Регрессионный анализ. Транспортная задача

Регрессионный анализ

Задача

Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.).

Расстояние, км	3,5	2,4	4,9	4,2	3,0	1,3	1,0	3,0	1,5	4,1
Время, мин	16	13	19	18	12	11	8	14	9	16

Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км.

Решение

Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):

	t	y(t)
	расстояние.	время
1	3,50	16,00	12,25	56,00	256,00	15,22	2,63
2	2,40	13,00	5,76	31,20	169,00	12,30	1,70
3	4,90	19,00	24,01	93,10	361,00	18,95	28,58
4	4,20	18,00	17,64	75,60	324,00	17,08	12,14
5	3,00	12,00	9,00	36,00	144,00	13,89	0,09
6	1,30	11,00	1,69	14,30	121,00	9,37	17,88
7	1,00	8,00	1,00	8,00	64,00	8,57	25,27
8	3,00	14,00	9,00	42,00	196,00	13,89	0,09
9	1,50	9,00	2,25	13,50	81,00	9,90	13,67
10	4,10	16,00	16,81	65,60	256,00	16,82	10,36
сумма	28,9	136,0	99,4	435,3	1 972,0	136,0	112,4
		13,60
a1 =	2,66
a0 =	5,91
r2 =	0,92	91,83%
	8,17

Рис .1 - График исходных данных

Вывод: существует сильная связь между исходными данными.

Задача

В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях.

Месяц	Объем собранного урожая	Факторы, влияющие на урожай
		Электроэнергия, кВт	Удобрения, тонн	Вода, литр
t	y	x1	x2	x3
январь	140	165	138	134
февраль	138	164	139	128
март	158	158	157	168
апрель	144	159	142	147
май	142	148	144	146
июнь	134	152	136	140
июль	122	143	122,5	132
август	125	146	128	135
сентябрь	124	148	119	125
октябрь	138	150	142	126
ноябрь	157	156	159	143
декабрь	161	160	164	150

Необходимо определить степень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных).

Решение

Строим графики исходных данных (рис. 2, 3):

Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения



Рис. 3 - График зависимости урожая от воды

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости:

Численные коэффициенты функции регрессии

X1i	Yi	X1iІ	X1i Yi	Yi І	Yi p	(Yi p -y)І	(Yi -y)І
165	140	27225	23100	19600	152,5778	151,9747	0,0625
164	138	26896	22632	19044	151,4485	125,4073	5,0625
158	158	24964	24964	24964	144,673	19,56251	315,0625
159	144	25281	22896	20736	145,8022	30,82711	14,0625
148	142	21904	21016	20164	133,3803	47,19267	3,0625
152	134	23104	20368	17956	137,8974	5,534888	39,0625
143	122	20449	17446	14884	127,734	156,6506	333,0625
146	125	21316	18250	15625	131,1218	83,32442	232,5625
148	124	21904	18352	15376	133,3803	47,19267	264,0625
150	138	22500	20700	19044	135,6388	21,26283	5,0625
156	157	24336	24492	24649	142,4144	4,684729	280,5625
160	161	25600	25760	25921	146,9315	44,64219	430,5625
1849	1683	285479	259976	237963		738,2566	1922,25
Среднее значение	140,25

Коэффициент детерминации r²=0,384059.

Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

X2i	Yi	X2iІ	X2i Yi	Yi І	Yi p	(Yi p -y)І	(Yi -y)І
138	140	19044	19320	19600	137,5802	7,127725	0,0625
139	138	19321	19182	19044	138,5088	3,031641	5,0625
157	158	24649	24806	24964	155,224	224,2202	315,0625
142	144	20164	20448	20736	141,2947	1,091391	14,0625
144	142	20736	20448	20164	143,1519	8,421225	3,0625
136	134	18496	18224	17956	135,723	20,49389	39,0625
122,5	122	15006,25	14945	14884	123,1866	291,1588	333,0625
128	125	16384	16000	15625	128,294	142,9452	232,5625
119	124	14161	14756	15376	119,9365	412,64	264,0625
142	138	20164	19596	19044	141,2947	1,091391	5,0625
159	157	25281	24963	24649	157,0812	283,29	280,5625
164	161	26896	26404	25921	161,7243	461,1463	430,5625
1690,5	1683	240302,3	239092	237963		1856,658	1922,25
Среднее значение	140,25

Коэффициенты регрессии -- сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=	9,430782
a1=	0,928619

Коэффициент детерминации r²=0,965877.

Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.

Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициенты функции регрессии

X3i	Yi	X3iІ	X3i Yi	Yi І	Yi p	(Yi p -y)І	(Yi -y)І
134	140	17956	18760	19600	135,8979	18,94079	0,0625
128	138	16384	17664	19044	131,1502	82,80727	5,0625
168	158	28224	26544	24964	162,8018	508,5838	315,0625
147	144	21609	21168	20736	146,1847	35,22048	14,0625
146	142	21316	20732	20164	145,3934	26,4545	3,0625
140	134	19600	18760	17956	140,6456	0,156535	39,0625
132	122	17424	16104	14884	134,3153	35,22048	333,0625
135	125	18225	16875	15625	136,6892	12,67937	232,5625
125	124	15625	15500	15376	128,7763	131,6463	264,0625
126	138	15876	17388	19044	129,5676	114,1144	5,0625
143	157	20449	22451	24649	143,0195	7,670238	280,5625
150	161	22500	24150	25921	148,5586	69,03215	430,5625
1674	1683	235188	236096	237963		1042,526	1922,25
Среднее значение	140,25

Коэффициенты регрессии -- сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=	29,86486
a1=	0,791291

Коэффициент детерминации r²=0,542347.

Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна.

Задача

Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С₁. Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С₂, который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
С1	1	2,3	1,5	0,5	4	5	2	3,5	1	4,5	2,5	1,5
С2	9	6,5	8,1	8,7	4	0,2	7,6	5	8,7	2	7	8,4

Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С₂, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок.

Решение

Рис. 4 - График исходных данных

Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии.

x	y	x2	xy	yp	(yp-ycp)2	(y-ycp)2
1	9	1	9	8.981453	7.370065	7.471111
2.3	6.5	5.29	14.95	6.533438	0.071167	0.054444
1.5	8.1	2.25	12.15	8.039909	3.144387	3.361111
0.5	8.7	0.25	4.35	9.922997	13.36875	5.921111
4	4	16	16	3.332187	8.611173	5.137778
5	0.2	25	1	1.449098	23.20897	36.80444
2	7.6	4	15.2	7.098364	0.691721	1.777778
3.5	5	12.25	17.5	4.273731	3.971792	1.604444
1	8.7	1	8.7	8.981453	7.370065	5.921111
4.5	2	20.25	9	2.390642	15.02356	18.20444
2.5	7	6.25	17.5	6.15682	0.012066	0.537778
1.5	8.4	2.25	12.6	8.039909	3.144387	4.551111
=29.3	=75.2	=95.79	=137.95		=85.98811	=91.34667

Находим коэффициенты регрессии -- сдвиг а₀ и наклон а₁ прямой у:

a0=	10,86454
a1=	-1,88309

Коэффициент детерминации r²=0,941338.

Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С₁ 3 тысячи булок, то прогноз С₂ =-1,88309*3000+10,86454=5215,7.

Транспортная задача

Задача

Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.

Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

	D	E
А	80	215
В	100	108
С	102	68

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт
	D	Е	V	Издержки
А	80	215	1000
В	100	108	1300
С	102	68	1200
Спрос	2300	1400		291600
Продукция
	D	Е	Сумма
А	1000	0	1000
В	1300	0	1300
С	0	1200	1200
Y	0	200	200
Сумма	2300	1400

Задача

Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал.

Решение

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт
	D	Е	F	V	Издержки
А	80	215	0	1000
В	100	108	0	1500
С	102	68	0	1200
Спрос	1900	1400	400		273200
Продукция
	D	Е	F	Сумма
А	1000	0	0	1000
В	900	200	400	1500
С	0	1200	0	1200
Сумма	1900	1400	400

Задача

Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВтч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВтч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4.

Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч

	Города
	1	2	3
Станция	1	600	700	400
	2	320	300	350
	3	500	480	450

В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.

Решение

Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:

;

Получаем:

Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч
	Города		Издержки
	1	2	3	Мощность
Станция	1	600	700	400	25
	2	320	300	350	40
	3	500	480	450	30
	4	1000	1000	10000	12
Потребление		36	42	29		48570
	Города
	1	2	3		Сумма
Станция	1	0	0	25		25
	2	24	16	0		40
	3	0	26	4		30
	4	12	0	0		12
	Сумма	36	42	29

Задача

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется

Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
	125 5	85 8	1	2	210/85/0
	2	5 5	130 4	35 9	170/165/35/0
	9	2	3	65 1	65/0
Потребность, ед. продукции	125/0	90/5/0	130/0	100/65/0

Опорный план , найденный методом северо-западного угла

[ед.товара]

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

[руб.].

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
	5	45 8	130 1	35 2	210/80/45/0
	125 2	45 5	4	9	170/45/0
	9	2	3	65 1	65/0
Потребность, ед. продукции	125/0	90/45/0	130/0	100/35/0

Опорный план , найденный методом минимального элемента

[ед.товара]

[руб.]

Транспортная таблица с опорным планом Фогеля

						Штрафы строк,
	5	8	110 1	100 2	210/110/0	1	1	1	7
	125 2	25 5	20 4	9	170/45/25/0	2	1	1	1
	9	65 2	3	1	65/0	1	1	-	-
	125/0	90/25/0	130/20/0	100/0
Штрафы столбцов,	3	3	2	1
	-	3	2	1
	-	3	3	7
	-	3	3	-

На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы

Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают

.

Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы клеток (2,1) и (3,2)

;

.

Т.к. , то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).

Опорный план

[ед.товара], [руб.]

Задача

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
	120 7	40 8	1	2	160/40/0
	4	10 5	130 9	8	140/130/0
	9	2	70 3	100 6	170/100/0
фиктивный склад	0	0	0	10 0	10/0
Потребность, ед. продукции	120/0	50/10/0	200/70/0	110/10/0

Опорный план , найденный методом северо-западного угла [ед.товара].

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
	7	8	160 1	2	160/0
	110 4	5	9	30 8	140/30/0
	9	50 2	40 3	80 6	170/120/80/0
фиктивный склад	10 0	0	0	0	10/0
Потребность, ед. продукции	120/110/0	50/0	200/40/0	110/30/0

Опорный план , найденный методом минимального элемента

Транспортная таблица с опорным планом Фогеля

						Штрафы строк,
	7	8	50 1	110 2	160/50/0	1	1	6	-	-	-
	110 4	30 5	9	8	140/110/0	1	1	1	1	1	1
	9	20 2	150 3	6	170/20/0	1	1	1	1	7	-
фикт.	10 0	0	0	0	10/0	0	-	-	-	-	-
	120/110/0	50/30/0	200/150/0	110/0
Штрафы столбцов,	4	2	1	2
	3	3	2	4
	3	3	2	-
	5	3	6	-
	5	3	-	-
	4	5	-	-

Опорный план , найденный методом Фогеля [ед.товара],

Задача

Некоторая фирма производит автомобили четырех различных марок М₁, М₂, М₃, М₄. Завод в городе А производит только автомобили марок М₃, M₄, в городе В - только автомобили марок М₁, М₂, M₄, а в городе С - только автомобили марок М₁, М₂. Ежеквартальные объемы выпуска каждого завода и величины спроса в каждом пункте распределения приведены в таблице 1.3. Постройте соответствующую модель экономичных перевозок и определите целевую функцию по двум вариантам:

* каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;

* все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.

