Эволюционно-синергетическая парадигма

5. Самоорганизация

Элементы любой системы, в свою очередь, всегда обладают некоторой самостоятельностью поведения. При любой формулировке научной проблемы всегда присутствуют определенные допущения, которые отодвигают за скобки рассмотрения какие-то несущественные параметры отдельных элементов. Однако этот микроуровень самостоятельности элементов системы существует всегда. Поскольку движения элементов на этом уровне обычно не составляют интереса для исследователя, их принято называть “флуктуациями”. В нашей обыденной жизни мы также концентрируемся на значительных, информативных событиях, не обращая внимания на малые, незаметные и незначительные процессы.

Малый уровень индивидуальных проявлений отдельных элементов позволяет говорить о существовании в системе некоторых механизмов коллективного взаимодействия - обратных связей. Когда коллективное, системное взаимодействие элементов приводит к тому, что те или иные движения составляющих подавляются, следует говорить о наличии отрицательных обратных связей. Собственно говоря, именно отрицательные обратные связи и создают системы, как устойчивые, консервативные, стабильные объединения элементов. Именно отрицательные обратные связи, таким образом, создают и окружающий нас мир, как устойчивую систему устойчивых систем.

Стабильность и устойчивость, однако, не являются неизменными. При определенных внешних условиях характер коллективного взаимодействия элементов изменяется радикально. Доминирующую роль начинают играть положительные обратные связи, которые не подавляют, а наоборот - усиливают индивидуальные движения составляющих. Флуктуации, малые движения, незначительные прежде процессы выходят на макроуровень. Это означает, кроме прочего, возникновение новой структуры, нового порядка, новой организации в исходной системе.

Момент, когда исходная система теряет структурную устойчивость и качественно перерождается, определяется системными законами, оперирующими такими системными величинами, как энергия, энтропия.

"Мне кажется, что особую роль в мировом эволюционном процессе играет принцип минимума диссипации энергии. Сформулирую его следующим образом: если допустимо не единственное состояние системы (процесса), а целая совокупность состояний, согласных с законами сохранения и связями, наложенными на систему (процесс), то реализуется то ее состояние, которому отвечает минимальное рассеяние энергии, или, что то же самое, минимальный рост энтропии." Н.Н.Моисеев, академик РАН.

Справедливости ради необходимо отметить, что принцип минимума диссипации (рассеяния) энергии, приведенный выше в изложении академика Моисеева, не признается в качестве универсального естественнонаучного закона. Илья Пригожин, в частности, указал на тип систем, не подчиняющихся этому принципу. Оставим, однако, ведущим ученым фундаментальные вопросы. С другой стороны, употребление термина “принцип”, а не “закон”, оставляет возможность уточнения формулировок.

Моменты качественного изменения исходной системы называются бифуркациями состояния и описываются соответствующими разделами математики - теория катастроф, нелинейные дифференциальные уравнения и т.д. Круг систем, подверженных такого рода явлениям, оказался настолько широк, что позволил говорить о катастрофах и бифуркациях, как об универсальных свойствах материи.

Таким образом, движение материи вообще можно рассматривать, как чередование этапов адаптационного развития и этапов катастрофного поведения. Адаптационное развитие подразумевает изменение параметров системы при сохранении неизменного порядка ее организации. При изменении внешних условий параметрическая адаптация позволяет системе приспособиться к новым ограничениям, накладываемым средой.

Катастрофные этапы - это изменение самой структуры исходной системы, ее перерождение, возникновение нового качества. При этом оказывается, что новая структура позволяет системе перейти на новую термодинамическую траекторию развития, которая отличается меньшей скоростью производства энтропии, или меньшими темпами диссипации энергии.

Возникновение нового качества, как уже отмечалось, происходит на основании усиления малых случайных движений элементов - флуктуаций. Это в частности объясняет тот факт, что в момент бифуркации состояния системы возможно не одно, а множество вариантов структурного преобразования и дальнейшего развития объекта. Таким образом, сама природа ограничивает наши возможности точного прогнозирования развития, оставляя, тем не менее, возможности важных качественных заключений.

Таким образом, синергетика находится целиком в русле традиционной диалектики, ее законов развития - перехода количественных изменений в качественные, отрицания и т.п.

