Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Московский государственный технический университет радиотехники,

электроники и автоматики"

МГТУ МИРЭА

Факультет информационных технологий

Курсовая работа по дисциплине: «Методы построения моделей по эмпирическим данным»

Тема: «Анализ и прогнозирование динамики курса акций компании «Apple»

Студент группы ИВБО-06-14

Киселев Д.О.

Руководитель курсовой работы

Кузьмин В.И.

Москва 2016



Содержание

Введение

1. История компании «Apple»

2. Анализ курса акций компании «Apple»

Вывод

Список используемой литературы



Введение

В данной курсовой работе рассматривается динамика курса акций компании Apple - американской корпорации, производителя персональных и планшетных компьютеров, аудиоплееров, телефонов, программного обеспечения. Один из пионеров в области персональных компьютеров и современных многозадачных операционных систем с графическим интерфейсом. торговый анаморфоза apple логистический

В качестве данных взяты значения стоимости акции в торговых днях. Данные были взяты на интервале от 06.11.1998 до 18.11.2016 в котором было 4554 торговых дня.

Целью курсовой работы является определение основных характеристик процесса, а также прогноз стоимости акций данной компании и определение её фазы развития в данный момент времени.



1. История компании «Apple»

1970-е годы

Компания основана в Калифорнии Стивом Джобсом и Стивом Возняком. Молодые предприниматели официально зарегистрировали фирму Apple Computer, Inc. 1 апреля 1976 года.

Первым массовым персональным компьютером, выпускавшимся миллионами экземпляров, стал компьютер Apple II. Было продано более 5 млн компьютеров «Apple II» по всему миру.

1980-е годы

1980 год в истории Apple ознаменовался провальным по ряду причин проектом «Apple III».

В 1984 году фирма Apple впервые представила новый 32-разрядный компьютер Macintosh. В дальнейшем выпуск компьютеров этой серии стал основным бизнесом компании.

Раньше других разработчиков «Apple» ввела в широкий обиход грфический интерфейс пользователя и компьютерную мышь. В 1985 году президент США Рональд Рейган наградил Джобса и Возняка медалями за развитие технического прогресса. В том же году компанию покинул один из основателей, Стив Джобс.

1990-е--2000-е годы

В 1994--1996 гг. компания вывела на рынок последовательно три модели цветных фотокамер QuickTake 100, 150 и 200 с матрицей 640Ч480 и 24-битным цветом. Это были одни из первых цифровых фотокамер современного типа, однако дальнейшего развития данная продукция Apple не получила.

К концу 1990-х годов дела Apple резко ухудшились, к 1997 году убытки за два года составили $1,86 млрд. Ситуация изменилась с возвращением в 1997 году Джобса. Apple стала постепенно открывать для себя новые, не связанные непосредственно с компьютерной техникой, рынки.

В 2001 году компания представила аудиоплеер iPod, быстро приобретший популярность.

В 2003 году компания открыла iTunes Store -- популярный онлайн-супермаркет цифрового аудио-, видео- и игрового медиаконтента.

А в 2007 году вышла на рынок мобильных телефонов с сенсорным смартфоном iPhone.

2010-е годы

В 2010 году на рынок был выпущен планшетный компьютер iPad.

Производство iPod, iPhone и iPad, пользовавшихся высоким спросом по всему миру, кардинальным образом улучшило финансовое положение Apple, принося компании рекордную прибыль. В августе 2011 года Apple впервые стала самой дорогой компанией мира по рыночной капитализации. В августе 2012 она стала самой дорогой компанией в истории, а 21 сентября 2012 акции Apple в ходе торгов достигли своего максимума -- $705,07, капитализация составила $662,09 млрд.

В 2013 году корпорация Apple первой начала серийное производство 64-битных чипов ARM-архитектуры, выпустив 64-битный 2-хъядерный микропроцессор Apple A7.

В 2014 году корпорация представила своё первое персональное, носимое устройство -- Apple Watch.

2. Анализ курса акций компании «Apple»

Для дальнейшего анализа нам понадобятся только исходные данные - Индекс ММВБ на протяжении всего исследуемого интервала. Так как с датами работать не удобно, то по оси абсцисс будут отложены торговые дни, начиная с первого (рис.1). Но, чтобы было возможно соотнести необходимый торговый день с реальной датой, представлен рис.2, где по оси абсцисс располагаются даты.

Рис. 1 Исходные данные - акции компании Apple в торговых днях.

Рис. 2 Акции Apple с датами по оси абсцисс.

Если посмотреть на исходные данные (рис.2), то видно общую тенденцию к росту. Для того, чтобы более детализировать исходные данные, а также выявить критические уровни, соответствующие формированию основных рубежей, необходимо построить исходные данные в полулогарифмических координатах, то есть прологарифмировать значения по оси ординат (рис.3).

