Модели систем управления, использующих нечеткую логику
Понятия теории нечетких систем, фаззификация и дефаззификация. Представление работы нечетких моделей, задача идентификации математической модели нечеткого логического вывода. Построение универсального аппроксиматора на основе контроллера Мамдани-Сугено.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2010 |
| Размер файла | 897,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Югорский государственный университет»
Институт прикладной математики, информатики и управления
Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
РЕФЕРАТ
по дисциплине: «Теория принятия решений»
на тему «Модели систем управления, использующих нечеткую логику»
Выполнил: А.О. Ташкин
студент группы 1161
Специальность: 230102
Проверил: преподаватель
В.В. Славский
Ханты-Мансийск, 2010
Содержание
- Содержание 2
- Введение 3
- Экскурс в историю 5
- Теория нечетких систем 8
- Нечеткие системы управления 9
- Фаззификация (переход к нечеткости) 11
- Разработка нечетких правил 12
- Дефаззификация (устранение нечеткости) 13
- Основные определения теории нечетких множеств 14
- Представление работы нечетких моделей 16
- Задача идентификации математической модели 16
- Модели нечеткого логического вывода 17
- Нечеткая модель типа Мамдани 18
- Нечеткая модель типа Сугэно 20
- Основные идеи идентификации на основе нечеткого вывода 23
- Пример построения универсального аппроксиматоа на основе контроллер Мамдани-Сугено 28
- Заключение 37
- Преимущества нечетких систем 37
- Применение нечетких систем 37
- Используемая литература и список используемых источников 41
- Литература 41
Введение
У человеческого интеллекта есть способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных к размышлению человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
В 1965 г. в журнале «InformationandControl» была опубликована известная работа Л. Заде под названием «Fuzzysets». Это название переведено на русский язык как нечеткие множества. Побудительным мотивом представления Л. Заде идеи и теории нечетких множеств стала необходимость описания таких явлений и понятий, которые имеют многозначный и неточный характер. Известные до этого математические методы, использовавшие классическую теорию множеств и двузначную логику, не позволяли решать проблемы этого типа.
Существует легенда о том, каким образом была создана теория «нечетких множеств». Один раз Заде имел длинную дискуссию со своим другом относительно того, чья из жен более привлекательна. Термин «привлекательная» является неопределенным и в результате дискуссии они не смогли прийти к удовлетворительному итогу. Это заставило Заде сформулировать концепцию, которая выражает нечеткие понятия типа «привлекательная» в числовой форме.
Дальнейшие работы профессора ЛатфиЗаде и его последователей заложили фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.
Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять автомобилем или поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.
1. Экскурс в историю
Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах известного американского математика Латфи Заде. Исследования такого рода было вызвано возрастающим неудовольствием экспертными системами. Хваленый «искусственный интеллект», который легко справлялся с задачами управления сложными техническими комплексами, был беспомощным при простейших высказываниях повседневной жизни, типа «Если в машине перед тобой сидит неопытный водитель - держись от нее подальше». Для создания действительно интеллектуальных систем, способных адекватно взаимодействовать с человеком, был необходим новый математический аппарат, который переводит неоднозначные жизненные утверждения в язык четких и формальных математических формул. Первым серьезным шагом в этом направлении стала теория нечетких множеств, разработанная Заде. Его работа «FuzzySets», опубликованная в 1965 году в журнале «InformationandControl», заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и стала начальным толчком к развитию новой математической теории. Он же дал и название для новой области науки -«fuzzylogic».
Прилагательное «fuzzy», которое можно перевести на русский язык как нечеткий, размытый, мягкий, ворсистый, пушистый, введено в название новой теории с целью дистанцирования от традиционной четкой математики и аристотелевой логики, оперирующих с четкими понятиями: «принадлежит-не принадлежит», «истина-ложь». Концепция нечеткого множества зародилась у Л. Заде «как неудовлетворенность математическими методами классической теории систем, которая вынуждала добиваться искусственной точности, неуместной во многих системах реального мира, особенно в так называемых гуманистических системах, включающих людей».
Аппарат теории нечетких множеств, продемонстрировав ряд многообещающих возможностей применения - от систем управления летательными аппаратами до прогнозирования итогов выборов, оказался вместе с тем сложным для воплощения. Учитывая имеющийся уровень технологии, нечеткая логика заняла свое место среди других специальных научных дисциплин - где-то посредине между экспертными системами и нейронными сетями.
Свое второе рождение теория нечеткой логики пережила в начале восьмидесятых годов, когда несколько групп исследователей (в основном в США и Япони) всерьез занялись созданием электронных систем различного применения, использующих нечеткие управляющие алгоритмы. Теоретические основы для этого были заложены в ранних работах Коско и других ученых.
Третий период начался с конца 80-х годов и до сих пор. Этот период характеризуется бумом практического применения теории нечеткой логики в разных сферах науки и техники. Взяв старт в 1965 году за прошедшее время нечеткая логика прошла путь от почти антинаучной теории, практически отвергнутой в Европе. До 90-ого года появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике (30 из них - японские). Сорок восемь японских компаний создают лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансирует 5-летнюю программу по нечеткой логике, которая включает 19 разных проектов - от систем оценки глобального загрязнения атмосферы и предвидения землетрясений до АСУ заводских цехов. Результатом выполнения этой программы было появление целого ряда новых массовых микрочипов, базирующихся на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах заводов и моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами.