6. Хаос и порядок. Физический хаос

Широкое распространение концепций синергетики как общенаучной парадигмы конца ХХ века поставило вопрос не просто о расширении категориального аппарата социально-гуманитарных дисциплин, а и об использовании достаточно универсальных математических моделей, разработанных в рамках теории нелинейных динамических систем и математической теории хаоса, тесно связанных с концепциями синергетики. Синергетика исходит из того, что линейный характер развития процессов и равновесные состояния отнюдь не являются доминирующими в реальности; большего внимания исследователей заслуживает непредсказуемость поведения изучаемых систем в периоды их неустойчивого развития, в точках бифуркации, в которых малые случайные флуктуации могут оказать сильные воздействия на траекторию процесса (в то время как в условиях "равновесия", обычно рассматриваемых традиционной наукой, большие флуктуации мало влияют на ход процесса). Возникающий вблизи точки бифуркации "хаос" не означает, что порядок исчезает; он означает, что динамика процесса становится внутренне (а не в силу внешних причин) непредсказуемой. Центральный вопрос, который обсуждается историками в этой связи - влияние случайностей, которые принципиально невозможно предугадать и прогнозировать, на общий характер развития изучаемого процесса. С этим вопросом связаны и новые подходы к изучению альтернатив общественного развития, возникающих в точках бифуркации.

Хаос и порядок - понятия, которые играют существенную роль в Физике открытых систем. Понятие - хаос - играло существенную роль в мировоззрении философов древности, в частности представителей школы Платона. Отметим два сформулированных ими положения, которые сохраняют свое значение и в настоящее время. По представлениям философов Древности - Хаос - состояние системы при удалении всех возможностей проявления ее свойств. С другой стороны, из хаоса возникает все, что составляет содержание мироздания, т.е. из хаоса может рождаться порядок. В физике понятие хаос, хаотическое движение, порядок - являются фундаментальными, но тем не менее определенными недостаточно четко. Действительно, начиная с классических работ Максвелла, Больцмана и Гиббса. Хаотическим называют движение атомов в состоянии теплового равновесия. Хаотическим, однако, называют и движение, далекое от равновесного, например, в генераторах шума предназначенных для подавления сигналов, в турбулентных потоках и т.д. , С точки зрения многих специалистов хаотическими, по сравнению с ламинарными, являются и различного рода турбулентные движения в газах и в жидкостях. Примером служит турбулентное движение в трубах. Оно возникает из ламинарного движения при достаточно большом перепаде давления на концах трубы. Представление о турбулентном движении как более хаотичном, чем ламинарное, кажется, как бы, само собой разумеющимся. Такой вывод основан, однако, на смещении понятий сложности и хаотичности. При наблюдении турбулентного движения проявляется именно сложность движения.

Широкое распространение получил термин - динамический хаос. Он характеризует сложное движение в маломерных гамильтоновых и диссипативных динамических системах. Известным примером служит движение жидкости при развитой тепловой конвекции, которое описывается уравнениями Лоренца (Лоренц, 1963).

Физический хаос. Обозначим через а совокупность параметров, выбранных в качестве управляющих. Рассмотрим два стационарных состояния рассматриваемой системы, которые отвечают двум разным значениям управляющих параметров: a₀, a₀ + a. Предположим, что значению a₀ + a отвечает более упорядоченное состояние. Менее упорядоченное состояние а₀ назовем состоянием - физического хаоса . При сравнении относительной степени упорядоченности двух выбранных состояний, состояние - физического хаоса - можно принять за начало отсчета изменения относительной степени хаотичности. Заметим следующее. Состояние физического хаоса может существенно отличаться от равновесного. Приведенное определение будет им пользоваться при сравнении как далеких. так и близких неравновесных состояний. При сравнении близких состояний будут использованы локальные формулировки критериев относительной степени упорядоченности. Тогда локальным будет и само определение физического хаоса. Итак, термином хаос характеризуют самые различные виды сложных движений. Поскольку во многих случаях хаос трудно отличить от упорядоченного, но очень сложного движения, то возникает необходимость в критериях относительной степени упорядоченности или, напротив, хаотичности движений.

6.1 Управляющие параметры

При анализе и сопоставлении сложных движений важен выбор управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса. Выбор таких параметров во многих случаях представляет особую проблему. Он производится, как правило, либо на основе уже имеющейся информации о системе, либо на основе дополнительных исследований, например бифуркационных диаграмм. При этом возможны, естественно, и ошибки выбора управляющих параметров, поэтому критерии правильности выбора управляющих параметров должны давать и возможность контроля правильности сделанного выбора. В качестве управляющих параметром могут выступать самые разнообразные параметры. Приведем несколько примеров. В классических и квантовых генераторах в качестве управляющего параметра используется обратная связь или накачка.

