ВВЕДЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

В основе науки вообще и, в частности, естественных наук лежит некоторый фундамент представлений, несущих на себе все здание теоретических и прикладных знаний. Этим фундаментальным представлениям посвящены высказывания и размышления многих корифеев науки. К числу таких представлений относятся и такие понятия, как численность, пространственные и временные размеры объектов и процессов. В заключительной части публикации обсуждается всеобщий характер связи между размерами систем и типом взаимодействий в них.

Такие термины, как объект и процесс, используются в научном анализе повсеместно. Под объектом мы будем понимать сущность, которая в большей или меньшей степени сохраняет с течением времени все или наиболее важные свои признаки, несмотря на некоторую вполне допустимую эволюцию. Часто (но далеко не всегда) таким признаком является известное постоянство пространственной конфигурации тела, предмета в сопутствующей системе отсчета, т.е. полная или частичная независимость его пространственных свойств от времени. В то же время нас, как правило, не смущает даже весьма заметная эволюция объектов. Например, новорожденный младенец мало похож на взрослого человека, в том числе и по своим размерам, однако мы уверенно отождествляем их в том случае, когда речь идет об одном и том же человеке. Более того, мы имеем в виду один и тот же объект (точнее, одного и того же субъекта), когда говорим, скажем, о мифическом оборотне, т.к. полагаем самоидентичной истинную (внутреннюю) сущность его различных обликов.

При отождествлении объекта могут возникать и логические коллизии, как, например, в известной проблеме отождествления с самим собой деревянного корабля, в котором сначала заменили одну доску, затем другую, затем половину всех досок, а затем и все остальные. Трудно в этом случае указать момент, когда объект перестал быть самим собой, если применять дихотомический (да-нет) подход. Эта трудность поддается решению при использовании непрерывной меры различия/сходства объектов. Подобные ситуации не так уж умозрительны или схоластичны, как может показаться. Например, с ними современная физика сталкивается при переходе к описанию систем тождественных частиц.

Объекты, с которыми имеет дело наука, редко изучаются сами по себе. Как правило, они представляют собой некоторую систему более элементарных объектов и/или сами являются элементами некоторой системы. Система характеризуется тем, что между ее элементами существуют определенные взаимодействия. Таким образом, система - это нечто существенно большее, чем простая совокупность своих элементов, поскольку необходимо учитывать еще и множество определенных для нее статических и/или динамических отношений между этими элементами.

Являются ли численные и пространственно-временные характеристики (и только они) определяющими? Часто нам кажется, что это действительно так. Мы не обращаем внимания на мелкую кочку, но серьезно готовимся к подъему на большую гору. Мы не сожалеем о потерянных секундах, но мечтаем вернуть ушедшие безвозвратно годы. Мы не обращаем внимания на одиночную капельку влаги, но спешим укрыться от сильного дождя. С другой стороны, небольшого размера алмаз может представлять для нас несравнимо большую ценность, чем огромный булыжник, а радикальные перемены в судьбе могут произойти в считанные секунды после многих лет плавного и неизменного течения жизни. Одинокий мыслитель, подобный Ньютону или Эйнштейну, зачастую вносит в науку вклад неизмеримо больший, чем заурядный (хотя и многочисленный) научный коллектив.

Во многих случаях мы склонны считать, что численность, протяженность и длительность, характеризующие те или иные объекты, системы и их совокупности, являются случайными и никак не связаны с другими характеристиками. Так ли это? Для очень широкого класса систем, где имеется внутрисистемное взаимодействие и/или взаимодействие между данной системой и внешней (включающей данную) системой, и где это взаимодействие имело достаточно времени, чтобы проявить себя, не только можно констатировать наличие связи между размерами и характеристиками взаимодействия, но именно качественное и количественное описание этой связи и является обычно предметом научного изучения. Это справедливо как для систем “естественного” происхождения, так и для объектов и систем, свяанных с деятельностью человека. В последнем случае связи между численностью, размерами и длительностями и функциональными характеристиками, как правило, еще более очевидны. Даже размеры куска торта, отрезанного, казалось бы, наугад, соответствуют интуитивным представлениям хозяйки дома о возможности гостя съесть его.

Для всех систем, реально существующих в нашей Вселенной, справедлив, как показывает опыт, принцип причинности. В своей качественной формулировке он утверждает, что так или иначе любая ситуация обусловлена набором так называемых причин, которые во времени предшествуют этой ситуации. Согласно более сильной формулировке знание этих определяющих факторов позволяет в принципе количественно рассчитать параметры, описывающие рассматриваемое следствие этих факторов. Но это как раз и означает, что рассматривая (обобщенный) размер как диапазон изменения (обобщенных) координат частей, образующих данную систему, мы всегда можем рассчитывать на установление хорошо определяемой связи между этим размером и характеристиками внутрисистемного и/или метасистемного взаимодействия.

Большое число примеров, в которых размеры и длительности связаны с характеристиками взаимодействий, предоставляет теория колебаний - механических, акустических, тепловых, электрических и электромагнитных и т.д. В общем случае описываемые ей процессы могут быть сколь угодно сложными. Малые колебания, как правило, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения которых всегда выражаются через экспоненциальную, степенную и тригонометрические функции времени.

