Моделирование и оптимизация автомобильных дорог

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Моделирование и оптимизация автомобильных дорог»

Исходные данные:

Вариант 8

1. учебная сеть дорог;

2. координаты предприятий поставщиков и потребителей;

3. запасы продукции у предприятий поставщиков;

4. потребность в продукции у предприятий и потребителей;

5. ресурс рабочего времени оборудования;

6. необходимые поставок продукции;

7. удельные затраты времени на производство продукции;

8. объем инвестиций предприятиям;

9. прибыли предприятий.

Содержание курсового проекта:

1. оптимизировать дорожную сеть;

2. составить оптимальную схему перевозок;

3.оптимизировать распределение продукции, используя алгоритм "транспортная задача";

4. оптимизировать распределение продукции, используя Ехсеl;

5. произвести сравнительный анализ решения по алгоритму "транспортная задача" и в Ехсеl;

6. оптимизировать инвестирование предприятий, использую динамическое программирование и пакет прикладных программ;

7. оптимизировать производственную программу предприятия и объединения, используя симплекс метод и программы.

Курсовой проект представляется:

1. Пояснительная записка с необходимыми расчетами и схемами;

2. Обоснование принимаемых проектных решений.

ВВЕДЕНИЕ

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств, и для которых методы математического анализа оказывается непригодными.

Задача ЛП в стандартной форме имеет следующий вид:

W = с_1*х_{1 +} с_2*х_{2 + … +} с_n*х_n > min (max)

где х₁, х₂ и х_п - переменные величины;

с₁, с₂ и с_п - коэффициенты.

Условия функционирования объекта (ограничения) в задачах линейного программирования должны относиться к одному из следующих типов:

d_1*х_{1 +} d_2*х_{2 + … +} d_n*х_{n =} d₀

е_1*х_{1 +} е_2*х_{2 + … +} е_n*х_{n ?} е_o

f_1* х_{1 +} f_2* х_{2 + … +} f_n* х_{n ?} f₀

где d_п, е_п, - коэффициенты;

d_o, е_o, f_o - постоянные величины.

В предлагаемых методических указаниях решение задач начинается с составления математической модели процесса, описанного в задаче, и анализа модели с целью выбора наиболее эффективного способа оптимизации. Для решения оптимальных задач использован пакет программ статического программирования "Statgraphic".

Процесс динамического программирования проводится от конца к началу. Первым планируется последний этап. При этом предполагаются различные варианты завершения предыдущего этапа, и для всех этих вариантов находят такое решение, при котором эффект на последнем этапе будет наибольшим. Такое решение будет условно оптимальным. Аналогично находятся услoвно оптимальное решение на последующих этапах.

Таким образом, задача поиска условного максимума функции многих переменных сводится к нескольким задачам поиска максимума функции двух переменных. Далее процесс происходит в обратном порядке (от начала к концу). В результате чего, находятся оптимальные уравнения на каждом шаге и, таким образом, оптимизируется весь процесс.

1. ОПТИМИЗАЦИЯ ДОРОЖНОЙ СЕТИ

1.1 Исходные данные

Необходимо найти кратчайшее расстояние между двумя пунктами А и K, для перевозки грузов с минимальными затратами. Между этими пунктами находится 10 пунктов: 3 внутри, 5 внизу, 2 наверху.

1.2 Нахождение кратчайшего пути с использованием динамического программирования

Для решения рода многошаговых задач разработан соответствующий математический аппарат, который получил название динамическое программирование.

Метод динамического программирования был предложен и развит Р. Беллманом и его учениками в начале 50-х годов и состоит в нахождении оптимума целевой функции при ограничении общего вида на варьируемые параметры.

Характерным для динамического программирования является то, что переменные рассматриваются не вместе, а последовательно - одна за другой. При этом вычислительная схема строится таким образом, чтобы вместо одной задачи с n переменными решалась серия задач с небольшим числом, а чаще всего с одной переменной. Сам же вычислительный процесс производится на основе метода последовательных приближений в два этапа:

· от последнего шага к первому;

· от первого шага к последнему или же, наоборот, в зависимости от исходных данных.