В мультистабильных системах, например, выбор того или иного стационарного состояния может осуществляться путем изменения начальных условий. Управляющим параметром может служить и медленное время, например время наблюдения за здоровьем пациента в процессе лечения. В гидродинамике в зависимости от типа потока роль управляющих параметров играют числа Рейнольдса (при переходе от ламинарного течения к турбулентному), число Рэлея (при развитии конвективной неустойчивости), число Тейлора (при течении жидкости между вращающимися цилиндрами) . При наличии нескольких управляющих параметров возможны поиски оптимальных состояний, например наибольшей упорядоченности в процессах самоорганизации при наибольшей хаотически при конструировании шумовых генераторов. Спектр открытых нелинейных диссипативных систем, при исследовании которых необходима оценка сравнительной степени упорядоченности, чрезвычайно широк: от физического вакуума, который характеризуется, по-видимому, максимальной возможной степенью хаотичности, до Вселенной, от газа бесструктурных частиц до биологических и социологических систем.

6.2 Броуновское движение в открытых системах. Молекулярные и турбулентные источники флуктуации

Переход от обратимых уравнений к необратимым, который на всех уровнях описания ведет к уравнениям для флуктуирующих микроскопических переменных: функций распределения в кинетической теории, гидродинамических и термодинамических функций на гидродинамическом и диффузионном уровне описания. Все эти величины в обобщенном смысле можно рассматривать как объекты броуновского движения - броуновские частицы. В связи с этим возникает необходимость изложения ряда вопросов теории броуновского движения в открытых системах. Как мы увидим, существует целая иерархия различных броуновских движений, начиная с наиболее быстрых движений в кинетической теории и кончая наиболее медленными, при которых по мере уменьшения частоты спектральная плотность возрастает. Кроме того, характер броуновского движения сильно меняется по мере удаления от равновесного состояния, когда становятся существенными нелинейные процессы. Это приводит к новым проблемам при использовании уравнений Ланжевена и Фоккера-Планка, в частности, наряду с молекулярными, приходится вводить и турбулентные источники флуктуаций в уравнения Ланжевена.

6.3 Ламинарное и турбулентное движение

В зависимости от относительной роли флуктуационного и упорядоченного движений, а также от числа макроскопических степеней свободы, можно выделить три группы движений. Это, во-первых, хаотическое тепловое движение. В этом случае усредненные макроскопические параметры постоянны, а наличие флуктуаций характеризует - молекулярную - структуру системы. Флуктуации макроскопических характеристик малы и во многих случаях, за исключением, например, броуновского движения малых частиц в жидкости, могут не приниматься во внимание. Ко второй группе можно отнести ламинарное движение, или ламинарные пространственно-временные диссипативные структуры. Они возникают на фоне теплового движения и характеризуются небольшим числом макроскопических степеней свободы. Роль флуктуаций здесь особенно существенна около критических точек перехода от одних диссипативных структур к другим, или, иными словами. При неравновесных фазовых переходах. Наконец, к третьей группе можно отнести турбулентное движение, которое определяется большим числом макроскопических степеней свободы. Турбулентное движение очень разнообразно и может возникать на всех уровнях описания - от кинетического до диффузионного или диффузионно-реакционного. Оно характеризуется большим числом пространственных и временных масштабов. На фоне мелкомасштабного турбулентного движения могут выделяться и когерентные пространственно-временные структуры. При анализе ламинарного и турбулентного движения существенна оценка их относительной степени упорядоченности. Таким образом, турбулентное движение представляется как очень сложное движение в открытых системах, возникающее из менее упорядоченного движения - физического хаоса...

7. Эволюция

Эволюция - это процесс изменения, развития в природе и обществе. Такое понятие является очень общим. В физических внешне замкнутых системах эволюция во времени приводит к равновесному состоянию. Ему отвечает максимальное значение энтропии и максимальная степень хаотичности. Это дает основание в таком случае говорить о деградации. В открытых системах, наряду с деградацией, происходят и процессы самоорганизации. При этом характер процесса зависит от значений внешних управляющих параметров. При наличии одного управляющего параметра для систем, в которых существует равновесное состояние, можно приписать ему нулевое значение. Тогда увеличению управляющего параметра будет отвечать процесс самоорганизации и, напротив, уменьшению - процесс деградации. Ситуация становится более интересной, когда рассматриваемая система не может существовать в состоянии статистического равновесия. Это характерно для биологических, социальных и экономических систем. В этих случаях равновесное состояние следует заменить на состояние, принятое за норму хаотичности. Ниже мы конкретизируем это понятие на примере медико-биологической системы. Итак, самоорганизация не является единственным результатом эволюции. Ни в физических, ни даже в биологических системах не заложено внутреннее стремление к самоорганизации. Эволюция может вести и к деградации. При этом возникает один из основных вопросов Физики открытых систем: Чем определяется выбор одного из двух возможных видов процесса эволюции?