В США развитие нечеткой логики идет по пути создания систем для большого бизнеса и военных. Нечеткая логика применяется при анализе новых рынков, биржевой игре, оценки политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и т.п. Появились и коммерческие системы массового применения.
Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических применений привело к постановке целого ряда проблем, в частности:
· новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений;
· элементная база нечетких компьютеров и контроллеров;
· инструментальные средства разработки;
· инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления, и т.п.
В последнее время нечеткая технология завоевывает все больше сторонников среди разработчиков систем управления. Сам термин «fuzzy» так прочно вошел в жизнь, что на многих языках он даже не переводится. В России в качестве примера можно вспомнить рекламу стиральных машин и микроволновых печей фирмы Samsung, обладающих искусственным интеллектом на основе нечеткой логики.
Столь масштабный скачок в развитии нечетких систем управления не случаен. Простота и дешевизна их разработки заставляет проектировщиков все чаще прибегать к этой технологии. После поистине взрывного старта прикладных нечетких систем в Японии многие разработчики США и Европы наконец-то обратили внимание на эту технологию. Но время было упущено, и мировым лидером в области нечетких систем стала Страна восходящего солнца, где к концу 1980-х годов был налажен выпуск специализированных нечетких контроллеров.КомпанияIntel создала средство разработки приложений на базе существующих контроллеров, но с использованием технологии нечеткости. Система от Intel, получившая название fuzzy TECH, завоевала огромную популярность не только в США и Европе, но и прорвалась на японский рынок.
·
2. Теория нечетких систем
Классическая логика оперирует только двумя понятиями: «истина» и «ложь», и исключая любые промежуточные значения. Аналогично этому булева логика не признает ничего кроме единиц и нулей. Попробуйте представить весь окружающий вас мир только в черном и белом цвете, вдобавок исключив из языка любые ответы на вопросы, кроме «да» и «нет».
Нечеткая логика основана на использовании оборотов естественного языка. Вы сами определяете необходимое число терминов и каждому из них ставите в соответствие некоторое значение описываемой физической величины. Для этого значения степень принадлежности физической величины к терму (слову естественного языка, характеризующего переменную) будет равна единице, а для всех остальных значений - в зависимости от выбранной функции принадлежности. Например, можно ввести переменную «возраст» и определить для нее термы «юношеский», «средний» и «преклонный». Диапазон ее применения очень широк - от бытовых приборов до управления сложными промышленными процессами. Многие современные задачи управления просто не могут быть решены классическими методами из-за очень большой сложности описывающих их математических моделей. Вместе с тем, чтобы использовать теорию нечеткости на цифровых компьютерах, необходимы математические преобразования, позволяющие перейти от лингвистических переменных к их числовым аналогам в ЭВМ.
При помощи нечетких множеств можно формально определить неточные и многозначные понятия, такие как «высокая температура», «молодой человек», «средний рост» либо «большой город». Перед формулированием определения нечеткого множества необходимо задать так называемую область рассуждений (universe of discourse). В случае неоднозначного понятия «много денег» большой будет признаваться одна сумма, если мы ограничимся диапазоном [0, 1000 руб.] и совсем другая-в диапазоне [0, 1000000 руб.].
Из разработок искусственного интеллекта завоевали устойчивое признание экспертные системы, как системы поддержки принятия решений. Они способны аккумулировать знания, полученные человеком в различных областях деятельности. Посредством экспертных систем удается решить многие современные задачи, в том числе и задачи управления. Одним из основных методов представления знаний в экспертных системах являются продукционные правила, позволяющие приблизиться к стилю мышления человека.Обычно продукционное правило записывается в виде: «ЕСЛИ (посылка) (связка) (посылка)… (посылка) ТО (заключение)».Возможно наличие нескольких посылок в правиле, в этом случае они объединяются посредством логических связок «И», «ИЛИ».
Нечеткие системы тоже основаны на правилах продукционного типа, однако в качестве посылки и заключения в правиле используются лингвистические переменные, что позволяет избежать ограничений, присущих классическим продукционным правилам.
Нечеткие системы управления
Нечеткая система (НС) -- это система, особенностью описания которой является:
· нечеткая спецификация параметров;
· нечеткое описание входных и выходных переменных системы;
· нечеткое описание функционирования системы на основе продукционных «ЕСЛИ…ТО…»правил.
Важнейшим классом нечетких систем являются нечеткие системы управления (НСУ).Одним из важнейших компонентов НСУ является база знаний, которая представляет собой совокупность нечетких правил «ЕСЛИ--ТО», определяющих взаимосвязь между входами и выходами исследуемой системы. Существуют различные типы нечетких правил: лингвистическая, реляционная, модель Takagi-Sugeno.