Рис. 3 Исходные данные в полулогарифмическом масштабе.

На рис.3 видно, что в определённые моменты тренд менял угол наклона, а также можно увидеть каналы, в которых протекает процесс. Уровень, который не даёт подняться выше, называется линией сопротивления, а другой уровень, который не позволяет упасть акциям - линией поддержки. Критические уровни - это моменты, на которых происходит смена структуры процесса.

То есть, график начинается со значения 2,2 по оси Y, потом он поднимается до 3,5, колеблясь относительно этого уровня, этот уровень не даёт ему подняться выше, после чего происходит коррекция - движение цены в противоположную сторону до 2,3. После чего график стремится к уровню 5, этот уровень не дает ему подняться выше, и снова происходит коррекция. График от 5 стремится к 4,5, колеблясь относительно этого уровня. Затем график стремится к уровню 6,2, после чего происходит коррекция. От 6,2 график стремится к 4,7, колеблясь относительно этого уровня. Важно понять, что единичный отрезок в полулогарифмическом масштабе соответствует увеличению или уменьшению цен на акции ровно в e раз - эта фундаментальная константа часто встречается при анализе данных. Для того, чтобы лучше проследить за этими уровнями, исходные данные можно сначала нормировать, то есть, взять каждое значение оси ординат, и поделить на значение глобального минимума, либо глобального максимума, после чего вновь взять в полулогарифмическом масштабе. В данном случае MIN = 6,56, а MAX = 702,09. После чего мы получаем графики, изображённые на рис.4 и рис.5.

Рис. 4 Исходные данные в полулогарифмическом масштабе, нормированные по минимуму.

Рис. 5 Исходные данные в полулогарифмическом масштабе, нормированные по максимуму.

Сами графики при такой операции не изменяются, важнее всего то, как расположится сетка, на которой они располагаются. Теперь можно более подробно рассмотреть критические уровни на которых происходит смена структуры.

Интенсивный рост

? = k(y, t) * y - общий вид структуры модели. При этом коэффициент k может принимать любой вид функции. В случае, если мы хотим определить интенсивный рост на графике, то k будет вида k = a * y, тогда общее уравнение будет иметь вид ? = a * y². Решение этого уравнения будет такое:

= a * dt, тогда после интегрирования получим:

, перенесём знак в другую сторону и получим ответ:

,

Построим исходный данные в таких координатах (1/y ~ t), и мы получим анаморфозу, распрямляющую график в тех местах, где есть интенсивный рост (рис.6).



Рис. 6 Анаморфоза к интенсивному росту.

Но у всякого интенсивного роста есть предел, до которого он будет расти. На графике с исходными данными это выглядело бы как квадратичная функция, стремящаяся к вертикальной асимптоте. Для того, чтобы определить расположение этой асимптоты, нам необходимо узнать характерное время окончания интенсивного роста. Для этого необходимо провести прямую через все участки, которые «спрямились». Будут образовываться каналы (не просто прямая, так как это реальные данные, которые не следуют в точности модели), которые обязательно нужно дорисовать до оси абсцисс (которая начинается от нуля), чтобы определить искомое нами время окончания интенсивного роста. Так происходит, потому что на оси абсцисс 1/y должно быть равно нулю, а из этого следует, что y->?, а это значит, что мы находим предел, к которому стремится интенсивный рост.

Так как график (рис.6) очень резко падает, меняясь в большом диапазоне, на нём тяжело нормально увидеть все распрямления, можно дать только оценку, которую стоит потом проверить. Для этого нужно рассмотреть подробнее каждый участок, на котором происходит спрямление, то есть взять его в определённых интервалах (рис. 7,8).



Рис. 7 Анаморфоза к интенсивному росту на интервале от 85 до 350.

Рис. 8 Анаморфоза к интенсивному росту на интервале от 1290 до 1570.

Так мы смогли определить время, когда закончится интенсивный рост, но для прогнозирования необходимо и значение, до которого дойдёт этот рост. Для этого необходимо представить k = a * t, и решить уже это уравнение.

? = a * t * y, разделим переменные:

, проинтегрируем обе части:

, если исходные данные начинаются не нуля, то t² нужно заменить на (t-t₀)², где t₀ - дата начала отсчёта. Но так как наши исходные данные уже начинаются с нуля, то в данном случае такого делать не надо.

Теперь необходимо построить анаморфозу в координатах ln(y) ~ t² (рис.9).

Чтобы найти предел интенсивного роста, необходимо подставить найденное t^* по оси абсцисс, найти пересечение с построенным графиком и отразить его на ось ординат. Тогда мы найдём искомое значение, но только под логарифмом. Так что для окончательного ответа, нам необходимо это поставить как степень экспоненты.