В физике рассматривается, например, эволюция к равновесному состоянию или стационарному (в открытых системах) состоянию. В открытых системах можно выделить два специальных вида процессов эволюции: 1). Управляющие параметры заданы и имеет место временная эволюция к соответствующему стационарному состоянию. В частности, при отсутствии управляющих параметров внешне замкнутая система релаксирует к равновесному состоянию; 2). Управляющие параметры меняются настолько медленно, что при каждом их значении успевает устанавливаться отвечающеее им стационарное состояние. Можно сказать, что в этих случаях имеет место эволюция стационарных состояний в пространстве управляющих параметров. Такие процессы можно назвать квазистационарными. Их частным случаем являются обратимые квазистатические процессы в термодинамике, когда эволюция происходит через последовательность равновесных состояний. Эволюцию по Дарвину можно отнести скорее ко второму классу, когда происходит настолько медленное изменение внешних параметров, что при каждом их значении успевает устанавливаться новое стационарное состояние системы. В качестве изменений внешних параметром могут выступать мутации. Они могут быть как положительными, так и отрицательными. В первом случае новое стационарное состояние является более упорядоченным. Последовательность таких изменений и будет составлять процесс самоорганизации. При отрицательных мутациях - новое стационарное состояние будет более хаотическим. Цепочка таких изменений и будет представлять процесс деградации. Примером эволюции может служить образование последовательности новых структур в процессах самоорганизации. В биологии, согласно теории Дарвина, образование новых структур происходит путем естественного отбора. Известно, что Людвиг Больцман назвал XIX век веком Дарвина, полагая тем самым, что теория эволюции Дарвина, основанная на принципе естественного отбора, является наиболее значительным открытием прошлого века. Такой вывод может показаться неожиданным. Действительно, ведь XIX век очень богат великими открытиями в естествознании, в частности в физике. XIX век, это - век термодинамики, созданной трудами Сади Карно, Рудольфа Клаузиуса и Вильяма Томсона и других замечательных ученых, это век электромагнитной теории Майкла Фарадея и Джеймса Максвелла. В XIX были заложены и основы современной молекулярно-кинетической теории материи, одним из основателей которой был сам Людвиг Больцман. Именно он предложил первое кинетическое уравнение для описания необратимых процессов в газах, которое описывает, в частности, установление равновесного состояния в газе. Он впервые ввел статистическое определение одной из основных характеристик термодинамики - энтропии. Он доказал знаменитую Н-теорему Больцмана, о возрастании энтропии во внешне замкнутой системе. И все же Больцман определил XIX век как век Дарвина. Главное, что определило такой выбор, эта удивительная научная интуиция Больцмана, глубина которой, да и то не в полной мере, становится очевидной лишь в настоящее время. Во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Более того, отнюдь не была общепринятой предложенная самим Больцманом теория необратимых процессов, Н-теорема. Напротив, вокруг теории Больцмана бушевали страсти. Среди самых активных его оппонентов был и Анри Пуанкаре. Итак, Больцман назвал XIX век веком Дарвина. В этом проявилась вера Больцмана в то, что развитая им кинетическая теория неравновесных процессов будет служить основой и для описания процессов в открытых физических, химических и биологических(!) системах. По мере развития статистической теории открытых систем мы все больше убеждаемся в правоте Больцмана. Каково же соотношение понятий эволюция и самоорганизация?

Изложенное, казалось бы, дает основание считать, что процесс самоорганизации - переход от более хаотического к более упорядоченному состоянию - переход от хаоса к порядку. Такое определение принято многими исследователями и кладется в основу теории самоорганизации. Оно оправдано, несомненно, для класса физических сиcтем, когда в качестве - начала отсчета - можно использовать равновесное состояние - наиболее хаотическое состояние. Для таких систем любое неравновесное состояние более упорядоченно, чем равновесное. Поэтому по мере увеличения значений управляющего параметра степень упорядоченности, хотя, быть может, и не монотонно, возрастает. В этом понимании определение - самоорганизация есть переход от хаоса к порядку -, оправдано. Однако, для многих систем, как физических, особенно биологических, социальных и экономических, равновесные состояния не являются реальными. Для этого класса систем приведенное определение самоорганизации не является оправданным. В этих случаях необходимо пересмотреть определение понятия самоорганизации Говоря о процессах самоорганизации, мы будем иметь в виду процессы, при которых (по приведенным ниже критериям возникают более сложные и более совершенные структуры. При таком подходе возникает вопрос: является ли любой эволюционный процесс процессом самоорганизации? Ответ, естественно, отрицательный, поскольку ни в физических, ни даже в биологических системах не заложено внутреннее стремление к самоорганизации. Действительно, эволюция может вести и к деградации. В физике примером служит переход к равновесному состоянию, которое по Больцману и Гиббсу, является наиболее хаотическим. В биологии происходит деградация биологических структур. Таким образом, самоорганизация - лишь один из возможных путей эволюции.

