Вероятностный анализ характеристик субпортфелей на страховом рынке
Понятие современного страхового рынка и условия его существования. Перестрахование и формы его организации. Рисковая премия в перестраховочном договоре. Вероятность разорения страховой компании. Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба.
| Рубрика | Банковское, биржевое дело и страхование |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.10.2012 |
| Размер файла | 549,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Для дальнейшего нам понадобится при разных ,
Обозначим этот интеграл через
Итак, установлено, что
(но);
Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением:
тогда: следовательно:
Итак, необходимо только вычислить и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.
1. на практике:
и при большом портфеле
поэтому
т.е. т.е
2.
Итак, риск страховщика после перестрахования составил:
3.
здесь
следовательно,
страховой компания договор ущерб
На практике необходимо указать, кто возмещает 110-й случай, поэтому
Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим . Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен Это из-за отказа от 100%-й надежности. Разность 4,06 должна составить необеспеченный риск.
4.
т.е.
Подведем итоги: Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до возмещений (7370). А за перестрахование придется заплатить всего е.с.с. (391 условных единиц), что вполне приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).
2.4 Вероятность разорения страховой компании
С актуарных позиций разорение означает падение активов до нуля. Необходимо минимизировать вероятность разорения, а если это не получается, то не допустить выход этой вероятности выше некоторого критического уровня:
при некотором , - вероятность окончательного разорения при некотором начальном резерве и (т.е. в момент t резерв стал отрицательным!).
Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что разорение происходит до некоторого фиксированного (конечного) момента (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для любого ).
Логично считать, что при малом . Если на произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в дискретные моменты времени (например, раз в квартал). В первом приближении будем игнорировать эти детали.
При большом N используется подход, основанный на технике построения доверительных интервалов для нормально распределенной случайной величины X. Собранная со всего портфеля нетто-премия плюс резерв и должны компенсировать превышение размера выплат X над ожидаемой (средней) величиной М на t среднего квадратического отклонения. Здесь t определяется из таблицы функции Лапласа. Если найденная по этим условиям вероятность выживания ниже требований Страхнадзора, то приходится прибегать к перестрахованию.
2.5 Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба
Для страховой компании интерес представляет не конкретный индивидуальный иск и связанная с ним выплата страхового пособия, а общая сумма выплат всем застрахованным. Если сумма меньше или равна, чем капитал компании , то компания успешно выполнит свои обязательства. Если же , то компания не сможет оплатить все иски; в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом, вероятность разорения компании - это , т.е. дополнительная функция распределения суммарного риска. Соответственно, функция распределения суммарного иска - это вероятность неразорения. Расчет этих вероятностей представляет фундаментальный интерес для компании и служит основой для принятия важнейших решений.
Для расчета прежде всего отметим, что для случаев краткосрочного страхования жизни
(2.5.1)
и поэтому вероятность разорения компании равна
(2.5.2)
где - общее число застрахованных, а - индивидуальный иск от -го человека. Мы предположим, что в модели (2.5.1) число - неслучайно, а случайные величины - независимы (таким образом, мы исключаем катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких человек, застрахованных в компании). Поскольку суммарный иск представляет собой сумму независимых случайных величин, его распределение может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.
Прежде всего это использование сверток. Напомним, что если и - две неотрицательные случайные величины с функциями распределения и соответственно, то функция распределения их суммы может быть подсчитана по формуле:
(2.5.3)
Применяя формулу (2.5.3) несколько раз, мы можем подсчитать функцию распределения суммы любого числа слагаемых.
Если случайные величины и - непрерывны, то обычно работают с плотностями , . Плотность суммы может быть подсчитана по формуле
Если случайные величины и - целочисленные, то вместо функций распределения обычно работают с распределениями
Распределение суммы может быть определено по формуле
Последний случай представляет для нас наибольший интерес, т.к. при краткосрочном страховании жизни обычно появляются целочисленные величины.
Для подсчета свертки последовательностей и удобно образовать матрицу вида
Таблица 1 Матрица для подсчета свертки последовательностей
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
… |
… |
… |
Таким образом элемент () этой матрицы равен произведению (для формирования этой матрицы удобно написать слева столбец из вероятностей , а сверху - строку из вероятностей , а затем умножить их поэлементно).
Суммируя по линиям , параллельно главной диагонали, мы получим
,
т.е. в точности .
Рассмотрим портфель из четырех одинаковых договоров, согласно которым возможна (условно) компенсация полного ущерба в 2 е.с.с. с вероятностью 0,1 или частичного ущерба в 1 е.с.с. с вероятностью 0,1. Найтем рисковую премию и нетто-премию в этом портфеле.
Каждая из случайных величин имеет распределение, задаваемое таблицей 2.
Таблица 2 Распределение
|
0 |
1 |
2 |
||
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
С рисковой премией трудностей не возникает. Ожидаемый ущерб равен: Следовательно, страховщик соберет суммарную рисковую премию 1,2, что позволит ему за счет взносов клиентов выплатить возмещение только для одного страхового случая с частичным ущербом.
Для оценки устойчивости этого страховщика следует оценить распределение суммарного ущерба по всем четырем договорам.
