом дожиття і смертності, при побудові тарифів враховується довгостроковий характер операцій страхування життя, оскільки ці договори укладаються на тривалі терміни від трьох і більше років. Протягом усього часу їхньої дії (чи на самому початку терміну страхування при одноразовій сплаті) страхові компанії одержують внески. Виплати ж страхових сум проводяться протягом терміну страхування чи після закінчення визначеного періоду від початку дії договору, якщо настане смерть застрахованого чи він втратить здоров'я.

Тимчасово вільні кошти акумулюються страховою компанією і використовуються як кредитні ресурси. За користування ними сплачується позичковий відсоток. Але якщо при ощадній операції дохід від відсотків приєднується до внеску, то в страхуванні на суму цього доходу заздалегідь зменшуються (дисконтуються) внески страхувальника, що підлягають сплаті. Для того щоб заздалегідь понизити тарифні ставки на той дохід, що буде утворюватись протягом ряду років, використовуються методи теорії довгострокових фінансових розрахунків.

Слайд 4. В актуарній математиці моделі страхування життя умовно ділять на дві великі групи залежно від того, приймається чи ні в розрахунок дохід від інвестування зібраних премій. Якщо ні, то ми говоримо про короткострокове страхування (short-term insurance); в якості такого “короткого” інтервалу ми будемо розглядати інтервал в 1 рік. Якщо ж так, то ми говоримо про довгострокове страхування (long-term insurance). Звичайно, цей поділ умовний і, крім того, довгострокове страхування пов'язане з рядом інших обставин, наприклад, андеррайтингом.

Слайд 5. Найпростіший вид страхування життя полягає в наступному.

Страхувальник платить страховій компанії р грн (ця сума, як уже зазначалося, називається страховою премією - premium); страхувальником може бути сам застрахований або інша особа (наприклад, його роботодавець).

У свою чергу страхова компанія зобов'язується виплатити особі, на користь якої укладений договір, страхову суму (sum assured) b грн у випадку смерті застрахованого протягом року із причин, перерахованих у договорі (і не платити нічого, якщо він не помре протягом року або помре через причину, що не покривається договором).

Страховая сума часто приймається рівної 1 або 1000. Це означає, що премія виражається як частка від страхової суми або на 1000 страхової суми відповідно.

Величина страхової виплати (benefit), звичайно, набагато більша, ніж страхова премія, і знаходження «правильного» співвідношення між ними - одна з найважливіших задач актуарной математики.

Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за прийняття на себе того чи іншого ризику, украй складне. При його вирішенні враховується велика кількість різнорідних факторів: імовірність настання страхового випадку, його очікувана величина й можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже прийняті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом та пропозицією по даному виду ризиків на ринку страхових послуг і т.д. Однак основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії й застрахованого.

В розглянутій вище найпростішій схемі страхування, коли плата за страховку повністю вноситься в момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражається в сплаті премії р. Зобов'язання компанії полягає у виплаті страхової суми, якщо наступить страховий випадок. Таким чином, грошовий еквівалент зобов'язань страховика, X, є випадковою величиною:

У найпростішій формі принцип еквівалентності зобов'язань виражається рівністю р = МХ, тобто, як плата за страховку призначається очікувана величина збитку. Ця премія, як уже зазначалося, називається нетто-премією (net premium).

Купивши за фіксовану премію р грн. страховий поліс, страховик позбавив укладача договору страхування від ризику фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю моменту смерті застрахованого. Однак сам ризик не зник; його прийняла на себе страхова компанія.

Тому рівність р = MX насправді не виражає еквівалентності зобов'язань страхувальника й страховика. Хоча в середньому й страховик, і страхувальник платять ту саму суму, страхова компанія має ризик, пов'язаний з тим, що в силу випадкових обставин їй, можливо, прийдеться виплатити набагато більшу суму, ніж МХ. Страхувальник же такого ризику не має. Тому було б справедливо, щоб плата за страховку включала деяку надбавку l, яка б служила еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Ризикову надбавку часто розраховують, як середньоквадратичне відхилення реальних виплат на одиницю страхової суми за останні роки від сподіваного значення виплат, тобто, від математичного сподівання. Цю надбавку називають ризиковою (або захисною) надбавкою (security loading), а - відносною ризиковою надбавкою (relative security loading). Розмір ризикової надбавки береться таким, щоб імовірність того, що компанія буде мати втрати по деякому портфелю договорів («розориться»), була досить малою величиною.

