Для исследования функции личного потребления были отобраны следующие факторные признаки, такие как: доходы населения, сбережения населения на протяжении исследуемого периода, а также уровень инфляции.

Динамика изменения уровня дохода населения показана на рис.2.1.

Рис.2.1 Динамика изменения уровня дохода населения, в млн. грн.

Доходы населения, их структура и способы получения являются показателями экономического и социального благополучия общества.

В Украине с 2006 по 2011 гг. наблюдалось постепенное увеличение доходов населения с 93545,00 млн. грн. в 1 квартале 2006 года до 328461,00 млн. грн. в 3 квартале 2011 года [4].

Динамика изменения уровня сбережений населения показана на рис.2.2.

Рис.2.2 Динамика изменения уровня сбережений населения, в млн. грн.

Население постепенно увеличивало долю сбережений с 2006 по 2008 г. г., а в начале 2009 года сбережения резко падают, что связано с экономическим кризисом, однако если рассматривать квартальные показатели, то с 2 квартала 2009 г. происходит постепенное увеличение сбережений [4].

Динамика уровня инфляции в Украине изображена на рис.2.3.

Рис.2.3 Динамика изменения уровня цен в Украине

Индекс инфляции, или, что то же, индекс потребительских цен - показатель, который характеризует изменения общего уровня цен на товары и услуги, приобретаемые населением для непроизводственного потребления [5]. Необходимо отметить, что уровень инфляции на протяжении исследуемого периода находился практически на одном уровне, кроме кризисного периода соответсвенно, и с 2010 года наблюдается тенденция к сокращению.

В итоговой модели функция потребления зависит от:

1) Доходов населения.

2) Уровня инфляции.

3) Сбережений населения.

Модель будет иметь вид:

,

где y - результирующая переменная (потребление населения);

х₁ - доходы населения, ежеквартальные данные в млн. грн.;

х_{2 -} сбережения населения; х₃ - уровень инфляции.

b₀, b_1, b_2, b₃ - оценки неизвестных параметров в₀, в_1, в₂, в_{3, в} том числе b₀ - свободный член уравнения регрессии, b_1, b_2, b_{3 -} коэффициенты множественной регрессии;

e - случайная величина (случайные отклонения) [1].

С помощью функции ЛИНЕЙН, я определила коэффициенты b₀, b_1, b_2, b_3:

b₀ = - 269428,8196;

b₁ = 0,765990944;

b₂ = 0,008204561;

b₃ = 2739,629825.

Уравнение регрессии примет вид:

Результаты моделирования изображены на рис.2.4.

Рис.2.4 Исходные данные и результаты моделирования потребления населения.

Результаты функции ЛИНЕЙН представлены в табл.2.1.

Таблица 2.1.

Для экспресс-оценки качества построенной модели выдвигаем такие гипотезы:

1) Оценка фактора в₀

Н₀ - фактор в₀ значим, он оказывает линейное воздействие на Y

Н₁ - фактор в₀ не значим

2) Оценка фактора в₁

Н₀ - фактор в₁ значим, он оказывает линейное воздействие на Y

Н₁ - фактор в₁ не значим

3) Оценка фактора в₂

Н₀ - фактор в₂ значим, он оказывает линейное воздействие на Y

Н₁ - фактор в₂ не значим

4) Оценка фактора в₃

Н₀ - фактор в₃ значим, он оказывает линейное воздействие на Y

Н₁ - фактор в₃ не значим

5) Проверка статистических гипотез (t stat и t krit):

Н₀ - принимаем гипотезу о существовании линейной зависимости между факторными признаками и результирующей переменной

Н₁ - принимаем альтернативную гипотезу

6) Проверка адекватности модели

Н₀ - принимаем гипотезу о том, что адекватно описывает изменения исходного Y при изменении факторов, включенных в модель

Н₁ - принимаем альтернативную гипотезу о том, что модель не адекватна.

Таблица 2.2.

Экспресс-оценка качества построенной модели:

Ошибка аппроксимации составила 2,931379 %.

Анализ абсолютных значений:

1) b₀ показывает теоретическое значение Y при х₁=х₂=0;

2) b_1, b₂,b₃ показывают, на сколько изменится Y (в единицах измерения Y), при изменении факторов хi на 1 ед. (в единицах измерения х). В случае, если в_i >0, то изменение хi и Y однонаправленные, а если в_i <0 - разнонаправленные.

Поскольку в данной модели все значения в_i, положительные. То при увеличении факторных признаков среднее значение результирующей переменой Y возрастает. В случае изучения потребления населения, то фактор в₁ показывает, на сколько изменится потребление населения, млн. грн., при изменении фактора располагаемого дохода населения на 1 млн. грн.

Фактор в₂ показывает, на сколько млн. грн. изменится потребление населения при изменении фактора сбережения населения на 1 млн. грн. Фактор в₃ показывает, на сколько млн. грн. изменится потребление населения при изменении индекса инфляции на 1%. [1]

Рассчитаю, коэффициенты эластичности:

, в %.

е1= 0,954932445%.

Таким образом, при изменении х₁ на 1% У изменится на 0,954932445%.

е2 = 0,001283175%.

Таким образом, при изменении х₂ на 1% У изменится на 0,001283175%.

е3 = 1,642047594%.