8. Роль флуктуаций на различных уровнях описания. Флуктуационно-диссипативные соотношения

Флуктуации это -- небольшие нерегулярные, хаотические изменения какой-либо физической величины (т.е. являются случайными факторами самоорганизации). Обычно эти отклонения в физике связывают с тепловыми или квантовыми явлениями. Например, в квантовой механике температура одноатомного газа определяется кинетической энергией атомов. Но из-за столкновений атомов энергия каждого из них не остается постоянной, а все время меняется. Если взять большой объем, то энергия, усредненная по всем атомам, будет практически постоянна. Если же газа в этом объеме мало, то флуктуации энергии будут значительны. Величина флуктуации обратно пропорциональна корню квадратному из числа частиц N.

В статистической теории неравновесных процессов в открытых системах используется иерархия уравнений для макроскопических - коллективных переменных: кинетические уравнения для распределения в 6-мерном фазовом пространстве; гидродинамические уравнения; реакционно-диффузионные уравнения; уравнения химической кинетики; уравнения для квазистатических процессов в термодинамике. На всех перечисленных уровнях описания задача сводится к решению уравнений для усредненных по ансамблю Гиббса соответствующих микроскопических характеристик - уравнением для первых моментов соответствующих случайных функций. Такие уравнения можно назвать динамическими уравнениями для диссипативных систем (диссипативными динамическими уравнениями). Естественно, что уравнения для первых моментов не дают полного описания - необходим учет флуктуаций. Это утверждение является общим, поскольку в статистической теории существуют так называемые флуктуационно-диссипационные соотношения (ФДС). Тем самым флуктуации являются неизбежными для любой диссипативной системы. Весь вопрос сводится к тому, какова же роль флуктуаций или, напротив, какова область справедливости диссипативных динамических уравнений. Здесь мы вступаем в новую область - область флуктуационной диффузии. В соответствии с этим возникает проблема установления ФДС на различных уровнях описания для самых разных состояний - как близких к равновесному, так и далеких от него, как при малой диссипации, так и для сильно диссипативных систем. ФДС позволяют проследить за ростом флуктуаций при приближении к тем или иным критическим точкам - точкам неравновесных фазовых переходов, ведущих к образованию новых диссипативных структур в процессах самоорганизации. Несмотря на то, что первые ФДС установлены более шестидесяти лет назад (формула Эйнштейна в теории броуновского движения для коэффициента диффузии, формула Найквиста для интенсивности источника случайной ЭДС в электрической цепи), в этой области еще много нерешенных вопросов, особенно для открытых систем.

9. Теория катастроф

Мы привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и, исходя из этого, формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия.

Такая привычная, “бытовая” точка зрения на устойчивость нашего мира нашла свое отражение в науке XVIII века, когда создавалось классическое естествознание. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений; считалось, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Казалось бы, логично: приложено чуть больше усилий - получен чуть больший результат... Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.

Древние философы понимали, что даже малые изменения, нарушающие гармонию, могут существенно изменить мир, ввергнуть его в хаос. Многие столетия их внимание занимали именно законы этой гармонии, ибо в ней они видели проявление божественной воли, удерживающей мир в порядке.

Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась в 70-х годах прошедшего века. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не “количественно”, а “качественно”, а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Теория катастроф на качественном уровне объясняет множество явлений. Вот, например, как можно пояснить возможность резкого изменения экологической обстановки на нашей планете. Для простоты введем некоторый обобщенный параметр x, характеризующий качество рассматриваемой ситуации с экологической точки зрения, например среднее содержание вредных примесей в атмосфере. Пусть реализуемы только такие значения x, при которых некоторая функция принимает свое минимальное значение - по аналогии с механикой, где все тела стремятся к минимуму потенциальной энергии. Следуя аналогии, назовем эту функцию “потенциалом”.