Объемы производства заводов и спроса пунктов распределения автомобилей, шт/квартал

	Марка автомобиля
	M1	M2	M3	M4
Заводы
А	--	--	700	300
В	500	600	--	400
С	800	400	--	--
Пункты распределения
D	700	500	500	600
Е	600	500	200	100

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

	D	Е
А	80	215
В	100	108
С	102	68

Решение:

Составляем для каждого вида продукции транспортную матрицу:

Транспортная матрица для первого вида продукции:



	D	Е	Объем
А	0	0	0
В	100	108	500
С	102	68	800
Спрос	700	600
издержки	111200
	D	Е	Сумма
А	0	0	0
В	500	0	500
С	200	600	800
Сумма	700	600

Транспортная матрица для второго вида продукции:

	D	Е	Объем
А	0	0	0
В	100	108	600
С	102	68	400
Спрос	500	500
издержки	88000
	D	Е	Сумма
А	0	0	0
В	500	100	600
С	0	400	400
Сумма	500	500

Транспортная матрица для третьего вида продукции:

	D	Е	Объем
А	80	215	700
В	0	0	0
С	0	0	0
Спрос	500	200
издержки	83000
	D	Е	Сумма
А	500	200	700
В	0	0	0
С	0	0	0
Сумма	500	200

Транспортная матрица для четвертого вида продукции:

	D	Е	Объем
А	80	215	300
В	100	108	400
С	0	0	0
Спрос	600	100
издержки	64800
	D	Е	Сумма
А	300	0	300
В	300	100	400
С	0	0	0
Сумма	600	100

Целевая функция равна сумме издержек по каждому виду продукции 347000.

Объединяем все виды продукции в одной общей матрице и с помощью «Поиска решений» находим оптимальный план и целевую функцию:

	D1	E1	D2	E2	D3	E3	D4	E4	производство
A3	10000	10000	10000	10000	80	215	10000	10000	700
A4	10000	10000	10000	10000	10000	10000	80	215	300
B1	100	108	10000	10000	10000	10000	10000	10000	500
B2	10000	10000	100	108	10000	10000	10000	10000	600
B4	10000	10000	10000	10000	10000	10000	100	108	400
C1	102	68	10000	10000	10000	10000	10000	10000	800
C2	10000	10000	102	68	10000	10000	10000	10000	400
спрос	700	600	500	500	500	200	600	100	347000
	D1	E1	D2	E2	D3	E3	D4	E4
A3	0	0	0	0	500	200	0	0	700
A4	0	0	0	0	0	0	300	0	300
B1	500	0	0	0	0	0	0	0	500
B2	0	0	500	100	0	0	0	0	600
B4	0	0	0	0	0	0	300	100	400
C1	200	600	0	0	0	0	0	0	800
C2	0	0	0	400	0	0	0	0	400
	700	600	500	500	500	200	600	100

Задача о назначениях

Задача

а). Строительной компании «Спецстройкурнож» необходимо выполнить бетонные работы на 4 строящихся объектах. В фирме имеется 4 бригады бетонщиков, которые могут выполнить эту работу. Бригадиры каждой бригады побывали на объектах, оценили объемы работ и рассчитали сроки, за которые они могут выполнить работы.

Бригада	Объект
	1	2	3	4
№1	30	40	50	60
№2	36	41	52	58
№3	28	44	49	57
№4	35	39	49	63

Перед руководством фирмы стоит задача распределения бригад по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным. Поскольку количества бригад и объектов одинаковы, следовательно, имеем сбалансированную задачу о назначениях.

Решение

С помощью «Поиска решения» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.

Бригада	Объект
	1	2	3	4
№1	30	40	50	60
№2	36	41	52	58
№3	28	44	49	57
№4	35	39	49	63
целевая функция	175
Бригада	Объект
	1	2	3	4
№1	0	1	0	0
№2	0	0	0	1
№3	1	0	0	0
№4	0	0	1	0
?	1	1	1	1

б). Несбалансированная задача. Пока руководство фирмы «Спецстройизбкурнож» решало, какую бригаду бетонщиков послать на какой объект, освободилась от работ на предыдущем объекте еще одна бригада и выразила готовность также подключиться к работе на одном из четырех объектов. Бригадир этой бригады оценил работы на каждом объекте и подсчитал, что работы на первом объекте его бригада выполнит за 29 рабочих дней, на втором объекте за 40 дней, на третьем объекте за 48 дней и на четвертом - за 59 дней

Решение

С помощью «Поиска решений» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.

