Статистическая обработка данных

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Курсовой проект

по дисциплине «Статистика»

на тему: Статистическая обработка данных



Содержание

Введение

1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке

3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

5. Параметрическая оценка функции плотности распределения

6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Заключение

Список использованной литературы

интервальный дисперсия выборочный данные



Введение

Целью данной курсовой работы является изучение и, как в следствии, расширение знаний о математической статистике, ознакомление с методами обработки экспериментального материала, с целью получения надежных выводов, ознакомление с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.



1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1) Задача:

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

2) Цель работы:

Изучить и усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

3) Исходные данные.

Проведен эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Данная выборка представлена в таблице 1.1

Таблица 1.1

10.2836	10.7148	9.4963	12.8971	10.9190	12.8067
14.0510	7.3201	7.9052	15.2359	10.6512	9.6341
11.0156	12.4240	8.9727	12.1429	13.1025	11.9252
11.8667	8.3636	10.2223	9.1232	12.2658	11.1741
10.8028	10.4434	11.2314	9.6948	11.0725	8.3374
12.4564	9.5759	8.7116	14.2939	9.5319	13.1150
11.8891	17.3345	6.9275	13.3734	13.4795	13.8429
12.1071	11.7579	14.8285	9.5450	10.1539	12.1039
12.9304	7.3669	12.4592	12.3466	11.8461	11.5607
10.7288	15.9654	16.1488	9.8759	12.9522	12.5015



2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60)

2) среднее линейное отклонение

3) дисперсия случайной величины Х

4) несмещенная оценка дисперсии

5) среднеквадратическое отклонение

=

6) несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения

7) коэффициент вариации

8) коэффициент асимметрии случайной величины Х

9) коэффициент эксцесса случайной величины Х

10) вариационный размах

R = Xmax - Xmin = 17,3345- 6,9275= 10,407

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

Выполняется необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = < 33%

Отсюда следует, что не все выборочные значения случайной величины Х положительны, что мы и видим в исходных данных.

Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю и составляет As = 0,22481644

В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что «длинная часть» кривой расположена справа от математического ожидания.

Коэффициент эксцесса так же как и коэффициент асимметрии близок к нулю, так как Е = . Он отрицательный, значит, кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

3.Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:



Где а = М[X] - математическое ожидание

N - 1 = V = 59 - число степеней свободы

tv;p - величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения , и N.

Задаемся доверительной вероятностью:

Р1 = 0,95 Р2 = 0,99

Для каждого значения Рi (i=1,2) находим по таблице значения t59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р1 = 0,95 t59;0,95 = 2

При Р2 = 0,99 t59;0,95 = 2,66

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство известные значения и N, получим неравенство, в котором неизвестны и .

Задаваясь доверительной вероятностью Рi (или уровнем значимости а) вычисляем значения и . Используем эти два значения и степень свободы V = N - 1 = 59, по таблице находим и .

= = = =

и - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая (хи-квадрат) распределение вероятности Рi и заданной степени свободы V (V=59).

Для Р1 = 0,95 и

находим по таблице: = = 40,4817

= = 83,2976

Подставляя в неравенства и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

При Р2 = 0,99 и

находим по таблице: = = 35,5346

= = 91,9517

Поставляя в неравенства и , и вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р1 = 0,95

При Р2 = 0,99

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х, которые представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Ранжированный ряд

6,9275	9,5319	10,6512	11,7579	12,4240	13,3734
7,3201	9,5450	10,7148	11,8461	12,4564	13,4795
7,3669	9,5759	10,7288	11,8667	12,4592	13,8429
7,9052	9,6341	10,8028	11,8891	12,5015	14,0510
8,3374	9,6948	10,9190	11,9252	12,8067	14,2939
8,3636	9,8759	11,0156	12,1039	12,8971	14,8285
8,7116	10,1539	11,0725	12,1071	12,9304	15,2359
8,9727	10,2223	11,1741	12,1429	12,9522	15,9654
9,1232	10,2836	11,2314	12,2658	13,1025	16,1488
9,4963	10,4434	11,5607	12,3466	13,1150	17,3345

Интервал [6,9275; 17,3345], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчетов выбираем h = 1,5 и вычисляем последовательно границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение:

Далее вычисляем границы интервалов.

= 6,1775 + 1,5 = 7,6775

= 7,6775 + 1,5 = 9,1775

= 9,1775+ 1,5 = 10,6775

= 10,1775+ 1,5 = 12,1775

= 12,1775+ 1,5 = 13,6775

= 13,6775+ 1,5 = 15,1775

= 15,1775+ 1,5 = 16,6775

= 16,6775+ 1,5 = 18,1775

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство Xn > Xmax, то есть X8 = 18,1775> Xmax = 17,3345.

