Экономико-математические методы и модели

Сравнивая рисунок 6.4 с рисунком 6.1, описывающим ситуацию взимания налога с производителей, можно заметить, что распределение налогового бремени между потребителями и производителями происходит так же, как и в предыдущем случае, и опять обратно пропорционально их эластичностям. Таким образом, формальные и фактические плательщики налога не совпадают. Независимо от того, кто является формальным плательщиком налога, фактическим плательщиком оказывается экономический агент с меньшей эластичностью, особенно если эластичности спроса и предложения сильно различаются.

Рассматривая вопрос о влиянии величины налоговой ставки на величину налоговой выручки, можно получить формулу

.

Из этой формулы видно, что налоговая выручка возрастает с увеличением налоговой ставки только до тех пор, пока доля ставки налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей спроса и предложения. Это дает возможность устанавливать высокие ставки налогообложения (существенно превышающие цену товара) на товары, спрос на которые неэластичен (или предложение которых неэластично). Примером этому служат акцизы на винно-водочные и табачные изделия.

Таким образом, эластичность спроса важна при принятии ценовых решений производителями, бизнесменами, владельцами стадионов, кинотеатров и других заведений, разработчиками государственной политики и другими экономическими субъектами.

Вопросы для повторения и контроля

1. Что называется эластичностью функции и чем обосновывается применение ее в экономике?

2. Какие свойства эластичности вы знаете, что такое совершенно эластичная функция и совершенно неэластичная функция?

3. Что вы знаете об эластичности спроса по цене (прямой), что такое эластичный спрос, совершенно эластичный спрос, неэластичный спрос, совершенно неэластичный спрос, спрос с единичной эластичностью?

4. Что вы знаете об эластичности спроса по доходу и о перекрестной эластичности спроса по цене?

5. Что вы знаете о ценовой эластичности ресурсов и об эластичности замещения одного ресурса другим?

6. В чем суть первых двух факторов, определяющих эластичность спроса?

7. В чем суть последних двух факторов, определяющих эластичность спроса?

8. На какие вопросы должно иметь ответы правительство, когда оно вводит те или иные налоги на какие-либо товары, и на кого, на первый взгляд, должно ложиться основное налоговое бремя?

9. Как определяется экономический агент, на которого ляжет основное налоговое бремя, в модели взимания налога, когда налог формально взимается с производителей?

10. Как определяется экономический агент, на которого ляжет основное налоговое бремя, в модели взимания налога, когда налог формально взимается с потребителей?

11. Какова формула, описывающая влияние величины налоговой ставки на величину налоговой выручки, и в чем ее суть?

Тема № 7

Модели потребительского спроса

План :

1. Функция полезности. Задача потребительского выбора.

2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.

3. Общая модель потребительского выбора.

4. Взаимозаменяемость товаров. Эффекты компенсации.

Пусть потребитель располагает доходом , который он полностью тратит на приобретение товаров (продуктов), т.е. величина -- это не доход, а расход данного потребителя. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества товаров, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребителъского выбора.

Рассмотрим потребительские наборы из двух товаров. Потребительский набор (для краткости набор) -- это вектор , координата которого равна количеству единиц первого товара, а координата равна количеству единиц второго товара.

Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор предпочтительнее набора , а набор предпочтительнее набора , то набор предпочтительнее набора .

Функцией полезности потребителя называется функция , определенная на множестве потребительских наборов , значение которой на потребительском наборе равно потребительской оценке потребителя для этого набора. Потребительскую оценку набора принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей потребителя, если он приобретает или потребляет данный набор . Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор предпочтительнее набора , то .

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е.

а) если , то или, другими словами, ;

б) если , то или, другими словами, .

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов: называется предельной полезностью первого продукта, а -- предельной полезностью второго продукта.

2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растёт (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности), т.е.

, .

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта, т.е.

.

В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Данное свойство не столь очевидно, как свойства 1 и 2, и справедливо не для всех товаров: если товары могут полностью замещать друг друга в потреблении, свойство 3 не выполняется.

Примером функции полезности может служить функция

,

где , , , .