На первом этапе ищется так называемое условное оптимальное решение. Оно выбирается так, чтобы все предыдущие шаги обеспечили максимальную эффективность последующего. Основу такого подхода составляет принцип оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: нельзя получить оптимальное значение целевой функции i-шагового процесса, если для любого ui, выбранного на шаге I, значение целевой функции для оставшихся i-1 шагов не является оптимальным.

Такой процесс продолжается до тех пор, пока решение не потеряет свой условный характер, т.е. до первого шага или последнего. Для последнего шага решение однозначно оптимально. Поэтому второй этап начинают именно с этого шага и последовательно переходят от условных к оптимальным решениям, тем самым обеспечивая оптимальность операции в целом.

Процесс поиска начинается с последовательно пройденных этапов.

1 этап - Попадание в точку K одним способом - J, L, I.

2 этап - 3-мя способами - G, E, C.

3 этап - 4-мя способами - B, H.

4 этап - 10-тью способами - F, D.

5 этап - 15-тью способами - А.

Далее ищем оптимальные варианты.

Для данной дорожной сети найдено кратчайшее расстояние между двумя пунктами А и K (A - C - E - G - L - K) = 91.8 ед. Необходимо отметить, что оптимизация дорожной сети в «ручную» при большом объёме данных является долгим и трудоёмким процессом.

1.3 Решение с использованием ПК

В соответствующие графы вводят начало, конец и длину участков.

В столбец «Вход»(H2) вводят формулу:

=СУММЕСЛИ($C$2:$C$20;G2;$A$2:$A$20) и копируют на весь столбец.

В столбец «Выход»(I2): =СУММЕСЛИ($B$2:$B$20;G2;$A$2:$A$20)

В клетку B21 вводят формулу: =СУММПРОИЗВ(A2:A20;D2:D20)

Далее воспользуемся функцией «Поиск Решения»

Целевая функция: B21 -> min.

Изменяемые ячейки: A2-A20

Ограничения: Столбец J K ; $J$2:$J$13 $K$2:$K$13.

1.4 Выводы

Не смотря на то что в ходе решения задачи 2-мя способами кратчайшее расстояние получилось одинаковым, решение этой задачи на ПК значительно облегчает задачу. Особенно в условиях большого количества исходных данных, и сложности сети дорог.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ

2.1 Исходные данные

Предприятие выпускает три вида продукции: П₁, П₂ , П₃, при изготовлении которой используется оборудование трех типов О₁, О₂, О₃. Нормы времени работы каждого типа оборудования при изготовлении продукции П1, П2, Пз приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вид продукции	Тип оборудования
	О1	О2	О3
П1	0,22	0,17	0,25
П2	0,21	0,15	0,20
П3	0,31	0,12	0,15

В соответствие с производственным заданием продукции П₁ должно быть произведено не менее n₁=151 ед., П₂ - не менее n₂=201 ед., П₃ - не менее n₃=401 ед. За изготовление единицы продукции П₁, П₂, П₃ предприятие получает прибыль соответственно k₁=9, k₂=8, k₃=10 тыс. руб. Ресурс рабочего времени оборудования О₁ , О₂ , О₃ соответственно t₁=251, t₂=301, t₃=321.

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида, при котором план по каждому виду продукции выполнен, ресурсы времени по всем типам оборудования не превышены, а прибыль от реализации продукции, максимальна.

2.2 Составление математической модели

Обозначим через x₁ - количество единиц продукции П₁ , x₂ - П₂, x₃ - П₃. Тогда требование выполнения производственного задания можно записать в виде неравенств:

х₁ ? 151 х₂? 201 х₃> 401 (1.1)

Найдем выражения для определения длительности работы каждого типа оборудования.

Оборудование О₁ на изготовление продукции П₁ затрачивает 0,22ч., на П₂ - 0,21 ч., на П₃ - 0,31 ч.

