Предмет и метод эконометрики

Суть эконометрики как научной дисциплины, ее предмет и метод. Парная и множественная регрессия в экономических исследованиях. Регрессионные модели с переменной структурой. Обобщенный метод наименьших квадратов. Анализ систем экономических уравнений.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 11.09.2013
Размер файла 279,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

  • Тема 1. Предмет и метод эконометрики
  • Тема 2. Парная регрессия в экономических исследованиях
  • Тема 3. Регрессионные модели с переменной структурой
  • Тема 4. Обобщенный метод наименьших квадратов
  • Тема 5. Нелинейные модели регрессии
  • Тема 6. Множественная регрессия в экономических исследованиях
  • Тема 7. Моделирование одномерных временных рядов
  • Тема 8. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений
  • Тема 9. Системы экономических уравнений
  • Тема 10. Оценивание параметров структурной модели косвенным методом наименьших квадратов
  • Тема 11. Оценивание параметров структурной модели двухшаговым и трехшаговым методами наименьших квадратов
  • Литература

Тема 1. Предмет и метод эконометрики

1. Единое общепринятое определение эконометрики в настоящее время отсутствует. Сам термин "эконометрика" был введен в 1926 году норвежским ученым Р. Фришем и в дословном переводе означает "эконометрические измерения".

Я считаю, что эконометрика - это набор математико-статистических методов, используемых в приложениях математики в экономике.

Суть эконометрики как научной дисциплины наиболее точно определяет, на мой взгляд, Р. Фриш: "Эконометрика есть единство трех составляющих - статистики, экономической теории и математики".

Особенности экономических методов: Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических yх минимальная, т.е. ? (y-yх) 2>min.

2. Конфлюэнтный анализ - совокупность методов математической статистики, предназначенных для анализа структурных зависимостей, отношений между количественными переменными, наблюдаемыми не в "чистом" виде, а со случайными ошибками измерения.

Путевой анализ является формой многопеременного анализа с использованием техники регрессии, которая позволяет одновременно исследовать отношения между несколькими переменными и их взаимодействие. Наиболее известным примером применения путевого анализа в социологии 'является исследование относительного значения различных факторов, влияющих на профессиональные достижения в Соединенных Штатах.

3. Смысл экономического барометра: это создание эконометрической модели J=f (x1,., xp) +G.

Наиболее распространенным выбором объясненной части случайной величины J является ее среднее значение - условное математическое ожидание Мх1, х2, …хр (J). По своему смыслу объясненная часть - это ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих. Эконометрическая модель имеет вид: У=Мх (У) +G

4.

у - себестоимость продукции, зависит от х (объема ее производства). Связь обратно пропорциональна, т.е. чем больше объем производства (х), тем меньше себестоимость продукции.

а и b - величины независимые от х и у.

а и b - затраты, независящие от объема производства.

На величину себестоимости продукции влияют:

1. стоимость сырья;

2. транспортные расходы;

3. объем произведенной продукции.

Себестоимость продукции обратно пропорциональна объему производства. Факторы а и b не влияют на величину себестоимости продукции. Причинные связи, влияющие на величину себестоимости продукции:

1. рост производительности труда;

2. рациональное использование материальных, трудовых и денежных средств;

3. снижение затрат на управление предприятием;

4. недопущение непроизводительных расходов и потерь.

Эти причинные связи находятся в линейной зависимости от себестоимости продукции.

эконометрика экономическое уравнение регрессия

Тема 2. Парная регрессия в экономических исследованиях

1. Уравнение связи двух переменных у=f (х).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

- полиномы разных степеней

- разносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная ;

- показательная ;

- экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

2. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от yх теоретически минимальна, т.е. ? (y-yx) 2>min

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b.

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

3. Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

Где - общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

4. По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл.1.1)

Таблица 1.1

Район

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % - у

Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х

Северный

68,8

45,1

Северо-Западный

61,2

59,0

Западный

59,9

57,2

Юго-Западный

56,7

61,8

Южный

55,0

58,8

Юго-Восточный

54,3

47,2

Восточный

49,3

55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

Решение:

1а) Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем .

Таблица 1.2

у

х

ух

х2

у2

yх

у-yх

Аi

1

68,8

45,1

3102,88

2034,01

4733,44

61,3

7,5

10,9

2

61,2

59,0

3610,80

3481,00

3745,44

56,5

4,7

7,7

3

59,9

57,2

3426,28

3271,84

3588,01

57,1

2,8

4,7

4

56,7

61,8

3504,06

3819,24

3214,89

55,5

1,2

2,1

5

55,0

58,8

3234,00

3457,44

3025,00

56,5

-1,5

2,7

6

54,3

47,2

2562,96

2227,84

2948,49

60,5

-6,2

11,4

7

49,3

55,2

2721,36

3047,04

2430,49

57,8

-8,5

17,2

Итого

405,2

384,3

22162,34

21338,41

23685,76

405,2

0,0

56,7

Среднее значение

57,89

54,90

3166,05

3048,34

3383,68

х

х

8,1

у

5,74

5,86

х

х

х

х

х

х

у2

32,92

34,34

х

х

х

х

х

х

Уравнение регрессии: y=76,88 - 0,35х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35% -ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

.

Вариация результат на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем F - критерий:

,

поскольку , следует рассмотреть F1.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Но о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б) Построению степенной модели у=ахb предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где Y=lg, X=lg, C=lga.

Для расчетов используем данные таблицы 1.3

Таблица 1.3

Y

X

YX

Y2

X2

yx

y-yx

(y-yx) 2

Ai

1

1,8376

1,6542

3,0398

3,3768

2,7364

61,0

7,8

60,8

11,3

2

1,7868

1,7709

3,1642

3, 1927

3,1361

56,3

4,9

24,0

8,0

3

1,7774

1,7574

3,1236

3,1592

3,0885

56,8

3,1

9,6

5,2

4

1,7536

1,7910

3,1407

3,0751

3, 2077

55,5

1,2

1,4

2,1

5

1,7404

1,7694

3,0795

3,0290

3,1308

56,3

-1,3

1,7

2,4

6

1,7348

1,6739

2,9039

3,0095

2,8019

60,2

-5,9

34,8

10,9

7

1,6928

1,7419

2,9487

2,8656

3,0342

57,4

-8,1

65,6

16,4

Итого

12,3234

12,1587

21,4003

21,7078

21,1355

403,5

1,7

197,9

56,3

Среднее значение

1,7605

1,7370

3,0572

3,1011

3,0194

х

х

28,27

8,0

у

0,0425

0,0484

х

х

х

х

х

Х

х

у2

0,0018

0,0023

х

х

х

х

х

Х

х

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата yх. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции сху и среднюю ошибку аппроксимации Вi:

Вi=8,0%

R2=0,141.

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в) Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные таблицы 1.4

Таблица 1.4

Y

x

Yx

Y2

X2

yx

y-yx

(y-yx) 2

Ai

1

1,8376

45,1

82,8758

3,3768

2034,01

60,7

8,1

65,61

11,8

2

1,7868

59,0

105,4212

3, 1927

3481,00

56,4

4,8

23,04

7,8

3

1,7774

57,2

101,6673

3,1592

3271,84

56,9

3,0

9,00

5,0

4

1,7536

61,8

108,3725

3,0751

3819,24

55,5

1,2

1,44

2,1

5

1,7404

58,8

102,3355

3,0290

3457,44

56,4

-1,4

1,96

2,5

6

1,7348

47,2

81,8826

3,0095

2227,84

60,0

-5,7

32,49

10,5

7

1,6928

55,2

93,4426

2,8656

3047,04

57,5

-8,2

67,24

16,6

Итого

12,3234

384,3

675,9974

21,7078

21338,41

403,4

-1,8

200,78

56,3

Среднее значение

1,7605

54,9

96,5711

3,1011

3048,34

х

х

28,68

8,0

у

0,0425

5,86

х

х

Х

х

х

х

х

у2

0,0018

34,3396

х

х

Х

х

х

х

х

Значения параметров регрессии А и В составили:

Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции сху:

Связь умеренная.

Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

1г) Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене z=1/х. Тогда .

Для расчетов используем данные таблицы 1.5

Таблица 1.5

y

z

yz

z2

y2

yx

y-yx

(y-yx) 2

Ai

1

68,8

0,0222

1,5255

0,000492

4733,44

61,8

7,0

49,00

10,2

2

61,2

0,0169

1,0373

0,000287

3745,44

56,3

4,9

24,01

8,0

3

59,9

0,0175

1,0472

0,000306

3588,01

56,9

3,0

9,00

5,0

4

56,7

0,0162

0,9175

0,000262

3214,89

55,5

1,2

1,44

2,1

5

55

0,0170

0,9354

0,000289

3025,00

56,4

-1,4

1,96

2,5

6

54,3

0,0212

1,1504

0,000449

2948,49

60,8

-6,5

42,25

12,0

7

49,3

0,0181

0,8931

0,000328

2430,49

57,5

-8,2

67,24

16,6

Итого

405,2

0,1291

7,5064

0,002413

23685,76

405,2

0,0

194,90

56,5

Среднее значение

57,9

0,0184

1,0723

0,000345

3383,68

х

х

27,84

8,1

у

5,74

0,002145

х

х

Х

х

х

х

х

у2

32,9476

0,00005

х

х

Х

х

х

х

х

Значения параметров регрессии а и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции:

Коэффициент детерминации:

Оценку качества построенной модели даст коэффициент детерминации: , Вариация результата на 15,6% объясняется вариацией фактора х.

а) - функция линейна по параметрам;

б) - функция линейна по параметрам;

в) - функция линейна по параметрам;

г) - нелинейна ни по переменным, ни по параметрам;

д) - нелинейна ни по переменным, ни по параметрам;

е) - линейна по параметрам;

ж) - линейна по переменным.

Тема 3. Регрессионные модели с переменной структурой

1. МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических yх минимальная, т.е.

2. Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной.

Для каждого значения фактора хj остатки еi имеют одинаковую дисперсию.

3. частное уравнение регрессии для домов типа "хрущевка".

4. ,

Таблица 1.6

Районы города

xi

yi

yx

y-yx

(y-yx) 2

1. Павловский

3,3

4,4

-0,6776

5,0776

25,7820

2. Кронштадт

6,2

8,1

2,7386

5,3614

28,7446

3. Ломоносовский

8,1

12,9

4,9768

7,9232

62,7771

4. Курортный

18,3

20,8

16,9924

3,8076

14,4978

5. Петродворец

20,2

15,5

19,2306

-3,7306

13,9173

6. Пушкинский

23,1

28,8

22,6468

6,1532

37,8619

7. Красносельский

39,0

37,5

41,377

-3,877

8. Приморский

49,1

48,7

53,2748

-4,5748

9. Колпинский

60,1

68,6

66,2328

2,3672

10. Фрунзенский

74,2

104,6

82,8426

21,1574

11. Красногвардейск.

79,0

90,5

88,497

2,003

12. Василеостровск.

95,0

88,3

107,345

-19,045

13. Невский

106,0

132,4

120,303

12,097

14. Петроградский

112,2

122,0

127,6066

-5,6066

15. Калининский

115,0

99,1

130,905

-31,805

1011,5580

16. Выборгский

125,1

114,2

142,8082

-28,8028

829,6013

17. Кировский

132,0

150,6

150,931

-0,331

0,10956

18. Московский

149,0

156,1

170,957

-14,857

220,7304

19. Адмиралтейский

157,0

209,5

180,381

29,119

847,91616

20. Центральный

282,0

342,9

327,631

15,269

233,1424

Итого

1653

1855,5

1856,9942

0

Среднее значение

82,695

92,775

у

92,84971

104,72395

Отклонение фактических значений от теоретических минимально.

