Анализ прочности магистральных и технологических трубопроводов при динамическом нагружении

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Общие сведения о колебаниях

1.1 Параметрические колебания

1.2 Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы

2. Поперечные колебания прямых стержней

2.1 Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня

2.2 Краевые и начальные условия

2.3 Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие

3. Расчетная часть

3.1 Колебания трубопровода, шарнирно опертого по концам

3.2 Колебания трубопровода с жёстко закреплёнными концами

3.3 Колебания трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l

3.4 Колебания трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и шарнирно опертого концом x=l

4. Применение протгораммы bentley autopipe для динамического анализа трубопроводов

4.1 Обзор программы Bentley AutoPIPE

4.2 Моделирование креплений трубопроводов в среде Bentley AutoPIPE

4.3 Анализ изменения собственных частот колебаний трубопровода в зависимости от его конструктивных параметров

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Россия обладает одним из крупнейших в мире потенциалов топливно-энергетических ресурсов: прогнозные запасы нефти оцениваются в 44 млрд т, газа -- 127 трлн. м³.

Эти ресурсы распределены по территории нашей страны крайне неравномерно. Главной сырьевой базой России является Западная Сибирь. Значительны запасы нефти и газа в Тимано-Печорской нефтегазоносной провинции и Урало-Поволжье. Перспективным районом нефтегазодобычи является Восточная Сибирь.

В то же время основные потребители нефти и газа находятся в европейской части страны. Кроме того, Россия является крупным поставщиком энергоресурсов на мировые рынки. Это предопределяет необходимость транспортировки значительных объемов нефти, нефтепродуктов и газа на большие расстояния.

По сравнению с другими видами транспорта трубопроводы обладают неоспоримыми достоинствами:

- они могут быть проложены в любом направлении и на любое расстояние, независимо от ландшафта;

- их работа практически не зависит от внешних условий (состояния погоды, времени года и суток);

- они надежнее других видов транспорта энергоресурсов и в наибольшей степени автоматизированы;

- доставка грузов осуществляется практически круглый год, без холостого пробега, характерного для цистерн и судов, при использовании других видов транспорта.

Кроме того, использование трубопроводов позволяет высвободить железнодорожный и водный транспорт для перевозки других грузов.

Поэтому роль трубопроводного транспорта в развитии нашей страны чрезвычайно велика.

Потребность освоения природных ресурсов в новых районах Дальнего Востока, Восточной Сибири, Камчатки предопределяет большой объем трубопроводного строительства и особенно строительства надземных стальных магистральных трубопроводов. Значительная часть трассы нефтепроводов прокладывается в зонах воздействия опасных природных явлений и процессов, высокую опасность из которых представляют сейсмические воздействия. В связи с этим актуальной является разработка комплекса методов и мероприятий по обеспечению безопасной и надежной эксплуатации магистральных нефтепроводов на участках со сложными геологическими условиями.

Как показал анализ последствий ряда сильных землетрясений, стальные магистральные трубопроводы не всегда удовлетворительно переносят сейсмические воздействия, получают различного рода повреждения и даже разрушаются.

Известно, что реакция сооружения на сейсмическое воздействие в значительной мере зависит от особенностей конструктивной формы самого сооружения. Изменяя конструктивную форму сооружения в нужном направлении, можно в определенной степени регулировать реакции сооружения на сейсмическое воздействие и создавать более сейсмостойкую систему.

Одной из наиболее актуальных проблем проектирования трубопроводов является динамический расчет. Как показывает практика при эксплуатации трубопровода, содержащего пульсирующие потоки нефти или газа, возникают параметрические колебания. Опасность этих колебаний заключается в том, что при некоторых определенных соотношениях между собственными частотами колебаний трубопровода и частотами возбуждения происходит неограниченное возрастание амплитуды параметрических колебаний и наступает явление параметрического резонанса. В условиях параметрического резонанса конструкция подвергается опасному циклическому воздействию, которое может привести к усталостному разрушению.

Поэтому основной задачей динамического расчета конструкции, у которой возникают параметрические колебания, является определение границ областей динамической неустойчивости с тем, чтобы при проектировании принять меры для избежания попадания расчетных параметров конструкции в эти области.

1. Общие сведения о колебаниях

1.1 Параметрические колебания

Повышение ресурса трубопроводов в значительной степени связано с устранением вредных колебаний, приводящих к нарушению изоляционных покрытий, коррозионному растрескиванию, усталостному разрушению тела труб. В неблагоприятных случаях возможно катастрофическое разрушение трубопровода.

Спектр колебаний трубопровода представляет собой сложный комплекс взаимодействия свободных, вынужденных, параметрических, автоколебательных процессов. Спектр собственных частот трубопровода также разнообразен. Он зависит от параметров системы, условий закрепления концов, величин сил сопротивления перемещению, возникающих продольных сил, скорости и объемов движения жидкости, ее пульсации, упругих свойств грунта. Поэтому высока вероятность резонансных явлений при совпадении вынужденных и собственных частот при основном силовом резонансе или возникновения параметрических резонансов.