Для многих приложений, связанных с управлением технологическими процессами, необходимо построение модели рассматриваемого процесса. Знание модели позволяет подобрать соответствующий регулятор (модуль управления). Однако часто построение корректной модели представляет собой трудную проблему, требующую иногда введения различных упрощений. Применение теории нечетких множеств для управления технологическими процессами не предполагает знания моделей этих процессов. Следует только сформулировать правила поведения в форме нечетких условных суждений типа «ЕСЛИ-ТО».
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1. Структура нечеткой системы управления
Процесс управлениясистемой напрямую связан с выходной переменной нечеткой системы управления, но результат нечеткого логического вывода является нечетким, а физическое исполнительное устройство не способно воспринять такую команду. Необходимы специальные математические методы, позволяющие переходить от нечетких значений величин к вполне определенным. В целом весь процесс нечеткого управления можно разбить на несколько стадий: фаззификация, разработка нечетких правил и дефаззификация.
Фаззификация (переход к нечеткости)
На данной стадии точные значения входных переменных преобразуются в значения лингвистических переменных посредством применения некоторых положений теории нечетких множеств, а именно - при помощи определенных функций принадлежности.
Лингвистические переменные
В нечеткой логике значения любой величины представляются не числами, а словами естественного языка и называются «термами». Так, значением лингвистической переменной «Дистанция» являются термы «Далеко», «Близко» и т. д. Для реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения ее термов. Допустим переменная «Дистанция» может принимать любое значение из диапазона от 0 до 60 метров. Согласно положениям теории нечетких множеств, каждому значению расстояния из диапазона в 60 метров может быть поставлено в соответствие некоторое число, от нуля до единицы, которое определяет степень принадлежностиданного физического значения расстояния (допустим, 10 метров) к тому или иному терму лингвистической переменной «Дистанция». Тогда расстоянию в 50 метров можно задать степень принадлежности к терму «Далеко», равную 0,85, а к терму «Близко» - 0,15. Задаваясь вопросом, сколько всего термов в переменной необходимо для достаточно точного представления физической величины принято считать, что достаточно 3-7 термов на каждую переменнуюдля большинства приложений. Большинствоприменений вполне исчерпывается использованием минимального количества термов.Такое определение содержит два экстремальных значения (минимальное и максимальное) и среднее. Что касается максимального количества термов, то оно не ограничено и зависит целиком от приложения и требуемой точности описания системы. Число 7 же обусловлено емкостью кратковременной памяти человека, в которой, по современным представлениям, может храниться до семи единиц информации.
Функции принадлежности
Принадлежность каждого точного значения к одному из термов лингвистической переменной определяется посредством функции принадлежности. Ее вид может быть абсолютно произвольным, однако сформировалось понятие о так называемых стандартных функциях принадлежности
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2. Стандартные функции принадлежности
Стандартные функции принадлежности легко применимы к решению большинства задач. Однако если предстоит решать специфическую задачу, можно выбрать и более подходящую форму функции принадлежности, при этом можно добиться лучших результатов работы системы, чем при использовании функций стандартного вида.
Разработка нечетких правил
На этой стадии определяются продукционные правила, связывающие лингвистические переменные. Большинство нечетких систем используют продукционные правила для описания зависимостей между лингвистическими переменными. Типичное продукционное правило состоит из антецедента (частьЕСЛИ …) и консеквента (часть ТО…). Антецедент может содержать более одной посылки. В этом случае они объединяются посредством логических связок«И» или «ИЛИ».
Процесс вычисления нечеткого правила называется нечетким логическим выводом и подразделяется на два этапа: обобщение и заключение.
Пусть мы имеем следующее правило:
ЕСЛИ «Дистанция» = средняя И «Угол» =малый, ТО «Мощность» = средняя.
На первом шаге логического вывода необходимо определить степень принадлежности всего антецедента правила. Для этого в нечеткой логике существуют два оператора: Min(…) и Max(…). Первый вычисляет минимальное значение степени принадлежности, а второй - максимальное значение. Когда применять тот или иной оператор, зависит от того, какой связкой соединены посылки в правиле. Если использована связка «И», применяется оператор Min(…). Если же посылки объединены связкой «Или», необходимо применить оператор Max(…). Ну а если в правиле всего одна посылка, операторы вовсе не нужны.
Следующим шагом является собственно вывод или заключение. Подобным же образом посредством операторов Min/Maxвычисляется значение консеквента. Исходными данными служат вычисленные на предыдущем шаге значения степеней принадлежности антецедентов правил.
После выполнения всех шагов нечеткого вывода мы находим нечеткое значение управляющей переменной. Чтобы исполнительное устройство смогло отработать полученную команду, необходим этап управления, на котором мы избавляемся от нечеткости и который называется дефаззификацией.
Дефаззификация (устранение нечеткости)
На этом этапе осуществляется переход от нечетких значений величин к определенным физическим параметрам, которые могут служить командами исполнительному устройству.
Результат нечеткого вывода, конечно же, будет нечетким. Скажем, если речь идет об управлении механизмом и команда для электромотора будет представлена термом «Средняя» (мощность), то для исполнительного устройства это ровно ничего не значит.В теории нечетких множеств процедура дефаззификации аналогична нахождению характеристик положения (математического ожидания, моды, медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности. Однако пригодность этого способа ограничивается лишь одно экстремальными функциями принадлежности. Для устранения нечеткости окончательного результата существует несколько методов: метод центра максимума, метод наибольшего значения, метод центроида и другие. Для многоэкстремальных функций принадлежности наиболее часто используется дефаззификация путем нахождения центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и функцией принадлежности.