Рис. 9 Анаморфоза для интенсивного роста для поиска их пределов.

На самом деле, здесь можно увидеть больше участков, походящих на модель интенсивного роста, но здесь их превеликое множество, можно детализировать достаточно сильно. Поэтому были взяты самые очевидные.

Теперь, из рис.9 мы можем найти пределы для каждой точки.

Для t^* = 258 оно равно e^3,19 = 24,29, для t^* = 292 оно равно e^3,39 =29,67, для t^* = 1487 оно равное e^3,5 =33,12, для t^* = 1546 оно равно e^3,83 =46,06.

Модель ограниченного роста

Чтобы модель была ограниченного роста, k должно быть равно какой-нибудь убывающей функции. К примеру, это может быть модель Гомперца, которая убывает по экспоненте или логистическая модель, которая убывает от какого-либо предела, соответственно либо k = A * e-б * t для Гомперца, либо k = б * (y? - y) для логистики. Поэтому, для того, чтобы посмотреть принадлежность какого-либо участка к одной из этих моделей, нужно построить в координатах соответствующих анаморфоз.

Логистическая модель.

Анаморфоза к логистической модели имеет вид:

То есть, чтобы определить участки, принадлежащие логистическому распределению, необходимо построить исходные данные в координатах y ?/y ~ ln(y) (рис.10). Но, помимо того, что мы можем узнать, какие участки относятся к логистической модели, мы также можем определить y?, который покажет нам горизонтальный предел, к которому стремится система. Также этот параметр будет нам необходим для модели Гомперца.

Рис. 10 Анаморфоза для логистического распределения.

Чтобы определить y_?, необходимо продлить прямые, которые нанесены на участки, которые выпрямились в данных координатах, до оси абсцисс. В данном случае мы определим значение k*ln(y_?), то есть для определения самого параметра y_?, нам потребуется это значение поставить как степень экспоненты. Но на рис.10 не видно никаких прямых участков, так как первые точки очень сильно стоят от других, которые находятся в диапазоне от 0 до 0,1. Поэтому необходимо детализировать определённый участок (рис.11).



Рис. 11 Анаморфоза к логистике на интервале от 9,5 до 13,5 по оси абсцисс.

Теперь, по графику, изображённом на рис.11 мы можем найти y_?. y_? = = 179871,862.

Модель Гомперца.

Уравнение модели Гомперца имеет следующий вид:

Первая анаморфоза имеет вид: , которую мы получили, просто перенеся y в другую сторону и прологарифмировав обе части.

Но мы также можем вывести и другую анаморфозу, которая будет проверять, правильно ли мы посчитали коэффициенты в первом случае. Её можно получить, если выполнить следующие шаги:

1) - разделение переменных

2) - проинтегрировали обе части уравнения

3) t->?, тогда С= y_? - устремили время к бесконечности, С - это y_?

4) - перенесли в левую часть

5) - прологарифмировали обе части уравнения



Теперь мы можем построить графики в ~ t и ~ t координатах и сравнить их параметры (рис. 12 и рис. 13).

Рис. 12 Анаморфоза к Гомперцу в координатах ~ t..

Имея параметр k, мы можем посчитать, оценочно, какова длинна такта в данной системе. Считается она по формуле ф = . В нашем случае она будет равна 300, если k1 взять равное 3,33*10^-3, а для k2=1,89*10^-3 ф будет равно 526,38. Теперь найдем их натуральные логарифмы: ln(k1)=-5,7, ln(k2) = -6,27, проведем линии параллельные оси x из точек, соответствующим найденным ln(k), и найдем точки их пересечения с линиями тренда.

Отметим получившиеся значения на исходном графике, проведем из них прямые, параллельные оси y, они попадают в локальные максимумы - это и будут пределы ограниченного роста(Рис12).

Рис. 13.



Определение почти-периодов. Важной характеристикой любого процесса является его периодичность, то есть когда определённый участок будет повторяться вновь и вновь. К примеру, у синуса этот период равен 2р. Но в реальных процессах практически не бывает периода в чистом виде, поэтому есть такое понятие как почти-период. Для его определения сначала необходимо убрать трендовую составляющую из исходных данных, так как почти-период относится к внутренним колебаниям системы.

Убрать тренд можно на основании разных метрик, то есть, можно использовать арифметическую, геометрическую или любую другую пропорцию. В нашем случае будет использоваться геометрическая пропорция, после чего мы её логарифмируем:

,

То есть R - это новое значение по оси ординат. Но теперь нам необходимо произвольно выбрать значение ?t, которое может повлиять как на качество уборки тренда, так и на истинность значения почти-периода. Поэтому возьмём разные значения ?t = 10, 30, 50. В качестве проверки, что тренд убран окончательно (а бывают случаи, когда с первого раза его убрать не удаётся), необходимо взять среднюю от полученного графика без тренда, то есть, сложить все точки и поделить на их общее количество. Если значение получится близкое к нулю, то результат удовлетворителен (рис.14,15,16).