Остановимся подробнее на параметрических колебаниях. Сходные по внешним проявлениям с вынужденными колебаниями параметрические колебания могут классифицироваться как обычные резонансные. Но между тем, эти колебания принципиально отличаются от вынужденных. Параметрические колебания поддерживаются за счет изменения параметров системы. При определенных сочетаниях между частотой возмущающей силы и собственными частотами системы малое начальное возмущение приводит к развитию колебаний большой амплитуды. Соотношение частот, при котором наступает параметрический резонанс, отличается от соотношения частот при вынужденных колебаниях.

Обычный резонанс - это возрастающие вынужденные колебания устойчивой системы, возникающие под действием возмущающей силы. Он проявляется только тогда, когда частота возмущающей силы равняется частоте собственных колебаний системы.

Параметрический резонанс представляет собой возрастающие колебания около неустойчивого положения равновесия, т.е. параметрический резонанс связан с неустойчивостью равновесного состояния системы, при котором любое случайное возмущение приводит к её раскачке. Так, например, главный параметрический резонанс может быть реализован при амплитуде продольной силы составляющей менее одного процента от эйлерового значения.

Для параметрического резонанса характерно наличие сплошных областей возбуждения (областей динамической неустойчивости).

При обычном резонансе амплитуда колебаний возрастает по линейному, а при параметрическом - по экспоненциальному закону. В этом случае параметрический резонанс считается более опасным.

Параметрические колебания характеризуются еще одной особенностью. Если при обычном резонансе введение трения пропорционально скорости приводит к ограничению амплитуды колебаний, то параметрический резонанс может развиваться и при наличии трения. Вне области неустойчивости установившиеся колебания происходят с частотой внешней нагрузки.

Специфика трубопроводов для перекачки нефтепродуктов заключается в их большой протяженности, разнообразных условиях эксплуатации, значительных величинах диаметров и масс. Прокладка различных участков может быть осуществлена наземным, надземным, подводным и подземным способом. В последнем случае - с большим демпфированием грунта.

Спектр возмущающих сил может быть механического, гидродинамического, акустического происхождения, а также быть связанным с изменением температурного поля и сейсмическим воздействием.

Магистральные трубопроводы, надземные части которых проходят через горные, водные, коммуникационные и другие препятствия, изгибаются собственным весом и под действием переменного внутреннего давления могут совершать пространственные колебания. При определенных соотношениях между параметрами колебания трубопровода могут усиливаться или ослабевать.

Рассматриваются пространственные колебания трубы и заключенной в ней жидкости относительно горизонтальной оси, проходящей через опоры. В статическом состоянии труба изогнута собственным весом и находится под действием внутреннего давления. Предполагается, что она выводится из этого состояния путем отклонения на угол и от вертикальной плоскости. Коэффициент упругости опор и деформации трубы, связанные с ее выходом из плоскости изгиба, считаются малыми, поэтому изогнутая ось трубопровода является плоской кривой. При этом учитываются силы инерции Кориолиса, выталкивающая сила Архимеда и сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости. Колебания трубы происходят под действием переменного внутреннего давления.

Длина трубы равна L, толщина ее стенки - h, а суммарная масса однородной трубы и жидкости - m.

Слева на рис. 1.1 изображен элемент трубы длиной dx и массой dm=(m/L)*dx, а справа на этом же рисунке показаны ускорения и силы, действующие на выделенный элемент трубы.

Рисунок 1.1 - Расчетная схема изгибно-вращательных колебаний трубопровода.

Как показал анализ последствий ряда сильных землетрясений, стальные магистральные трубопроводы не всегда удовлетворительно переносят сейсмические воздействия, получают различного рода разрушения и даже разрушаются.

Интересные результаты получены при изучении работоспособности газопроводов в зонах гидродинамической активности. Вынужденные колебания возникают из-за действия многих аппаратов, одновременно работающих в сети. Примерами таких трубопроводов является трубопровод, сообщающийся с двумя и более резервуарами, на поверхности которых возникают волны различных типов с разными частотами. Типы волн давления показаны на рис. 1.2. Насосы могут вызвать вынужденные колебания на линии нагнетания, действующие на низовой трубопровод, а линии всасывания - вынужденные колебания, действующие на верховой трубопровод. Если на трубопроводе установлен байпас, то на него будут действовать два вынужденных колебания. Анализ аварий показывает, что до 60 % от их общего количества происходит на участке до 15 км от компрессорных станций.

Рисунок 1.2 - Типы волн, возникающих в трубопроводах.

Примерно такой же участок трубопровода (до 20 км от насосных агрегатов) считают динамически активным специалисты, занимающиеся вопросами отказа трубопроводов по причине коррозионного растрескивания под напряжением. Причем в зависимости от конкретных условий эксплуатации разрушение трубопроводов из-за коррозионного растрескивания под напряжением начинает проявляться через 5-16 лет после пуска их в эксплуатацию.

С помощью высокочувствительных микросейсмических съемок вдоль трасс магистральных газопроводов установлены участки с повышенными показателями вибраций технологического характера. Компрессорные станции, являющиеся мощными источниками вибраций, способствуют образованию в системе "труба-грунт" колебаний от долей до сотен герц. Уровень микросейсмических шумов у компрессорных станций на два порядка превышает уровень шумов на участках, удаленных от компрессорных станций на более чем 15 км. Выявлена способность слабых вибраций с амплитудой 10 100 мкм/с в диапазоне частот 10- 40 Гц в системе "грунт-труба" повышать уровень технологических вибраций, отрицательно влияющих на техническое состояние трубопровода.