Основные определения теории нечетких множеств
На основании перечисленных стадий можно ввести основные определения теории нечетких множеств:
· Нечетким множеством на универсальном множестве U называется совокупность пар,где -- степень принадлежности элемента к нечеткому множеству.
· Степень принадлежности -- число из диапазона [0, 1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.
· Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству. Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов , то нечеткое множество записывается в виде
· Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.
· Терм-множествомназывается множество всех возможных значений лингвистической переменной.
· Термом называется любой элемент терм-множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.
· Дефаззификациейназывается процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.
3. Представление работы нечетких моделей
Задача идентификации математической модели
В технике, экономике, политике, социологии, медицине, биологии и в других областях часто возникает задача построения математической модели по результатам наблюдений, или задача идентификации (процессов, систем). В тех случаях, когда синтезируемые модели базируются на экспертных лингвистических высказываниях типа «Если инфляционные ожидания -высокие, и политическая ситуация-- нестабильная, и состояние экономики -кризисное, то курс национальной валюты -- сильно упадет», основным инструментом построения моделей являются методы нечеткой логики. Использование лингвистических правил «ЕСЛИ-ТО» позволяет значительно снизить объем экспериментальных данных, необходимых для качественной идентификации.
Идентификация, т. е. построение математической модели по результатам наблюдений,является важной задачей, возникающей во всех областях науки. В современной теории идентификации все более важную роль начинают играть методы, привлекающие лингвистическую информацию при построении моделей нелинейных зависимостей. Одним из наиболее разработанных в инженерном отношении инструментов учета лингвистической информации является теория нечетких множеств и нечеткая логика.
Работы по идентификации нелинейных зависимостей на основе нечетких множеств и нечеткой логики интенсивно проводятся за рубежом с 90-х годов. Среди русскоязычных публикаций выделим монографии и серию статей профессора А. П. Ротштейна, в которых разработан метод двухэтапной идентификации нелинейных зависимостей с помощью нечетких баз знаний. Первый этап -- структурная идентификация -- представляет собой формирование нечеткой базы знаний, которая грубо отражает взаимосвязь между входами и выходом с помощью лингвистических правил «ЕСЛИ-ТО». Лингвистические правила генерируются экспертом либо получаются в результате экстракции нечетких знаний из экспериментальных данных. На втором этапе проводится параметрическая идентификация исследуемой зависимости путем нахождения таких параметров нечеткой базы знаний, которые минимизируют отклонение модельных и экспериментальных результатов.
Модели нечеткого логического вывода
Нечеткий логический вывод -- это аппроксимация зависимости «входы-выход» на основе лингвистических высказываний типа «ЕСЛИ-ТО» и операций над нечеткими множествами. Нечеткая модель содержит следующие блоки:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 3. Структура нечеткой модели.
· фаззификатор, преобразующий фиксированный вектор влияющих факторов Xв вектор нечетких множеств , необходимых для выполнения нечеткого логического вывода;
· нечеткая база знаний, содержащая информацию о зависимости Y =?(X) в виде лингвистических правил типа «ЕСЛИ-ТО»;
· машина нечеткого логического вывода, которая на основе правил базы знаний определяет значение выходной переменной в виде нечеткого множества , соответствующего нечетким значениям входных переменных ;
· дефаззификатор, преобразующий выходное нечеткое множество в четкое число Y.
Нечеткая модель типа Мамдани
В модели типа Мамдани взаимосвязь между входами X = (x1, x2,…, xn)и выходом y определяется нечеткой базой знаний следующего формата:
где ai,jp -- лингвистический терм, которым оценивается переменная xi в строке с номером jp-- количество строк-конъюнкций, в которых выход y оценивается лингвистическим термомdj; m -- количество термов, используемых для лингвистической оценки выходной переменной y.
С помощью операций ?(ИЛИ) и ? (И) нечеткую базу знаний перепишем в более компактном виде:
(1)
Все лингвистические термы в базе знаний (1) представляются как нечеткие множества, заданные соответствующими функциями принадлежности.
Нечеткая база знаний (1) может трактоваться как некоторое разбиение пространства влияющих факторов на подобласти с размытыми границами, в каждой из которых функция отклика принимает значение, заданное соответствующимнечетким множеством. Правило в базе знаний представляет собой «информационный сгусток», отражающий одну из особенностей зависимости «входы-выход». Такие «сгустки насыщенной информации» или «гранулы знаний» могут рассматриваться как аналог вербального кодирования, которое, как установили психологи, происходит в человеческом мозге при обучении. Видимо поэтому формирование нечеткой базы знаний в конкретной предметной области, как правило, не составляет трудностей для эксперта.
Введем следующие обозначения:
µjp(xi) -- функция принадлежности входаxiнечеткому терму
ai,jp, ,, , т.е.
-- функция принадлежности выхода y нечеткому терму , т.е.