Есть четыре независимые одинаково распределенные случайные величины. При анализе будем последовательно переходить от одной величины к двум, затем от двух - к трем, и т.д. Итак, для двух величин возможны девять различных вариантов:
Для подсчета распределения суммы X1+X2 образуем матрицу из 3-х строк и 3-х столбцов с элементами (таблица 3).
Таблица 3 Распределения суммы X1+X2
|
X1=0 |
X1=1 |
X1=2 |
||
|
X2=0 |
0,64 |
0,08 |
0,08 |
|
|
X2=1 |
0,08 |
0,01 |
0,01 |
|
|
X2=2 |
0,08 |
0,01 |
0,01 |
Поэтому для имеем таблицу 4.
Таблица 4 Распределения для
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
0,64 |
0,16 |
0,17 |
0,02 |
0,01 |
(поскольку , их сумма не превосходит 4).
Для подсчета образуем матрицу из трех строк и пяти столбцов с элементами (таблица 5).
Таблица 5 Матрица для подсчета
|
P(1+2) |
0,64 |
0,16 |
0,17 |
0,02 |
0,01 |
|
|
P3 |
||||||
|
0,8 |
0,512 |
0,128 |
0,136 |
0,016 |
0,008 |
|
|
0,1 |
0,064 |
0,016 |
0,017 |
0,002 |
0,001 |
|
|
0,1 |
0,064 |
0,016 |
0,017 |
0,002 |
0,001 |
Поэтому для распределения X1+X2+ X3 имеем таблицу 6.
Таблица 6 Распределение X1+X2+ X3
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
0,512 |
0,192 |
0,216 |
0,049 |
0,027 |
0,003 |
0,001 |
Наконец для подсчета образуем матрицу из 3 строк и 7 столбцов с элементами (таблица 7).
Таблица 7 Матрица для подсчета
|
0,4096 |
0,1536 |
0,1728 |
0,0392 |
0,0216 |
0,0024 |
0,0008 |
|
|
0,0512 |
0,0192 |
0,0216 |
0,0049 |
0,0027 |
0,0003 |
0,0001 |
|
|
0,0512 |
0,0192 |
0,0216 |
0,0049 |
0,0027 |
0,0003 |
0,0001 |
Тогда распределение X1+X2+ X3+ X4 имеет вид (таблица 8):
Таблица 8 распределение X1+X2+ X3+ X4
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
0,4096 |
0,2048 |
0,2432 |
0,0800 |
0,0481 |
0,0100 |
0,0038 |
0,0004 |
0,0001 |
Накопленная вероятность соответственно равна (таблица 9):
Таблица 9 Накопленная вероятность
|
0,4096 |
0,6144 |
0,8576 |
0,9376 |
0,9857 |
0,9957 |
0,9995 |
0,9999 |
1,000 |
Отсюда видно, что при собранной суммарной рисковой премии, равной 1,2, вероятность неразорения составит всего 0,6144 (менее 62%), что допустимо мало. Следовательно, необходимо включить в премию еще и рисковую надбавку. Если страховщик соберет суммарные взносы в размере 3 е.с.с., то он обеспечит вероятность неразорения около 94%, что вполне приемлемо. Отметим, что если страховщик будет ориентироваться на вероятность и захочет обеспечить вероятность неразорения не ниже 90%, то ему потребуется собрать те же 3 е.с.с. Этот результат означает, что премия должна составлять не 0,3 е.с.с., а 3/4, т.е. 0,75 е.с.с., что недопустимо много. Клиент не согласится столько платить. (Нет смысла страховаться!)
Если клиент согласен платить не 0,3, а 0,5, то собранные премии позволяют обеспечить надежность более 85%, что уже близко к норме. Здесь рисковая надбавка составляет 2/3 от рисковой премии (Многовато!) Это следствие малого портфеля и довольно высокой вероятности.
Таблица 10 Распределение и функция распределения случайной величины
|
0 |
0,4096 |
0,4096 |
|
|
1 |
0,2048 |
0,6144 |
|
|
2 |
0,2432 |
0,8576 |
|
|
3 |
0,0800 |
0,9376 |
|
|
4 |
0,0481 |
0,9857 |
|
|
5 |
0,0100 |
0,9957 |
|
|
6 |
0,0038 |
0,9995 |
|
|
7 |
0,0004 |
0,9999 |
|
|
8 |
0,0001 |
1,0000 |
Подсчет распределения суммы с помощью сверток - крайне кропотливое утомительное занятие, если делать это вручную. Однако, при использовании компьютеров никаких проблем не возникает. Для ручных же расчетов удобнее использовать производящие функции.
Напомним, что производящей функцией неотрицательной случайной величины с распределением называется сумма ряда
Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение распределений этих величин. Это следует из разложения в ряд Тейлора:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с производящей функцией выражаются через производные этой производящей функции в точке 1:
Производящая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их производящих функций.
Итак, Тогда для суммы четырех СВ:
Отбирая коэффициенты при степенях , получаем искомые вероятности (те же самые, которые получили ранее!
