Расчет оптимального варианта посудомоечной машины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный университет печати

Кафедра информатики и вычислительной техники

Расчётная работа

по дисциплине «Проектирование АСОИУ»

Выполнила:

студентка группы ДЦас-5-1

Насонова Анна Сергеевна

Проверила:

Федоренко Наталья Михайловна

Москва, 2010

Задание

Используя известные схемы компромиссов, определить лучший вариант по 5-ти локальным критериям:

А - без учета приоритетов локальных критериев;

В - с учетом приоритетов локальных критериев.

Предметная область состоит из множества различных моделей посудомоечных машин. Элементы предметной области обладают следующими характеристиками:

- габариты;

- установка;

- возможность подключения к горячей воде;

- объем памяти;

- вместимость;

- класс мойки;

- сушка;

- класс энергопотребления;

- защита от протечек;

- уровень шума;

- таймер отсрочки запуска;

- защита от детей;

- цена и т. д.

Необходимо выбрать оптимальный вариант из 5-ти моделей посудомоечных машин производства компании Bosh:

- Bosh SMV 50E50 - 1;

- Bosh SKS 40E02 - 2;

- Bosh SRS 55M76 - 3;

- Bosh SCE 53M25 - 4;

- Bosh SRS 46T22- 5;

с учетом 5-ти локальных критериев:

1) Количество программ - f1 - максимизировать;

2) Количество загружаемых комплектов - f2 - максимизировать;

3) глубина (мм) (т. к. место, где планируется разместить машину, ограничено) - f3 - минимизировать;

4) высота (мм) - f4 - минимизировать;

5) цена (руб.) - f5 - минимизировать;

Решение

Данная задача относится к классу многокритериальных задач принятия решений, в котором принимаемое решение описывается совокупностью критериев:

, ,…, - локальные критерии

Кроме того, каждый из этих критериев характеризуется своим коэффициентом относительной важности:

,,…, .

т. е. мы можем сказать, что совокупность локальных или частных критериев , где q= образует интегральный или векторный критерий оптимальности принимаемого решения

F= {}

В свою очередь коэффициенты относительной важности , где q=1..k, образуют вектор важности

={}

В нашем задании в пункте А приоритет локальных критериев учитываться не будет, а в пункте В - будет.

Задача заключается в том, чтобы найти оптимальное значение =(,,…,) - n-мерного вектора стратегий управления из области допустимых значений .

Каждый локальный критерий характеризует одно какое-либо качество принимаемого решения (разрешение, стоимость, скорость печати и т. д.)

Совокупность этих локальных критериев образует интегральный критерий, различный для каждого типа машины. И с помощью интегрального критерия можно проводить сравнения различных типов принтеров или качества принимаемого решения.

Формально оптимальное решение может быть условно записано следующим образом:

=()=opt[(),] (1)

x?

В этом соотношении, вернее в этой формальной записи критерия оптимальности, - это оптимальное значение интегрального критерия, - оптимальное значение управляемых параметров задачи, opt - оператор оптимизации, который определяет выбранный принцип оптимизации, - вектор важности.

Область допустимых значений можно разбить на две непересекающиеся подобласти:

1) - область, в которой качество принимаемого решения может быть улучшено по одному или нескольким локальным критериям без ухудшения хотя бы одного из оставшихся локальных критериев;

2) - область компромиссов, в которой улучшение решений по одному или нескольким локальным критериям обязательно приводит к снижению значения одного или нескольких оставшихся критериев. В этом случае для того, чтобы выбрать окончательно какой-либо вариант, мы должны найти некоторый компромисс, поэтому говорят, что эти два варианта лежат в области компромисса.

Таким образом, первый этап принятия решения - это разбиение области допустимых значений на область согласия и область компромиссов. Это разбиение позволяет существенно сократить число рассматриваемых вариантов.

Далее необходимо задаться некоторой схемой компромисса, или, иначе говоря, раскрыть смысл оператора opt в выражении (1).