Слід зазначити, що реальна плата за страховку (брутто-премія або офісна премія) _ більша нетто-премії з ризиковою надбавкою (часто в кілька разів). Різниця між ними дозволяє страховій компанії покрити адміністративні витрати, забезпечити доход і т.д.

Точний розрахунок ризикової надбавки може бути здійснений у рамках теорії ризику.

Слайд 6, 7. Найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, призначеної для розрахунку ймовірності банкрутства, є модель індивідуального ризику. Вона базується на наступних спрощених припущеннях:

аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (так що можна знехтувати інфляцією й не враховувати прибуток від інвестування активів) - як правило це один рік;

кількість договорів страхування N фіксована й невипадкова;

премія повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

ми спостерігаємо кожен окремий договір страхування й знаємо статистичні властивості пов'язаних з ним індивідуальних втрат X.

Як правило припускається, що в моделі індивідуального ризику випадкові величини - незалежні (зокрема, виключаються катастрофи, коли одночасно по декількох договорах наступають страхові випадки).

У рамках цієї моделі «банкрутство» визначається сумарними втратами по портфелю . Якщо ці сумарні виплати більші, ніж активи компанії, призначені для виплат по цьому блоці бізнесу, u, то компанія не зможе виконати всі свої зобов'язання (без залучення додаткових засобів); у цьому випадку говорять про «розорення».

Отже, імовірність «розорення» компанії дорівнює

Іншими словами, імовірність «розорення» - це додаткова функція розподілу величини сумарних втрат компанії за розглянутий проміжок часу.

Оскільки сумарні виплати S являють собою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини S може бути підрахований за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей.

Слайд 8. З математичної точки зору довгострокове страхування (long-term insurance) характеризується тим, що при розрахунках враховується зміна цінності грошей із часом. Тому теорія довгострокового страхування істотно опирається на теорію складних відсотків.

Зокрема, зпівставляючи зобов'язання страхувальника й страховика, ми повинні приводити їх до одного моменту часу. Скажімо, для того, щоб сформулювати принцип еквівалентності зобов'язань у момент укладання договору, ми повинні привести зобов'язання страхувальника й страховика саме до цього моменту. Їхні середні значення називаються актуарними сучасними вартостями зобов'язань.

У дипломній роботі наведено приклади знаходження тарифних ставок для різних випадків. Зокрема, розв'язана наступна задача, яка стосується короткострокового страхування життя:

Слайд 9-15 (Задача)

Припустимо, що страхова компанія уклала N = 10000 договорів страхування життя терміном на один рік на наступних умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія виплачує укладачу договору 400 000 грн., а у випадку смерті від природних причин -- 100 000 грн. Компанія не платить нічого, якщо застрахований не помре протягом року. Імовірність смерті від нещасного випадку одна й та сама для всіх застрахованих і дорівнює 0,0005. Імовірність смерті від природних причин залежить від віку. Застрахованих можна розбити на дві вікові групи, що містять = 4000 і = 6000 людей, з імовірністю смерті протягом року = 0,0040 і = 0,0020 відповідно.

Потрібно підрахувати премію, достатню для виконання компанією своїх зобов'язань із імовірністю 95% без залучення додаткових засобів. Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційною

нетто-премії

дисперсії виплат за договором;

середньому квадратичному відхиленню виплат за договором.

Також розв'язана задача по довгостроковому страхуванні життя:

Слайд 16.

Страхова компанія уклала N = 10000 договорів довічного страхування зі страховою сумою грн кожний. Припустимо, що залишковий час життя кожного із застрахованих характеризується інтенсивністю смертності , що не змінюється із часом, а інтенсивність відсотків

Підрахуємо величину премії, що гарантувала б 95% імовірність виконання компанією своїх зобов'язань без залучення додаткових коштів.

Обчислена величина періодичних премій Слайд 17.

У дипломній роботі викладаються основні математичні моделі й методи, які використаються для розрахунків характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування життя й пенсійних схем.

Даний поглиблений виклад основних математичних моделей і методів, необхідних для визначення характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування й пенсійних схем.

Задачі, які розв'язані у дипломній роботі мають яскраво виражену практичну спрямованість і дозволяють одержати певне уявлення не тільки про актуарні розрахунки, але й про розробку страхових продуктів, андеррайтингу й т.д. При актуарних розрахунках у довгостроковому страхуванні життя широко використовується теорія складних відсотків. Тому, у дипломну роботу включено розділ „Основи фінансової математики”.

Размещено на Allbest.ur