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой графе таблицы помещаем частичные интервалы, во второй графе - середины интервалов, в третьей графе записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал - частоты, в четвертой графе записаны относительные частоты и в пятой графе записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности. Данная информация представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Значение выборочной функции и плотности

h		ni			3
[6,1775; 7,6775)	6,9275	3	0,05	0,033	33
[7,6775; 9,1775)	8,4275	6	0,1	0,067	67
[9,1775; 10,6775)	9,9275	12	0,2	0,133	133
[10,6775; 12,1775)	11,4275	17	0,283	0,189	189
[12,1775; 13,6775)	12,9275	14	0,233	0,156	156
[13,6775; 15,1775)	14,4275	4	0,067	0,044	44
[15,1775; 16,6775)	15,9275	3	0,05	0,033	33
[16,6775; 18,1775)	17,4275	1	0,016	0,011	11

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 4.2., можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестности точки х = 11,4275 и с частотой по n = 17.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд:

Так как N = 2k, k = N / 2 = 60 / 2 = 30

Сравнение оценок медианы и оценки математического ожидания показывает, что они отличаются на 1,34 %.

5. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдем параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

Где и известны - они вычисляются по выборке.

= 2,1976676 = 11,4634

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения для i = 1,2,…, k, затем по таблице значений функций плотности стандартной нормальной величины находим значение .

=0,0478

=0,1539

=0,3123

=0,3989

=0,3187

=0,1604

=0,0508

=0,0101

Переходим к вычислению функции:

0,022

Функция , вычисленная при заданных параметрах и в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

где h = 1,5

где N = 60

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.2.



Из полученных результатов проведенных вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале [6,1775; 18,1775) почти равна единице, а сумма всех частот равна 59,61. Данные результаты объясняются тем, что мы вычисляем вероятности в интервале, где заданы экспериментальные данные.

Сравнение экспериментальных и теоретических частот по критерию Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие . Представленные в таблице 5.2 результаты вычислений показывают, что это условие выполняется не всегда. Поэтому все те частичные интервалы, для которых частоты , объединяем с соседними. Соответственно объединяем и экспериментальные частоты .

Таблица 5.1

	0,033	0,067	0,133	0,189	0,156	0,044	0,033	0,011
	0,022	0,07	0,142	0,182	0,145	0,073	0,023	0,005

Рис. 1. График. Теоретическая и экспериментальная плотности вероятности.

Таблица 5.2

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

[xi-1; xi)
[6,1775; 7,6775)	3	6,9275	0,05	0,033	-2,064	0,022	0,033	1,98	2
[7,6775; 9,1775)	6	8,4275	0,1	0,067	-1,38	0,07	0,105	6,3	6
[9,1775; 10,6775)	12	9,9275	0,2	0,133	-0,7	0,142	0,213	12,78	13
[10,6775; 12,1775)	17	11,4275	0,283	0,189	-0,016	0,182	0,273	16,38	16
[12,1775; 13,6775)	14	12,9275	0,233	0,156	0,67	0,145	0,2175	13,05	13
[13,6775; 15,1775)	4	14,4275	0,067	0,044	1,35	0,073	0,1095	6,57	7
[15,1775; 16,6775)	3	15,9275	0,05	0,033	2,03	0,023	0,035	2,1	2
[16,6775; 18,1775)	1	17,4275	0,016	0,011	2,71	0,005	0,0075	0,45	1
У			0,999				0,9935	59,61

6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика имеет распределение с V = k - r - 1 степенями свободы, где k - число интервалов эмпирического распределения, r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V=k -3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ? 50 ? 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие ? 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k-3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а1 = 0,01; а2 = 0,1; а3 = 0,005.

Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.

Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V= k-3, где k - число групп эмпирического распределения.

Сравниваем фактически наблюдаемое с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

если > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

Если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[6,1775; 9,1775)	0,138	8,28	9	0,5184	0,0626
[9,1775; 10,6775)	0,213	12,78	12	0,6084	0,0476
[10,6775; 12,1775)	0,273	16,38	17	0,3844	0,0235
[12,1775; 13,6775)	0,2175	13,05	14	0,9025	0,0692
[13,6775; 18,1775)	0,152	9,12	8	1,2544	0,1375
У	0,9935	59,61	60		0,3404

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.

По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим = 5,99147.

В результате получаем:

Для = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:

= 0,3404< = 5,99147

Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.



Заключение

Статистические методы (методы, основанные на использовании математической статистики), являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых явлений (объектов, процессов) в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

Статистические методы контроля производства и качества продукции имеют ряд преимуществ перед другими методами:

- являются профилактическими;

- позволяют во многих случаях обоснованно перейти к выборочному контролю и тем самым снизить трудоемкость контрольных операций;

- создают условия для наглядного изображения динамики изменения качества продукции и настроенности процесса производства, что позволяет своевременно принимать меры к предупреждению брака не только контролерам, но и работникам цеха - рабочим, бригадирам, технологам, наладчикам, мастерам.



Список использованной литературы

1) Статистическая обработка результатов выборочного контроля: Метод.рек./Сост.: Ю. Г. Сильвестров: СибГИУ.- Новокузнецк, 2010 -41 с.

2) Статистическое управление процессами при помощи контрольных карт: Метод.рек. /Сост.: Ю. Г. Сильвестров: ГОУ ВПО «СибГИУ». - Новокузнецк, 2014 - 17 с.

3) ГОСТ Р 50779.42-99. Статистические методы. Контрольные карты Шухарта [Текст]. - : Издательство стандартов, 2007. - 36 с.

Размещено на Allbest.ru