F2m=6

Fфакт. ?0,06 L=0,05

Fтабл. = 0,05: 20=0,6Fфакт < Fтабл.

Тема 4. Обобщенный метод наименьших квадратов

1. В классе линейных несмещенных оценок вектора в для обобщений регрессионной модели оценка имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Х - неслучайная матрица

Щ положительно определенная матрица

р - число объясняющих переменных

n - число наблюдений

- обобщенная линейная модель множественной регрессии.

Сравнивая обобщенную модель с классической видим, что она отличается от классической только видом ковариационной матрицы: для обобщенной имеем: ?е=Щ.

В отличие от классической, в обобщенной модели ковариации и дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными.

В этом состоит суть обобщения регрессионной модели.

Оценка b* обобщенного метода наименьших квадратов для параметра в при известной матрице Щ совпадает с его оценкой, полученной методом максимального правдоподобия.

Оценка b* обобщенного метода наименьших квадратов может быть определена как точка минимума обобщенного критерия .

2. Обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущенной ?е=Щ есть диагональная матрица, называется взвешенным методом наименьших квадратов. Применяя этот метод, минимизируем:

"Взвешивая" каждый остаток с помощью коэффициента 1/уi, мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит в конечном счете к получению наиболее эффектных оценок параметров модели.

Оценка параметров регрессионной модели:

Сначала применить обычный метод наименьших квадратов, затем найти регрессию квадратов остатков на квадратичные функции регрессоров, т.е. найти уравнение аргументами которой являются квадраты значений регрессоров и их попарные произведения:

где - случайный член.

После чего следует вычислить прогнозные значения по полученному уравнению регрессии и получить набор весов: . Затем надо ввести новые переменные.

, и найти уравнение: .

Полученная при этом оценка b* и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов исходного уравнения .

Тема 5. Нелинейные модели регрессии

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, т.к. при этом могут возникнуть неоправданно большие ошибки.

Нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются 2 подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели. Исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения. Когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Виды уравнений регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по параметрам:

1. парабола II порядка

2. кубическая парабола

3. показательная

4. экспонециальная

5. модифицированная экспонента

6. кривая Гомперца

7. логическая кривая

8. логарифмическая парабола

9. гиперболическая.

2. Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

где - уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

вi - стандартизованные коэффициенты регрессии.

Связь коэффициентов множественной регрессии bi со стандартизованными коэффициентами вi описывается соотношением:

3. - парабола второго порядка, нелинейная по объясняющим переменным.

6 - 2х=0

х=3 тыс. руб., потребление товара А - максимальное, величина потребления товара А с увеличением дохода семьи уменьшается.

Таблица 7

Ц-на на 1 га

Урожайность, ц-на 1 га, у

1

6,1

2

9,0

3

10,2

4

12,3

5

13,1

1 - регрессия нелинейная по объясняющим переменным, полином второй степени;

2 - регрессия, нелинейная по оцениваемым параметрам, степенная.

I. ;

II.

2-ое уравнение регрессии лучше описывает зависимость урожайности озимой пшеницы от количества внесенных минеральных удобрений.

Тема 6. Множественная регрессия в экономических исследованиях

1.

у - зависимая переменная

х1, х2, х3…хр - независимые переменные (факторы)

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

линейная -

степенная -

экспонента - y=la+b1+x1+. bpxp+е

гипербола -

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где - стандартизованные переменные

Bi - стандартизованные коэффициенты регрессии.

2. Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде:

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

Дr определитель матрицы парных коэффициентов корреляции.

Дr1 определитель матрицы межфакторной корреляции.

Признак

Среднее значение

Среднее квадратич. отклонение

линейный коэффициент парной корреляции

среднедневной душевой доход у

86,8

11,4

-

среднедневная з/плата одного работающего, руб.