Вышеизложенные результаты согласуются с современными представлениями о возникновении параметрических резонансов.

На основании анализа опубликованных работ на рис. 1.3 представлены некоторые причины возникновения низкочастотных колебаний трубопроводов.

Рассмотрим возможность устранения параметрического резонанса от действия продольной силы с пульсирующей составляющей. Это может быть достигнуто за счет снижения глубины пульсации и изменении упруго-диссипативной характеристики трубопровода.

Параметрические колебания в детерминированных системах при линейной и нелинейной постановке задач исследованы весьма подробно.



Рисунок 1.3 - Некоторые причины низкочастотных колебаний трубопровода

Дифференциальное уравнение для определения динамического прогиба трубопровода при действии продольной силы с пульсирующей составляющей имеет вид:

(1.1)

где P₀ - постоянная составляющая продольной силы;

P₁ - амплитуда переменной составляющей продольной силы;

щ - возмущающая частота;

EJ - жесткость трубопровода на изгиб;

m - масса единицы длины трубопровода.

Граничным условием шарнирно опертого участка трубопровода удовлетворяет функция

(1.2)

где T (t) - неизвестная функция времени;

l - длина рассматриваемого участка трубопровода.

При подстановке выражения (1.2) в уравнение (1.1) для n = 1, получим

(1.3)

Поскольку sin (рx/l) ?0, из условия (3) имеем:

(1.4)

где

Обозначив

(1.5)

придем к уравнению Матье

(1.6)

Уравнение Матье хорошо изучено и используется для оценки динамической устойчивости механических систем, подверженных параметрическим колебаниям.

В параметрах a и q (1.5) строят диаграмму устойчивости Айнса-Стрейта (см. рис. 1.4). Неустойчивые области заштрихованы. Так, например, точка A находится в зоне параметрического резонанса, а точка N - в зоне устойчивых колебаний.



Рисунок 1.4 - Диаграмма Айнса-Стретта с тремя областями резонанса

Показанные на диаграмме устойчивости три резонанса являются наиболее опасными при параметрических колебаниях, особенно первый при a=1, когда щ=2щ₀, где щ - частота возбуждения, щ₀ - частота собственных колебаний механической системы. Оценим свойства параметрических колебаний при изменении частоты возбуждения щ. Как показывают выражения (1.5) с увеличением частоты возбуждения щ (рис. 2) параметры a и q будут уменьшаться по прямой, приближающейся к началу координат с угловым коэффициентом

(1.7)

Линия 1 (см. рис. 1.4) при этом пересекает чередующиеся области устойчивости и неустойчивости. В областях неустойчивости возникает параметрический резонанс. С увеличением глубины пульсации q за счет роста углового коэффициента K линия 2 пересекает области неустойчивости с большими интервалами и зоны параметрического резонанса расширяются.

Уменьшая коэффициент K можно снизить величину интервалов резонансных зон. Это достигается (см. выражение 1.7) путем снижения величины составляющей продольной силы P₀, пульсирующей составляющей P₁, повышением величины критической силы P_кр.

В качестве примера на диаграмме Айнса-Стретта (см. рис. 1.5) показаны области динамической неустойчивости трубопровода диаметром 402 мм с толщиной стенки 15 мм при разных длинах участков. Если для трубопровода при l=150 м и l=200 м (линии 1 и 2) неустойчивость наступает вблизи значений a=1 и a=4, то с увеличением длины l и глубины пульсации (линии 3 и 4) возрастают интервалы динамической неустойчивости.

Рисунок 1.5. Фрагмент диаграммы Айнса-Стреттас главным и вторым параметрическими резонансами

Амплитуды колебаний быстро убывают с увеличением номера резонанса. Так, при q=0,05 амплитуды соответствующие первому, второму, третьему резонансам относятся как 1:0,22:0,5. Если в системе присутствует диссипация, то эта разница будет еще больше. Поэтому при наличии затухания рассматривается обычно главный параметрический резонанс (щ=2щ₀) как наиболее опасный с минимальным изменением области неустойчивости.

При наличии затухания чаще пользуются не диаграммой Айнса-Стретта, а диаграммой относительно частоты возбуждения и. На рис. 1.6 показаны области относительно частоты возбуждения для главного и второго параметрических резонансов без демпфирования и при декрементах затухания Д=0,2 и Д=0,4.



Рисунок 1.6 - Области неустойчивости относительно частоты возбуждения и для главного и второго параметрических резонансов:

1 - область неустойчивости без демпфирования;

2 - область неустойчивости при декременте затухания D = 0,2;

3 - область неустойчивости при декременте затухания D = 0,4

Как следует из рис. 1.6 с увеличением затухания области неустойчивости смещаются выше оси абсцисс и используя демпфирование можно полностью исключить параметрические колебания, если глубина пульсации не достигает областей неустойчивости. Параметрические резонансы подавляются сильнее с увеличением их номера.

Для главного параметрического резонанса критическое значение частоты возбуждения равно

(1.8)

где

Здесь щ₀ - частота собственных колебаний; для шарнирно-опертого трубопровода ; е - коэффициент затухания.