Действительно, имеем

, ,

, ,

т.е. выполнены свойства 1 и 2 функции полезности. Свойство 3 не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , где и -- рыночные цены одной единицы соответственно первого и второго продуктов, а -- доход потребителя, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины , и заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

(max)

при условиях

,

, .

Набор , который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Однако если на каком-то потребительском наборе бюджетное ограничение будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор , максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. .

Мы также будем считать, что в оптимальной точке условия , выполняются автоматически, вытекая из свойств функции . Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение этих двух задач одно и то же):

(max)

при условии

.

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

,

находим ее первые частные производные по переменным , , и приравниваем эти частные производные к нулю:

, , .

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными ,

,

,

из которой получим решение задачи потребительского выбора.

Координаты и решения задачи потребительского выбора есть функции параметров , и :

,

.

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инварианты по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода:

,

для любого числа . Это означает, что если все цены и доход изменяется в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй -- безразлично) останется неизменной.

Решим одну простую задачу потребительского выбора с двумя товарами. Пусть неизвестные количества этих товаров равны и , а их рыночные цены -- соответственно и . Рассматриваемая задача имеет вид:

(max) (7.1)

, (7.2)

, . (7.3)

Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба товара жизненно необходимы (полезность равна нулю, если один из них отсутствует), требования неотрицательности переменных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача математического программирования превращается в классическую задачу на условный экстремум. Записав необходимые условия экстремума (согласно которым, отношения предельных полезностей товаров должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений

,

.

Здесь первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количества денег, затрачиваемые на оба товара, должны быть одинаковыми, то есть . Это вытекает из равенства «весов», или показателей степени у переменных и в функции полезности. Итак, и функции спроса приобретают вид

; . (7.4)

Таким образом, расход на каждый товар составляет половину общего дохода потребителя, и, чтобы найти необходимое количество каждого товара, следует разделить расходуемую на него сумму на его цену.

Теперь рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом товаров и целевой функцией общего вида.

Пусть заданы целевая функция полезности потребителя ( -- количество i-го товара), вектор цен и доход . Записав бюджетное ограничение и ограничения на неотрицательность, получаем задачу

(max)

при условиях

,

,

где , , .

Будем, как и ранее, считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа -- равенство нулю частных производных:

для всех (7.5)

и

.

Отсюда вытекает, что для всех i, j в точке локального рыночного равновесия выполняется равенство

 , (7.6)

которое получается после перенесения в правую часть вторых слагаемых в условиях (7.5) и деления i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух товаров равно отношению их рыночных цен. Равенство (7.6) можно переписать и в другой форме:

.

Последнее означает, что дополнительная полезность, приходящая на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам товаров. Если бы это было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции полезности) потребителя. Если бы для некоторых i, j имело бы место , то некоторое количество денег можно было бы перераспределить от i-го товара к j-му, увеличив уровень благосостояния.

Если функция спроса имеет вид , то спрос на i-й товар не зависит от цены на любой j-й товар. Вообще говоря, перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость. Если при росте цены и снижении спроса на i-й товар растет спрос на j-й товар -- эти товары взаимозаменяемы. Наоборот, если спрос на j-й товар также падает, -- они взаимодополняемы.

Заметим, что реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i-го товара: j-й товар может заменять i-й в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для снятия этого искажения используются понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния.

Для формального анализа компенсационных эффектов рассмотрим две задачи.

Сначала решим задачу (7.1) - (7.3) с ценами товаров , и с доходом потребителя . Тогда, согласно формуле (7.4), , и .

Пусть теперь меняется с 2 до 7. Каков необходимый размер компенсации? Чтобы приобрести прежний оптимальный набор, потребителю необходимо дополнительно денежных единиц. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, так как в этом случае , и .

Пусть для поддержания прежнего уровня благосостояния потребитель получает дополнительно денежных единиц. Тогда при новых ценах его спрос на первый и второй товар будет равен соответственно и . Целевая функция будет равна , и это выражение должно равняется начальному . Отсюда , что существенно меньше, чем 75.

Теперь решим задачу (7.1) - (7.3) в более общем виде. Очевидно, что

; ; ; ().

Пусть теперь цена выросла в раз (), и при этом потребитель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обозначим через , а спроса -- и .