Пусть при некоторых условиях зависимость потенциала от x изображается графиком (условия, определяющие характер этой зависимости, остаются “за кадром"). Малые возмущения системы, обусловленные, например, деятельностью человека, могут лишь немного изменять загрязненность атмосферы - устойчивое состояние находится в одной из точек локального минимума в нижней части графика (система “сидит” в этой точке надежно, как тяжелый шарик, скатившийся на дно лунки). Перевод системы в опасное состояние - в соседний локальный минимум, соответствующий высокой загрязненности, - практически невозможен: нужен слишком большой толчок, заставляющий систему (в нашей аналогии - тяжелый шарик) преодолеть высокий барьер, отделяющий точки минимума.

Однако при изменении условий (например, при накоплении отходов промышленного производства) характер зависимости потенциала от x может измениться. Тогда даже небольшой толчок может заставить систему “свалиться” в устойчивое состояние с высоким уровнем загрязненности атмосферы. Такой переход может совершиться очень сбытро, в считанные годы.

Теория катастроф, наряду с другими современными теориями динамических систем, уже в значительной степени изменила привычные представления об устойчивости и инерционности мира. Благодаря ей мы сегодня (хочется надеяться) лучше понимаем свою ответственность за возможные нарушения гармонии и равновесия противоположных природных сил, к которым ведет неограниченный рост промышленного производства в обществе потребления. Сейчас раздается все больше голосов за то, чтобы провести переоценку ценностей в современном мире и вслед за мудрецами древности вновь начать ценить красоту и соразмерность выше материального изобилия. Ведь если этого не произойдет, то поистине пророческими могут стать слова творца теории катастроф французского ученого Рене Тома: “Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце”.

Теория катастроф является одной из частей более общей математической теории - качественной теории сложных нелинейных систем. Эта теория изучает общие принципы, проявляющиеся в различных ситуациях, и помогает лучше понять механизм действия природных сил.

Сегодня на уровне математической теории можно утверждать, что любая достаточно сложная система, взаимодействующая со своим окружением, проходит в своем развитии определенные этапы. Вначале из неупорядоченных частей системы вдруг складываются и с колоссальной скоростью начинают расти множество структур - “новых форм”. За счет противоположной, “разрушительной” тенденции скорость роста постепенно замедляется, некоторые формы исчезают, другие приобретают устойчивость. Эта тенденция рано или поздно одерживает верх, погружая все в изначальный хаос, и наступает кризис, порождающий структуры следующего этапа.

Хаос - неизбежный, обязательный атрибут жизни любой достаточно сложной системы. Геометрическим образом хаоса может служить запутанный клубок ниток: по такой же замысловатой, никогда не повторяющейся траектории движется система в период кризиса. Так ведет себя атмосфера Земли - хотя погода сегодня похожа на вчерашнюю, она всегда чем-то от нее отличается, и нет двух одинаковых дней. Так работают сердце и мозг - на их регулярные ритмы наложен хаотический фон, и его исчезновение ведет к скорой смерти пациента.

Потеря системой устойчивости называется катастрофой. Точнее, катастрофа -- это скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий. Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при изменении их параметров, называется теорией катастроф. Основой теории катастроф является новая область математики -- теория особенностей гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда. Различают 7 канонических катастроф для функций одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающих 5. Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать каким именно образом новые решения уравнений "ответвляются" от известного решения. Ответ на такие вопросы дает теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы и уровня флуктуаций. В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Иллюстрацией перехода к нему является логистическое уравнение:

Xn+1=CXn(1-Xn)

Для наглядности рассмотрим биологическую трактовку этого уравнения: изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn . Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения -- CXn где коэффициент C определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом -- (CXn)^2. Зависимость численности популяции от параметра с приведена на рисунке.

Линии показывают значения Xn при больших n. При с < 1 популяция с ростом n вымирает. В области 1 < с < 3 численность популяции приближается к постоянному значению X0=1-1/C . Это область стационарных решений. Затем в диапазоне 3 < с < 3.57 появляются бифуркации, разветвление кривых на две. Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова становится малой. Далее происходит перекрывание областей различных решений, и поведение системы становится хаотическим. Динамические переменные Xn принимают значения сильно зависящие от начальных. При расчетах на компьютере для близких начальных значений с решения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере. М.Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и т.д. систем. Наряду с последовательностями удвоений периода (каскадами Фейгенбаума) имеются другие пути перехода к хаосу, когда, например, длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка.