Критическое значение частоты возбуждения для второго параметрического резонанса будет иметь следующий вид

 (1.9)

Приближенное значение коэффициента возбуждения м при котором возникает неустойчивость системы будет равно для главного резонанса м=Д/р, для второго резонанса

Наряду с введением сопротивления для повышения устойчивости трубопроводов используются динамические гасители колебаний. Установка динамических гасителей позволяет отстроиться от параметрического резонанса. Динамический гаситель колебаний с вязким трением раздваивает главную область параметрического резонанса (см. рис. 1.7). Изменение настройки гасителя по массе и частоте собственных колебаний позволят сдвигать эти области вправо от оси ординат исключая при определенной глубине пульсации попадание в область динамической неустойчивости.

Рисунок 1.7 - Области главного параметрического резонанса:

- область неустойчивости без демпфера;

- область неустойчивости с демпфером

Постоянно меняющиеся условия эксплуатации в связи с пересеченной местностью, различными частотными и упругими характеристиками грунтов, всплытием трубопроводов и воздействием других факторов делает задачу об устранении параметрического резонанса трубопровода по трассе достаточно сложной.

Изменение частотных параметров на разных участках трубопровода (см. рис. 8) меняет локальную добротность системы, т.е. ее восприимчивость к внешним воздействиям. При высокой добротности системы, последняя будет реагировать, в первую очередь, на ту часть спектра параметрического возбуждения, частоты которой близки к 2щ₀.

Рисунок 1.8 - Причины, способствующие изменению собственной частоты трубопровода при эксплуатации

Для предупреждения параметрических колебаний трубопровода можно рекомендовать следующие мероприятия:

- устранение или уменьшение возбуждающих сил;

-стабилизация динамической устойчивости трубопровода путем изменения его параметров;

- использование динамических гасителей и демпферов с линейной и нелинейной характеристиками;

- демпфирование трубопровода грунтом, подсыпкой.

Так как во многих случаях не имеется возможности устранить совсем или уменьшить возбуждающее воздействие, как, например, в случае сейсмического воздействия, то необходимо учитывать стабилизацию динамической устойчивости трубопровода путем изменения его параметров на этапе проектирования. В связи с чем, возникает необходимость в создании математической модели для определения собственной частоты колебаний трубопровода.

1.2 Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы

Вынужденные колебания возникают в механической системе в результате воздействия на нее внешних (обычно периодических) возмущающих сил или ударов (импульсов).

Мы начнем с разбора простейшего случая, когда внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону

,

где Н -- максимальное значение или амплитуда возмущающей силы; p -- число полных циклов изменения силы за 2р секунд. Уравнение колебаний линейного осциллятора в предположении, что, кроме силы Q, на него действует восстанавливающая сила, пропорциональная отклонению q, и сопротивление отсутствует, напишем следующим образом:

(1.10)

где

Общее решение этого уравнения при p?k получится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения (1.10):

здесь C₁ и C₂ -- произвольные постоянные.

Пусть при . Тогда

(1.11)

Первые два слагаемых правой части уравнения (2.28) соответствуют свободным колебаниям с собственной частотой k, т. е. колебаниям, какие совершал бы осциллятор в отсутствие возмущающей силы. При так называемых нулевых начальных условиях, когда при t=0, такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое -- гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой k, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание также относится к свободным колебаниям. Оно всегда сопровождает вынужденные колебания, при любых начальных условиях, от которых оно вообще не зависит. Его мы будем называть свободным сопровождающим колебанием.

Четвертое слагаемое

(1.12)

представляет чисто вынужденные колебания осциллятора.

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассматриваемом случае представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: 1) свободных; 2) сопровождающих свободных и 3) чисто вынужденных.

Отметим следующие свойства вынужденных колебаний, вытекающие из уравнения (1.12).

а) Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.

б) Вынужденные колебания в отличие от свободных ни в чем не зависят от начальных условий. Поэтому для изменения, например, амплитуды вынужденных колебаний необходимы (при заданной возмущающей силе) существенные изменения параметров системы: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменения начального отклонения или начальной скорости.

в) Если k>p, то знак отклонения будет совпадать со знаком силы Q, т. е. сила и вызванные ею вынужденные перемещения будут находиться в одной фазе. Если k<p, то знак силы будет противоположен знаку отклонения. Переписав для этого случая уравнение (2.29) следующим образом:

мы можем сказать, что при k < p возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположных фазах.

г) Когда k=p, выражение (1.12) теряет смысл. Теряет смысл также и слагаемое общего решения (1.11), соответствующее свободным сопровождающим колебаниям. Однако рассматриваемые совместно, оба названные слагаемые при k=p дают только неопределенность

которую можно раскрыть по правилу Лопиталя, заменив дробь в квадратных скобках пределом при p>k отношения производных по р от числителя и знаменателя:

Таким образом, общий интеграл (2.28) будет иметь вид

(1.13)

И здесь, как в (1.11), движение осциллятора представляет линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от (1.11): вынужденные колебания представлены в нем непериодическим членом в коэффициент которого входит множителем время t. Такой член называется вековым. С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем определяемые им колебания происходят с возрастающими по линейному закону отклонениями, как показано на рис. 1.9. Совпадение частоты возмущающей силы с собственной частотой системы и₍сопровождающие его явления носят название резонанса.



Рисунок 1.9. Изменение векового члена от времени.

При наличии сопротивления, которое мы, как и раньше, примем пропорциональным первой степени скорости q, положив

мы найдем только одно решение, годное для любых значений p, в частности, и для резонансного p=k.