В дальнейшем нам будет удобнее от допустимого пространства управляющей воздействий перейти к допустимому пространству локальных критериев , тогда расписанная выше модель может быть формализована следующим образом, то есть

(2)

Представим наши данные в виде таблицы:

Варианты моделей	Локальные критерии
1	5	12	55	82	18300
2	4	6	50	45	12000
3	5	9	60	85	17600
4	5	8	50	60	21700
5	4	9	60	85	18800

1. Нормализация локальных критериев

оптимальный модель посудомоечная машина

Проблема нормализации локальных критериев возникает во всех задачах векторной оптимизации, когда локальные критерии имеют различные единицы измерения. В основу нормализации положено понятие «идеального вектора», т.е. вектора с идеальными значениями локальных критериев

В нормализованном пространстве критериев вместо действительного значения локального критерия рассматривается безразмерная величина :

- действительная величина, поделенная на идеальную величину.

В том случае, если лучшим считается большее значение критерия и если , то . Успешное решение проблемы нормализации во многом определяется тем, насколько удачен окажется выбор параметров идеального вектора. Существует три основных способа задания идеального вектора.

1 способ. Идеальный вектор определяется некоторыми заданными значениями локальных критериев. Эти заданные значения может определить, например, заказчик разработки. Формальная запись:

.

Недостаток этого способа - полнейший субъективизм выбора.

2 способ. Идеальным считается вектор, параметрами которого являются максимально возможные значения локальных критериев:

, .

3 способ. В качестве параметров идеального вектора принимается максимально возможный разброс значений, соответствующих локальных критериев, т.е.

Необходимо отметить, что нет формальных способов по выбору способа задания идеального вектора.

Проведем нормализацию данных, воспользовавшись 2-ым способом из предложенных трех - выберем в каждом столбце максимальное значение и разделим на это число все элементы столбца.

- вектор идеальных значений

Для 1-го критерия:

, , , ,

Остальные рассчитываются по такому же принципу.

Получим:

Таблица 2

Варианты моделей	Локальные критерии
	f1	f2	f3	f4	f5
1	1	1	0.91	0.96	0.84
2	0.8	0.5	0.83	0.52	0.55
3	1	0.75	1	1	0.81
4	1	0.67	0.83	0.7	1
5	0.8	0.75	1	1	0.87

2. Свертка локальных критериев

Локальные критерии f₁ и f₂ необходимо максимизировать, а f₃, f₄ и f₅ - минимизировать, поэтому необходимо произвести свертку.

Свертка подразумевает возведение в степень (-1) тех локальных критериев, которые необходимо минимизировать (у нас это f₃, f₄ и f₅).

Получим:

Таблица 3

Варианты моделей	Локальные критерии
	f1	f2	f3	f4	f5
1	1	1	1.09	1.04	1.2
2	0.8	0.5	1.2	1.92	1.8
3	1	0.75	1	1	1.2
4	1	0.67	1.2	1.4	1
5	0.75	0.75	1	1	1.15

3. Пункт А - сравнение без учета приоритетов локальных критериев

Рассмотрим основные схемы компромиссов, когда все локальные критерии нормализованы, то есть все имеют одинаковую размерность либо являются безразмерными величинами. Кроме того, все локальные критерии имеют одинаковую важность, и лучшим будем считать большее значение локального критерия.

4. Принцип равномерности

Он провозглашает целесообразным выбор такого варианта решения, принадлежащего области компромиссов, при котором достигалась бы некоторая равномерность показателей по всем локальным критериям.

Используются следующие реализации принципа равномерности:

а) принцип равенства,

б) принцип квазиравенства,

в) принцип максимина.

Принцип равенства

Он провозглашает целесообразность выбора такого варианта, при котором все значения локальных критериев равны между собой.

Например, если бы было f₂₁ = f₂₂ = f₂₃. Остальные значения не равны между собой. Тогда вариант 2 был бы лучшим. Эта модель расписывается следующим образом:

= optF = ( f₁ = f₂ = f₃= … = f_k)

x?W_F^k

В данном случае принцип равенства не работает.

