Исследование операций в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Исследование операций в экономике

Содержание

Введение

1. Графическое решение задач линейного программирования

2. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

3. Транспортная задача

4. Задача о назначениях

5. Задача о ранце

Заключение

Литература

Введение

Успешная реализация достижений научно-технического прогресса в нашей стране тесным образом связана с использованием экономико-математических методов и средств вычислительной техники при решении задач из различных областей человеческой деятельности. Исключительно важное значение приобретает использование указанных методов и средств при решении экономических задач.

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями администрации предприятий, менеджеров, руководителей хозяйственных органов и штабов различного уровня. Характер управления и планирования определяет путь достижения цели и оказывает существенное влияние на качество решения поставленной задачи. В современных условиях повышается ответственность за качество принимаемых управленческих решений. Несколько неудачных управленческих решений и предприятие вступает в стадию банкротства.

В настоящее время существует две группы методов принятия управленческих решений:

1) логический (когда решение принимается на основании опыта, интуиции и других личностных качеств лица, принимающего решение);

2) формально-логический или формализованный (когда решение принимается на основе изучения предварительно-построенной модели). При этом появляется возможность оценить последствия каждого из вариантов и выбрать наилучший по некоторому критерию. В этой группе методов важную роль играют экономико-математические модели.

Образ реальной действительности, в котором отражены характерные для изучаемого явления признаки или черты реального объекта (оригинала), именуют моделью, а сам процесс построения моделей называют моделированием.

Использование цифровых и знаковых символов позволяет создать категорию моделей, которая включает формально-логические и математические модели.

Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений, воплощающихся в управленческие воздействия. Субъекты управления стремятся определить последствия определённого решения. Прежде чем осуществлять управляющее воздействие, принимать окончательное решение, желательно проверить его действенность, послед-ствия, результат. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания. Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своём мозгу картину поведения объекта управления под влиянием управляющих воздействий довольно ограничены. Приходится прибегать к помощи математических расчётов, дополняющих мысленные представления, иллюстрирующих ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.

Наиболее распространённая форма, основной инструмент воплощения экономико-математических методов - это экономико-математическое моделирование. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков.

Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой управляемой системы, которые наиболее важны с позиций управления.

Благодаря моделированию субъект управления способен в ходе анализа иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в виде модели. Это значительно расширяет возможности поиска лучших способов управления, не нарушая функционирования реального объекта управления в период выработки управленческих решений. Появляется возможность применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам можно производить многовариантные модельные расчёты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.

Для того чтобы принять обоснованное решение необходимо получить и обработать огромное количество информации. Ответственные управленческие решения зачастую связаны с судьбами людей, принимающих их, и с большими материальными ценностями. Но сейчас недостаточно указать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономный, учитывающий особенности течения и развития управляемого процесса и наилучшим образом соответствующий поставленной задаче.

Процесс управления производственной системой представляет собой процесс принятия решений, что всегда связано с выбором из множества возможных решений, допускаемых обстоятельствами решаемой задачи, то есть имеется множественность имеющихся вариантов. Выбранное решение должно соответствовать некоторому критерию целесообразности. Этим объясняется связь задач принятия управленческих решений с методами теории оптимизации.

В процессе выработки решений приходится формализовать зависимость между отдельными элементами системы, применять математический аппарат, общие кибернетические принципы и закономерности, то есть использовать экономико-математические методы.

Известно, что экономический эффект от рациональных методов управления и планирования, применяемых в широких масштабах и на высоком уровне, способен в ряде случаев повысить эффект от существенного увеличения мощностей. Возникает потребность в новых математических методах, позволяющих анализировать ритм производства, взаимоотношения между людьми и между коллективами.

Математические машины, внедряемые в производство и управление и используемые в научно-исследовательской работе, создают огромные возможности для развития различных отраслей науки, для совершенствования методов планирования и автоматизации производства. Однако без строгих формулировок задач, без формально-математического описания процессов не может быть достигнут необходимый уровень использования техники. Возникают вопросы, связанные с формализацией физических, экономических, технических и других процессов. Формализация задачи - необходимый этап для перевода каждой прикладной экономической задачи на язык математических машин.

Для постановки задачи математического программирования необходимо сформулировать цель управления и указать ограничения на выбор параметров управления, обусловленные особенностями управляемого процесса. Задача математического программирования сводится к выбору системы параметров, обеспечивающей оптимальное (в заданном смысле) качество процесса управления в рамках сформулированных ограничений.

Всё вышесказанное доказывает необходимость применения экономико-математических методов и моделей в управлении для принятия обоснованных управленческих решений.

В данной курсовой работе даётся представление о возможностях практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении конкретных экономических задач.

1. Графическое решение задач линейного программирования.

Решить графически задачу

F = 4x₁+x₂ > max,

при следующих ограничениях:

20x₁+7x₂?140

15x₁+10x₂?150

5x₁+20x₂?100

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x₁+x₂ > max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x₁+x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

20x₁+7x₂=140

5x₁+20x₂=100

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 5.7534, x₂ = 3.5616

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 4*5.7534 + 1*3.5616 = 26.5753

2. Решение задач линейного программирования симплекс - методом.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x₁ + 5x₂ + 11x₃+9 при следующих условиях-ограничений.