В самом деле, уравнение колебаний линейного осциллятора в прежних обозначениях будет в этом случае иметь вид

(1.13)

Его общее решение найдется как сумма общего решения уравнения без правой части:

(1.14)

и частного решения уравнения (1.13) с правой частью. Решения уравнения (1.14) при различных соотношениях между nик нам известны. В частности, при n < k решение этого уравнения

определяет свободные затухающие колебания.

Частное решение q₂ уравнения (1.13) мы будем искать, положив

q₂ = A sin (pt -- е)

и подбирая величины А и е так, чтобы это выражение, будучи подставлено в уравнение (1.11), обратило его в тождество. Из уравнений

получающихся при сравнении коэффициентов при sin pt и cos pt в обеих частях уравнения (1.11), находим

Общий интеграл уравнения (1.11), таким образом, имеет вид

Если в начальный момент , то

(1.15)

Первые два слагаемых полученного решения соответствуют свободным и свободным сопровождающим колебаниям. И те, и другие с течением времени затухают, так что через более или менее продолжительный промежуток времени ими можно будет вообще пренебречь и считать, что в дальнейшем движении система совершает только чисто вынужденные колебания согласно уравнению

(1.16)

Этим уравнением будет определяться установившийся колебательный режим линейного осциллятора и при других соотношениях между n и k когда n>k или n=k.

На рис. 1.10 представлен общий ход установления колебательного режима системы с сопротивлением при действии на нее гармонической возмущающей силы.

Рисунок 1.10. Общий ход установления колебательного режима системы с сопротивлением при действии на нее гармонической возмущающей силы.

Из уравнения (1.16) можно сделать следующие выводы:

а) Вынужденные колебания и при наличии сопротивлений происходят с частотой возмущающей силы. Это всеобщий закон вынужденных колебаний линейного осциллятора, имеющий место независимо от условий, в каких происходят его вынужденные колебания, в частности, независимо от того, имеются ли в системе сопротивления или нет.

б) Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий и времени не зависит. С течением времени она не изменяется и, следовательно, вынужденные колебания, в отличие от свободных, от сопротивлений не затухают. При резонансе, когда p=k, амплитуда вынужденных колебаний остается конечной и притом не самой большой из возможных ее значений для данной системы. В самом деле, разыскивая значение р, при котором амплитуда

(1.17)

достигает максимума, найдем, что это случится, когда

т.е. до наступления резонанса, при p < k.

в) В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда имеет место сдвиг фазы колебания по сравнению с фазой возмущающей силы. Величина е этого сдвига определяется формулой

(1.18)

Максимальное значение, равное , сдвиг фазы имеет при резонансе, когда p=k.

Амплитудой вынужденных колебаний определяются максимальные динамические напряжения, возникающие в упругих системах от воздействия на них гармонических возмущающих сил. В высшей степени важно заметить, что величина этих напряжений, как и амплитуды А, зависит не столько от величины возмущающей силы, сколько от частоты ее изменений во времени. При одном и том же значении H амплитуда и возникающие в системе напряжения могут значительно изменяться в зависимости от изменений частоты р. Для оценки этих изменений их сравнивают со статическим отклонением A₀ системы при действии на нее силы Н

(1.19)

Отношение амплитуды А к А₀, равное

(1.20)

где называется коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности показывает во сколько раз максимальное динамическое отклонение при вынужденных колебаниях от силы H•sin(pt) больше максимального статического отклонения от постоянной силы Н. На рис. 1.11, так называемыми, резонансными кривыми представлен ход изменения абсолютной величины коэффициента динамичности з в зависимости от частоты возмущающей силы для некоторых значений коэффициента сопротивления . Пунктиром показана резонансная кривая для n=0 в отсутствие сопротивления, когда коэффициент динамичности

(1.21)

Эта кривая имеет разрыв в точке а=1.

Рисунок 1.11. Ход изменения абсолютной величины коэффициента динамичности з

Из рассмотрения резонансных кривых на рис. 1.11 обнаруживается следующий факт, имеющий значение в приближенных расчетах амплитуд вынужденных колебаний. В областях, достаточно далеких от резонанса, амплитуды при относительно малом сопротивлении почти не отличаются от соответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления, определяемых более простой формулой

В этих областях при вычислении амплитуд можно совсем не учитывать сопротивлений, которые вообще с трудом поддаются точному определению.

Хотя амплитуды вынужденных колебаний с сопротивлением остаются конечными и при резонансе, однако при более или менее продолжительной работе деталей машин в резонансных условиях всегда имеется опасность полного или частичного их разрушения от усталостных напряжений. При проектировании конструкции, подверженной воздействиям возмущающих сил, стараются, поэтому подобрать соотношения размеров и прочности ее деталей так, чтобы по возможности отодвинуть условия нормального режима работы ее от резонансных условий). Для той же цели служат специальные устройства, как, например, нелинейные муфты, виброгасители и т. п.

2. Поперечные колебания прямых стержней

2.1 Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня

При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии так называемая упругая ось Упругая ось стержня -- это геометрическое место точек («центров же-сткости»), к которым должны быть приложены внешние силы, чтобы вызвать изгиб стержня без кручения. Если упругая ось не. совпадает с линией центров тяжести, то, как известно, стержень, Изгибаясь, будет закручиваться. стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось x: и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости («плоскость колебаний») и являются «малыми» отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных -- координаты x и времени t:

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через м(х) массу единицы длины стержня (кГ/м), через EJ--жесткость на прогиб [Е (Па) -- модуль упругости, J (м⁴) - момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний], J_в (кГ•м²) -- момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через f(x,t), а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью Р(x,t). Эти нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени.