Таким образом, при изменении х₃ на 1% У изменится на 1,642047594 %.

Зная коэффициенты эластичности, можно сказать, что на У в большей мере воздействует 3 фактор (уровень инфляции), так как |е3|> |е1|> |е2|.

Доверительные интервалы для в_1, в_2, в_3:

Таблица 2.3

С вероятностью 95% можно сказать, что истинные значения коэффициентов регрессии в_i лежат в данных пределах.

Проверяем факторы на наличие мультиколлинеарности:

Согласно гипотезам: Н₀ - между переменными отсутствует мультиколлинеарность; Н₁ - переменные модели множественной регрессии высококоррелированы.

Для этого построим матрицу коэффициентов парной корреляции между факторами:

Таблица 2.4

Для проверки гипотез рассчитывается эмпирическое значение критерия ч²:

, [1]

9,758255423

где - определитель матрицы R - матрицы парных коэффициентов корреляции; |R| = 0,616386896, ln|R| = - 0,48388043;

n - число наблюдений, по которым построена модель регрессии, n = 23;

k - количество регрессоров с учетом константы в модели регрессии, k=4.

Табличное значение статистики ч^2:

[1].

7,814728.

Так как условие не выполняется, то принимает гипотезу Н₁, т.е. мультиколлинеарность присутствует.

Мероприятия по устранению мультиколлинеарности будут основываться на технике преобразования модели. Для модели множественной регрессии вида, для которой сделан вывод о наличии корреляции между объясняющими переменными х₁ х₂ и х_3, следует перейти к оценке МНК параметров другой модели: , где объясняющие переменные , и уже не коррелированны [3].

Выполнив преобразование, были получены новые оценки (Таблица 2.5.), выполнена Экспресс-оценка качества построенной модели без мультиколлинеарности (Таблица 2.6.), и по этим оценкам была построена модель (Рис.2.5.) Т.о. были получены новые оценки:

Таблица 2.5

Таблица 2.6.

Экспресс-оценка качества построенной модели:

Ошибка аппроксимации модели без мультиколлинеарности составила:

2,755664 %.

Рис.2.5 Сравнение результатов моделирования с исходными данными

При анализе модели на гетероскедастичность, используем графический метод.

Рис.2.6 Проявление систематических изменений между значениями факторной переменной Х₁ и значениями e_t²

Рис.2.7 Проявление систематических изменений между значениями факторной переменной Х₂ и значениями e_t²

Рис.2.8 Проявление систематических изменений между значениями факторной переменной Х₃ и значениями e_t²

Для модели необходимо найти остатки e_t. Чтобы выявить зависимость дисперсии остатков от значений факторных переменных, необходимо оценить зависимость e_t² от всех возможных комбинаций факторных переменных.

Таблица 2.7.

Тест Уайта

Тест Уайта для построенной модели показал, что гетероскедастичность присутствует, так как F_emp>F_krit (F_krit = 2,809996, F_emp = 6,277245). Для устранения гетероскедастичность был использован метод взвешенных наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что необходимо разделить каждое наблюдаемое значение переменных модели на соответствующее ему значение стандартного отклонения. Значение стандартного отклонения берут, основываясь на модельном значении дисперсии из теста Уайта (), то есть стандартное отклонение принимают равным . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие "веса", а с максимальными дисперсиями - наименьшие "веса". Так, в случае наличия гетероскедастичности в модели множественной регрессии вида МНК применяют для преобразованных значений . [1]

Ошибка аппроксимации модели без гетероскедастичности составила 3,441759378 %.

Рис.2.9 Сравнение результатов моделирования с исходными данными

Для обнаружения автокорреляции остатков используем критерий знаков и критерий Дарвина-Уотсона.

Результаты, полученные с помощью критерия знаков (таблица 2.8.)

Таблица 2.8.

Результаты критерия знаков

Поскольку, V _emp > V _stat, a T _emp < T _stat, то принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. [3]

Проверка наличия автокорреляции с помощью критерия Дарвина-Уотсона, для уровня значимости 0,05 и 0,01. Для того чтобы проанализировать автокорреляцию случайных отклонений используют -статистику, коэффициент Дарбина-Уотсона (DW), который рассчитывается по формуле:

, [1]

Значение DW критерия = 1,348834.

Правило проверки:

Рис.2.10. Зоны автокорреляционной связи по критерию Дарбина-Уотсона

Полученные результаты при уровне значимости 0,05:

Таблица 2.10.

Отсюда можно сделать вывод, что =1,348834 попадает в зону неопределенности интервал [d_L; d_U].

Полученные результаты при уровне значимости 0,01:

Таблица 2.11.

Отсюда можно сделать вывод, что =1,348834 попадает в интервал [d_U; 4-d_U], т.е. автокорреляция отсутствует.

Для проверки модели на устойчивость, используем критерий Чоу. Для этого разбиваем выборку на 2 равных части, размер первой - 12 периодов, размер второй - 11 периода. При этом k=k₁=k₂=4.

Оцененные параметры модели:

для n: RSS= 913441015;

для n₁: RSS₁ = 186244602,1;

для n₂: RSS₂ = 703759744.

Исходя из значений этих параметров, получим F_emp. = 0, a F_stat = 3. Поскольку, |F_emp|< F_stat, [3] то можно говорить об устойчивости модели во времени.

Раздел 3