Этот пример позволяет сделать поучительный вывод о величине премии. Допустим, что мы подсчитали нетто-премию в соответствии с принципом эквивалентности обязательств страховщика и страхователя как и приняли ее в качестве платы за страховую защиту. Тогда суммарная премия по рассматриваемому портфелю будет 1,2 и , значит, вероятность того, что для выплат не хватит этих средств («вероятность разорения») будет равна т.е. недопустима велика. Из таблицы 10 видно, что для того, чтобы вероятность разорения не превосходила 10%, мы должны иметь активы в 3 единицы, т.е. стоимость одного полиса должна быть 0,75. Конечно, это слишком большая плата - это связано со слишком малым объемом портфеля. Тем не менее, этот пример показывает, что реальная плата за страховку должна превосходить нетто-премию.
2.6 Приближенные методы расчета вероятности разорения
Рассмотренные ранее методы составления закона распределения суммарного иска относятся к точным методам (они применимы при маленьком числе застрахованных компанией). При большом числе застрахованных используются приближенные методы расчета суммарного иска. Подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте вероятность часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы определенным образом менялось вместе с ), который можно принять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практические потребности. Рассмотрим два вида приближений для вероятности разорения: приближение Пуассона и нормальное (или гауссовское) приближение.
2.6.1 Приближение Пуассона
Приближение Пуассона основано на следующей простой теореме.
Предположим, что индивидуальные иски независимы и принимают только значения 0 и 1 с вероятностями
и
Допустим, что но имеет конечный положительный предел
Тогда
(2.6.1)
Набор чисел , стоящий в правой части соотношения (2.6.1) обладает свойствами:
1.
2.
и поэтому может рассматриваться как распределение некоторой случайной величины . Это распределение называется распределением Пуассона, а число называется параметром распределения Пуассона. Следующие свойства случайных величин, имеющих распределение Пуассона, важны для приложений
1.
2. Если - независимы и распределены по закону Пуассона с параметрами и соответственно, то их сумма имеет распределение Пуассона с параметром .
Как распределение Пуассона, так и различные его характеристики табулированы. Для приложений к страхованию особенно важны квантили. Напомним, что квантиль уровня - это наименьшее число такое, что
Рассмотрим теперь простейший случай краткосрочного страхования жизни когда компания выплачивает сумму в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Предположим, что на этих условиях застраховано 3000 человек в возрасте лет. Используя иллюстративную таблицу из ПРИЛОЖЕНИЯ В, для вероятности иска имеем значение Поскольку мы можем приблизить распределение суммарного иска аналогичной вероятностью для распределения Пуассона с параметром 9.
Для того, чтобы вероятность разорения компании не превосходила 5%, мы должны иметь капитал Это означает, что плата за страховку для каждого застрахованного должна быть (от величины страхового пособия). Если страховое пособие руб., то реальная плата за страховку составляет руб. Нетто-премия равна руб.
Разница между премией и нетто-премией называется страховой надбавкой, а называется относительной страховой надбавкой и обозначается .
В нашем примере страховая надбавка равна 417 руб., а относительная страховая надбавка Страховая надбавка обеспечивает защиту компании от разорения по причине случайных флуктуаций индивидуальных исков вокруг их среднего значения .
Общая формула для платы за страховку таким образом имеет вид:
а для данного примера с использованием Пуассоновского приближения имеем следующую формулу:
(2.6.2)
Способ подсчета премий на использовании пуассоновского приближения для вероятности разорения, не очень удобен, т.к в формуле (2.6.2) не фигурирует в явном виде нетто-премия .
Приближение Пуассона может применяться и к более общим случаям. Например, если индивидуальный иск может принимать несколько дискретных значений, то величина суммарного иска может быть описана с помощью полиномиального распределения, которое, в свою очередь, можно аппроксимировать многомерным распределением Пуассона. Если портфель компании состоит из неоднородных договоров (с точки зрения вероятности иска), то их можно группировать в однородные группы, приближать суммарный иск в каждой группе пуассоновской случайной величиной и, применяя теорему о сумме независимых пуассоновских величин, приближать суммарный иск новой пуассоновской величиной. Тем не менее, пуассоновское приближение может применяться только к сравнительно узкому классу задач. Гораздо более общим является гауссовкое приближение, к рассмотрению которого мы сейчас переходим.
2.6.2 Приближение Гаусса
Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит следующим образом:
Если случайные величины независимы и одинаково распределены со средним и дисперсией , то при функция распределения центрированной и нормированной суммы
имеет предел равный
Поэтому если число слагаемых велико, то можно написать приближенное равенство:
или то же самое,
(2.6.3)
Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на случаи, когда слагаемые имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы имело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссовское приближение для
Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.
Функция при росте от до возрастает от 0 до 1 и непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины . Это распределение называется гауссовским, или нормальным. Существуют подробные таблицы, как для функции распределения , так и для плотности
Полезно иметь таблицу квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения . Например, в таблице 11 указаны квантили , соответствующие вероятностям разорения 1-5%.
Таблица 11 Квантили
|
1% |
2% |
3% |
4% |
5% |
||
|
2,33 |
2,05 |
1,88 |
1,75 |
1,645 |
В качестве иллюстрации применим гауссовское приближение для расчета величины премии, обеспечивающей вероятность разорения порядка 5%, в примере, рассмотренном в конце предыдущего пункта (в компании застраховано 3000 человек с вероятностью смерти в течение года ; страховая сумма руб. принята за единицу).