Принцип квазиравенства

Практически достичь равенства локальных критериев не удается, тогда лучшим признается вариант, в котором локальные критерии более близки к этому равенству.

В нашем случае принцип квазиравенства работает в варианте №1

Принцип максимина

Для каждого варианта выбирается минимальное значение локального критерия, и окончательный выбор останавливается на варианте, в котором этот минимум достигает своего максимума. В этом случае равномерность обеспечивается за счет подтягивания локального критерия с наименьшим значением показателя.

Max min(1, 0.5, 1, 0.67, 0.75)=1 => оптимальными признаются варианты №1 и №3.

После рассмотрения принципа равномерности мы получили:

1) принцип равенства не работает;

2) принцип квазиравенства признает оптимальным вариант №1;

3) принцип максимина признает оптимальными варианты №1 и №3.

5. Принцип справедливой уступки

Данный принцип основан на сопоставлении прироста и убыли величин локальных критериев. Когда два или более вариантов находятся в области компромиссов (а только такие ситуации мы и рассматриваем), то при переходе от одного варианта к другому один( или несколько) локальных критериев может возрастать, другой (другие) может убывать. Данный принцип и основан на сопоставлении суммарной прибыли и суммарной убыли. Если суммарная прибыль превышает суммарную убыль, то новый вариант предпочтительнее старого, старый вариант отбрасывается и сопоставление ведется оставшегося варианта с новым вариантом. В том случае если суммарная прибыль меньше суммарной убыли, то отбрасывается новый вариант, а старый вариант сравнивается со следующим вариантом. В том случае если убыли равно прибыли, то эти варианты равнозначны.

При этом сравнение может вестись как по абсолютному значению убыли или прибыли - тогда это принцип абсолютной уступки, либо по относительной величине прибыли и убыли - тогда это принцип относительной уступки.

Принцип абсолютной уступки - формально он может быть выражен с помощью следующего выражения (это критерий оптимальности):



в этом выражении - подмножество мажорируемых, т.е. увеличиваемых критериев; - подмножество минорируемых, т.е. уменьшаемых, критериев.

Причем, как следует из определения, -абсолютные значения величин приращения, / -символ «такой, при котором».

Лучшим по принципу абсолютной уступки считается компромисс, при которой абсолютное значение суммы снижения одного или нескольких критериев не превышает абсолютного значения суммы приращений оставшихся критериев.

а) первый способ

смотрим на нашу Таблицу 3 и сравниваем между собой первый и второй варианты. При переходе от первого варианта ко второму мы имеем: -приращение первого критерия,

Сравниваем эти два варианта по второму критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по четвертому критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по четвертому критерию:



Сравниваем между собой эти два варианта по пятому критерию:

проигрышны, а - выигрышны.

Таким образом, переход к варианту 2 осуществляется, и сравнение ведется со следующим по порядку вариантом.

То есть теперь сравним по той же схеме второй и третий варианты:

- выигрыш, а - проигрыш.

0,45 < 1,72

Переход к варианту 3 не осуществляется, вариант 3 отбрасывается, а сравнение ведется второго и четвертого вариантов:



и - выигрыш, не дает ни проигрыша, ни выигрыша, и - проигрыш.

> 1,3>0,37

А вот теперь переход к варианту 4 не осуществляется, и сравнение ведется 2 и 5 вариантов:

- выигрыш, , , и - проигрыш.

<

0,25<1,82

Таким образом, переход к варианту 5 не осуществляется - вариант 5 отбрасывается, а, т.к. все варианты просмотрены, оптимальным признается вариант №2.