Степень принадлежности входного вектора нечетким термамdjиз базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:
(2)
Наиболее часто используются следующие реализации: для операции ИЛИ -- нахождение максимума, для операцииИ-- нахождениеминимума.
Нечеткое множество , соответствующее входному вектору X*, определяется следующим образом:
где imp-- импликация, обычно реализуемая как операция нахождения минимума; agg-- агрегирование нечетких множеств, которое наиболее часто реализуется операцией нахождения максимума.
Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору X*, определяется в результате дефаззификации нечеткого множества . Наиболее часто применяется дефаззификация по методу центра тяжести:
Нечеткая модель типа Сугэно
На сегодняшний день существует несколько моделей нечеткого управления, одной из которых является модель Такаги-Сугено.
Модель Такаги-Сугено иногда носит называние Takagi-Sugeno-Kang. Причина состоит в том, что этот тип нечеткой модели был первоначально предложен Takagi и Sugeno. Однако Канг и Сугено провели превосходную работу над идентификацией нечеткой модели. Отсюда и происхождение названия модели.
В модели типа Сугэно взаимосвязь между входами X = (x1, x2,…, xn,)и выходом y задается нечеткой базой знаний вида:
(3)
где bj,i -- некоторые числа.
База знаний (3) аналогична (1) за исключением заключений правил , djкоторые задаются не нечеткими термами, а линейной функцией от входов:
Таким образом, база знаний в модели типа Сугэно является гибридной -- ее правила содержат посылки в виде нечетких множеств и заключения в виде четкой линейной функции. База знаний (3) может трактоваться как некоторое разбиение пространства влияющих факторов на нечеткие подобласти, в каждой из которых значение функции отклика рассчитывается как линейная комбинация входов. Правила являются своего рода переключателями с одного линейного закона «входы-выход» на другой, тоже линейный. Границы подобластей размытые, следовательно, одновременно могут выполняться несколько линейных законов, но с различными весами. Результирующее значение выхода y определяется как суперпозиция линейных зависимостей, выполняемых в данной точке X* n-мерного факторного пространства. Это может быть взвешенное среднее
или взвешенная сумма
Значения рассчитываются как и для модели типа Мамдани, т. е. по формуле (2).Обратим внимание, что в модели Сугэно в качестве операций ? и ?обычно используются соответственно вероятностное ИЛИ и умножение. В этом случае нечеткая модель типа Сугэно может рассматриваться как особый класс многослойных нейронных сетей прямого распространения сигнала, структура которой изоморфна базе знаний. Такие сети получили название нейро-нечетких.
Модели типа Мамдани и типа Сугэно будут идентичными, когда заключения правил заданычеткими числами, т. е. в случае, если:
1) термы djвыходной переменной в модели типа Мамдани задаются синглтонами -- нечеткими аналогами четких чисел. В этом случае степени принадлежностей для всех элементов универсального множества равны нулю, за исключением одного со степенью принадлежности равной единице;
2) заключения правил в базе знаний модели типа Сугэно заданы функциями, в которых все коэффициенты при входных переменных равны нулю.
Основные идеи идентификации на основе нечеткого вывода
Будем предполагать, что идентифицируемая нелинейная зависимость представлена выборкой данных «входы-выход»:
где X=(xr,1, xr,2,…, xr,n)-- вектор входов и yr -- выход в r-паре; M -- объем выборки.
Задача идентификации состоит в нахождении нечеткой модели F, обеспечивающей минимальное значение средеквадратической невязки:
(4)
где F(Xr) -- значение выхода нечеткой модели при значении входов, заданных вектором Xr.
Выход нечеткой модели зависит от ее структуры -- базы знаний и параметров: функций принадлежностей, реализаций логических операций, метода дефаззификации, а также коэффициентов линейных функций в заключениях правил для модели типа Сугэно. Нахождение структуры и параметров нечеткой модели, обеспечивающих минимальное значение критерия (4) и является задачей идентификации.
Все еще нерешенной научной задачей остается автоматическая экстракция из данных нечетких правил, близких по своим свойствам к экспертным, т. е. полезных, достоверных, интересных, новых и понятных не только математикам. Это относится прежде всего к базе знаний модели типа Мамдани, так как прозрачность правил модели типа Сугэно, т. е. возможность их содержательной интерпретации пользователем, является довольно низкой. Будем предполагать, что кроме числовых пар «входы-выход» существует еще и лингвистическая информация об идентифицируемой зависимости в форме экспертных высказываний. Обозначим через I вектор параметров функций принадлежностей термов входных переменных, через O -- вектор параметров функций принадлежностей термов выходной переменной модели типа Мамдани и через B -- вектор коэффициентов линейных функций в заключениях правил в модели типа Сугэно. Тогда параметрическая идентификация сводится к следующей задаче математического программирования:
· для модели типа Мамдани-- найти такой вектор (I,O), чтобы
· для модели типа Сугэно -- найти такой вектор (I,B), чтобы
В приведенных выше задачах оптимизации на управляемые переменные (I ,O) обычно накладывают ограничения, обеспечивающие линейную упорядоченность элементов терм-множеств. Такие ограничения не позволяют алгоритмам оптимизации сделать, например, терм «Низкий» выше терма «Высокий».