Прежде всего мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного иска. Применяя формулы и мы получим:
Поэтому
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина должна быть равной , т.е. . Соответственно, плата за одну страховку должна быть (от величины страхового пособия), т.е. в абсолютных величинах около 1161 руб. Сравнивая эту сумму с суммой, полученной с помощью пуассоновского приближения (1167 руб.), мы видим, что различие совершенно незначительно (около 0,5%).
Однако Гауссовское приближение удобно тем, что позволяет получить для премии аналитическую формулу, в которую явно входит нетто-премия. Например, если в компании застраховано человек и для каждого из них имеет одно и то же среднее (которое мы принимаем в качестве нетто-премии ) и дисперсию , то вероятность неразорения дается формулой
Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была бы , то
должно равняться квантилю , т.е.
(2.6.4)
Соответственно, относительная страховая надбака есть:
(2.6.5)
Формула (2.6.5) показывает, что дополнительная защитная надбавка достаточно мала, если в компании застраховано много людей (конечно при условии, что флуктуации индивидуальных исков, описываемые дисперсией , не очень велики).
Суммарный доход компании от всей совокупности заключенных договоров есть . Если эта величина отрицательна, то на самом деле мы имеем убыток в размере . Средний доход равен
.
2.7 Аппроксимация биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона
Из теории вероятностей известно, что при большом числе испытаний биномиальное распределение можно аппроксимировать:
· либо нормальным законом, если вероятность не очень мала ();
· либо законом Пуассона для редких событий ().
Естественно, одновременно использовать обе аппроксимации нельзя, кроме того, не вполне ясно, как быть, если .
Феллер утверждает, что при достаточно большой интенсивности потока Пуассона () это распределение можно успешно аппроксимировать нормальным законом. Проверим, как работает подобный прием для меньших значений интенсивности.
Рассмотрим пример: тогда .
Например,
(уже заведомо известные)
Воспользуемся формулой: и получим результаты:
; ;
; .
Сравнение результатов показывает хорошее совпадение только вблизи «практической достоверности», а по мере удаления надежности от этого значения погрешность растет. На практике задача решается в обратном направлении, т.е. задается надежность и по ней определяется, сколько страховых случаев надо обеспечить. На основании этого рассчитываются надбавка и резерв, а также обосновывается выбор перестраховочной программы. Поэтому необходимо соблюдать осторожность при подобной процедуре. Проиллюстрируем это.
При рассмотрении поведения страховщика на рынке применялась нормальная аппроксимация биномиального распределения, так как вероятность наступления страхового случая Однако, часто значение значительно ближе к 0, например, 0,01, тогда нормальная аппроксимация некорректна, необходима аппроксимация пуассоновским законом. Соответственно, изменится методика исследования. Рассмотрим пример.
Пусть При наступлении страхового случая страховая сумма выплачивается полностью. Проанализировать ситуацию.
Решение. Тогда
Итак рисковая премия (РП) равна 20, а параметр потока Пуассона равен 4. Собранная со всего портфеля рисковая премия:
обеспечивает выплату возмещений, если число страховых случаев не превышает четырех ( т.е. ). Рассчитаем вероятность выполнения страховщиком своих обязательств в этой ситуации. Эти вероятности либо рассчитываются непосредственно, либо берутся из таблицы Пуассона.
а их сумма равна 0,6289 (около 63%).
Очевидно, это не может устроить ни самого страховщика, ни Страхнадзор. Страховщик может повысить надежность с помощью следующих четырех основных рычагов: рисковой надбавки (РН), резерва (Р), перестрахования (П) и прибыли от инвестирования временно свободных средств (И). Последнее позволяет ему опираться на более высокую процентную ставку и за счет этого либо снизить тариф, либо сначала увеличить резерв, с помощью него повысить свою надежность, и уже в результате этого снизить свой тариф. Однако в данном примере мы не будем рассматривать такую возможность, т.е. ограничимся только первыми тремя рычагами.
Итак, предположим, что страховщик назначил относительную надбавку 25%, тогда его нетто-премия (НП) составит: Со всего портфеля он соберет: что позволит ему выплатить пять возмещений (). Следовательно, надежность страховщика повысилась на это значение и достигла 0,7852 (около 78,5%). Полученный результат еще нельзя считать удовлетворительным, поэтому страховщик хочет еще повысит свою надежность. Прежде всего он анализирует возможность сделать это за счет рисковой надбавки. Если он сможет назначить (и получить со своих страхователей!) относительную надбавку в 50%, то соберет со всего портфеля 12 000, что обеспечит ему надежность:
0,7852+0,1042=0,8894 (около 89%).
Но надо считаться с реальностью. С одной стороны, страхователи не согласятся столько платить, поэтому они уйдут к другому страховщику, у которого более низкие тарифы. (Например, это может быть более крупная компания.) С другой стороны, Страхнадзор не удовлетворен столь низкой надежностью, он требует ее повысить, как минимум, до 94%.
Следовательно, надо накапливать сумму пуассоновских вероятностей до тех пор, пока это (заданное Страхнадзором) значение не будет впервые превышено. Очередное значение: 0,0595 позволяет повысить надежность до 0,8894+0,0595=0,9489. Это означает, что страховщик должен обеспечить выплату семи возмещений. Поэтому ему необходим резерв для оплаты двух возмещений, т.е. 4000 усл.ед.