Перемножая эти цифры на соответствующие им объемы продукции видов П1, П2 и П3 получим общую продолжительность работы оборудования О₁:

Т₁ = 0,22* х₁ + 0,21*х₂ + 0,31*х₃ (1.2)

По аналогии для оборудования О₂ и О₃ получим следующие выражения:

Т₂ = 0,17* х₁ + 0,15*х₂ + 0,12*х₃ (1.3)

Т₃ = 0,25*х₁ + 0,20*х₂ + 0,15* х₃ (1.4)

Так как известен ресурс рабочего времени каждого типа оборудования, то необходимо записать:

T₁ ? 251 ; T₂ ? 301; T₃ ? 321 (1.5)

Критерием оптимальности в данной задаче является прибыль, полученная от реализации продукции. Прибыль от реализации продукции П₁ составит 9* х₁; прибыль от П₂ составит 8* х₂; прибыль от П₃ составит 10* х₃. Поэтому целевая функция задачи имеет вид:

W' = 9* х₁ + 8* х₂ + 10* х₃ > max (1.6)

Таким образом, математическая модель данной задачи состоит из целевой функции (1.6) и ограничений (1.1) и (1.5), которые являются линейными функциями.

2.3 Решение задачи симплекс-методом

Математическая модель задачи имеет вид:

W' = 9* х₁ + 8* х₂ + 10* х₃ > max

251 - 0,22* х₁ - 0,21*х₂ - 0,31*х₃ ? 0

301 - 0,17* х₁ - 0,15*х₂ - 0,12*х₃ ? 0

321 - 0,25*х₁ - 0,20*х₂ - 0,15* х₃ ? 0

Для упрощения расчетов ограничения (1.1) заменяем условием неотрицательных переменных: х₁ ? 0; х₂ ? 0; х₃ ? 0.

Перейдем к минимизации целевой функции W', изменив знаки всех ее коэффициентов на противоположные, и к ограничениям в виде равенств, введя дополнительные переменные:

W = -9* х₁ - 8* х₂ - 10* х₃ > min

y₁ = 251 - 0,22* х₁ - 0,21*х₂ - 0,31*х₃;

y₂ = 301 - 0,17* х₁ - 0,15*х₂ - 0,12*х₃;

y₃ = 321 - 0,25*х₁ - 0,20*х₂ - 0,15* х₃;

где х_1, х_2, х_3, y_1, y_2, y₃ - неотрицательны.

Сведем к задаче линейного программирования:

W = 0 - (9* х₁ + 8* х₂ + 10* х₃) (1.7)

y₁ = 251 - (0,22* х₁ + 0,21*х₂ + 0,31*х₃);

y₂ = 301 - (0,17* х₁ + 0,15*х₂ + 0,12*х₃) (1.8)

y₃ = 321- (0,25*х₁ + 0,20*х₂ + 0,15* х₃);

Составим таблицу, состоящую из коэффициентов целевой функции (1.7) и системы ограничений (1.8).

Таблица 2

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		х1	х2	х3
y1	251	0,22	0,21	0,31
y2	301	0,17	0,15	0,12
y3	321	0,25	0,20	0,15
W	0	9	8	10

В качестве разрешающего столбца выбираем х₂. В столбце найдем разрешающий элемент путем сравнения соотношений 251/0,21; 301/0,15; 321/0,20.

Наименьшее из соотношений (251/0,21 = 1195) будет определять разрешающий элемент. Им будет элемент 0,21 находящийся на пересечении столбца х₂ и строки y₁. Этот элемент обводится.

Затем вычисляем обратную величину разрешающего элемента ? = 1/0,21 = 4,76 и записывают её в нижней части той же ячейки, в которой находится разрешающий элемент. Все элементы разрешающей строки умножаем на ?. Затем все элементы разрешающей графы умножают на (-?), результаты записываются в нижней части соответствующих ячеек.

Подчеркивают в разрешающей строке все верхние числа (251, 0,22, 0,31), а в разрешающей графе - все нижние числа (-0,72, -0.95, -38.10) за исключением ?. Для каждого из элементов, не принадлежащих ни к разрешающей строке, ни к разрешающей графе, записывают в нижней части соответствующей ячейки произведения подчеркнутых чисел, стоящих в той же строке и в той же графе, что и данный элемент.

Таблица 3

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		х1	x2	х3
Y1	251 1195	0,22 1,05	0,21 4,76	0,31 1,48
Y2	301 -180,72	0,17 -0,16	0,15 -0,72	0,12 -0,22
Y3	321 -238,45	0,25 -0,21	0,20 -0,95	0,15 -0,30
W	0 -9563,1	9 -8,38	8 -38,10	10 -11,81

Переписываем таблицу, поменяв местами свободную переменную х₂ и базисную Y₁, а элементы разрешающей строки и разрешающей графы меняют на числа, стоящие в нижних частях соответствующих ячеек, каждый из остальных элементов - на сумму чисел, стоящих в верхней и нижних частях той же ячейки.

