7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, - и -коэффициентов.

Для оценки качества выбранной множественной модели (6) , аналогично п.1.4 данной задачи, используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R-квадрат возьмем из итогов «Регрессии» (таблица «Регрессионная статистика» для модели (6)).

, следовательно, вариация (изменение) цены квартиры Y на 76,77% объясняется по данному уравнению вариацией города области Х1, числа комнат в квартире Х2 и жилой площади Х4.

Используем исходные данные Yi и найденные инструментом «Регрессия» остатки (таблица «Вывод остатка» для модели (6)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение .

Вывод остатка

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение =22.51% (с помощью функции СРЗНАЧ).

Сравнение показывает, что 22.51%>7%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.

С помощью F - критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов применения инструмента «Регрессия» (таблица «дисперсионный анализ» для модели (6)) F=39,6702.

С помощью функции FРАСПОБР найдем значение Fкр=3.252 для уровня значимости б = 5%, и чисел степеней свободы k1 = 2, k2 = 37.

F>Fкр, следовательно, уравнение модели (6) является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель (6) факторными переменными Х1, Х2. и Х4.

Дополнительно с помощью t-критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах инструмента «Регрессия». Получены следующие значения для выбранной модели (6)

Критическое значение tкр найдено для уровня значимости б=5% и числа степеней свободы k=40-2-1=37. tкр=2.026 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Для свободного коэффициента б=-5.643 определена статистика , <tкр, следовательно, свободный коэффициент не является значимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии в1=6.859 определена статистика , <tкр, следовательно, коэффициент регрессии в1 не является значимым, его и фактор города области можно удалить из модели.

Для коэффициента регрессии в2=-1,985 определена статистика , <tкр, следовательно, коэффициент регрессии в2 не является значимым, его и фактор числа комнат в квартире можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии в4=2.591 определена статистика , >tкр, следовательно, коэффициент регрессии в4 является значимым, его и фактор жилой площади квартиры можно сохранить в модели.

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости б=5%. Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент б можно считать значимым на уровне 0.64 = 64%; коэффициент регрессии в1 - на уровне 0,46 = 46%; коэффициент регрессии в2 - на уровне 0,8 = 80%; а коэффициент регрессии в4 - на уровне 2,27E-06= 2,26691790951854E-06 = 0,0000002%.

При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R2 и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества модели (3) и выбранной множественной модели (6) используем нормированные коэффициенты детерминации.

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора «город области» Х1 и фактора «число комнат в квартире» Х2 качество модели ухудшилось, что говорит в пользу удаления факторов Х1 и Х2 из модели.

Проведем дальнейшие расчеты.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами

.

С помощью функции СРЗНАЧ найдем:

=0.45, =2.6, =42.05, =101.24.

Тогда

,

,

Следовательно, увеличение жилой площади Х4 при том же кол-ве комнат и городе области на 1% приводит к увеличению цены квартиры в среднем на 1,076%.

При изменении города области (Х1) и неизменной жилой площади и числе комнат в квартире цена квартиры увеличится в среднем на 0,03%.

При изменении числа комнат в квартире (Х2) и неизменной жилой площади и городе области цена уменьшается в среднем на 0,05%.

Бета-коэффициенты определяются по формулам:

,

где среднее квадратическое отклонение j - го фактора - .

,

С помощью функции СТАНДОТКЛОН найдем SX1= 0,504, SX2= 1,194, SX4=20.223; SY= 57,291.

Тогда

;

;

Таким образом, при увеличении только фактора Х1 на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0.06 своего стандартного отклонения SY, при увеличении только фактора Х2 на одно его стандартное отклонение - уменьшается на 0,041 SY, при увеличении только фактора Х4 на одно его стандартное отклонение - увеличивается на 0,914 SY

Дельта-коэффициенты определяются формулами

.

Найдем коэффициенты парной корреляции с использованием инструмента «Корреляция» пакета «Анализ данных» в Excel.

Коэффициент детерминации был определен ранее и равен 0.7677.

Вычислим дельта-коэффициенты:

;

Поскольку Д1<0 и Д2<0, то факторные переменные Х1 и Х2 выбрана неудачно, и их нужно удалить из модели. Значит, по уравнению полученной линейной трехфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 104% объясняется воздействием фактора Х4 (жилой площадью квартиры), на 4% воздействием фактора Х2 (число комнат), на 0,0859% воздействием фактора Х1 (город области).

Задача 2.1. Проверка наличия аномальных наблюдений