Если же Страхнадзор потребовал обеспечить надежность 0,99, то процесс накопления вероятностей продолжается.
Следующие значения вероятностей: 0,0298 и 0,0132 вместе позволяют повысить надежность еще на 0,0430, т.е. достичь надежности 0,9919. Только теперь требуемый Страхнадзором уровень впервые превзойден, поэтому страховщик должен опираться именно на данную ситуацию.
Итак, страховщик должен обеспечить выполнение своих обязательств, если Из этого он может за счет взносов (НП) выплатить лишь 5 первых возмещений. Предположим, что он может иметь резерв 4000, которого достаточно для выплаты еще двух возмещений (). Здесь следует выразить сомнение, что страховщик (такая сравнительно небольшая компания) может позволить себе иметь резерв, почти равный собираемой суммарной НП. Временно абстрагируемся от этого сомнения, тогда оставшиеся страховые случаи () необходимо передать на перестрахование.
Следовательно, надо найти цену этого перестраховочного договора. Различное число страховых случаев - это несовместные события, поэтому:
Это рисковая премия за данный перестраховочный договор. Нетто-премия в этом договоре, учитывающая рисковую надбавку перестраховщика (она всегда выше, чем у цедента!), например, 40%, составит:
соответствующая брутто-премия (при нагрузке у перестраховщика: 10% от его тарифа) составит: 187,36/0.9=174,8.
Это и есть цена данного перестраховочного договора.
Если предположить, что страховщик может позволить себе отвлечь в резерв еще 200 усл.ед. (для оплаты восьмого страхового случая), то на перестрахование передается лишь девятый случай. Тогда рисковая премия в таком договоре составит:
Соответственно, нетто-премия: брутто-премия:
Следовательно, страховщику надо решить, что для него предпочтительнее: отвлечь дополнительно в резерв 2000, или безвозвратно потерять: 174,8-41,1=133,7 (около 7% от 2000). Очевидно, его решение будет зависеть от процента, под который можно инвестировать эти 2000 усл.ед.
Теперь рассмотрим более крупную компанию (), работающую с теми же рисками ().
Решение. Тогда , что позволяет использовать нормальную аппроксимацию распределения Пуассона:
Для сравнения используем те же значения вероятностей :
0,78; 0,89; 0,94; 0,99.
Получим соответствующие значения 1,23; 1,55; 1,88; 2,58.
Найдем (с округлением в большую сторону): 31; 33; 34; 38.
Собранной суммарной нетто-премии: достаточно для выплаты возмещений по первым 31 случаю (и еще останется 500). Поэтому, если ориентироваться только на резерв, то потребуется соответственно: 3500; 5500; 13 500. Наверное, компания может позволить себе иметь резерв 5500 (8% от собираемой нетто-премии - хорошее соотношение). Возможно, она даже в состоянии обойтись своими средствами, не прибегая к перестрахованию (ведь 13500 составляют всего 21% от собираемой нетто-премии, что вполне приемлемо). Однако эти собственные средства компания могла иметь после некоторого периода успешной работы на страховом рынке (например, за счет неиспользованной собранной заранее суммарной рисковой надбавки).
3. Разработка программного модуля определения характеристик субпортфелей
3.1 Задача двух субпортфелей
Рассмотрим следующую задачу. Есть два субпортфеля с параметрами:
1) Оценить степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле;
2) Найдите одинаковую относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения не ниже 95%;
3) Найти нетто-премию.
Решение:
1. Сначала найдем среднее значение, дисперсию и средне квадратичное отклонение для каждого отдельного субпортфеля:
Используя формулу , найдем степень риска для отдельных субпортфелей:
- степень риска для первого субпортфеля;
- степень риска для второго субпортфеля;
Для всего портфеля:
2. По формуле найдем относительную надбавку, где .
Относительная надбавка слишком велика.
3. Нетто-премию найдем по формуле .
Здесь под НП обозначили нетто-премию, а под РП - рисковую премию (это и есть М(x)).
- нетто-премия.
3.2 Задача трех субпортфелей
Рассмотрим еще одну подобную задачу для трех субпортфелей. Есть два субпортфеля с параметрами:
4) Оценить степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле;
5) Найдите одинаковую относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения не ниже 95%;
6) Найти нетто-премию.
Решение:
1. Сначала найдем среднее значение, дисперсию и средне квадратичное отклонение для каждого отдельного субпортфеля:
;
.
Используя формулу , найдем степень риска для отдельных субпортфелей:
- степень риска для первого субпортфеля;
- степень риска для второго субпортфеля;
- степень риска для третьего субпортфеля;
Для всего портфеля:
2. По формуле найдем относительную надбавку, где .
Относительная надбавка слишком велика.
3. Нетто-премию найдем по формуле .
Здесь под НП обозначили нетто-премию, а под РП - рисковую премию (это и есть М(x)).
- нетто-премия.
3.3 Общие сведения о программе
Языком программирования данной программы является язык объектно-ориентированного программирования Delphi.