б) второй способ

Принципу абсолютной уступки также соответствует модель максимизации суммы локальных критериев:

,

т.е. ищется сумма по строкам всех локальных критериев:

= 1+1+1,09+1,04+1,2 = 5,33

=0,8+0,5+1,2+1,92+1,8 = 6,22

= 1+0,75+1+1+1,2=4,95

= 1+0,67+1,2+1,4+1=5,27

=0,75+0,75+1+1+1,15=4,65

И та из этих сумм, которая окажется максимальной, соответствует лучшему варианту. В данном случае максимальная сумма 6,22 соответствует варианту №2, который и признается лучшим.

Принцип относительной уступки

Формально он может быть записан с помощью выражения:

где , и есть относительные значения приращения локальных критериев.

а) первый способ

Смотрим на нашу таблицу 3 и сравниваем между собой первый и второй варианты. При переходе от первого варианта ко второму мы имеем: - приращение первого критерия.

Сравниваем эти два варианта по второму критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по третьему критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по четвертому критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по пятому критерию:

, проигрышны, а ,, - выигрышны.

0,87 < 0,88

Таким образом, переход к варианту 2 осуществляется - вариант 1 отбрасывается, а сравнение ведется с выбранным вариантом и следующим по порядку вариантом.

То есть, теперь сравним по той же схеме первый и третий варианты:

, - выигрыш, а , и - проигрыш

0,53<0,98

Опять-таки переход к варианту 3 не осуществляется - вариант 3 отбрасывается, а сравнение ведётся второго и четвертого вариантов:

 и - выигрыш, а , , - проигрыш

0,2<0,3

И снова переход к варианту 4 не осуществляется, - вариант 4 отбрасывается, а сравнение ведётся первого и пятого вариантов:

- выигрыш, а , , и - проигрыш

0,05<0,62

Таким образом, переход к варианту 5 не осуществляется - вариант 5 отбрасывается, а т.к. все варианты просмотрены, оптимальным признаётся вариант №1

б) второй способ

Принципу относительной уступки также соответствует модель максимизации произведения локальных критериев, формально:



Или, для нашего случая пяти критериев для каждой строчки вычисляется произведение:

И среди этих произведений ищется максимум - это будет лучший вариант. В данном случае максимальное произведение 2.42 соответствует варианту №1, который и признаётся лучшим.

Вывод

После рассмотрения принципа справедливой уступки мы получили:

1) принцип абсолютной уступки признаёт оптимальным вариант№4

2) принцип относительной уступки признаёт оптимальным вариант№1

3)Принцип выделения одного оптимального критерия

Этот принцип является самым простейшим: один из локальных критериев объявляется главным и только по нему ищется наилучшее решение. На остальные локальные критерии могут накладываться или не накладываться ограничения.

Формально этот принцип может быть записан следующим образом

Пусть в нашей задаче наиболее важным критерием . Тогда выбираем вариант №1 или №1 в качестве наилучшего.

Вывод

После рассмотрения принципа выделения одного оптимизируемого критерия мы получили, что наилучшими будут варианты №1 и №2.

6. Принцип последовательной уступки

Пусть локальные критерии имеют различную важность и пусть, также, самым важным является критерий f₁, вторым по важности является критерий f₂, третьим - f₃ и т. д.

Сначала отыскивается вариант, обращающий критерий f₁ в максимум. У нас это варианты №1 и №2 (f₁=1). После этого, исходя из некоторых соображений (например, исходя из точности, с которой мы знаем значение f₁) на критерий f₁ накладывается некоторая «уступка» ? f₁ - пусть она будет 0,15 (? f₁ = 0,15), и при ограничении

f₁? f_{1 max} - ? f₁ -- 1 - 0,15 = 0,85,

просматриваются варианты по первому критерию, в результате чего отбрасывается вариант №3.

Затем из оставшихся выбирается вариант, обращающий в максимум следующий по важности критерий f₂. У нас это снова варианты №1 и №2 (f₂ = 1). Совершенно аналогично на критерий f₂ может быть наложена «уступка» ? f₂ - пусть она будет 0,11 (? f₂ = 0,11) и при соблюдении условий

f₁? f_{1 max} - ? f₁ -- 1 - 0,15 = 0,85

f₂? f_{2 max} - ? f₂ -- 1 - 0,11 = 0,89

просматриваются варианты по второму критерию, в результате чего все варианты остаются.