Бригада	Объект
	1	2	3	4
№1	30	40	50	60
№2	36	41	52	58
№3	28	44	49	57
№4	35	39	49	63
№5	29	40	48	59
цел. функция	173
Бригада	Объект
	1	2	3	4
№1	0	0	0	0
№2	0	0	0	1
№3	1	0	0	0
№4	0	1	0	0
№5	0	0	1	0
?	1	1	1	1

Общая распределительная задача линейного программирования

Задача

На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

производительности станков по каждому виду ткани, м/ч

;

себестоимость тканей, руб./м

;

фонды рабочего времени станков (): 90, 220, 180 ч;

планируемый объем выпуска тканей (): 1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.

Решение

1.1
	1	1	1	1
ai	0,5	0,5	0,5	0,5
	0,33333	0,33333	0,33333	0,3333
1.2
	90		1		90
	220	*	0,5	=	110
	180		0,33333		60
1.3
	24	30	18	42
bj	12	15	9	21
	8	10	6	14
	1200	900	1800	840
bj'	50	30	100	20
b(фиктив)'	60
1.4
	2	1	3	1
cij	3	2	4	1	*	24	30	18	42
	6	3	5	2
		48	30	54	42
	=	72	60	72	42
		144	90	90	84
2.	ai		bj
	90		50
	110		30
	60		100
	260		20
			60
			260
3.
	48	30	54	42	0	90
	72	60	72	42	0	110
	144	90	90	84	0	60
	50	30	100	20	60
	50	30	10	0	0
	0	0	90	20	0	Поиск оптимального решения
	0	0	0	0	60
4.
	50	30	10	0	0		1
xij	0	0	90	20	0	/	0,5	=
	0	0	0	0	60		0,3333
		50	30	10	0	0
	=	0	0	180	40	0
		0	0	0	0	180
5.
	50	30	10	0	0		24	30	18	42	0
	0	0	180	40	0	*	12	15	9	21	0
	0	0	0	0	180		8	10	6	14	0
	1200	900	180	0	0		2	1	3	1	0
	0	0	1620	840	0	*	3	2	4	1	0
	0	0	0	0	0		6	3	5	2	0
				2400	900	540	0
				0	0	6480	840	L(x)=	11160
				0	0	0	0

Задача

Некоторая фирма содержит три магазина, которым еженедельно следует доставлять товар: первому магазину - 1050 кг сыра, второму - 600 мешков муки, третьему - 2400 упаковок сока. Товары доставляются грузовыми машинами четырех транспортных предприятий. Количество машин на этих предприятиях составляет 65, 40, 45 и 20 машин. Все машины имеют различную грузоподъемность [ед. тов. / маш.], в зависимости от типа машины и типа перевозимого груза

Стоимости использования машин [руб. / маш.] в зависимости от дальности перевозки и емкости машины равны

.

Организуйте экономичную перевозку товаров (при решении используйте метод северо-западного угла).

Решение:

Этапы решения распределительной задачи:
1.1
	0,2	0,2	0,2
ai	0,1	0,1	0,1
	1	1	1
	0,5	0,5	0,5
1.2
	65		0,2		13
	40	*	0,1	=	4
	45		1		45
	20		0,5		10
1.3
	10	6	12
bj	5	3	6
	50	30	60
	25	15	30
	1050	600	2400
bj	21	20	40
a фикт	9
1.4
	30	24	24						1500	720	1440
cij	10	9	6	*	50	30	60	=	500	270	360
	250	210	240						12500	6300	14400
	100	75	90						5000	2250	5400
2.	ai		bj
	13		21
	4		20
	45		40
	10		81
	9
	81
3.
	1500	720	1440	13
	500	270	360	4
	12500	6300	14400	45
	5000	2250	5400	10
	0	0	0	9
	21	20	40
	13	0	0
	4	0	0
	4	20	21	Поиск оптимального решения
	0	0	10
	0	0	9
4.	13	0	0		0,2		65	0	0
	4	0	0		0,1		40	0	0
xij	4	20	21	/	1	=	4	20	21
	0	0	10		0,5		0	0	20
	0	0	9		0		0	0	0
5.
	65	0	0		10	6	12		650	0	0
	40	0	0		5	3	6		200	0	0
	4	20	21	*	50	30	60	=	200	600	1260
	0	0	20		25	15	30		0	0	600
	0	0	0		0	0	0		0	0	0
	650	0	0		30	24	24		19500	0	0
	200	0	0		10	9	6		2000	0	0
	200	600	1260	*	250	210	240	=	50000	1E+05	3E+05
	0	0	600		100	75	90		0	0	54000
	0	0	0		0	0	0		0	0	0
	L(x)=	553900