Рис. 14 Данные без тренда при ?t=10.

Рис. 15 Данные без тренда при ?t=30.

Рис. 16 Данные без тренда при ?t=50.

Как видно, структура графика не меняется, он просто становится реже. Средняя, с увеличением ?t также увеличивается. Теперь необходимо посчитать почти-периоды на основании каждого графика и сравнить их. Сдвиговая функция считается по формуле:

,

Где надо менять от 1 до, приблизительно, 2/3 от общего количества точек из исходных данных, так как дальше идёт не правильная оценка из-за очень малого количества оставшихся точек. На рис.17,18,19 показаны сдвиговые функции для каждого из графиков данных без тренда.

Рис. 17 Сдвиговая функция при ?t = 10.

Рис. 18 Сдвиговая функция при ?t = 30.

Рис. 19 Сдвиговая функция при ?t = 50.

Выбирать необходимо тот вариант, где минимальное значение, по отношению к минимальным значениям других графиков, будет меньше всего. В данном случае это сдвиговая функция при ?t = 10.

Теперь возможно определить сам почти-период. Его необходимо определять по минимумам сдвиговой функции, то есть те значения, которые ближе всего к нулю. В данном случае, это 337 и 543. Очень часто, все последующие минимальные точки являются значением одного и того же периода, только кратными ему. То есть, если у синусоиды период 2р, то 8р тоже период, так как в 8р помещается четыре периода по 2р. Поэтому необходимо делать проверку на зависимость этих величин. В нашем случае, они не кратны друг другу, а значит это два независимых периода.

Существует ещё одна проверка на достоверность полученных значений. Если сдвиговая функция показала такие результаты, когда мы вычисляли её из данных без тренда, то она должна показать их и при вариантах, когда мы эти данные без тренда проинтегрируем, продифференцируем или возьмём под модулем.

На рис.20, 21, 22 и 23 продемонстрированы результаты вычислений. На рис.20 и 21 показано дифференцирование, но для рис.20 шаг составляет одну точку, а для рис.21 составляет 10 точек.

Рис. 20 Сдвиговая функция от данных без тренда, от которых взяли производную с шагом в одну точку.

Рис. 21 Сдвиговая функция от данных без тренда, от которых взяли производную с шагом в десять точек.

Рис. 22 Сдвиговая функция от данных без тренда, от которых взяли интеграл.

Рис.23 Сдвиговая функция от данных без тренда по модулю.

Как видно из графиков, структура у них остаётся прежняя.

Почти-период в полярных координатах. Для наглядности почти-периодов, мы можем разбить исходные данный на куски, равные найденным почти-периодам и построить эти ряды в полярных координатах. Тогда будет видно, если одна из линий повторяет поведение другой, то почти-период определён верно. На рис.24 исходные данные построены в полярных координатах, а на рис.25 исходные данные сначала логарифмировались, чтобы можно было рассмотреть первые почти-периоды исходных данных.

Рис. 24 Данные в полярных координатах при почти-периоде, равном 480.

Рис. 25 Логарифмированные данные в полярных координатах при почти-периоде, равном 480.



Вывод

Ключевой параметр любого процесса - это длинна его цикла. Зная этот показатель, возможно прогнозировать многие события наперёд. В случае с компанией Apple, по моим расчётам, он оказался равен 337 торговым дням, что примерно соответствует 1 году реального времени. Больший же цикл равен 543 торговых дней, соотносящееся, примерно 1 год и 6 месяцев.

Используя все найденные показатели, можно сделать прогноз на несколько лет вперёд. По вычислениям оказалось, что на сентябрь 2017 года будет синхронизация нескольких уровней циклов, а так как в подавляющем большинстве на начало и конец циклов выпадал глобальный максимум, то в этой точке можно ожидать скачок вверх по стоимости акций. Но если смотреть глобально, то по модели ограниченного роста пик уже прошел, поэтому после такого скачка, скорее всего, будет такое же падение вниз. Вообще, в такой момент необходимо принимать ответственные решения, так как это критическая точка системы.



Список используемой литературы

1. http://www.finam.ru

2. Методы построения моделей по эмпирическим данным. В.И.Кузьмин, А.Ф. Гадзаов.

3. Технический анализ. Учебное пособие. В.И.Кузьмин, А.Ф. Гадзаов.

4. Методы и алгоритмы анализа нелинейных колебаний с трендом. В.И.Кузьмин, А.Б. Самохин, А.Ф. Гадзаов, В.В. Чердынцев.

5. Прикладные задачи математической статистики. В.И.Кузьмин, А.Ф. Гадзаов.

Размещено на Allbest.ru