Снова из оставшихся выбирается вариант, следующий по важности критерий f₃. Это вариант №1 (f₃ = 1,32). На критерий f₃ может быть наложена «уступка» ? f₃ - пусть она будет 0,22 (? f₃ = 0,22) и при соблюдении условий

f₁? f_{1 max} - ? f₁ -- 1 - 0,15 = 0,85

f₂? f_{2 max} - ? f₂ -- 1 - 0,11 = 0,89

f₃? f_3max - ? f₃ -- 1,32 - 0,22 = 1,1

просматриваются варианты по третьему критерию, в результате чего отбрасывается вариант №5.

Из оставшихся выбирается вариант, обращающий в максимум следующий по важности критерий f₄. Это вариант №4 (f₄ = 1,61). На критерий f₄ может быть наложена «уступка» ? f₄ - пусть она будет 0,2 (? f₄ = 0,2)и при соблюдении условий

f₁? f_{1 max} - ? f₁ -- 1 - 0,15 = 0,85

f₂? f_{2 max} - ? f₂ -- 1 - 0,11 = 0,89

f₃? f_3max - ? f₃ -- 1,32 - 0,22 = 1,1

f₄? f_4max - ? f₄ -- 1,61 - 0,2 = 1,1

просматриваются варианты по четвертому критерию, в результате чего отбрасывается вариант№2.

Среди оставшихся вариантов находим лучший вариант по пятому критерию (f₅ = 1,45), стало быть выбираем вариант №4.

Способ хорош тем, что здесь отчетливо видно, ценой какой уступки в одном критерии можно получить выигрыш в других критериях.

Схематично отразим все проделанное в таблице



Варианты моделей	Локальные критерии
	f1	f2	f3	f4	f5
1	1	1	1,32	1,43	1,28
2	1	1	1,11	1
3	0,83
4	0,86	0,89	1,25	1,61	1,45
5	0,89	0,89	1,01

Примечание: подчеркнуты максимальные значения критерия,

выделены курсивом - значения, не входящие в допустимый диапазон.

Вывод

После рассмотрения принципа последовательной уступки мы получили, что наилучшим является вариант №4.

7. Пункт В - сравнение с учетом приоритетов локальных критериев

Способы задания и учета приоритета локальных критериев

Обычно используются три способа; с помощью ряда приоритета, вектора приоритета и весового вектора.

Ряд приоритетов, в данной задаче он следующий =((1,2),3,4,5), указывает на то, что локальные критерии, записанные в скобках левее, более важны, чем локальные критерии, записанные правее, а критерии, расположенные в скобках, обладают одинаковой важностью, т.е. самыми важными являются критерии и , вторым по важности являются критерии , затем и, наконец, .

Это чисто качественный способ задания приоритетов. При таком способе обычно используется принцип «жесткого приоритета», т.е. не допускается ни малейшего снижения критерия, стоящего левее в ряду приоритета.

Вектор приоритета - это способ количественного задания приоритетов. Компоненты этого вектора определяют степень относительного превосходства двух соседних критериев ряда приоритета, т.е. определяет, во сколько раз критерий важнее критерия , в том случае, если и , равны по важности, то, стало быть и . Для удобства , всегда равно единице (=1).

Вектор приоритета определяется в результате попарного сравнения локальных критериев, предварительно упорядоченных в соответствии с рядом приоритета . Очевидно, что любой компонент вектора приоритета удовлетворяет соотношению:

,

У нас вектор приоритета имеет вид: = (1; 1,2; 2; 1,5; 1).