Модели управления запасами

Задача

Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Магазин работает 300 дней в году.

Постройте график затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика. Графически определите наиболее выгодный объем заказа.

Решение

Пусть Q - размер заказа; T=300 - продолжительность периода планирования; D=500 - величина спроса за период планирования; К=10 - издержки одного заказа (стоимость доставки); - удельные издержки хранения за период; с=2 -- цена продукта. Тогда:

Издержки заказа за период планирования:;

Издержки хранения за период планирования : ;

Издержки на закупку товара: .

При этом совокупные издержки: .

Формула совокупных издержек:

.

Для нахождения наименьшего значения функции С найдем ее производную и прировняем ее к нулю.

Отсюда получаем: .

Оптимальное число заказов:

.

Число дней между заказами:

дней.

Так как длина интервала между поставками равна 100 дней, а время доставки - 12 дней, то заказ нужно возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребностей на 12 рабочих дней.

Так как ежедневная потребность равна 500/300=1,67 упаковок супа в день, то заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса пачек супа.

График затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика (рис. 5):

Рис. 5

Оптимальный размер заказа (точка пересечения графиков издержек заказа и издержек хранения) приблизительно равен 158 пакетов супа.

Величина общих годовых издержек составит примерно 1060 руб.

Задача

На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Решение

Для начала определяем сколько производит первый и второй станки за год деталей:

первый станок = 2000*12=24000;

второй станок = 500 * 12 = 6000.

Затем по формулам модели Уилсона находим, оптимальный план, частоту заказов и общие издержки.

Qопт=5656,85

С=2121,32

ф месс=11,31

Задача

Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 руб. Интенсивность производства составляет 120 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 15 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 2 коп. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 26 000 шт. в год.

Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие (в месяце 22 рабочих дня).

Подтвердите свое решение графически, для этого на одном рисунке постройте графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий.

Решение

Производство изделий:

Обозначим Q - размер выпускаемой партии; D=26000 шт. - величина спроса в год; шт. - величина спроса в день; шт. - интенсивность производства; К=20 руб. - стоимость каждого запуска изделия в производство; руб. - издержки хранения за год. Тогда:

шт.

Cовокупные издержки:

руб.

Покупка изделий

Обозначим Q - размер приобретаемой партии; D=26000 шт. - величина спроса в год; К=15 руб. - стоимость каждой покупки; руб. - издержки хранения за год. Тогда:

шт.

Совокупные издержки:

руб.

Рис. 6 - Графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий

Вывод: выгоднее производить изделия, чем покупать их.

Задача

При строительстве участка автодороги длиной 500 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 17 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 7 т, в течение 4 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 15 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 1 руб. 10 коп. в сутки за тонну.

Определить: оптимальный объем заказа, количество грузовых машин, используемых для доставки, период поставок, точку заказа, затраты за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.

Решение

Пусть Q - оптимальный объем заказа; D=т - величина спроса за период строительства; К=руб. - издержки одного заказа (здесь 7 - грузоподъемность машины); руб. - удельные издержки хранения за период; Т=17 дней - период планирования; сут. (принимаем время смены 8 часов). Тогда:

Издержки заказа за период планирования :;

Издержки хранения за период планирования:.

Оптимальный размер заказа составит:

или , откуда т.

Количество грузовых машин равно ед.