Средства автоматизации разработки:
· набор компонентов, позволяющих конструировать собственные оболочки;
· средства компилирования компонентов в виде языка высокого уровня;
· развитый графический интерфейс с пользователем.
Оболочка программы ориентирована на работу с пользователем-непрофессионалом в области программирования. Основным свойством программы является то, что она содержит все компоненты системы в готовом виде и их использование не предполагает программирования, а сводится лишь к организации ввода и вывода данных.
3.4 Функциональное назначение программы
Данная программа предназначена для актуарного расчета важных характеристик работы страховой компании при некоторых известных данных (количество договоров, страховая сумма, вероятность предъявления требований об оплате и т.д.)
С помощью полученных данных можно определить степень риска, вероятность разорения, нетто-премию и другие важные характеристики для страховщика.
3.5 Анализ входных и выходных данных
Входные данные - это информация, передаваемая системе. Такая информация может стать причиной изменений в постоянных данных, но не является частью базы данных как таковой. То есть входными данными называются данные, вводимые пользователем в программу. А отображаемые результаты после действия программы называются выходными данными
В работе программы используются следующие входные данные:
- число договоров субпортфелей
- страховая сумма
- вероятность предъявления требований
Выходные данные в разработанной программе - все показатели, полученные из исходных данных, путем вычислений.
3.6 Анализ результатов
Ниже мы можем сравнить результаты вычислений характеристик субпортфелей, полученные с помощью программы и аналитически. Результаты, полученные с использованием программного модуля, полностью совпадают с аналитическими расчетами. Результаты программы мы можем увидеть в ПРИЛОЖЕНИЯХ А и В. На форме сверху расположены величины, которые нужно задать (количество договоров, вероятность, страховая сумма) для субпортфелей, а снизу приводятся вычисления актуарных расчетов. Справа на форме приведен фрагмент таблицы значений функции Лапласса. В первом столбце приведено значение , а во втором - значение .
Рассмотрим вычисления для двух субпортфелей. Под пунктом 1) Оценивается степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле; результат вычислений: для первого субпортфеля - 99,95% , для второго субпортфеля - 70,69%, для всего портфеля - 67,86%. Под пунктом 2) вычисляется относительная надбавка; результат вычислений - 112%. Под пунктом 3) вычисляется нетто-премия; результат вычислений -33,915. Сравнивая с результатами, приведенными выше (вычисления с помощью формул), мы видим, что они совпадают.
Заключение
В дипломной работе проанализированы модели краткосрочного страхования жизни, рассмотрены индивидуальные убытки страхователя и страховщика, рассмотрены методы точного расчета характеристик суммарного ущерба страховой компании и приближенного расчета вероятности разорения, показана актуальность использования различных методов при решении актуарных задач.
Исследуемая нами проблема анализа риска субпортфелей на страховом рынке стоит на стыке теории вероятностей, актуарной математики и финансовой математики. Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой.
При разработке теоретических положений дипломной работы использованы методы системного анализа, математические модели, составленные на основе экономических законов.
Особое внимание в этой работе было уделено расчету рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и страхователя. Кроме этого, рассмотрена надбавка на безопасность, призванная компенсировать отклонения от общего ущерба и тем самым обеспечить безубыточность страхования. Проиллюстрирована возможность повышения вероятности выживания страховщика с помощью резерва и перестрахования.
В работе на конкретных примерах показан расчет актуарных характеристик субпортфелей, состоящих от одного до пяти различных видов договоров страхования жизни. Создана программа на языке программирования Delphi для расчета основных характеристик субпортфелей. Результаты, полученные аналитическими вычислениями, совпадают с результатами реализации программы. Применение таких программ ведет к рациональному использованию времени работы страховых компаний и ускоряет принятие рациональных решений.
Таким образом, поставленные нами задачи в ходе работы достигнуты.
Список литературы
1. Архипов А.П., Гомеля В.Б., Туленты Д.С. Страхование. Современный курс: Учебник / Под ред. Е.В.Коломина.-М.: Финансы и статистика, 2006. - 416 с.
2. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем). - М.: Анкил, 2001. - 296с.
3. Лундберг Ф.М. Теория рисков. М.: РЮИД, 2004. - 326с.
4. Крамер Х.К. Управление рисками в страховании. - М.: Анкил, 1995.-240 с.
5. Бельманн Х.М. Теория и управление рисками в страховании. М.: Финансы и статистика, 2002. - 320с.
6. Калашников В.В. Классический процесс риска. -М,: Финстатинформ, 2006. - 150с.
7. Венинг В.Е. Основы теории риска. - М.: Дело, 2005. -400с
8. Королев В.Ю. Методы точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска. -М.: НТК «Трек», 1994. - 222с.
9. Шалунова Л.В. Математические модели вероятности разорения страховых компаний. Дипломная работа. 2007. -60с.
10. Корнилов И.А. Актуарные расчеты в практике страхования. - М.: МЭСИ, 1998. -356с.
11. Корнилов И.А. Основы страховой математики. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 400с.
12. Корнилов И.А. Распределение ресурсов и управление запасами в страховании. -М.: МЭСИ, 2000.-280с.
13. Королькевич В.А. Страхование. -М.: НТК «Трек», 1994. - 386с.
14. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 2005. -482с.