Сектор нелинейности
Нечеткие модели Такаги-Сугено (TS) это нелинейные системы, способные аппроксимировать широкий класс сложных или нелинейных систем с помощью «ЕСЛИ-ТО» правил,которые описывают локально-линейную динамику всей системы. Одним из достаточно разработанных методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линейных матричных неравенств (LMI-метод), который впервые был использован для анализа устойчивости однородных непрерывных и дискретных нечетких систем.
Нечеткая TS-модель задается базой нечетких правил «ЕСЛИ-ТО», которыеописывают нелинейную систему в виде совокупности локальных линейных моделей. Полная нечеткая модель системы образуется нечетким объединением линейных моделей.
Нечеткое i -е правило для непрерывной системы имеет следующий вид:
Если z1(t) есть Hi1и … иzr(t)есть Hirтогда
(6)
где Hij- термы нечеткого множества;
k - количество нечетких правил;
x(t) ?Rn- вектор переменных состояния;
u(t)?Rs- вектор входныхвоздействий;
y(t)? Rl- вектор выходных сигналов;
Ai, Bi,и Ci- матрицы размерностей n? n ,n ? sи l ? n соответственно;
z(t) = [z1(t)z2(t)…zr(t)] - вектор-функция от переменных состояния системы.
Моделивида (6) будемназывать «подсистемой». Модель в переменных состояния всей системы получается в результате нечеткого логического вывода вида
Терм Hij(zj(t))определяет степень принадлежности zj(t)множеству Hij.
Для
(4)
Имеем
(5)
Для всехt .
Дляпостроениянечеткой TS-модели, необходимо выделить ограничения напеременные состояния. Например, пусть задана математическая модель автономной системы в виде
,
где?(x(t)) - нелинейная функция.
Предположим, что нелинейная функция правой части (6) целиком расположена в секторе, ограниченном прямыми b1(t) и b2(t) (Рис. 4, а). Цель состоит в том, чтобы найти глобальный сектор, таким образом, что . Такой подход гарантирует точное отражение нечеткой модели. Выделение «глобального» сектораповеденияфункции (прилюбыхx(t))для некоторых нелинейностей может быть затруднительно, поэтому можно рассматривать локальные интервалы изменения переменных (Рис. 4 , б). Здесь нелинейная функция ограничена интервалом x(t) ? [-v,v] . Введение ограничений напеременные состояния вполне соответствует поведению реальных систем.
(а) (б)
Рис. 3. Глобальный и локальный секторы нелинейности.
До применения подхода сектора нелинейности гораздо правильнее будет упростить исходную нелинейную модель как можно больше. Это очень важно, потому что уменьшается количество правил для описания модели, что уменьшает усилия, необходимые для анализа и проектирования систем управления. Если же применять неупрощенную модель для построения нечеткой модели, то придется применять огромное количество правил описывающих модель.
Пример построения универсального аппроксиматоана основе контроллер Мамдани-Сугено
Несмотря на большие успехи в области создания нечетких контроллеров, многие эксперты полагают, что управление на их основе не является достаточно эффективной заменой человеку, и требует более четких математических обоснований достигнутых результатов.
Одним из таких обоснований является доказательство теоремы, показывающей, что нечеткий контроллер определенного вида является универсальным аппроксиматором: если задана некоторая функция, то найдется такая база правил, что нечеткий контроллер, работая с этой базой, сможет аппроксимировать функцию с заданной точностью. Интуитивно понятно, что оптимальное управление можно считать функцией фазового состояния и состояния окружения процесса. Таким образом, в случае справедливости утверждения теоремы управление процессом может быть эффективным образом смоделировано на основе нечеткого контроллера.
Рассмотрим теорему аппроксимации для систем нечеткого вывода, основанных на правилах типа Такаги-Сугено с нечеткой правой частью, описанных в работе. Приведем некоторые необходимые определения.
Определение. Треугольной нормой называется двуместная действительная функция T:[0;1]х[0;1]>[0;l], удовлетворяющая следующим условиям:
T(0,0) = 0; T(1,b) = b; T(a,1) = a;
T(a,b) ? T(c,d), еслиa?c, b? d;
T(a,b) = T(b,a);
T(a,Т(b,с)) = Т(T(a,b),с).
Определение. Нечеткой импликацией называется двуместная действительная функция I:[0;1]х[0;1]>[0;l], удовлетворяющая следующим условиям:
I(a,b)?I(c,b),еслиа?с;
I(a,b)?I(a,d), еслиb?d;
I(1,0) = 0; I(a,l) = l , a? [0; 1]; I(0,b) = 1, b?[0;1].
Далее мы рассматриваем правила вида
Ri: ifXisAithenYisBi, Bi=, ,
где X и Y - лингвистические переменные, соответствующие входным и выходным параметрам правила;
Ai, Bi, Bi,- нечеткие множества;
N - количество правил в базе.
На вход правила подается нечеткий синглетонА*в точке х0. Функция принадлежности нечеткого множества, получаемого на выходе правила, может быть получена по правилу sup-T композиции [1], [2]:
(8)
Функция принадлежности нечеткого множества, получаемого в результате вывода, задается выражением:
,(9)
где - нечеткое множество, функция принадлежности которого вычисляется по формулам:
,
, (10)
,
где ;
wi- весовой коэффициент для i-го правила;
аi - степень соответствия синглетона А*предпосылке i-го правила.