Так как в строке W есть положительный элемент 0,619, то оптимальное решение еще не получено и решение продолжается в вышеизложенной последовательности, начиная с отыскания разрешающего элемента, разрешающим элементом будет 1,05, обмениваемые переменные x1 и x2. Промежуточные расчеты приведены в таблице 4.

Таблица 4

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		x1	y1	х3
X2	1195 1135	1,05 0.95	4,76 4.52	1,48 1.41
Y2	120,28 -10.75	0,01 -0.009	-0.72 -0.043	-0.1 -0,013
Y3	82,55 -45.41	0,04 -0.038	-0.95 -0,18	-0.15 -0,056
W	-9563,1 -705	0,62 -0.59	-38.10 -2.80	-1.81 -0.873

Заключительная таблица имеет вид:

Таблица 5

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		Х2	Y1	х3
X1	1135	0,95	4,52	1,41
y2	109,53	-0,009	-0,76	-0,11
y3	37,14	-0,038	-1,13	-0,206
W	-10268	-0,59	-40,9	-2,68

Так как в строке W все элементы отрицательны, то оптимальное решение получено и имеет вид: x₂ = y₁ = х₃ = 0, х₁ = 1135

Значение целевой функции определим подстановкой найденных значений переменных в выражение (1.6):

W' = 9* 1135 + 8*0 + 10* 0 = 10215 рублей.

Полученное значение 10215 тыс. рублей есть максимальная величина прибыли, которую получит предприятие, если будет выпускать продукцию П1, при условии не превышения ресурсов времени по всем типам оборудования.

2.4 Решение задачи с использованием ПК

Для решения задачи используем программу «Excel».

В качестве управляемых переменных принимаем объем выпуска продукции каждым предприятием - х₁(А1); х₂(В1) ; х₃(С1).

В пустые ячейки (А1, В1, С1) заносим три нуля.

В пустую ячейку (Е4) записываем целевую функцию W=9* х₁ + 8*х₂ + 10*х_{3 .}

Ряд ограничений: (E1) 0,22* х₁ + 0,21*х₂ + 0,31*х3,

(E2) 0,17* х₁ + 0,15*х₂ + 0,12*х₃,

(E3) 0,25*х₁ + 0,20*х₂ + 0,15* х₃ .

	A	B	C	D	E
	Управляемые переменные
	х1	х2	х3
1	0	0	0		=0,22* А1 + 0,21*В1 + 0,31*С1
2					=0,17* А1 + 0,15*В1 + 0,12*С1
3					=0,25*А1 + 0,20*В1 + 0,15*С1
4					=9* А1 + 8*В1+ 10*С1

Далее поиск решения.

Устанавливаем целевую ячейку:

E4 и приравниваем её к максимальному значению.

Изменяемые ячейки: A1, B1, C1.

Ограничения: E1 ? 0; E2 ? 0; E3 ? 0;

E1 ? 251; E2 ? 301; E3 ? 321.

А1 ? 151; B2 ? 201; C3 ? 401.

Вывод данных:

	A	B	C	D	E
	Управляемые переменные
	х1	х2	х3
1	384	201	401		251
2					143.55
3					196.35
4					9074

Получаем х₁ = 384; х₂ = 201; х₃ = 401. Прибыль составила W = 9074

Вывод: Полученные значения прибыли в обоих случаях различаются. Решение задачи на ПК позволяет не только облегчить задачу, но и получить более точные результаты.

перевозка программирование динамический

3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК

3.1 Исходные данные

Имеется 3 пункта, производящих некоторую продукцию. Затраты на производство единицы продукции в i-ом пункте равна ai, а максимально возможный объем её выпуска составляет bi единиц в год, i = 1,2,3. Изготовляемая продукция должна быть распределена между потребителями. Доставка единицы продукции от i-го пункта производства к j-му потребителю обходится в cij руб., j = 1,2..n. Потребитель в продукции для i-го потребителя составляет dj единиц в год. Требуется составить схему перевозок так, чтобы годовые затраты на производство и перевозку были минимальны.