Очевидно, что

; ,

а условие компенсации имеет вид

,

Откуда

; ; .

Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в раз (а не раз, как без нее), а спрос на второй товар в раз вырастет. В случае роста цены второго товара ситуация будет полностью симметричной.

Таким образом, при , или при , . Индекс comp означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации снимает «эффект дохода», оставляя лишь «эффект замены», что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости товаров и оценивать эти характеристики.

i-й и j-й товары называются взаимозаменяемыми, если и (эти два условия равносильны), и взаимодополняемыми, если и .

Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда растет в раз. В этом случае приращения имеют вид

; ; .

Отсюда

,

Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости товаров в рассматриваемой задаче.

Вопросы для повторения и контроля

1. Что называется моделью потребительского выбора и что такое потребительский набор?

2. В чем суть выбора потребителя, что называется функцией полезности потребителя и что такое уровень или степень удовлетворения потребностей потребителя?

3. Какими свойствами обладает функция полезности, что называется предельной полезностью продукта, что такое закон убывания предельной полезности?

4. Что такое задача потребительского выбора, бюджетное ограничение, локальное рыночное равновесие потребителя?

5. Какой задачей можно заменить задачу потребительского выбора и почему?

6. Как применяется метод Лагранжа для решения задачи потребительского выбора, что называется функцией спроса, каким важным свойством она обладает?

7. Каковы свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом товаров и целевой функцией общего вида?

8. Что такое компенсированное изменение цены и для чего оно используется?

9. Что вы знаете об эффектах компенсации в задаче потребительского выбора, при каких условиях товары будут взаимозаменяемыми, а при каких -- взаимодополняемыми?

Тема № 8

Производственные модели

План :

1. Производственные функции и их свойства.

2. Изокванты, изоклины и изокосты производственных функций.

3. Функция затрат. Средние и предельные затраты.

эластичность корреляция тренд потребительский

Моделирование всякого экономического производственного процесса, а также производственной технологии любой производственной единицы, независимо от того, будет ли это все народное хозяйство в целом, отрасль материального производства, экономическая территория, производственное объединение или отдельное предприятие, осуществляется на основе закономерностей и распределения материального производства, а также потребления. При достижении этой цели важную роль играют производственные функции.

Производственная функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от показателей-факторов, обусловивших эти результаты. В условиях экономической действительности результат процесса производства определяется действием большого количества различных факторов - технических, экономических, социальных, природных. Все эти факторы учесть в производственной функции невозможно, т.к. одни из факторов не поддаются количественному выражению, а воздействие других практически мало. Поэтому производственная функция включает в себя те факторы, которые оказывают решающее воздействие на изучаемый показатель.

Производственной функцией называется функция

,

независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (факторов производства) (число переменных равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска. Здесь -- вектор параметров производственной функции (ПФ).

Пример 8.1. Возьмем ПФ в виде , где -- величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), -- объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины и -- параметры ПФ , вектор параметров есть двумерный вектор .

Из свойств функции вытекает, что с ростом величины затрачиваемого ресурса объем выпуска растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема и уменьшение прироста объема с ростом величины ) отражает фундаментальное положение экономической теории, называемое законом убывающей эффективности. ПФ является типичным представителем широкого класса однофакторных производственных функций.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип «затраты - выпуск» может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне.

На микроэкономическом уровне в роли производственной системы могут выступать отдельное предприятие (фирма), отрасль, межотраслевой производственный комплекс. Здесь производственные функции строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

На макроэкономическом же уровне в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее хозяйственная система региона или страны). Здесь производственные функции строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Производственные функции подразделяются на статические и динамические. В статических производственных функциях время не учитывается как фактор, изменяющий основные характеристики изучаемой зависимости. Динамические производственные функции включают фактор времени: время может в них рассматриваться как самостоятельная переменная, влияющая на результат; параметры и показатели-факторы могут рассматриваться как функции времени.