Здесь необходимо сделать очень важное замечание. Законы физики отводят пространственным и временной координатам в высшей степени несимметричные роли. Это проявляется уже в фундаментальном различии понятий “объект” и “процесс”. Переход наблюдателя от одной пространственной точки к другой, вообще говоря, является абсолютно обратимым и представляет собой внутреннее дело наблюдателя, он не влияет на свойства изучаемого объекта. Время, в отличие от пространственных координат, обладает универсальным свойством непрерывного и необратимого течения. Все объекты во Вселенной в той или иной мере синхронно “смещаются” во времени, и никакой наблюдатель не может составить здесь исключения. Законы физики и большинства других наук являются динамическими законами, т.е. описывают объективную эволюцию объектов во времени (процессы). Поэтому особое значение имеют задачи, в которых характеристики взаимодействия или иные параметры зависят от времени. В сущности, прочие задачи, в которых формальная зависимость от времени отсутствует, неявно представляют собой просто предельные случаи установившейся или почти установившейся ситуации.

Для линейной колебательной системы с N степенями свободы в общем случае характерно наличие того же числа собственных постоянных времени, определяющих эти колебания. Часть из них отвечает апериодическим (т.е. монотонно изменяющимся во времени) процессам необратимого рассеяния энергии, если таковые процессы в системе происходят. Другая часть отвечает периодическим (повторяющимся) процессам, при которых кинетическая энергия переходит в потенциальную, а затем происходит обратный переход, и т.д.

Интересно, что в подобных задачах период колебаний иногда зависит только от индивидуальных свойств колебательной системы, а пространственные размеры (амплитуда колебаний) - еще и от энергии системы, которая может варьироваться для одной и той же системы. Например, для простейшего (пружинного) механического осциллятора частота колебаний определяется отношением жесткости к массе, а амплитуда колебаний зависит от жесткости и суммы потенциальной и кинетической энергии (эта сумма со временем не меняется). Для простейшего электрического осциллятора, содержащего катушку индуктивности и конденсатор, период колебаний определяется квадратным корнем из произведения индуктивности катушки на емкость конденсатора. Роль “обобщенной” координаты в этих колебаниях играет величина заряда на обкладках конденсатора, амплитуда колебаний заряда также зависит от (постоянной по величине) суммарной энергии в цепи. Независимость периода колебаний от начальных условий, определяющих запас энергии, позволяет в “массовом порядке” использовать такие системы в качестве часов, т.е. эталонных образцов длительности.

Условием независимости периода колебаний от энергии (начальных условий) является отсутствие соответствующей зависимости в выражении для (обобщенной) силы в уравнении осциллятора. В линейном осцилляторе восстанавливающая сила пропорциональна текущему смещению от положения равновесия, причем коэффициент пропорциональности - константа. А вот в задаче Кеплера о вращении малого тела вокруг массивного центрального тела проекция силы на любую из осей в плоскости орбиты связана со смещением вдоль оси коэффициентом, величина которого обратно пропорциональна кубу радиуса орбиты, а этот последний зависит от начальных условий!

Отметим, что различные составные элементы колебательных систем, с математической точки зрения осуществляют такие операции, как дифференцирование и интегрирование параметров процесса по времени, и могут быть специально использованы для конструирования систем с теми или иными временными характеристиками. Эта проблематика представляет собой содержание такой прикладной науки, как теория автоматического регулирования.

Поглощение и выделение энергии в линейных колебательных системах возможны только при наличии апериодических постоянных времени.

Как уже было отмечено, необратимое рассеяние внутренней энергии в линейных колебательных системах обязательно связано с апериодическими процессами (речь идет именно о внутренней энергии, т.к. рассеяние энергии, поступающей от внешнего источника, вполне может происходить и по гармоническому закону, как, например, на резисторе в цепи переменного тока). Это значит, что интенсивность рассеяния энергии тем меньше, чем больше ее уже потеряно системой. Такие процессы всегда можно проиллюстрировать в рамках диффузионной модели, при которой имеет место своеобразный процесс диффузии энергии из области большей ее концентрации в область с меньшей концентрацией. Теми же аргументами объясняется и экспоненциальное распределение по энергиям самых различных физических систем.

С другой стороны, если в колебательных системах происходит поглощение энергии, то и оно происходит по апериодическому закону. Примером может служить поступление энергии в систему извне при параметрическом резонансе, когда сами параметры колебательной системы меняются с периодом, согласованным с периодом колебаний (например, когда человек на качелях в такт колебаниям то приседает, то поднимается, изменяя положение центра тяжести и тем самым раскачивая их [4]). Математически это описывается уравнением, эквивалентным уравнению для затухания энергии, но с константой противоположного знака, т.е. производная энергии по времени оказывается теперь положительной, а не отрицательной.

Наличие апериодических решений в характеристическом уравнении системы, рассеяние или поглощение системой энергии очевидным образом связано с ее устойчивостью. Как известно, математическая теория устойчивости берет свое начало в теории показателей Ляпунова, который именно со знаком апериодических постоянных времени связывал достаточные условия для определения того, устойчива ли соответствующая система или нет.

Промежуточным (и очень важным) случаем между периодическим и апериодическим решениями оказывается резонансное решение, связанное с близостью значений сразу нескольких постоянных времени. Если в системе производная энергии по времени равна нулю, резонанс особо не проявляет себя. Если же в системе указанная производная отлична от нуля, то при резонансе процессы обмена энергии с внешней средой приобретают ярко выраженный характер.