10. Энтропия и информация

Трудно найти понятия более общие для всех наук (не только естественных) и, вместе с тем, иногда носящих оттенок загадочности, чем энтропия и информация. Отчасти это связано с самими названиями. Если бы не звучное название “энтропия” осталась бы с момента первого рождения всего лишь “интегралом Клазиуса”, вряд ли она бы не рождалась вновь и вновь в разных областях науки под одним именем. Кроме того, ее первооткрыватель Клазиус, первым же положил начало применению введенного им для, казалось, бы узкоспециальных термодинамических целей понятия к глобальным космологическим проблемам (тепловая смерть Вселенной). С тех пор энтропия многократно фигурировала в оставшихся навсегда знаменитыми спорах. В настоящее время универсальный характер этого понятия общепризнан и она плодотворно используется во многих областях.

Термин “информация” замечателен тем, что, существующему с давних пор бытовому понятию, К.Шенноном был придан математически точный смысл. Неопределенно-бытовой смысл этого термина уже научного. Это приводило и приводит ко многим недоразумениям и спекуляциям. Интересно и то, что К.Шеннон как создатель теории информации - по существу, раздела математики , был не чистым математиком, а инженером-теоретиком. Поэтому его работы написаны языком ясным для понимания инженеров, естественников и даже сведущих в математике гуманитариев. Профессиональные математики проявили активность в этой области позднее, но их капитальный подход не востребован пока в приложениях, за исключением, возможно, работ А.Н. Колмогорова.

Базисным понятием всей теории информации является понятие энтропии. Энтропия - мера неопределенности некоторой ситуации. Можно также назвать ее мерой рассеяния и в этом смысле она подобна дисперсии. Но если дисперсия является адекватной мерой рассеяния лишь для специальных распределений вероятностей случайных величин (а именно - для двухмоментных распределений, в частности, для гауссова распределения), то энтропия не зависит от типа распределения. С другой стороны, энтропия вводится так, чтобы обладать, кроме универсальности и другими желательными свойствами. Так, если некий опыт имеет n равновероятных исходов, а другой опыт m равновероятных исходов, то составной опыт имеет nm таких исходов. Если мы вводим меру неопределенности f , то естественно потребовать, чтобы она была такова, чтобы во-первых, неопределенность росла с ростом числа возможных исходов, а во-вторых, неопределенность составного опыта была равна просто сумме неопределенности отдельных опытов, иначе говоря, мера неопределенности была аддитивной: f(nm)=f(n)+f(m). Именно такая удобная мера неопределенности была введена К. Шенноном:

H(X)= --P (X_i) log P (X_i),

где Х - дискретная случайная величина с диапазоном изменчивости N, P(X_i) - вероятность i - го уровня X.

В дальнейшем мы будем рассматривать Х как некоторую физическую величину, меняющуюся во времени или пространстве. Временной или пространственный ряд X_j (j - индекс временной или пространственной координаты r) будем называть, как это принято в ряде естественных наук, “вариацией”. В самой теории информации такое пространственно-временное упорядочение совершенно не обязательно, но, во-первых, анализ именно таких вариаций составляет суть всех естественных наук, во-вторых, это с первых шагов позволяет лучше ощутить смысл новых понятий. Заметим также, что если даже пространственная или временная упорядоченность величины Х в явном виде отсутствует, она неизбежно существует неявно. Например, положим, что j - номер различимой частицы, а Х_j - ее импульс. Х - неупорядоченная случайная величина (ее номер j присваивается произвольно), но все эти частицы неизбежно разнесены в пространстве (раз мы можем их различить) и, при необходимости, мы можем их соединить некоторой (ломаной) осью и восстановить упорядоченность. Но для понимания проще представлять Х как сигнал, который может быть записан самописцем, как рельеф местности вдоль некоторого профиля, как пространственное распределение плотности энергии поля и т.п.

Таким образом, чтобы рассчитать H(X), берется запись вариации X_j ^, разность между максимальным и минимальными значениями Х_j разбивается на N квантов (обычно равных разрешающей способности прибора) и подсчитывается число m_i заполнения каждого i -го уровня (число благоприятных случаев). Общее число случаев M - это число пространственных или временных ячеек, опять-таки обычно определяемых разрешением прибора. В результате мы получаем распределение вероятностей P(X_i)=m_i/M, которое подставляем в формулу H(x).

В теории информации в формуле для энтропии обычно используют двоичные логарифмы, тогда (энтропия и информация) измеряется в битах. Это удобно тем, что выбор между двумя равновероятными уровнями X_i (как в двоичном) сигнале характеризуется неопределенностью 1 бит. В популярной литературе иногда пользуются десятичными логарифмами и единицей энтропии является дит. В физике удобнее пользоваться натуральными логарифмами и единицей энтропии является нат (поскольку в дальнейшем наш подход существенно физический, мы также используем натуральные логарифмы). Выбор основания - лишь вопрос масштаба, в любом случае энтропия безразмерна. Возможная величина энтропии заключена в пределах:

0<= H(X)<= logN.