с₁₁ = 4, с₁₂ =10, с₁₃ =8,

с₂₁ = 5, с₂₂ =4, с₂₃ =4,

с₃₁ = 5, с₃₂ =10, с₃₃ =7,

а₁ = 11, а₂ = 11, а₃ = 3,

3.2 Составление математической модели

Обозначим через yi искомый объем выпуска продукции в i-ом пункте, а через xij - объем перевозок от i-го пункта к j-му потребителю. Ограничения на объемы производства продукции будут иметь вид:

y_i ? b_i, (i=1,2..m) (3.1)

Условие вывозки всей продукции запишется в виде:

 (3.2)

Удовлетворение заявки каждого потребителя представим выражением:

(3.3)

Условие не отрицательности объемов производств е перевозок запишется в виде неравенств:

y_i ? 0; x_ij ? 0; (i=1,2..m; j=1,2…n) (3.4)

Требования минимизации суммарных затрат на производство и перевозку реализуются целевой функцией вида:

> min. (3.5)

Если в ограничениях и целевой функции этой модели заменить y_i на

то модель открытой транспортной задачи имеет вид:

(3.6)

 (3.7)

x_ij ? 0; (i=1,2..n) (3.8)

> min (3.9)

3.3 Оптимизация математической модели

Для оптимизации полученной модели сведем исходные данные в таблицу 6 и введем следующие обозначения:

В1, В2, В3 - данные поставщика с запасами груза b₁, b₂, b₃;

D1, D2, D3 - данные потребителя с объемами заявок d₁, d₂, d₃.

Таблица 6

Поставщик	Потребитель
Обозначение	Запас	D1	D2	D3
В1	b1 = 50	4	10	8
В2	b2 = 101	5	4	4
В3	b3 = 13	5	10	7
Потребность в грузе	d1 = 42	d2 = 71	d3 = 52

В верхнем правом углу клеток занесены стоимости перевозок i-го поставщика к j-му потребителю.

Сравнивая запасы груза

с суммарным объемом заявок потребителей



убеждаемся, что это открытая транспортная задача (запасы груза у поставщика не равны потребностям в грузе потребителя). С избытком объема заявок

В этом случае заявки выполняются не полностью, поэтому равенство (3.7) заменяется неравенством

Открытая транспортная задача сводится к закрытой введением (m+1)-го фиксированного поставщика с запасом груза равным:

Тогда имеем: b₄= 165-164=1 единица.

Себестоимость перевозок от фиктивного поставщика к любому потребителю принимаем равной нулю, после этого получаем таблицу 7, в которой методом наименьшего элемента находим опорное решение задачи.

Таблица 7

Поставщик	Потребитель
Обозначение	Запас	D1	D2	D3
В1	b1 = 50	4 42	10	8 8
В2	b2 = 101	5	4 71	4 30
В3	b3 = 13	5	10	7 13
B4	b4 =1	0	0	0 1
Потребность в грузе	d1 = 42	d2 = 71	d3 = 52

Опорное решение проверяется на выраженность по формуле:

N=m+n-1

Где: N- количество клеток таблицы, занятых объемами грузов;

m- количество поставщиков;

n- количество потребителей.

N=4+3-1=6. Так как количество клеток в таблице 7 именно 6, то найденное опорное решение можно принять к рассмотрению.

Значение целевой функции будет иметь вид:

W = 42*(4+11) + 8*(8+11) +71*(4+11) +30(4+11) +13*(7+3)+1(0+0) = 2427

Оптимальное решение задачи находится методом потенциалов: каждому поставщику Bi ставятся в соответствие некоторая переменная Ui, называемая потенциалом данного поставщика. Каждому потребителю Dj ставятся в соответствие переменная Vj - потенциал этого потребителя.

Для отыскания значений этих переменных, т.е. потенциалов поставщиков и потребителей, составляется и решается система уравнений, каждой занятой объемами перевозок клетке соответствует уравнение вида:

Ui + Vj = Cij (3.11)

где Cij - себестоимость перевозок единицы груза.