Кинетическая, энергия колеблющегося стержня складывается из Кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня

(2.1)

и кинетической энергии вращений элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,

(2.2)

Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил)

(2.3)

б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки f(x, t)

(2.4)

в) и, наконец, потенциальной энергии растяжения от продольной силы Р(x,t)

(2.5)

Функционал S Остроградского-Гамильтона имеет здесь вид

(2.6)

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера

(2.7)

Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.

В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (2.7) последний член.

Положив f(x,t)=0 и р(х,t)=0, мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянными жесткостью EJ и погонной массой м. Для таких колебаний уравнение (2.7) будет иметь вид

(2.8)

2.2 Краевые и начальные условия

В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила, следовательно,

б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т.е.

в) в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т. е.

Краевые условия, ограничивающие свободу перемещений концов Стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, например, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т, е. условия

Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами

мы будем называть динамическими условиями.

В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин

Начальные условия выражаются соотношениями имеющими место в момент t=0, где и(х) и v(x)--некоторые заданные функции переменной x, определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов.

2.3 Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие

Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня

(2.9)

является так называемое главное колебание, в котором у(x,t) изменяется с течением времени по гармоническому закону

(2.10)

Функция ц(х), устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты p -- так называемая собственная частота. Отбор собственных частот и соответствующих им собственных форм осуществляется с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи.

Чтобы получить уравнение собственных форм однородной задачи, подставим (7.10) в (7.9). После сокращения на будем иметь

(2.11)

(2.12)

Уравнение (7.11) имеет следующие четыре независимых частных решения: его общий интеграл

(2.13)

Он содержит четыре произвольные постоянные А, В, С, D, которые должны быть подобраны так, чтобы для функции ц(x) выполнялись краевые условия, т. е. условия закрепления концов стержня. В обычных случаях, число краевых условий равно числу произвольных постоянных-- по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин:

пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему моменту и перерезывающей силе в точках x=0 или x=l. Выполняя эти условия, мы получим четыре однородных уравнения, из которых найдутся отношения постоянных А, В, С, D и уравнение для определения собственных частот системы.

Во многих отношениях более удобной оказывается следующая система частных решений уравнения (2.11):

 (2.14)

Функции S, T, U, V называются функциями A. H. Крылова.

Найдем значения этих функций и их производных по аргументу kx до третьего порядка включительно при x=0:

(2.15)

Определитель, составленный из этих величин, равен единице. Поэтому функции Крылова называют иногда функциями с единичной матрицей, а систему (2.14) -- нормальной или фундаментальной системой интегралов уравнений (2.11).

Приведем выражения последовательных производных по x от функций S(x), Т(x),U(x), V(x) до четвертого порядка включительно.

(2.16)

Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с помощью этих функций можно сразу написать выражение общего интеграла уравнения (2.11), удовлетворяющего условиям на конце x=0 и содержащего только две постоянные, которые определяются из- условий на другом конце x=l.

3. Расчетная часть

3.1 Колебания трубопровода, шарнирно опертого по концам

Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам, изображена на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда прогиб и изгибающий момент на обоих концах трубы будут равны 0.

(3.1)

(3.2)

Как видно из (2.15), данным условиям удовлетворяют функции T и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные B и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.3)

(3.4)

Так как уравнения (3.3) и (3.4) равны, то приравняем их левые части

(3.5)

Выразим из уравнения (3.3) постоянную В

и подставим в уравнение (3.5)

Левая часть уравнения будет равна 0.

Разделим на k²D

Распишем функции Крылова T и V согласно (2.14).

(3.6)

Решением уравнения (3.6) будет являться случай, когда один из множителей будет равен 0.

(3.7)

Корень kl=0 нас не интересует, так как собственная частота по уравнению (2.12) будет равна 0, т.е. колебания будут отсутствовать.

Подставив значение k из формулы (3.7) определим собственную частоту колебаний

где i - волновое число, определяющее номер собственной формы колебаний (i=1,2,3…).

Для примера расчета возьмем трубопровод диаметром D=820мм, толщиной стенки д=10мм и длиной l=50 м.

Внутренний диаметр трубы будет равен

где Е=2.1•10¹¹ Па (для стали).

Момент инерции поперечного сечения трубы, относительно оси, перпендикулярной к плоскости колебаний, вычисляется по формуле



Масса единицы длины стержня вычисляется по формуле

(3.8)

где S - площадь поперечного сечения трубы, вычисляемая по формуле

(3.9)

1 - погонная длина трубы l=1м,

с=7850 кГ/м³ - плотность стали.

Преобразуем формулу (3.8), заменив значение площади формулой (3.9)

Вычислим собственные частоты первых трёх форм колебаний.

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнения

Первые три собственные формы колебаний представлены на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 - Собственные формы колебаний трубопровода, шарнирно опёртого по концам.

3.2 Колебания трубопровода с жёстко закреплёнными концами

Расчетная схема трубопровода с жёстко закреплёнными концами изображена на рис. 3.3.