Задание приоритета с помощью весового вектора. Весовой вектор представляет собой k-мерный вектор, компоненты которого связаны соотношениями:

, ,

Компонента показывает степень относительного превосходства критерия над всеми оставшимися критериями. Обычно, если необходимо количественно задавать приоритет критериев, то его задают в виде вектора приоритета, поскольку там сравнение идет только между двумя соседними критериями; затем с помощью соотношения:



(3)

переходят к вектору. И тогда выбор наилучшего варианта производится с помощью всего вышеописанного во второй части аппарата, только вместо компонент вектора используются компоненты Такой подход называют принципом гибкого приоритета.

Для случая 5-ти локальных критериев соотношение (3) переписывается в виде:

,

,

,

,

,

где ++++= 3,6+3,6+3+1,5+1=12,7

Преобразуем нашу таблицу, учитывая весовые коэффициенты. Умножаем первый и второй столбцы на 0,28, третий - на 0,24, четвертый - на 0,12, а пятый - на 0,08.

Получаем:

Таблица 4

Варианты моделей	Локальные критерии
1	0,28	0,28	0,317	0,172	0,102
2	0,28	0,28	0,266	0,12	0,102
3	0,232	0,238	0,24	0,272	0,08
4	0,241	0,249	0,3	0,193	0,116
5	0,249	0,249	0,242	0,185	0,082

Рассмотрим все те принципы, которые мы рассматривали во второй части (пункт А). Теперь будем использовать минимум теории, в основном только расчеты.

8. Принцип равномерности

Он провозглашает целесообразный выбор такого варианта решения, принадлежащего области компромиссов, при котором достигалась бы некоторая равномерность показателей по всем локальным критериям.

Используя следующие реализации принципа равномерности:

А) Принцип равенства.

Б) Принцип квазиравенства.

В) Принцип максимина.

9. Принцип равенства

Он провозглашает целесообразность выбора такого варианта, при котором все значения локальных критериев равны между собой.

В данном случае принцип равенства не работает.

10. Принцип квазиравенства

Практически достичь равенства локальных критериев не удаётся, тогда лучшим признаётся вариант, в котором локальные критерии более близки к этому равенству.

В нашем случае принцип квазиравенства не работает.

11. Принцип максимина

Для каждого варианта выбирается минимальное значение локального критерия, и окончательный выбор останавливается на варианте, в котором этот минимум достигает своего максимума. В этом случае равномерность обеспечивается за счёт подтягивания локального критерия с наименьшим значением показателя. Max (0,102; 0,102; 0,08; 0,116; 0,082) = 0,116 => оптимальным признаётся вариант №4

Вывод

После рассмотрения принципа равномерности мы получили:

1) принцип равенства не работает;

2) принцип квазиравентсва не работает;

3) принцип максимина признаёт оптимальными вариант №4.

12. Принцип справедливой уступки

Данный принцип основан на сопоставлении прироста и убыли величин локальных критериев при переходе от одного варианта к другому.

При этом сравнение может вестись как по абсолютному значению прибыли и убыли - тогда это принцип абсолютной уступки, либо по относительной величине прибыли и убыли - тогда это принцип относительной уступки.

13. Принцип абсолютной уступки

Лучшим по принципу абсолютной уступки считается компромисс, при котором абсолютное значение суммы снижения одного или нескольких критериев не превышает абсолютного значения суммы приращений оставшихся критериев.

а) первый способ

Смотрим на нашу таблицу 4 и сравниваем между собой первый и второй варианты. При переходе от первого варианта ко второму мы имеем: ?f1 - приращение первого критерия.

?f1 = f21 - f11 = 0,28 - 0,28 = 0.

Сравниваем эти два варианта по второму критерию:

?f2 = f22 - f12 = 0,28 - 0,28 = 0.

Сравниваем между собой эти два варианта по третьему критерию:

?f3 = f23 - f13 = 0,266 - 0,317 = -0,051 < 0.

Сравниваем между собой эти два варианта по четвёртому критерию:

?f4 = f24 - f14 = 0,12 - 0,172 = -0,052 < 0.

Сравниваем между собой эти два варианта по пятому критерию:

?f5 = f25 - f15 = 0,102 - 0,102 = 0.