Так как нечеткое множество А*является синглетоном в точке х0, то все выражение (8) упрощается до
.
Положим
?
I(a,b)=T*(a,b)+1-a=a?b+1-a
- один из возможных вариантов импликации. Определим как операцию дефаззификации нечеткого множества С, которая любому множеству ставит в соответствие четкое значение. Потребуем, чтобы при этом выполнялись следующие условия:
> ,(11a)
> , (11b)
> , (11c)
> , (11d)
Обозначим выход системы при поданном на ее вход значении х как f(x). Нечеткая системаявляется универсальным аппроксиматором. Сформулируем это утверждение в видетеоремы:
Теорема.Пусть U < R1 - компактное множество, g(x)- определенная на нем дифференцируемая функция. Тогда для любого ?>0 найдутся такие значения параметров Ai, Bi, Bi,, , что для выходапостроенной по ним системы будет справедливо неравенство:
.
Доказательство. Пусть задано произвольное ?>0.
Введем функцию , где х*- параметр:
.
Эта функция является касательной к графику функции g(x) в точке х*. Введем функцию д(x*):
Обозначим . Так как U - компактное множество, то существует набор точек и д-окрестностей таких, что . Построим по этим окрестностям базу правил :
,
где
,
,(12)
, (13)
. (14)
Иными словами, множества Aj, - нечеткие треугольные множества с центрами в точках aj, и ширинами д, соответственно.
Пусть на вход базы правил подается синглетонA* в точке х0.
При этом порождаются нечеткие множества , , и С. Покажем, что справедливы следующие два утверждения:
,.
> .
Докажем сначала второе из этих утверждений. Зафиксируем у*такое, что
. (15)
Рассмотрим правило Rj. Возможны два случая:
1. , откуда следует и , так как .
2. . По определению множества Аjотсюда следует |x0 - aj| < д. Из условия выбора д мы можем заключить, что
.
Отсюда и из неравенства треугольника
непосредственно следует
. (16)
Центр Pj(x)и ширина нечеткого множества Bj рассчитываются как
,. Из (12)-(14) получаем
,
.
Учитывая то, что справедливо |x0 - aj| < д, а также (15), можно заключить
. (17)
Принимая во внимание тот факт, что множество Bj является треугольным, а также (15), (17), получаем
.
.
Положим при и при , а также . Из (9) получаем Заметим, что как только точка x0зафиксирована, значение не зависит от выборау*, если только справедливо (15).
Покажем теперь, что Рассмотрим произвольную точку у**? у*.В случае справедливы все приведенные выше рассуждения и .Пусть . Рассмотрим трислучая:
a) , откуда ;
b) и .
Следовательно,
c) и .
Тогда и .
Отсюда по свойству треугольных норм .
Рассмотрев случаи а), b) и с), заключаем, что для всех у**выполняется . Из (9) получаем:
Кроме того,. Поэтому , и утверждение II доказано.
Докажем теперь утверждение I.
Для синглетона в точке х0можно найти меры соответствия предпосылкам правил причем в силу того, что является д -сетью, существует поднабор такой, что . Выберем и положим .Тогда, очевидно, , т.к. совпадает с центром множества . Далее
,
.
Из того, что , следует, что . Покажем, что . Найдется , тогда из (10) следует, что .
Имеем: . По свойству треугольных норм
.
Отсюда и из (9) следует, что .Очевидно, что . Также справедливо
.
В силу того, что ограниченное произведение обладает свойством строгой монотонности, утверждение I доказано.
Учитывая произвольность х0, мы можем утверждать, что оператор дефаззификацииприменим для любой точки х. Заметим также, что
> .
Отсюда и из (11) следует, что откуда непосредственно выводится утверждение теоремы.
Отметим, что рассмотренная схема нечеткого вывода является обобщением и гибридом контроллеров типа Мамдани и Такаги-Сугено. Важная особенность первых - возможность описания правил на естественном человеческом языке, достоинство вторых - использование функций в правой части правил, что повышает гибкость системы. Обобщенный контроллер обладает обоими этими свойствами, и доказательство теоремы должно послужить шагом к его дальнейшему развитию и использованию.
Заключение
Преимущества нечетких систем
Коротко перечислим преимущества fuzzy-систем по сравнению с другими:
· возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т.д.);
· возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями «большинство», «возможно», «преимущественно» и т.д.;
· возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: вы оперируете не только значениями данных, но и их степенью достоверности и ее распределением;
· возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление описывающих уравнений, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений.
Применение нечетких систем
Что касается отечественного рынка коммерческих систем на основе нечеткой логики, то его формирование началось в середине 1995 года. Популярными являются следующие пакеты:
· CubiCalc 2.0 RTC - одна из мощных коммерческих экспертных систем на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы;
· CubiQuick - дешевая «университетская» версия пакета CubiCalc;
· RuleMaker - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных;
· FuziCalc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности;
· OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов нейронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти и т.д.