Для рассматриваемой задачи система уравнений будет иметь вид:

U1+ V1 = 4;

U1+ V3= 8;

U2+ V2 = 4;

U2+ V3 = 4;

U3+ V3 = 7;

U4+ V3 = 0;

Принимаем чаще всего встречающееся значение потенциала, равное V3 =0, получим

U1 = 8; U2 = 4; U3 = 7; V1 = -4; V2 = 0; V3 = 0; U₄=0.

Таблицу 8 с учетом найденных потенциалов запишем в следующем виде:

Таблица 8

Поставщик	Потребитель
Обозначение	Запас	D1	D2	D3
В1	U1 = 8	4 42	10 8	8 8
В2	U2 = 4	5 0	4 71	4 30
В3	U3 = 7	5 3	10 7	7 13
B4	U4 =0	0 -4	0 0	0 1
Потребность в грузе	V1 = -4	V2 = 0	V3 = 0

Для каждой свободной клетки вычислим сумму потенциалов поставщика и потребителя. Обозначим ее Z_RS для R-го поставщика и S-го потребителя

Z_RS = UR + VS

Определим для свободных от грузоперевозок клеток разность (?_RS) себестоимости и величины ZRS:

?_RS = Cij - ZRS

Отсюда:

?12 = 10-8 = 2;

?21 = 5-0 = 5;

?31 = 5-3 = 2;

?32 = 10-7 = 3;

?41 = 0-(-4) = 4;

?42 = 0-0 = 0.

Для всех свободных членов получены положительные разности. Следовательно, данное решение является оптимальным, и целевая функция имеет вид:

W = 42*(4+11) + 8*(8+11) +71*(4+11) +30(4+11) +13*(7+3)+1(0+0) = 2427

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что для минимизации затрат на производство и доставку продукции целесообразно разместить производство продукции следующим образом: в пункте В1 объемом 50 единиц для удовлетворения нужд потребителей - D1 (42 ед.), D3(8 ед); в пункте В2 объемом 101 единиц - D2 (71 ед.), D3 (30 ед.); в пункте В3 объемом 13 единиц - D3 (13 ед.),в пункте D4 объемом 1 единица - D3(1ед). При этом, учитывая, что суммарный объем выпускаемой продукции на предприятиях В1, В2, В3 равно суммарному объему потребности в продукции потребителей D1, D2, D3.

“Ручной” способ решения подобных задач является трудоемкой операцией, поэтому целесообразно использование компьютерных программ; применение программы “Statgraphics” для этих целей рассмотрим в следующем разделе.

3.4 Оптимизация математической модели с использованием ПК

Для решения задачи, используем программы «Excel», для этого целевая функция задачи, в соответствии с выражением (3.9), записывается следующим образом:

W=x1*(4+11)+x2*(10+11)+x3*(8+11)+x4*(5+11)+x5*(4+11)+x6*(4+11)+x7*(5+3)+x8*(10+3)+x9*(7+3)+x10*0+x11*0+x12*0> min.

где x₁ … x₃ - объемы перевозок от предприятия В1 потребителям D1, D2,D3;

x₄ … x₆ - объемы перевозок от предприятия В2 потребителям D1, D2,D3;

x₇ … x₉ - объемы перевозок от предприятия В3 потребителям D1, D2,D3;

x₁₀ … x₁₂ - объемы перевозок от предприятия В4 потребителям D1, D2,D3;

Записываем в программу:

Управляемые переменные, их 12. В ячейки A1(x₁), A2(x₄), A3(x₇), A4(x₁₀), B1(x₂), B2(x₅), B3(x₈), B4(x₁₁), C1(x₃), C2(x₆), C3(x₉), C4(x₁₂) записываем нули.

В ячейку Е1 записываем целевую функцию

W=A1*(4+11)+B1*(10+11)+C1*(8+11)+A2*(5+11)+B2*(4+11)+C2*(4+11)+A3*(5+3)+B3*(10+3)+C3*(7+3)+A4*0+B4*0+C4*0> min

	А	В	С	Д	Е
	Управляемые переменные
1	0	0	0		A1*(4+11)+B1*(10+11)+C1*(8+11)+A2*(5+11)+B2*(4+11)+C2*(4+11)+A3*(5+3)+B3*(10+3)+C3*(7+3)+A4*0+B4*0+C4*0
2	0	0	0		= А1 + А2 + А3+A4
3	0	0	0		= В1 + В2 + В3+ B4
4	0	0	0		= С1 + С2 + С3+ C4
5					= А1 + В1 + С1
6					= А2 + В2 + С2
7					= А3 + В3 + С3
8					= А4 + В4 + С4

Далее поиск решения:

Устанавливаем целевую ячейку E1 и приравниваем её к максимальному значению.