?f1, ?f2 и ?f5 не дают не проигрыша, ни выигрыша, а ?f3 и ?f4 - проигрышны.

Таким образом, переход к варианту 2 не осуществляется -вариант 2 отбрасывается, а сравнение ведётся с выбранным вариантом и следующим по порядку вариантом.

То есть, теперь сравним по той же схеме первый и третий варианты:

?f1 = f31 - f11 = 0,232 - 0,28 = -0,048 < 0.

?f2 = f32 - f12 = 0,238 - 0,28 = -0,042 < 0.

?f3 = f33 - f13 = 0,24 - 0,317 = -0,077 < 0.

?f4 = f34 - f14 = 0,272 - 0,172 = 0,1 > 0.

?f5 = f35 - f15 = 0,08 - 0,102 = -0,022 < 0.

?f4 - выигрыша, а ?f1, ?f2, ?f3 и ?f5 - проигрышна.

|?f4|<|?f1+?f2+?f3+?f5|

0,1 < 0,189

Опять-таки переход к варианту 3 не осуществляется - вариант 3 отбрасывается, а сравнение ведётся первого и четвёртого вариантов:

?f1 = f41 - f11 = 0,241 - 0,28 = -0,039 < 0.

?f2 = f42 - f12 = 0,249 - 0,28 = -0,031 < 0.

?f3 = f43 - f13 = 0,3 - 0,317 = -0,017 < 0.

- выигрыш, а

Переход к варианту 4 не осуществляется - вариант 4 отбрасывается, и сравнение ведется первого и пятого вариантов:

Таким образом, переход к варианту 5 не осуществляется - вариант 5 отбрасывается, а т.к. все варианты просмотрены, оптимальным признается вариант №1.

б) второй способ

Принципу абсолютной уступки также соответствует модель максимизации суммы локальных критериев:

,

т.е. ищется сумма по строкам всех локальных критериев:

И та из этих сумм, которая окажется максимальной, соответствует лучшему варианту. В данном случае максимальная сумма 1,151 соответствует варианту №1, который и признается лучшим.

14. Принцип относительной уступки

а) первый способ

Смотрим на нашу таблицу 4 и сравниваем между собой первый и второй варианты. При переходе от первого варианта ко второму мы имеем: приращение первого критерия,

Сравниваем эти два варианта по второму критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по третьему критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по четвертому критерию:

Сравниваем между собой эти два варианта по пятому критерию:

не дают ни проигрыша, ни выигрыша, а - проигрышны.

Таким образом, переход к варианту 2 не осуществляется - вариант 2 отбрасывается, а сравнение ведется с выбранным вариантом и следующим по порядку вариантом.

То есть, теперь сравним по той же схеме первый и третий варианты:

0,368 < 0,754

Опять-таки переход к варианту 3 не осуществляется - вариант 3 отбрасывается, а сравнение ведётся первого четвертого вариантов:

и - выигрыш , а , и - проигрыш.

0,198 < 0,304

И снова переход к варианту 4 не осуществляется, - вариант 4 отбрасывается, а сравнение ведётся первого и пятого вариантов:

- выигрыш , а , , и - проигрыш.

0,048 < 0,631

Таким образом, переход к варианту 5 не осуществляется - вариант 5 отбрасывается, а, т.к. все варианты просмотрены, оптимальным признаётся вариант №1

Б) второй способ

Принципу относительной уступки также соответствует модель максимизации произведения локальных критериев, формально:

Или, для нашего случая пяти критериев для каждой строчки вычисляется произведение:



И среди этих произведений имеется максимум - это и будет лучший вариант. В данном случае максимальное произведение 0,00044 соответствует варианту №1, который и признан лучшим.

Вывод.

После рассмотрения принципа справедливой уступки мы получили:

3) принцип абсолютной уступки признаёт оптимальным вариант №1;

4) принцип относительной уступки признаёт оптимальным вариант №1;

15. Принцип выделения одного оптимизируемого критерия

Этот принцип является простейшим: один из локальных критериев объявляется главным и только по нему ищется наилучшее решение. На остальные локальные критерии могут накладываться (или не накладываться) ограничения.