Период поставок: дня.

Точка заказа: т.

Затраты на всю стройку составят:

руб.

Так как период поставок равен 4 дня, а время работы равно 17 дней, получим 4 полные поставки и в 16-й день еще одну машину с гравием.

Задача

Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара - 2руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более- 1руб.

Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на управление запасами. Постройте график общих затрат.

Пусть Q - размер заказа; - величина потребления за день; К=10 - издержки одного заказа; h=1 - удельные издержки хранения за день; с_i -- цена продукта при соответствующем размере заказа.

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования: ;

Издержки на закупку товара:.

Совокупные издержки:

.

При размере заказа менее 15 шт формула совокупных издержек запишется в виде:

.

Для нахождения наименьшего значения функции С находим ее производную и прировняем ее к нулю.

.

Аналогично находим при заказе 15 шт. и более:

; ; .

Общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок с выбором наименьшего значения:

Размер заказа	Менее 15 шт.	15 шт. и более
Цена 1 шт., руб.	2	1
Размер заказа, шт.	10	15
Издержки заказа, руб.	5	3,33
Издержки хранения, руб.	5	7,5
Издержки на закупку товара, руб.	10	5
Общие затраты, руб.	20	15,83

Выбираем размер заказа, минимизирующий общие годовые издержки. Заказ в размере 15 шт. будет минимизировать общие затраты, оптимальный размер заказа шт.

При этом цена покупки составит руб., затраты на управление запасами составят руб.

График общих

Рис.7

Задача

Рассмотрим задачу 5.1. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки

Размер заказа	Цена, руб./шт.
1-199	2
200-499	1,96 (2% скидки)
500 и более	1,92 (4% скидки)

Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на управление запасами? Постройте график общих затрат.

Решение

Пусть Q - размер заказа; T=300 - продолжительность периода планирования; D=500 - величина спроса за период планирования; К=10 - издержки одного заказа; Н=0,4 - удельные издержки хранения за период; с_i -- цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования : ;

Издержки на закупку товара : .

Совокупные издержки:

.

Оптимальный заказ:

.

Поэтому для первого уровня цен принимаем ; для других цен - . Рассчитываем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Размер заказа	1-199	200-499	500 и более
Цена пакета, руб.	2	1,96	1,92
Размер заказа, шт.	158	200	500
Издержки заказа за год, руб.	31,65	25,0	10
Издержки хранения за год, руб.	31,6	40	100
Издержки на закупку товара за год, руб.	1000	980	960
Совокупные издержки, руб.	1063,25	1045,0	1070,0

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 200 пакетов супа будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа пакетов.

При этом совокупные издержки за год составят руб.

Рис. 8 - График общих затрат

Задача

Какое количество товара заказывать и по какой цене, каковы затраты при оптимальной организации управления запасами? Известно, что =240 шт./дн.; С₀= 30 руб.; С_h = 3 руб./шт.дн.; a = 6 руб./шт.; a₁ = 5 руб./шт.; a₂ =3 руб./шт.; Q_p1= 50 шт.; Q_P2 =500 шт.

Решение

Пусть Q - размер заказа; v=240 шт./дн. - величина спроса за период планирования; С₀=30 руб. - издержки одного заказа; руб./шт.дн. - удельные издержки хранения за период; с_i -- цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:

Издержки заказа за период планирования: ;

Издержки хранения за период планирования: ;

Издержки на закупку товара:.

Совокупные издержки:

.

Оптимальный заказ:

.

Поэтому для первого уровня цен принимаем ; для других цен - . Далее рассчитаем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.

Размер заказа	1-49	50-499	500 и более
Цена ед. товара, руб.	6	5	3
Размер заказа, шт.	49	69	500
Издержки заказа, руб.	146,94	104,35	14,40
Издержки хранения, руб.	73,50	103,50	750,00
Издержки на закупку товара, руб.	1440,00	1200,00	720,00
Совокупные издержки, руб.	1660,44	1407,85	1484,40

Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 69 единиц товара будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа .

Вывод: совокупные издержки 1407,85 руб.