54,9

5,86

средний возраст безработного, лет, х2

33,5

0,58

Решение:

Линейное уравнение имеет вид:

Применим метод стандартизации переменных и построим уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет в - коэффициентов:

Рассчитываем b1 и b2:

;

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов ryxj и вj:

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяется вариацией учетных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы составляют 28% от общей вариации у.

Таблица 5

Признак

Среднее значение

Среднеквадрат. отклонение

Коэффициент парной корреляции

у

12,0

2,0

х1

4,3

0,5

х2

10,0

1,8

3. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

Искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет в-коэффициентов выполним по формулам:

Рассчитываем b1 и b2:

Уравнение множественной регрессии:

Оно показывает, что при увеличении х1 на 1 кВт/ч на одного рабочего (при неизменном х2) У увеличивается в среднем на 0,54 т. При увеличении х2 (на 1 тыс. ед. произведенной продукции), потребление материалов У (Т) увеличивается в среднем на 0,84т.

Коэффициент множественной корреляции:

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная, в которой 70% вариации потребления материалов определяются вариацией учтенных в модели факторов х1 и х2.

Тема 7. Моделирование одномерных временных рядов

1. Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонентов.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение - мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид:

.

Мультипликативная модель:

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т+Е) или в мультипликативной (Т х Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т х Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т х S)

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок

2. Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

где ; - коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка.

где

- коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

3. Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Таблица 6

Показатель

1997

1998

1999

2000

2001

2001

Расходы на товар А, руб.

30

35

39

44

50

53

Доход на 1 члена семьи, % 1997г.

100

103

105

109

115

118

Решение:

1. Пусть расходы на товар А будет у, а доходы одного члена семьи - х. Ежегодные абсолютные приросты:

Расчеты оформим в виде таблицы:

yt

Дyt

xt

Дxt

30

-

100

-

35

5

103

3

39

4

105

2

44

5

109

4

50

6

115

6

53

3

118

3

Значения Ду не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда. Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

Модель имеет вид:

Для определения параметров а и b применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Решая эту систему, получим:

а=2,565

b=0,565

Модель имеет вид:

Включим фактор времени:

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

t

Y

x

yx

yt

xt

x2

t2

1

30

100

3000

30

100

10000

1

2

35

103

3605

70

206

10609

4

3

39

105

4095

117

315

11025

9

4

44

109

4796

176

436

11881

16

5

50

115

5750

250

575

13225

25

6

53

118

6254

318

708

13924

36

21

251

650

27500

961

2340

70664

91

Решая, получаем:

а=-5,42; b=0,322; с=3,516

Уравнение регрессии имеет вид:

Параметр b=0,322 фиксирует силу связи у и х. Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1% -ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастают в среднем на 0,322 руб.

Параметр с=3,516 характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

5.

Таблица 7

Год

Выпуск продукции, млн. долл

Год

Выпуск продукции, млн. долл.

1967

1513

1985

13617

1969

1987

1987

20037

1971

2367

1989

23298

1973

3837

1991

23080

1975

5502

1993

23446

1977

7665

1995

39573

1979

11172

1997

39200

1981

14004

1999

43100

1983

12518

2001

45320

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда - ЛГРФПРИБЛ.

В качестве зависимой переменной выступает время (t=1,2,…. n). Результат вычисления функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Уравнения линейного и экспоненциального тренда

2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм

Сравним значения R2 по разным уровням трендов:

экспоненциальный

линейный

Исходные данные лучше всего описывает экспоненциальный тренд.

В примере для расчета прогнозных значений следует использовать экспоненциальное уравнение.

Тема 8. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

1. При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени , где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Название функции

Описание функции

1. Линейная

2. Парабола второго ряда

3. Кубическая парабола

4. Показательная

5. Экспоненциальная

6. Модифицированная экспонента

7. Кривая Гомперца

8. Гиперболическая

Применяется для выравнивания линейная функция, если любые три равностоящие уровня имеют нулевую вторую разность.

2. Критерием отбора наилучшей формы тренда является R2 - коэффициент детерминации, его наибольшее значение.