Формально этот принцип может быть записан следующим образом:

Так как в нашей задаче наиболее важным является критерий f₁, тогда выбираем вариант №1 или №2 в качестве наилучшего.

Вывод

После рассмотрения принципа одного оптимизируемого критерия, мы получили, что наилучшими вариантами являются №1 и №2.

16. Принцип последовательной уступки

Пусть локальные критерии имеют различную важность и пусть, также, самым важным является критерий f1, вторым по важности является критерий f2, третьим - f3… и т.д.

Сначала отыскивается вариант, обращающий критерий f1 в максимум. У нас это варианты №1 и №2 (f1=0,28). После этого, исходя из некоторых соображений (например из точности, с которой мы знаем значение f1), на критерий f1 накладывается некоторая «уступка» ? f1 - пусть она будет 0,042 (? f1=0,042), и при ограничении

f1? f1max - ? f1 > 0,28 - 0,042 = 0,238,

просматриваются варианты по первому критерию, в результате чего отбрасывается вариант №3.

Затем из оставшихся выбирается вариант, обращающий в максимум по важности второй по важности критерий f2, у нас это снова варианты №1 и №2 (f2=0,28). Совершенно аналогично на критерий f2 накладывается некоторая «уступка» ? f2 - пусть она будет 0,031 (? f2=0,031), и при соблюдении условий

f1? f1max - ? f1 > 0,28 - 0,042 = 0,238

f2? f1max - ? f2 > 0,28 - 0,031 = 0,249

просматриваются варианты по второму критерию, в результате чего все варианты остаются.

Снова из оставшихся выбираем вариант, обращающий в максимум следующий по важности критерий f3. Это вариант №1 (f3=0,317). На критерий f3 может быть наложена «уступка» ? f3 - пусть она будет 0,053 (? f3=0,053), и при соблюдении условий

f1? f1max - ? f1 > 0,28 - 0,042 = 0,238

f2? f1max - ? f2 > 0,28 - 0,031 = 0,249

f3? f3max - ? f3 > 0,317 - 0,053 = 0,264

просматриваются варианты по третьему критерию, в результате чего отбрасывается вариант №5.

Из оставшихся выбираем вариант, обращающий в максимум следующий по важности f4. Это вариант №4 (f4=0,193). На критерий f4 может быть наложена «уступка» ? f4 - пусть она будет 0,024 (? f4=0,024), и при соблюдении условий

f1? f1max - ? f1 > 0,28 - 0,042 = 0,238

f2? f1max - ? f2 > 0,28 - 0,031 = 0,249

f3? f3max - ? f3 > 0,317 - 0,053 = 0,264

f4? f4max - ? f4 > 0,193 - 0,024 = 0,169

просматриваются варианты по четвертому критерию, в результате чего отбрасывается вариант №2.

Среди оставшихся вариантов находим лучший вариант по пятому критерию (f5=0,116), стало быть, выбираем вариант №4.

Способ хорош тем, что здесь отчетливо видно, ценой какой уступки в одном критерии можно получить выигрыш в других критериях.

Схематично отобразим все проделанное в таблице:



Варианты моделей	Локальные критерии
	F1	F2	F3	F4	F5
1	0,28	0,28	0,317	0,172	0,102
2	0,28	0,28	0,266	0,12
3	0,232
4	0,241	0,249	0,3	0,193	0,116
5	0,249	0,249	0,242

Примечание: подчеркнуты - максимальные значения критерия

Курсивом выделены - значения, не входящие в допустимый диапазон.

После рассмотрения принципа последовательной уступки мы получили, что наилучшим является вариант №4

Вывод

Пункт А

После анализа результатов по всем применённым критериям, оптимальными могут быть признаны варианты №1 и №2.

Пункт В

После анализа результатов по всем применённым критериям, оптимальным может быть признан вариант №1.

Размещено на Allbest.ru