Расчет и анализ сетевых моделей

1. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi	i	j	РН	tij	РО	ПО	tij	ПН	Rij	rij
-	0	1	0	2	2	7	2	5	5	0
-	0	2	0	2	2	2	2	0	0	0
-	0	3	0	1	1	7	1	6	6	0
1	1	4	2	4	6	11	4	7	5	0
1	2	5	2	5	7	8	5	3	1	0
1	2	6	2	8	10	10	8	2	0	0
1	3	6	1	3	4	10	3	7	6	6
1	4	7	6	1	7	12	1	11	5	4
1	5	7	7	4	11	12	4	8	1	0
2	6	8	10	5	15	15	5	10	0	0
2	7	8	11	3	14	15	3	12	1	1
2	8	-	15	-	15	15	-	15	0	0

Критический путь: 0-2-6-8

2. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график.. Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi	i	j	РН	tij	РО	ПО	tij	ПН	Rij	rij
-	1	2	0	2	2	2	2	0	0	0
1	2	3	2	5	7	7	5	2	0	0
1	2	4	2	6	8	9	6	3	1	0
1	2	5	2	3	5	12	3	9	7	2
1	3	5	7	0	7	12	0	12	5	0
1	3	6	7	7	14	14	7	7	0	0
1	4	8	8	8	16	17	8	9	1	1
2	5	7	7	5	12	17	5	12	3	5
1	6	7	14	3	17	17	3	14	0	0
1	6	11	14	8	22	39	8	31	17	17
2	7	8	17	0	17	17	0	17	0	0
2	7	11	17	7	24	39	7	32	15	15
2	8	9	17	4	21	21	4	17	0	0
1	9	10	21	4	25	34	4	30	9	0
1	9	11	21	18	39	39	18	21	0	0
1	10	11	25	5	30	39	5	34	9	9
4	11	-	39	-	39	39	-	39	0	0

Критический путь: 1-2-3-6-7-8-9-11

3. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

Решение

Расчеты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:

hi	i	j	РН	tij	РО	ПО	tij	ПН	Rij	rij
-	0	1	0	18	18	48	18	30	30	0
-	0	2	0	15	15	26	15	11	11	0
-	0	4	0	30	30	30	30	0	0	0
1	1	3	18	22	40	70	22	48	30	0
1	1	9	18	12	30	100	12	88	70	52
1	2	5	15	9	24	35	9	26	9	0
1	2	6	15	15	40	62	15	40	25	0
1	3	9	40	30	70	100	30	70	30	0
1	4	7	30	25	55	55	25	30	0	0
1	4	8	30	30	60	90	30	60	30	30
1	5	7	24	20	44	55	20	35	11	11
1	5	10	24	5	29	80	5	75	51	26
1	6	10	40	15	55	80	15	65	25	0
2	7	8	55	35	90	90	35	55	0	0
2	8	11	90	32	122	122	32	90	0	0
2	9	11	70	22	99	122	22	100	30	23
2	10	11	55	42	97	122	42	80	25	25
3	11	-	122	-	122	122	-	122	-	-

Критический путь: 0-4-7-8-11

4.Рассчитайте секторным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.

Решение

Критический путь 0-2-3-4-5-6

5. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графика методом диагональной таблицы:

Ti P	i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0		2
2	1			3	8	6	4			7
5	2							4
10	3								2
8	4									11
6	5									10
9	6									7
12	7									4
19	8										5
24	9
	TiП	0	2	8	13	8	9	12	15	19	24
	Ti P	0	2	5	10	8	6	9	12	19	24
	r	0	0	3	3	0	3	3	3	0	0

Критический путь: 0-1-4-8-9

6. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.

Решение

Расчёты методом диагональной таблицы:

Ti P	i/j	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1		8	5	4
8	2				0	0
5	3					0		11
8	4						5
8	5						6
14	6							10
24	7								4
28	8
	TiП	0	8	8	9	8	14	24	28
	Ti P	0	8	5	8	8	14	24	28
	r	0	0	3	1	0	0	0	0

Критический путь:1-2-5-6-7-8