Рисунок 3.3 - Расчетная схема трубопровода с жёстко закреплёнными концами.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда прогиб и угол поворота на обоих концах трубы будут равны 0.

(3.10)

(3.11)

Как видно из (2.15), данным условиям удовлетворяют функции U и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные С и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.12)

(3.13)

Выразим из уравнения (3.12) постоянную C

и подставим в уравнение (3.13)

Разделим на D

Распишем функции Крылова T, U и V согласно (2.14).

(3.14)

Для решения уравнения (3.14) воспользуемся функцией подбор параметра в программе Microsoft Office Excel. Для этого сначала создаем две ячейки: в ячейке В1 необходимо записать уравнение (3.14), в которой переменной является выражение kl; ячейка В2 и будет являться той самой переменной.

Затем необходимо войти в меню Данные>Работа с данными>Анализ «что-если»>Подбор параметра. В открывшемся окне в поле Установить в ячейке указываем ссылку на ячейку с формулой, т.е. В1; в поле Значение указываем 0, так как значение уравнения должно равняться 0; в поле Изменяя значение ячейки указываем переменную уравнения, т.е. ячейку В2. Далее нажимаем ОК и в ячейке В2 появляется искомое значение kl.

Пример выполнения функции Подбор параметра приведен на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 - Пример решения уравнения при помощи функции «Подбор параметра» в программе MS Excel.

Далее изменяя начальное значение kl, воспользовавшись тем же принципом, найдем еще два значения kl.

Отбросив нулевой корень, получаем следующие первые три корня уравнения (3.14):

Подставив полученные значения k в формулу (2.12) определим собственные частоты первых трёх форм колебаний

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнение

Первые две собственные формы колебаний представлены на рис. 3.5.

Рисунок 3.5 - Собственные формы колебаний трубопровода с жёстко защемлёнными концами

3.3 Колебания трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l

Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l, изображена на рис. 3.6.

Рисунок 3.6 - Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда в точке x=0 будут равны 0 прогиб и угол поворота, а в точке x=l будут равны 0 изгибающий момент и срезающая сила.

(3.15)

(3.16)

Как видно из (2.15),условиям для точки x=0 удовлетворяют функции U и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

Постоянные С и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.17)

(3.18)

Выразим из уравнения (3.17) постоянную C

(3.19)

и подставим в уравнение (3.18)

Разделим на D

Распишем функции Крылова S, T и V согласно (2.14).

(3.20)

Воспользовавшись для решения уравнения (3.20) функцией Подбор параметра в программе Microsoft Office Excel, как это описано выше, найдем первые три корня уравнения.

Отбросив нулевой корень, получаем следующие первые три корня уравнения (3.20)

Подставив полученные значения k в формулу (2.12) определим собственные частоты первых трёх форм колебаний

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнение

Первые три собственные формы колебаний представлены на рис. 3.7.



Рисунок 3.7 - Собственные формы колебаний трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и свободного на конце x=l.

3.4 Колебания трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и шарнирно опертого концом x=l

Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и шарнирно опёртого концом x=l, изображена на рис. 3.8.

Рисунок 3.8 - Расчетная схема трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и шарнирно опёртого концом x=l.

Граничными условиями для данного вида закрепления будут являться условия, когда в точке x=0 будут равны 0 прогиб и угол поворота, а в точке x=l будут равны 0 прогиб и изгибающий момент.

(3.21)

(3.22)

Как видно из (2.15), условиям для точки x=0 удовлетворяют функции U и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний (2.13) примет вид

(3.23)

Постоянные С и D найдутся из условия на правом конце (x=l).

(3.24)

(3.25)

Выразим из уравнения (3.24) постоянную C

и подставим в уравнение (3.25)

Разделим на D

Распишем функции Крылова S, T и V согласно (2.14).

(3.26)

Воспользовавшись для решения уравнения (3.26) функцией Подбор параметра в программе Microsoft Office Excel, как это описано выше, найдем первые три корня уравнения.

Отбросив нулевой корень, получаем следующие первые три корня уравнения (3.26)

Подставив полученные значения k в формулу (2.12) определим собственные частоты первых трёх форм колебаний

Для собственных форм из (2.13) получаем уравнение

Первые три собственные формы колебаний представлены на рис. 3.9.

Рисунок 3.9 - Собственные формы колебаний трубопровода, жёстко закреплённого концом x=0 и шарнирно опертого концом x=l.

4. Применение протгораммы bentley autopipe для динамического анализа трубопроводов

4.1 Обзор программы Bentley AutoPIPE

Рассмотренные выше расчетные схемы для расчета собственных частот колебаний трубопровода довольно просты. Но реальный трубопровод, как правило, имеет отводы, повороты, вставки и другие конструктивные элементы, которые значительно усложняют расчетную схему.

В настоящее время существует ряд программных комплексов, позволяющих производить расчеты автоматически на компьютере, что в значительной мере сокращает время расчета инженерами, а также позволяет рассчитывать более сложные модели.

Одним из таких программных комплексов является программа Bentley AutoPIPE. Bentley AutoPIPE - это программа для анализа напряжений, нагрузок и деформаций в трубопроводах в условиях статического и динамического нагружения, работающая в среде Windows. AutoPIPE рассчитывает системы любой сложности и имеет специальные встроенные функции для анализа трубопроводов подземного проложения, волновых нагрузок, гидравлических и паровых ударов, трубопроводов из стеклопластика, а также механизмы взаимодействия трубопроводов с металлоконструкциями.