15. Орланюк-Малицкая Л.А. Платежеспособность страховой организации. - М.: Анкил, 2003. - 394с.
16. Рябикин В.И. Актуарные расчеты. -М,: Финстатинформ, 2006. - 176с.
17. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1997.-522с.
18. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: РЮИД, 2004. -326с.
19. Хохлов Н.В. Управление рисками. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 268с.
20. Хэмптон Д.Д. Финансовое управление в страховых компаниях. - М.: Анкил,1995.-426с.
21. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: Дело Лтд, 1995.-518с.
22. Шахов В.В., Медведев В.Г. Миллерман А.С. Теория и управление рисками в страховании. М.: Финансы и статистика, 2002. - 490с.
23. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. -М.: ФИЗМАЛИТ,2003. - 192с.
Приложение А
Модуль расчета характеристик двух субпортфелей
Рис. 1 Модуль расчета характеристик двух субпортфелей
Приложение Б
Модуль расчета характеристик трех субпортфелей
Рис. 2 модуль расчета характеристик трех субпортфелей
Приложение В
Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни
Таблица 11 Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни
|
35 |
0.002540 |
95260 |
242 |
46.05 |
|
|
36 |
0.002673 |
95018 |
254 |
45.16 |
|
|
37 |
0.002828 |
94764 |
268 |
44.28 |
|
|
38 |
0.002984 |
94496 |
282 |
43.41 |
|
|
39 |
0.003142 |
94214 |
296 |
42.54 |
|
|
40 |
0.003322 |
93918 |
312 |
41.67 |
|
|
41 |
0.003515 |
93606 |
329 |
40.81 |
|
|
42 |
0.003709 |
93277 |
346 |
39.95 |
|
|
43 |
0.003928 |
92931 |
365 |
39.09 |
|
|
44 |
0.004159 |
92566 |
385 |
38.25 |
|
|
45 |
0.004404 |
92181 |
406 |
37.40 |
|
|
46 |
0.004664 |
91775 |
428 |
36.57 |
|
|
47 |
0.004937 |
91347 |
451 |
35.74 |
|
|
48 |
0.005237 |
90896 |
476 |
34.91 |
|
|
49 |
0.005552 |
90420 |
502 |
34.09 |
|
|
50 |
0.005883 |
89918 |
529 |
33.28 |
|
|
51 |
0.006242 |
89389 |
558 |
32.47 |
|
|
52 |
0.006631 |
88831 |
589 |
31.68 |
|
|
53 |
0.007037 |
88242 |
621 |
30.88 |
|
|
54 |
0.007475 |
87621 |
655 |
30.10 |
|
|
55 |
0.007934 |
86966 |
690 |
29.32 |
Приложение Г
Основные модули
Основные процедуры программного модуля расчета характеристик субпортфелей
procedure TPortfely.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var N,N1,N2,N3,N4,N5,s1,s2,s3,s4,s5,i,s: integer;
p1,p2,p3,p4,p5:real;
Mx1,Mx2,Mx3,Mx4,Mx5,Mx,M,D,Dx1,Dx2,Dx3,Dx4,Dx5,K1,K2,K3,K4,K5,K: real;
E1,E,Ft,t,Q,w,R:real;
begin
//Степень риска К1
if (Main.send=1) or (Main.send=2) or (Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then
begin
N1:=StrToInt(Edit1.Text);
s1:=StrToInt(edit2.Text);
p1:=StrToFloat(Edit3.Text);
Mx1:=N1*p1*s1;
Dx1:=N1*p1*(1-p1)*sqr(s1);
K1:=(sqrt(Dx1))/Mx1;
Label15.Caption:='K1='+FloatToStr(K1*100); //степень риска для портфеля A
end;
//степень риска К2
if (Main.send=2) or (Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then
begin
N2:=StrToInt(Edit4.Text);
s2:=StrToInt(Edit5.Text);
p2:=StrToFloat(Edit6.Text);
Mx2:=N2*s2*p2;
Dx2:=N2*p2*(1-p2)*sqr(s2);
K2:=(sqrt(Dx2))/Mx2;
Label16.Caption:='K2='+FloatToStr(K2*100);
end;
//степень риска К3
if (Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then
begin
N3:=StrToInt(Edit7.Text);
s3:=StrToInt(Edit8.Text);
p3:=StrToFloat(Edit9.Text);
Mx3:=N3*p3*s3;
Dx3:=N3*p3*(1-p3)*sqr(s3);
K3:=(sqrt(Dx3))/Mx3;
Label17.Caption:='K3='+FloatToStr(K3*100);
end;
//степень риска К4
if (Main.send=4) or (Main.send=5) then
begin
N4:=StrToInt(Edit10.Text);
s4:=StrToInt(Edit11.Text);
p4:=StrToFloat(Edit12.Text);
Mx4:=N4*p4*s4;
Dx4:=N4*p4*(1-p4)*sqr(s4);
K4:=(sqrt(Dx4))/Mx4;
Label18.Caption:='K4='+FloatToStr(K4*100);
end;
//степень риска К5
if (Main.send=5) then
begin
N5:=StrToInt(Edit13.Text);
s5:=StrToInt(Edit14.Text);
p5:=StrToFloat(Edit15.Text);
Mx5:=N5*p5*s5;
Dx5:=N5*p5*(1-p5)*sqr(s5);
K5:=(sqrt(Dx5))/Mx5;
Label19.Caption:='K5='+FloatToStr(K5*100);
end;
//Общая степень риска и другие вычисления в зависимости от количества портфелей
if Main.send=1 then
begin
M:=Mx1;
D:=Dx1;
N:=N1;
end;
if Main.send=2 then
begin
M:=Mx1+Mx2;
D:=Dx1+Dx2;
N:=N1+N2;
K:=(sqrt(D))/M;
Label20.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);
end;
if Main.send=3 then
begin
M:=Mx1+Mx2+Mx3;