4. - линейное уравнение тренда

t - порядковый номер периодов;

b0 и b1 - рассчитываем по МНК

Уровень, находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчета времени.

Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1; - 2; - 3; и т.д.).

При условии система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

откуда

Используя итоги графиков, 2,4,5 определим параметры уравнения прямой:

Таблица 8

Год

Цена yi

ti

уiti

1973

296,6

-7

-2076,2

49

1975

363,2

-6

-2179,2

36

1977

272,4

-5

-1362

25

1979

334,3

-4

-1337,2

16

1981

482,8

-3

-1448,4

9

1983

276,8

-2

-553,6

4

1985

217,4

-1

-217,4

1

1987

229,8

0

0

0

1989

241,3

1

241,3

1

1991

253,8

3

507,6

4

1993

265,7

3

797,1

9

1995

277,6

4

110,4

16

1997

289,8

5

1449

25

1999

301,9

6

1811,4

36

2001

314,3

7

2200,1

49

Итого

4417,7

-1057,1

280

Рассчитаем для 1983 г.:

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики м. б. проверена следующим образом:

(итоги граф 2 и 6).

Целесообразность моделирования: можно подсчитать примерную цену на рис и на несколько лет вперед (составить прогноз). Прогнозирование на основе развития изучаемого процесса.

Тема 9. Системы экономических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных уравнений).

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:

где д - коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

D+1=Н - уравнение идентифицируемо;

D+1<Н - уравнение неидентифицируемо;

D+1>Н - уравнение сверхиндентифицируемо,

где Н - число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Оценить следующую структурную модель на идентификацию уравнений.

Исходя из приведенной формы модели уравнений:

Найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (у1, у2, у3) и три экзогенные (х1, х2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных - 2 (у1, у3)

отсутствующих экзогенных - 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у2

х2

Второе

-1

а22

Третье

b32

0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 3 (у1, у2, у3)

отсутствующих экзогенных - 2 (х1, х3).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

х1

х3

Первое

а11

а13

Третье

а31

а33

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 (у2, у3),

отсутствующих экзогенных - 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у1

х2

Первое

-1

0

Второе

b21

а22

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные у3, х1 и х3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

- первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных х1 и х3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим х1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х3, которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

Подставив его в выражение х1:

Второй этап: аналогично, чтобы выразить х3 через искомые у1, у3 и х2, заменим в выражении х3 значение х1 на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно:

Подставим полученные х1 и х3 во второе уравнение ПФМ:

- второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.

Суммируя все уравнения, получим:

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим х1, домножив первое уравнение на 3, а второе - на (-2) и просуммировав их:

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем х3, а именно:

- 26

17

____________________________________________

3) из второго уравнения ПФМ выразим х2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

- третье уравнение СФМ.

Таким образом СФМ примет вид:

Тема 10. Оценивание параметров структурной модели косвенным методом наименьших квадратов

Приведенная форма модели - это система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы:

где д - коэффициенты приведенной формы модели.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

- путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Пример:

Имеются статистические данные за 1998 - 2002гг., характеризующие потребление мяса в Австралии.

Год

Годовое потребление свинины на душу населения, фунты, у1

Оптовая цена за фунт, долл., у2

Доход на душа населения, долл., х1

Расходы по обработке мяса, % к цене, х2

1998

60

5б0

1300

60

1999

62

4,0

1300

56

2000

65

4,2

1500

56

2001

62

5,0

1600

63

2002

66

3,8

1800

50

Требуется:

Построить модель вида

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид:

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1+1, это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений д11 и д12 запишем систему нормальных уравнений:

При решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т.е. матрица исходных данных составит:

у1у2х1х2

30,6-2003

1-0,4-200-1

2-0, 20-1

10,61006

3-0,6300-7

________________________________________

?00,000

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

д11=0,00609; д12=-0,26481.