В AutoPIPE удалось объединить объектно-ориентированные графические технологии с динамическими таблицами ввода данных и вывода отчетов с лучшими современными аналитическими возможностями, которыми не располагают другие программы, что обеспечивает действительно уникальное средство анализа и распределения напряжений в трубопроводах.

Графический пользовательский интерфейс на основе технологии OpenGL упрощает процесс создания модели и редактирования напряжений в трубопроводах. Выбрав мышью графическое изображение элементов в моделе, пользователь можете вставить, изменить или удалить нагрузки, опоры или другие компоненты трубопровода. После каждой операции изображение модели автоматически обновляется, мгновенно отображая изменения. Используя графический выбор в AutoPIPE, можно вставлять, удалять или изменять компоненты, опоры, характеристики трубопровода, температуры/давления или другие параметры всего выбранного диапазона с помощью всего лишь одной команды. Графический выбор также используется для операций вырезания, копирования и вставки. С помощью интерактивных таблиц, подобных таблицам Excel, можно быстро проверять, сортировать или изменять сразу множество входных данных. В программе AutoPIPE возможны до 99 шагов отмены и восстановления для исправления ошибок, выполнения возможных альтернативных анализов или быстрой проверки результатов различных сценариев проектирования.

AutoPIPE предоставляет уникальные возможности расчета труб, поддерживая 24 международных стандарта для различных областей применения: технологической, энергетической, нефте- и газовой, ядерной, также трубопроводы подземного и подводного проложения, плавучие системы нефтедобычи и т.д. Передовые возможности AutoPIPE включают интегрированный анализ от волновых нагрузок, трубопроводов подземного проложения, трубопроводов с изоляцией, динамических нагрузок и трубопроводов из ортотропного стеклопластика. Кроме того, анализ тепловой деформации частично заполненного трубопровода, теплоперехода, взаимодействия трубопроводов с металлоконструкциями. Расчет местных напряжений по стандартам WRC107, WRC297, PD5500, KHK, API650 возможен с использованием дополнительного модуля WinNOZL.

Возможности динамического анализа включают в себя:

- анализ динамических характеристик во времени с моделированием переходных процессов;

- анализ собственных форм, ускорений и частот колебаний;

- анализ гармонической нагрузки;

- анализ спектров реакций и ударных нагрузок;

- анализ спектров, соответствующих стандартам NRC и N411 (PVRC) для атомной энергетики;

- анализ в соответствии со стандартом NUREG.CR-1677;

- анализ пропущенных масс и поправка ZPA.

После проведения расчета, можно сразу же посмотреть все напряжения, деформации, нагрузки, моменты и другие характеристики модели на графике.

Используя цветовое кодирование результатов на графике и всплывающие окна, система позволяет инженерам быстро определять критические области без необходимости просмотра большого объема табличных выходных данных. С помощью мощного инструмента вывода результатов можно просмотреть в табличном виде до 500 сочетаний нагрузок с возможностью их интерактивной фильтрации, сортировки и печати результатов.

AutoPIPE - единственное программное обеспечение на современном рынке, обладающее самым тесным взаимодействием расчетов трубопровода и металлоконструкций, которое передает нагрузки в опорах трубопровода, а также импортирует и экспортирует все конструкции в строительную программу анализа №1 в мире - STAAD.Pro®. Данная интеграция позволяет сэкономить недели работы, затрачиваемые на повторное проектирование, и обеспечивает создание более надежных и реалистичных проектов. Также пользователь может импортировать в AutoPIPE трехмерные модели, созданные в Bentley AutoPLANT, Bentley PlantSpace, Intergraph PDS, SmartPlant или Aveva PDMS (САПР, предназначенные для детального проектирования промышленных объектов), чтобы сэкономить сотни человеко-часов и получить точные напряжения в уже созданных моделях трубопроводов.

4.2 Моделирование креплений трубопроводов в среде Bentley AutoPIPE

Средства крепления трубопроводов подразделяются на опоры, кронштейны и подвески (могут применяться и другие разновидности средств крепления трубопроводов).

По характеру работы и назначению опоры можно подразделить на подвижные, к которым относятся скользящие, катковые, шариковые, пружинные и т.п., и неподвижные, которые бывают приварными, хомутовыми и упорными.

Подвижные опоры устанавливаются для обеспечения свободного перемещения трубопроводов на опорах при температурных деформациях. Эти опоры воспринимают вертикальную нагрузку -- силу тяжести трубопроводов с размещенной на них арматурой и теплоизоляции различных типов, а также горизонтальную нагрузку, зависящую от коэффициента трения на подошве опоры. На величину трения влияет конструкция подвижной опоры. Наиболее распространенными подвижными опорами являются скользящие опоры, перемещающиеся вместе с трубой по различным опорным конструкциям; коэффициент трения для скользящей опоры принимают равным 0,3. Для организации более свободного перемещения трубопровода применяют катковые опоры с коэффициентом трения 0,1, Шариковые опоры воспринимают горизонтальные осевые и боковые нагрузки. Пружинные опоры применяются для поглощения вибрации, передаваемой от технологического оборудования, и обеспечивают надежную работу как сварных, так и фланцевых соединений.