D:=Dx1+Dx2+Dx3;
N:=N1+N2+N3;
K:=(sqrt(D))/M;
Label20.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);
end;
if Main.send=4 then
begin
M:=Mx1+Mx2+Mx3+Mx4;
D:=Dx1+Dx2+Dx3+Dx4;
N:=N1+N2+N3+N4;
K:=(sqrt(D))/M;
Label20.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);
end;
if Main.send=5 then
begin
M:=Mx1+Mx2+Mx3+Mx4+Mx5; //Мх общее
D:=Dx1+Dx2+Dx3+Dx4+Dx5; //Dx общее
N:=N1+N2+N3+N4+N5;
K:=(sqrt(D))/M;
Label20.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);
end;
//Вероятность разорения
E:=strtoint(Edit16.Text);
E1:=1-(E/100);
Label21.Caption:=FloatToStr(E1*100)+' %';
//Находим функцию ф(t)
Ft:=1-2*E1;
Label24.Caption:='Ft='+FloatToStr(Ft);
//Фильтруем таблицу от лишних значений
If Edit16.Text='' then Portfely.Table1.Filtered:=False
else
begin
Portfely.Table1.Filtered:=true;
Portfely.Table1.Filter:='Ft>'+#39+FloatToStr(Ft)+#39;
t:=Portfely.Table1T.asFloat;
Label25.Caption:='t='+FloatToStr(t);//выводим значение для проверки end;
w:=t*sqrt(D); //d
Q:=w/M; //Относительная надбавка
Label22.Caption:='Q='+FloatToStr(Q);
//Нетто-премия
R:=M*(1+Q);
Label23.Caption:='П='+FloatToStr(R);
end;
end.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Место страхового рынка в финансовой системе, характеристика его функций, структуры и организации. Основные субъекты страхового рынка. Понятие страховой услуги как товара, предлагаемого на страховом рынке. Особенности страхового рынка Российской Федерации.
реферат [384,0 K], добавлен 04.11.2015Понятие страхового ущерба как стоимости полностью погибшего или обесцененной части поврежденного имущества по страховой оценке. Определение величины страхового возмещения. Включение расходов по спасению имущества во время страхового случая в сумму ущерба.
презентация [1,1 M], добавлен 10.02.2014Основные определения и анализ, понятие страхового рынка, его структура и условия существования, правовые основы страхования. Финансовая деятельность страховых компаний, формирование прибыли страховой организации, ее устойчивость и платежеспособность.
курсовая работа [55,7 K], добавлен 28.01.2010Понятие страхового рынка и условия его существования. Структура страхового рынка и его виды. Внутреннее содержание и внешнее окружение страхового рынка. Управляемые и неуправляемые факторы. Современное состояние страхового рынка России.
реферат [16,4 K], добавлен 12.02.2003Основные функции, формы и виды перестрахования. Перестрахование как гарантия устойчивости страховой компании. Резервы по договорам перестрахования. Анализ перестраховочного рынка. Учет принятых и переданных договоров и резервов в перестраховании.
курсовая работа [50,8 K], добавлен 09.05.2011Перестрахование как гарантия устойчивости страховой компании, его основные функции, формы и виды. Принципы расчета страховой суммы, порядок выплат. Брутто-ставка и ее элементы. Определение физической величины ущерба и его возмещения при несчастном случае.
контрольная работа [457,0 K], добавлен 16.11.2012Экономическое содержание перестрахования, его формы и методы, история появления. Передача страхового риска. Покупатели, продавцы и страховые посредники. Отличительные черты современного мирового рынка перестрахования. Его место и роль на российском рынке.
реферат [18,7 K], добавлен 13.01.2011Анализ привлекательности российского страхового рынка для зарубежных компаний. Интеграция российских страховых компаний в международный страховой рынок и деятельность иностранных страховщиков на российском рынке. Перестрахование в сфере страхового рынка.
контрольная работа [29,5 K], добавлен 06.09.2010Понятие и сущность страхового рынка. Государственное регулирование страхового рынка в Республике Казахстан. Регулирование в зарубежных странах. Показатели страхового рынка. Инвестиционный портфель страховых организаций. Страховые премии и выплаты.
курсовая работа [84,9 K], добавлен 02.05.2009Ознакомление с основами деятельности страховой компании "Согласие". Изучение особенностей формирования страхового портфеля с периода 2010 по 2013 год, рассмотрение показателей его эффективности. Общий анализ проведенных выплат и премий организации.
отчет по практике [675,0 K], добавлен 22.04.2014