Итак, имеем

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициента д21 и д22:

Следовательно,

Тогда второе уравнение примет вид

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Тема 11. Оценивание параметров структурной модели двухшаговым и трехшаговым методами наименьших квадратов

1. Параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

2. В приведенной форме уравнения:

Три коэффициента не могут быть найдены из 2-х уравнений: в1; в2; в3 (коэффициенты). Это значит, существует бесконечное множество их возможных значений.

3. Изучается модель вида

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 12.

Таблица 12.

Год

Д

у-1

у

с

Год

Д

у-1

у

с

1

-6,8

46,7

3,1

7,4

6

44,7

17,8

37,2

8,6

2

22,4

3,1

22,8

30,4

7

23,1

37,2

35,7

30,0

3

-17,3

22,8

7,8

1,3

8

51,2

35,7

46,6

31,4

4

12,0

7,8

21,4

8,7

9

32,3

46,6

56,0

39,1

5

5,9

21,4

17,8

25,8

?

167,5

239,1

248,4

182,7

Система приведенных уравнений:

Решение:

В модели две эндогенные переменные (у и с) и две экзогенные переменные (D и у-1). Для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, т.к. в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны.

В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1+1=2; D+1>Н это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, > система сверхидентифицирована.

Рассчитайте параметры первого уравнения структурной модели.

Используем двухшаговый метод наименьших квадратов. Шаг 1.

Определим теоретические значения эндогенной переменной С. В приведенное уравнение

подставим D и у-1 (из условия).

C1=15,8C2=16,8C3=7,4C4=14,3C5=15,0

C6=27,4C7=24,0C8=33,2C9=29,0

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические C и рассчитываем новую переменную C+D.

Год

D

C

C+D

Год

D

C

C+D

1

-6,8

15,8

9,0

6

44,7

27,4

72,1

2

22,4

16,8

39,2

7

23,1

24,0

47,1

3

-17,3

7,4

-9,9

8

51,2

33,2

84,4

4

12,0

14,3

26,3

9

32,3

29,0

61,3

5

5,9

15,0

20,9

?

167,5

182,9

350,4

К сверхидентифицированному уравнению применим МНК. Обозначим новую переменную C+D через Z. Решаем уравнение: .

Система нормальных уравнений составит:

а1=7,678; b1=0,512

Первое уравнение структурной модели:

4. Рассматривается следующая модель:

- (функция потребления)

- (функция инвестиций)

- (функция денежного рынка)

- (тождество дохода)

где Сt - расходы на потребление в период t;

Уt - совокупный доход в период t;

Jt - инвестиции в период t;

rt - процентная ставка в период t;

Мt - денежная масса в период t;

Gt - государственные расходы в период t;

Gt-1 - расходы на потребление в период t-1;

Jt-1 - инвестиции в период t-1;

U1 U2 U3 - случайные ошибки.

Решение:

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает 4 эндогенные переменные () и 4 предопределенные Мt и Gt и две лаговые эндогенные переменные - Сt-1 и Jt-1.

Необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (Сt и Jt) и одну предопределенную переменную (Сt-1). Число предопределенных переменных не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>1. Уравнение сверхидентифицировано.

2 уравнение.

Уравнение 2 включает две эндогенные переменные (Jt и rt) и не включает три предопределенные переменные. Как и 1 уравнение, оно сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Уравнение 3 тоже включает две эндогенные переменные (Yt и rt) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

4 уравнение.

Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Ct

Yt

Ct-1

Jt

rt

Jt-1

Mt

Gt

1 уравнение

-1

b11

b12

0

0

0

0

0

2 уравнение

0

0

0

-1

b12

b22

0

0

3 уравнение

0

b31

0

0

-1

0

b32

0

4 уравнение

1

-1

0

1

0

0

0

1

Достаточное условие идентификации: определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минут 1, т.е.4-1=3.