Изменяемые ячейки: A1, А2, А3,A4, B1, В2, В3,B4, C1, С2, С3,C4.

Ограничения: А1 ? 0, А2 ? 0, А3 ? 0, A4 ? 0, В1 ? 0, В2 ? 0, В3 ? 0, В4 ? 0, С1 ? 0, С2 ? 0, С3 ? 0, C4 ? 0.

Е2 = 42;Е3 = 71; Е4 = 52; Е5 = 50; Е6 = 101; Е7 = 13.

Вывод данных:

	А	В	С	Д	Е
	Управляемые переменные
1	42.00	0.00	8.00		2427
2	0.00	70.00	31.00		42
3	0.00	0.00	13.00		71
4	0.00	0.00	0.00		52
5					50
6					101
7					13
					1

Получаем х₁ = 4.00; х₂ = 0; х₃ = 8; х₄ = 0; х₅ = 70.00; х₆ =31; х₇ =0; х₈ =0; х₉ =13; х₁₀ =0; х₁₁ =0; х₁₂ =1.

Минимальные годовые затраты на производство и перевозку W = 2427.

Вывод

Сравнивая годовые затраты на производство и перевозку с помощью оптимизации математической модели аналитическим методом W = 2427, и оптимизацию модели с использованием ПК W = 2427. Значения можно считать равными. Ручной” способ решения подобных задач является трудоемкой операцией, поэтому целесообразно использование компьютерных программ.

4. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ

4.1 Исходные данные

В состав объединения входят 4 предприятия. Сумма инвестиций для этих предприятий составляет 50 тыс. руб. Необходимо распределить их между предприятиями так, чтобы прибыль была максимальна. Кратность инвестиций равна 10.

Таблица 9

И	П1	П2	П3	П4
0	0	0	0	0
10	2	3	4	1
20	5	6	5	4
30	7	8	7	5
40	10	11	15	7
50	14	15	16	11

Цель задачи: Чтобы суммарная прибыль была максимальной.

4.2 Оптимизация инвестиций

Введем следующие обозначения:

Хi - остаточные средства на начало i - го этапа;

Ui - кол-во средств, которые решено выделить i - предприятию;

Пi - прибыль, получаемая этим предприятием.

Таблица 10

Хi	i = 4	i = 3	i = 2
	U4	П4	U3	П'у3	U2	П'у2
10	10	1	10	4	0	4
20	20	4	10	5	10	7
30	30	5	10	8	20	10
40	40	7	40	12	20	13
50	50	11	50	16	0	16

Первые три колонки мы уже можем заполнить. Для заполнения других столбцов необходимо сделать промежуточные расчеты. Результаты приведены в таблице 11.

Таблица 11

	i = 3	i = 2	i = 1
	Ui	Ui+1	П3	П4	Пу3	П2	Пу3	Пу2	П1	Пу2	Пу1
10	0	10	0	1	1	0	4	4
	10	0	4	0	4	3	0	3
20	0	20	0	4	4	0	5	5
	10	10	4	1	5	3	4	7
	20	0	5	0	5	6	0	6
30	0	30	0	5	5	0	8	8
	10	20	4	4	8	3	5	8
	20	10	5	1	6	6	4	10
	30	0	7	0	7	8	0	8
40	0	40	0	7	7	0	12	12
	10	30	4	5	9	3	8	11
	20	20	5	4	9	8	5	13
	30	10	7	1	8	8	4	12
	40	0	12	0	12	11	0	11
50	0	50	0	11	11	0	16	16	0	16	16
	10	40	4	7	11	3	12	15	2	13	15
	20	30	5	5	10	6	8	14	5	10	15
	30	20	7	4	11	8	5	13	7	7	14
	40	10	12	1	13	11	4	15	10	4	14
	50	0	16	0	16	15	0	15	14	0	14

Для каждого уровня инвестиций находим максимальные значения прибыли и их записываем в таблицу 10.