Пример 8.2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида , где , , -- параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто и таковы, что ). ПФ только что приведенного вида называется производственной функцией Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

П.Дуглас и Д.Кобб на основе статистических данных построили математическую модель, отражающую связь между выпуском продукции в перерабатывающей промышленности и воздействующим на него капиталом и трудовыми затратами. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. В приложениях ПФКД, где равно объему используемого основного капитала, а -- затратам живого труда, ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

.

Производственные функции обладают рядом свойств, некоторые из которых выполняются не для всех ПФ. Рассмотрим эти свойства для двухфакторной ПФ. ПФ определена для , .

Свойство 8.1. При отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска:

.

Свойство 8.2. С ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет:

.

Свойство 8.3. С ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет:

.

Свойство 8.4. С ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности):

.

Свойство 8.5. При росте затрат одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает:

.

Свойство 8.6. ПФ является однородной функцией степени :

.

При с ростом масштаба производства в раз объем выпуска возрастает в () раз, т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства. При имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства. При имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Множество (линия) уровня () ПФ называется изоквантой производственной функции. Иначе говоря, линия -- это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна .

Различные наборы и затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте (т.е. ), дают один и тот же объем выпуска . Различные изокванты одной и той же ПФ не пересекаются.

Множество точек, принадлежащее семейству изоквант, касательные в которых взаимно параллельны, называется изоклиной производственной функции. Соответствующие параллельные касательные называются изокостами производственной функции.

Вопросы для повторения и контроля

1. Что такое производственная функция и для чего она используется?

2. Что вы знаете об областях использования производственных функций, что такое статические и динамические производственные функции?

3. Что вы знаете о производственной функции Кобба-Дугласа?

4. Какими свойствами обладают производственные функции?

5. Что такое изокванты, изоклины и изокосты производственных функций?

Тема № 9

Задачи оптимизации в экономике

План :

1. Доход, издержки, прибыль, функции спроса

2. Задачи оптимизации на максимум объёма выпуска или на минимум затрат

3. Многокритериальные задачи оптимизации в экономике

4. Оптимальность по Парето

Доходом (выручкой) фирмы в определенном временном периоде (например, в определённом году) называется произведение общего объема выпускаемой фирмой продукции на (рыночную) цену этой продукции.

Издержками фирмы называются общие выплаты фирмы в определённом временном периоде за все виды затрат, где -- объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства), -- рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства) ().

Прибылью фирмы в определённом временном периоде называется разность между полученным фирмой доходом и ее издержками производства. Выражение прибыли фирмы в терминах затрачиваемых (используемых) ресурсов имеет вид

,

где -- производственная функция фирмы, которая выражает общий объем выпускаемой фирмой продукции через объемы затрачиваемых (используемых) ресурсов.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем оптимального распределения затрачиваемых (используемых) ресурсов. Формально задача максимизации прибыли в определённом временном периоде имеет вид:

.

Такая постановка задачи максимизации зависит от того, какой конкретно (долговременный или краткосрочный) временной промежуток предшествует периоду, в котором фирма максимизирует свою прибыль. Без ущерба общности в дальнейшем рассмотрим двухфакторный случай.

Задача максимизации прибыли в случае долговременного промежутка имеет следующий вид:

(9.1)

при условиях

, . (9.2)

В связи с тем, что, как правило, (т.е., если хотя бы один ресурс не затрачивается (не используется), то объем выпускаемой продукции равен нулю), экономически осмысленными являются векторы затрат ресурсов, для которых , . Поэтому в случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли представляет собой обычную задачу на глобальный абсолютный максимум при и .

Известно, что точки глобального абсолютного максимума следует искать только среди точек , которые удовлетворяют системе уравнений

,

Или

, . (9.3)

Вектор затрат ресурсов, который является решением задачи максимизации прибыли (9.1) - (9.2), называется локальным рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка). Для этого вектора путем почленного деления в системе (9.3) первого уравнения на второе получаем соотношение

, (9.4)

т.е. в точке локального рыночного равновесия фирмы отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен на эти ресурсы.

Поскольку и получаются в виде решения системы уравнений (9.3), то они являются функциями цен , т.е.

, . (9.5)

Эти выражения называются функциями спроса на ресурсы (затраты). Их значения и выражают оптимальные выборы затрат (использования) ресурсов как функции цены выпускаемой продукции и цен на ресурсы.

