Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных уравнений).

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:

где д - коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

D+1=Н - уравнение идентифицируемо;

D+1<Н - уравнение неидентифицируемо;

D+1>Н - уравнение сверхиндентифицируемо,

где Н - число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Оценить следующую структурную модель на идентификацию уравнений.

Исходя из приведенной формы модели уравнений:

Найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (у₁, у₂, у₃) и три экзогенные (х₁, х₂, х₃) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных - 2 (у₁, у₃)

отсутствующих экзогенных - 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у₂ и х₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 3 (у₁, у₂, у₃)

отсутствующих экзогенных - 2 (х₁, х₃).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют х₁ и х₃. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 (у₂, у₃),

отсутствующих экзогенных - 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют у₁ и х₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные у₃, х₁ и х₃, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

- первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных х₁ и х₃. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим х1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х₃, которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

Подставив его в выражение х₁:

Второй этап: аналогично, чтобы выразить х₃ через искомые у₁, у₃ и х₂, заменим в выражении х₃ значение х₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно:

Подставим полученные х₁ и х₃ во второе уравнение ПФМ:

- второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.

Суммируя все уравнения, получим:

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим х₁, домножив первое уравнение на 3, а второе - на (-2) и просуммировав их:

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем х₃, а именно:

- 26

17

____________________________________________

3) из второго уравнения ПФМ выразим х₂, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

- третье уравнение СФМ.

Таким образом СФМ примет вид:

Тема 10. Оценивание параметров структурной модели косвенным методом наименьших квадратов