1 уравнение. Матрица коэффициентов при переменных не входящих в уравнение, имеет вид:

1b21b2200

А0-10b320

10001

Ранг равен 3, т.к. определитель квадратной подматрицы 3 х 3 этой матрицы не равен нулю:

-1b210

Det A*=0-10 70

101

Достаточное условие идентификации для первого уравнения.

2 уравнение. Матрица коэффициентов, не входящих в уравнение:

1b11b1200

А=0b310b320

1-1001

Ранг равен 3.

-100

Det A*=0b320 0

101

Достаточное условие идентификации для 2-ого уравнения выполняется.

Все уравнения модели сверхидентифицированы.

Применим двухшаговый МНК.

Шаг 1. Приведенная форма модели в общем виде:

V1, V2, V3, V4 - случайные ошибки.

Шаг 2

В структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями:

где

где

где

Применяя обычный МНК, определим структурные параметры a1, b11, b12, a2, b21, b22,a3, b31 и b32.

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 2009.

2. Эконометрика: Учебник/ под ред.Н. Н. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2010.

3. Экономическая статистика: Учебник/ под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2008.

4. Иванова В.М. Основы эконометрики. - М.: МЭСИ, 2011.

5. Чавкин А.М. Методы и модели рационального управления в рыночной экономике: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2011.

6. Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2011

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Взаимосвязи экономических переменных. Понятие эконометрической модели. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная парная регрессия. Метод наименьших квадратов. Основные предпосылки и принципы регрессионного анализа. Статистика Дарбина-Уотсона.

    шпаргалка [142,4 K], добавлен 22.12.2011

  • Оценка коэффициентов парной линейной регрессии, авторегрессионное преобразование. Трехшаговый и двухшаговый метод наименьших квадратов, его гипотеза и предпосылки. Системы одновременных уравнений в статистическом моделировании экономических ситуаций.

    курсовая работа [477,2 K], добавлен 05.12.2009

  • Эффективность линейной несмещенной оценки вектора для обобщенной регрессионной модели, теорема Айткена. Обобщенный метод наименьших квадратов. Преобразования Фурье, их применение; разложение временного ряда. Ряды Фурье, многомерные преобразования.

    реферат [345,4 K], добавлен 09.05.2012

  • Содержание, цели и задачи эконометрики как научной дисциплины; ее составляющие. Описание этапов моделирования экономических процессов. Принципы построения спецификации неоклассической производной функции. Определение эндогенной и экзогенной переменных.

    презентация [2,8 M], добавлен 22.08.2015

  • Понятие о взаимосвязях в эконометрике. Сопоставление параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков. Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции. Коэффициенты эластичности в парных моделях. Парная нелинейная корреляция.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 29.06.2015

  • Основные методы анализа линейной модели парной регрессии. Оценки неизвестных параметров для записанных уравнений парной регрессии по методу наименьших квадратов. Проверка значимости всех параметров модели (уравнения регрессии) по критерию Стьюдента.

    лабораторная работа [67,8 K], добавлен 26.12.2010

  • Определение, цели и задачи эконометрики. Этапы построения модели. Типы данных при моделировании экономических процессов. Примеры, формы и моделей. Эндогенные и экзогенные переменные. Построение спецификации неоклассической производственной функции.

    презентация [1010,6 K], добавлен 18.03.2014

  • Множественная корреляция и линейная регрессия. Оценка прогнозных качеств модели. Простейшие методы линеаризации. Вероятностный эксперимент, событие или вероятность. Фиктивные переменные в регрессионных моделях. Системы эконометрических уравнений.

    курс лекций [2,0 M], добавлен 13.02.2014

  • Разработка и исследование эконометрических методов с учетом специфики экономических данных и в соответствии с потребностями экономической науки и практики. Применение эконометрических методов и моделей для статистического анализа экономических данных.

    реферат [43,1 K], добавлен 10.01.2009

  • Метод наименьших квадратов; регрессионный анализ для оценки неизвестных величин по результатам измерений. Приближённое представление заданной функции другими; обработка количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, наблюдений.

    контрольная работа [382,4 K], добавлен 16.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.