Заключение

1. Синергетика может быть использована как основа междисциплинарного синтеза знания, как основа для диалога естественников и гуманитариев, для кросс-дисциплинарной коммуникации, диалога и синтеза науки и искусства, диалога науки и религии, Запада и Востока (западного и восточного миропонимания).

2. Синергетика может обеспечить новую методологию понимания путей эволюции систем, причин эволюционных кризисов, угроз катастроф, надежности прогнозов и принципиальных пределов предсказуемости в экологии, экономике, социологии, геополитике. Синергетика дает нам знание о конструктивных принципах коэволюции сложных систем, находящихся на разных стадиях развития. Поэтому синергетика может стать основой для принятия обоснованных решений и предсказаний в условиях неопределенности, стохастических потрясений, периодической реорганизации геополитических структур.

Синергетика открывает принципы нелинейного синтеза: 1) наличие различных, но не каких угодно, способов объединения структур в одну сложную структуру, 2) значение правильной топологии, "конфигурации" объединения простого в сложное, 3)объединение структур как разных темпомиров, 4) возможность - при правильной топологии объединения - значительной экономии материальных и духовных затрат и ускорения эволюции целого.

3. Будучи междисциплинарной по своему характеру, синергетика позволяет выработать некоторые новые подходы к обучению и образованию, к эффективному информационному обеспечению различных слоев общества. Речь идет об образовании через обучающие компьютерные программы и дискеты, несущие новое видение мира и новые способы мышления, знание как know how, реализующие синтез результатов естественных и гуманитарных наук. Естественнонаучное образование гуманитаризируется, а гуманитарное становится невозможным без новых естественнонаучных, нелинейных математических методов исследования. Новые информационные технологии становятся необходимыми в образовании.

4. Методология нелинейного синтеза, фундированная на научных принципах эволюции и коэволюции сложных структур мира, может лечь в основу проектирования различных путей человечества в будущее. Благодаря синергетике человечество обретает философию надежды.

Синергетика с её статусом метанауки изначально была призвана сыграть роль коммуникатора, позволяющего оценить степень общности результатов, моделей и методов отдельных наук, их полезность для других наук и перевести диалект конкретной науки на высокую латынь междисциплинарного общения. Положение междисциплинарного направления обусловило еще одну важную особенность синергетики - ее открытость, готовность к диалогу на правах непосредственного участника или непритязательного посредника, видящего свою задачу во всемирном обеспечении взаимопонимания между участниками диалога. Диалогичность синергетики находит свое отражение и в характере вопрошания природы: процесс исследования закономерностей окружающего мира в синергетике превратился (или находится в стадии превращения) из добывания безликой объективной информации в живой диалог исследователя с природой, при котором роль наблюдателя становится ощутимой, осязаемой и зримой.

Общие закономерности поведения систем, порождающих сложные режимы, позволяют рассматривать на содержательном, а иногда и на количественном уровне, такие вопросы, как уровень сложности восприятия окружающего мира как функции словарного запаса воспринимающего субъекта, роль хаотических режимов, их иерархий и особенностей в формировании смысла, грамматические категории как носители семантического содержания, проблемы ностратического языкознания (реконструкция праязыка) как восстановление «фазового портрета» семейства языков и выделения аттракторов, и многое другое.

Является ли синергетика междисциплинарным подходом, совершенно новой наукой или просто особым философским взглядом - ей предстоит еще доказать самой. Однако, свежесть новых идей и неожиданных подходов к известным проблемам составляет несомненную прелесть этой отрасли знания.

Список литературы

1. Кедров Б.М. Научная концепция детерминизма , Современный детерминизм, законы природы. М., 1973. с.435

2. Канке В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов. - М.: Логос, 2001, с. 236

3. Горбачев В.В. Концепции современного естествознания. В 2 ч.: Учебное пособие М.: Издательство МГУП, 2000. 274 с.

4. Седов Е., Кузнецов Д. В начале было Слово… СПб., 1994

5. Хакен Г. Синергетика /пер. с англ. М.,1985

6. Шеннон К. Е. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963

7. Николаев Г., Самоорганизация в неравновесных системах. М., 1979

8. Шеннон К.Е. Математическая теория связи. Работы по теории информации и кибернетике., М, 1963

9. Дарвин Ч., Происхождение видов. Соч., т. 3, М., 1939;

10. Иогансен В., Элементы точного учения об изменчивости и наследственности с основами вариационной статистики. М. - Л., 1933.