Находим инвестиции:

U1 = 50 тыс. руб., прибыль составляет 16 единиц;

50 - 50 = 0 - остаток

При распределении инвестиций наиболее оптимальная прибыль, которую получат все 4 предприятия составит 16 единицы.

4.3 Решение задачи с использованием ПК

Используем программу “Excel”.

При помощи «Анализа данных» с использованием инструмента «Регрессия»

Заполняем ячейки управляемыми переменными и задаем условия. Первоначально задаем, что x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 0; - записываем их в пустые ячейки.

Далее находим коэффициенты регрессии:

Для П1: 2,2 + x₁ *3,6

	Коэффициенты
Y-пересечение	2,2
Переменная X 1	3,6

Для П2: 0,352 + x₂ *3,44

	Коэффициенты
Y-пересечение	0,352
Переменная X 1	3,44

Для П3: 1,77 + x₃ *3,17

	Коэффициенты
Y-пересечение	1,77
Переменная X 1	3,17

Для П4: 3,77 + x₄ *4.55

	Коэффициенты
Y-пересечение	3,77
Переменная X 1	4,55

Целевая функция: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ > max

Ограничения:

(2,2+ x₁ *3,6) + (0,352 + x₂ *3,44) + ( 1,77 + x₃ *3,17)+ (3,77+ x₄ *4,55) ? 50

x₁ ? 0; x₂ ? 0; x₃ ? 0; x₄ ? 0; - целые.

Далее поиск решения: Максимальная прибыль составила 13 единиц.

Что не 3 единицы меньше, чем при аналитическом методе.

4.4 Анализ параметров на их принадлежность к нормальному закону распределения

Для анализа используем программу Excel. Критериями принадлежности к нормальному закону являются:

- Среднеарифметическое значение - находит среднее арифметическое значение;

- Медиана -- это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана, значение ряда, чаще всего встречающееся;

- Мода - возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных. Как и функция, МЕДИАНА, функция МОДА является мерой взаимного расположения значений;

- Стандартное отклонение - оценивает стандартное отклонение по выборке. Стандартное отклонение -- это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего;

- Скос - возвращает асимметрию распределения. Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений;

- Эксцесс - возвращает эксцесс множества данных. Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение;

- Коэффициент вариации, характеризует неоднородность выборки;

- Макс. - возвращает наибольшее значение из набора значений;

- Мин. - возвращает наименьшее значение в списке аргументов.

Критерии принадлежности к нормальному закону:

1) Медиана и мода должны быть близки по значению;

2) Среднеарифметическое значение примерно по середине между max и min;

3) Коэффициент вариации должен быть в диапазоне 0,08-0,4;

4) Эксцесс не должны превышать двух.

Таблица 12

	Инвестиции	П1	П2	П3	П4
	0	0	0	0	0
	10	2	3	4	1
	20	5	6	5	4
	30	7	8	7	5
	40	10	11	12	7
	50	14	15	16	11
Среднее значение	25	6,33	7,17	7,33	4,66
Макс	50	14	15	16	11
Мин	0	0	0	0	0
Медиана	25	6	7	6	4,5
Мода	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Стандартное отклонение	17,08	4,71	4,95	5,28	3,68
Скос	0,00	0,35	0,18	0,48	0,53
Эксцесс	-1,20	-0,73	-0,63	-0,52	-0,18
Коэф. вариации	0,68	0,74	0,69	0,72	0,79
Корреляция	0,99	0,99	0,98	0,98	0,98

По двум критериям условие принадлежности параметров к нормальному закону распределения выполняется.

Можно сказать, что параметры близки к нормальному закону распределения

Вывод

Метод решения «Вручную» дал лучший результат, нежели метод с помощью ПК, но при больших объемах данных решать задачу вручную затруднительно.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моделирование и оптимизация лесопромышленных процессов. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ для студентов. Петрозаводск 1999 г.

2. Принятие оптимальных решений. Теория и применение в лесном комплексе. В.Н. Андреев, Ю. Ю. Герасимов.

Размещено на Allbest.ru