Основные понятия и методы экономико-математического моделирования

Двойственная задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом:

Найти переменные y_i (i=1,2,...m), при которых целевая функция была бы минимальной

,

не нарушая ограничений

Данная задача называется двойственной (симметричной) по отношению к прямой задаче, сформулированной во втором параграфе данной главы. Однако, правильным будет и обратное утверждение, т.к. обе задачи равноправны. Переменные двойственной задачи называются объективно обусловленными оценками.

Прямая и обратная задачи линейного програмирования связаны между собой теоремами двойственности.

Первая теорема двойственности. Если обе задачи имеют допустимые решения, то они имеют и оптимальное решение, причем значение целевых функций у них будет одинаково:

F(x)=Z(y) или .

Если же хотя бы одна из задач не имеет допустимого решения, то ни одна из них не имеет оптимального решения.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Для того чтобы векторы были оптимальными решениями соответственно прямой и двойственной задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Следствие1. Пусть оптимальное значение некоторой переменной двойственной задачи строго положительно

.

Тогда из условия (1) получим:

или

Экономический смысл данных выражений можно интерпретировать в следующей редакции. Если объективно обусловленная оценка некоторого ресурса больше нуля (строго положительна), то этот ресурс полностью (без остатка) расходуется в процессе выполнения оптимального плана.

Следствие2. Пусть для оптимального значения некоторой переменной x_i прямой задачи выполняется условие строгого неравенства

.

Тогда основываясь на том же первом условии (1) можно заключить, что y_i=0.

Экономически это означает, что если в оптимальном плане какой-то ресурс используется не полностью, то его объективно обусловленная оценка обязательно равна нулю.

Решение двойственной задачи линейного програмирования

Ранее мы рассматривали прямую задачу линейного програмирования:

В системе неравенств должны быть однотипные знаки «меньше или равно». Поэтому неравенство умножим на - 1 и поменяем знак неравенства на противоположный.

Ограничение на целочисленность переменных здесь не требуется.

Решение прямой задачи дало следующие результаты:

Х₁=80; Х₂=1400; F(x)=42400.

В результате решения двойственной задачи получим

Y₁=0; Y₂=33.3; Y₃=220; Z(y)=42400.

Объективно обусловленная оценка Y₁=0 указывает на то, что у нас избыток древесины. Y₂=33.3, т.е. больше нуля. Это говорит о том, что этот ресурс (труд) полностью используется в оптимальном плане. Значение целевой функции Z(y)= F(x)=42400. Это свидетельствует о том, что найденное решение оптимально.

Свойства объективно обусловленных оценок и их анализ.

Анализ задачи с использованием объективно обусловленных оценок показывает, что первый ресурс (древесина) используется не полностью. Можно убедиться, что для найденного оптимального плана достаточно 96 куб. м древесины, а 104 куб. м избыточны. Изменение ограничения по древесине с 200 до 96 куб. м не повлияет на оптимальный план. Следовательно, объективно обусловленные оценки является устойчивыми в некоторых пределах изменения исходных условий задачи.

Объективно обусловленные оценки выступают, как мера дефицитности ресурсов. Древесина, объективно обусловленная оценка которой у нас равна нулю, не дефицитна, а трудовые ресурсы с объективно обусловленной оценкой, равной в нашей задаче 33.3, дефицитны и используются полностью.

Объективно обусловленные оценки выступают как мера влияния ограничений на целевую функцию при приращении данного ресурса на единицу. Так, например, уменьшение задания по производству столов с 80 до 79 увеличивает целевую функцию на 220 руб., а увеличение трудовых ресурсов с 1800 до 1801 чел. час. увеличивает целевую функцию (если снять условие целочисленности) на 33.3 руб.

Объективно обусловленные оценки выступают как меры взаимозаменяемости резервов (ограничений). Так, например, если увеличить задание по производству столов на единицу, то для того чтобы целевая функция осталась прежней, нужно добавить 6.6 чел.-чис. (220/33.3). В этом случае х₁ будет равен 81, х₂ =1391, а значение целевой функции составит 42400.

Следует иметь в виду, что при существенном изменении исходных условий задачи, обычно, получается уже другая система оценок. Следовательно, объективно обусловленные оценки обладают свойством конкретности, так как определяются совокупностью условий определенной задачи. Для другой задачи и других условий их значения будут совершенно иными.

Таким образом, оптимизационные задачи можно рассматривать как простые модели принятия решения типа планирования. Они различаются по характеру цели (максимизация или минимизация целевой функции) и по типам целевой функции и ограничений (линейные и нелинейные). Каждая такая задача требует решения трех проблем относительно оптимального решения: установление существования, выявление признаков оптимальности и разработки метода вычисления. Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод. Гладкие задачи нелинейного программирования можно решить методом множителей Лагранжа.

Размещено на Allbest.ru