Основными потребителями нечеткой логики на рынке СНГ являются банкиры и финансисты, а также специалисты в области политического и экономического анализа. Они используют CubiCalc для создания моделей разных экономических, политических, биржевых ситуаций. Что же касается пакета FuziCalc, то он занял свое место на компьютерах больших банкиров и специалистов по чрезвычайным ситуациям - то есть тех, для кого важна скорость проведения расчетов в условиях неполноты и неточности входной информации. Однако можно с уверенностью сказать, что эпоха расцвета прикладного использования нечеткой логики на отечественном рынке еще впереди.
Сегодня элементы нечеткой логики можно найти в десятках промышленных изделий - от систем управления электропоездами и боевыми вертолетами до пылесосов и стиральных машин. Без применения нечеткой логики немыслимы современные ситуационные центры руководителей западных стран, где принимаются ключевые политические решения и моделируются разные кризисные ситуации. Одним из впечатляющих примеров масштабного применения нечеткой логики стало комплексное моделирование системы здравоохранения и социального обеспечения Великобритании (NationalHealthService - NHS), которое впервые позволило точно оценить и оптимизировать затраты на социальные нужды.
Не обошли средства нечеткой логики и программные системы, обслуживающих большой бизнес. Первыми, разумеется, были финансисты, задачи которых требуют ежедневного принятия правильных решений в сложных условиях непредвиденного рынка. Первый год использования системы FujiBankпо официальным данным принес прибыль банку в размере $770000 за месяц.
Вслед за финансистами, обеспокоенные успехами японцев и потерей стратегической инициативы, когнитивными нечеткими схемами заинтересовались промышленные гиганты США. Motorola, GeneralElectric, OtisElevator, PacificGas&Electric, Ford и другие в начале 90-х начали инвестировать в разработку изделий, использующих нечеткую логику. Имея солидную финансовую «поддержку», фирмы, специализирующиеся на нечеткой логике, получили возможность адаптировать свои разработки для широкого круга применений. «Оружие элиты» вышло на массовый рынок.
Среди лидеров нового рынка выделяется американская компания HyperLogic, основанная в 1987 году Фредом Уоткинсом (FredWatkins). Сначала компания специализировалась на нейронных сетях, однако в скором времени целиком сконцентрировалась на нечеткой логике. Недавно вышла на рынок вторая версия пакета CubiCalc фирмы HyperLogic, которая является одной из мощнейших экспертных систем на основе нечеткой логики. Пакет содержит интерактивную оболочку для разработки нечетких экспертных систем и систем управления, а также run-time модуль, позволяющий оформлять созданные пользователем системы в виде отдельных программ.
Кроме HyperLogic среди «патриархов» нечеткой логики можно назвать фирмы IntelligenceWare, InfraLogic, Aptronix. Всего же на мировом рынке представлено более 100 пакетов, которые так или иначе используют нечеткую логику. В трех десятках СУБД реализована функция нечеткого поиска. Собственные программы на основе нечеткой логики анонсировали такие гиганты как IBM, Oracle и другие.
Подобные документы
Понятие и структура интеллектуальной системы. Математическая теория нечетких множеств. Причины распространения системы Fuzzy-управления. Предпосылки для внедрения нечетких систем управления. Принципы построения системы управления на базе нечеткой логики.
реферат [68,3 K], добавлен 31.10.2015Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009Исследование источников неопределенности в управлении сложными процессами. Неточность задания значений входных данных. Определение основных причин неопределенности. Характеристика понятия нечеткого множества. Описания нечетких моделей в принятии решений.
презентация [67,3 K], добавлен 15.10.2013Основы теории продукционных систем: основные понятия и модели. Элементы теории живучести предпринимательства. Вариационные модели продукционных систем. Расчетная часть: компонентная модель продукционной системы и технологическая расчетная таблица.
методичка [100,4 K], добавлен 08.11.2008Линеаризация математической модели регулирования. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели. Исследование устойчивости замкнутой системы управления линейной системы. Определение устойчивости системы управления.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 07.08.2013Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР.
курсовая работа [112,5 K], добавлен 04.02.2011Нечеткие множества. Основные понятия нечеткой логики, необходимые для моделирования процессов мыслительной деятельности человека. База правил. Формы многоугольных функций принадлежности. Гауссова функция. Системы нечеткого вывода в задачах управления.
реферат [844,8 K], добавлен 16.07.2016Сущность экономико-математического моделирования. Понятия и типы моделей. Принцип работы симплекс-метода. Разработка математической модели по формированию производственной программы. Оптимизационные расчеты, связанные с выбором производственной программы.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015Построение уравнения регрессии, учитывающего взаимодействия факторов, проверка полученной модели на адекватность. Построение математической модели и нахождение численных значений параметров этой модели. Вычисление коэффициентов линейной модели.
курсовая работа [1005,0 K], добавлен 07.08.2013Особенности создания непрерывных структурированных моделей. Схема выражения передаточной функции. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений. Структурная схема систем управления с учетом запаздывания в ЭВМ. Расчет непрерывной SS-модели.
курсовая работа [242,6 K], добавлен 16.11.2009