Подставив функции (9.5) в производственную функцию , получим выражение

,

которое называется функцией предложения выпуска.

В случае краткосрочного промежутка фирма должна учитывать неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых (используемых) ею ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелинейного, вообще говоря, неравенства

.

Следовательно, задача максимизации прибыли для краткосрочного промежутка имеет вид задачи математического программирования:

при условиях

,

, .

Рассмотрим задачу максимизации объема выпускаемой продукции при ограничении затрат на приобретение ресурсов (факторов):

(9.6)

при условиях

, (9.7)

, . (9.8)

Так как решение этой задачи обращает ограничение (9.7) в равенство, то вместо нее можно рассмотреть более простую задачу на условный экстремум:

при условиях

,

, .

Поскольку сумма равна издержкам производства, то целесообразно заменить на и формально перейти к задаче максимизации объема выпускаемой продукции при фиксированных издержках производства :

(9.9)

при условиях

, (9.10)

, . (9.11)

Решим задачу (9.9) - (9.11) с помощью функции Лагранжа

.

Для функции Лагранжа выписываем систему уравнений

, ,

или в развернутом виде

, , . (9.12)

Критическая точка функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (9.12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) , т.е. точка , и есть решение задачи (9.9) - (9.11) максимизации выпуска при данных фиксированных издержках производства . Подставив точку в первые два уравнения системы (9.12), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим выражение (9.4).

Обычная (однокритериальная) задача оптимизации состоит в нахождении такого , которое доставляет экстремальное значение функции . Здесь -- область допустимых решений, отражает зависимость единственного критерия оптимальности от принимаемого решения . Роль лица, принимающего решения (ЛПР), состоит в задании условий, определяющих множество , и в описании целевой функции .

В задачах многокритериальной оптимизации ситуация другая -- имеется несколько целевых функций , ... , , которые могут достигать своих максимальных значений в различных точках области допустимых решений. В этом случае ЛПР должно не только описать допустимую область , задать целевые функции, но и указать принцип окончательного решения. Поэтому в решении многокритериальных задач роль субъективного фактора, роль знаний и интуиции ЛПР возрастает по сравнению с однокритериальными задачами.

Вопросы для повторения и контроля

12. Что такое доход (выручка), издержки и прибыль фирмы?

13. Как выглядит задача максимизации прибыли в случае долговременного промежутка, как она решается, какой вид имеет задача максимизации прибыли для краткосрочного промежутка?

14. Что называется локальным рыночным равновесием фирмы, какое для нее соотношение имеет место, что такое функции спроса на ресурсы (затраты) и функция предложения выпуска?

15. Что вы знаете о задаче максимизации объема выпускаемой продукции при ограничении затрат на приобретение ресурсов (факторов)?

16. Как решается задача максимизации объема выпускаемой продукции при фиксированных издержках производства?

17. Что такое однокритериальная и многокритериальная задачи оптимизации?

Список литературы

1. Ѓофуров М., Холмуродов М., Ћусанов Ќ. Иќтисодий-математик усуллар ва моделлар. - Т.: MEDIA LAND, 2001.

2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

3. Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 2001.

4. Каршупова Н.И., Плясунова B.C. Математика в экономике. - М.: Вита-Пресс, 1996.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика в экономике. Математические методы и модели. - М.: Дело, 2006.

6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели. - СПб.: Питер, 2006.

7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

8. Малыхин В.И. Математика в экономике. - М.: ИНФРА-М, 2002.

9. Райцкас Р.Л. и др. Количественный анализ в экономике. - М.: Мир, 1992.

10. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для вузов. - М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.

11. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2002.

12. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. - М.: ЮНИТИ, 2000.

13. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решения. - М.: Аудит, 1997.

14. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие для вузов. / Под ред. С.И. Макарова, А.П. Сизикова, Б.П. Чупрынова. Самара: Изд-во Самарской государственной экономической академии, 2004.

15. Экономико-математические методы и прикладные модели. / Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 1999.

16. Юдин Л.В. и др. Экстремальные модели в экономике. - М.: Экономика, 1993.

17. Размещено на Allbest.ru