При вычислениях значение Fc = 9 временно не учитываем.

линейный программирование математический экономический

x₁ + x₂ + x₃ + x₄?0

7x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 2x₄?0

3x₁ + 5x₂ + 10x₃ + 15x₄?0

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₇.

1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 1x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 0

7x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 2x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 0

3x₁ + 5x₂ + 10x₃ + 15x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 0

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	1	1	1	1	0	0
7	5	3	2	0	1	0
3	5	10	15	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₅, x₆, x₇

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,0,0)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	0	1	1	1	1	1	0	0
x6	0	7	5	3	2	0	1	0
x7	0	3	5	10	15	0	0	1
F(X0)	0	-5	-5	-11	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

min (0: 1, 0: 3, 0: 10) = 0

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	0	1	1	1	1	1	0	0	0
x6	0	7	5	3	2	0	1	0	0
x7	0	3	5	10	15	0	0	1	0
F(X1)	0	-5	-5	-11	0	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₃.

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₃ и столбец x₃.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
0: 1	1: 1	1: 1	1: 1	1: 1	1: 1	0: 1	0: 1
0-(0 * 3):1	7-(1 * 3):1	5-(1 * 3):1	3-(1 * 3):1	2-(1 * 3):1	0-(1 * 3):1	1-(0 * 3):1	0-(0 * 3):1
0-(0 * 10):1	3-(1 * 10):1	5-(1 * 10):1	10-(1 * 10):1	15-(1 * 10):1	0-(1 * 10):1	0-(0 * 10):1	1-(0 * 10):1
0-(0 * -11):1	-5-(1 * -11):1	-5-(1 * -11):1	-11-(1 * -11):1	0-(1 * -11):1	0-(1 * -11):1	0-(0 * -11):1	0-(0 * -11):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	0	1	1	1	1	1	0	0
x6	0	4	2	0	-1	-3	1	0
x7	0	-7	-5	0	5	-10	0	1
F(X1)	0	6	6	0	11	11	0	0

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	0	1	1	1	1	1	0	0
x6	0	4	2	0	-1	-3	1	0
x7	0	-7	-5	0	5	-10	0	1
F(X2)	0	6	6	0	11	11	0	0

Оптимальный план можно записать так:

x₃ = 0

F(X) = 11*0 + 9 = 9

3. Транспортная задача

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Распределительный метод является одним из вариантов базового симплексного метода. Поэтому идея распределительного метода (как и симплексного) содержит такие же три существенных момента.

Прежде всего отыскивается какое-то решение задачи -- исходный опорный план. Затем посредством специальных показателей опорный план проверяется на оптимальность. Если план оказывается не оптимальным, переходят к другому плану. При этом второй и последующие планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана приходят к оптимальному.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12	10	6	12	18	410
2	15	6	13	15	23	310
3	21	18	14	19	22	230
Потребности	210	180	240	225	175

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

? a = 410 + 310 + 230 = 950

? b = 210 + 180 + 240 + 225 + 175 = 1030

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равным 80 (1030--950). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12	10	6	12	18	410
2	15	6	13	15	23	310
3	21	18	14	19	22	230
4	0	0	0	0	0	80
Потребности	210	180	240	225	175

Первая итерация заключается в определении исходного опорного плана и проверке его на оптимальность.

Определение исходного опорного плана. Первый опорный план может быть найден посредством различных способов: по правилу северо-западного угла, приоритету ближайших пунктов, способу минимального элемента С=(cij), способу Фогеля и по способу Лебедева-Тихомирова.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 410, потребности 240. Поскольку минимальным является 240, то вычитаем его.

x₁₃ = min(410,240) = 240.

12	10	6	12	18	410 - 240 = 170
15	6	x	15	23	310
21	18	x	19	22	230
0	0	x	0	0	80
210	180	240 - 240 = 0	225	175	0

Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 310, потребности 180. Поскольку минимальным является 180, то вычитаем его.

x₂₂ = min(310,180) = 180.

12	x	6	12	18	170
15	6	x	15	23	310 - 180 = 130
21	x	x	19	22	230
0	x	x	0	0	80
210	180 - 180 = 0	0	225	175	0

Искомый элемент равен 12

Для этого элемента запасы равны 170, потребности 210. Поскольку минимальным является 170, то вычитаем его.

x₁₁ = min(170,210) = 170.

12	x	6	x	x	170 - 170 = 0
15	6	x	15	23	130
21	x	x	19	22	230
0	x	x	0	0	80
210 - 170 = 40	0	0	225	175	0

Искомый элемент равен 15

Для этого элемента запасы равны 130, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.

x₂₁ = min(130,40) = 40.

12	x	6	x	x	0
15	6	x	15	23	130 - 40 = 90
x	x	x	19	22	230
x	x	x	0	0	80
40 - 40 = 0	0	0	225	175	0

Искомый элемент равен 15

Для этого элемента запасы равны 90, потребности 225. Поскольку минимальным является 90, то вычитаем его.

x₂₄ = min(90,225) = 90.

12	x	6	x	x	0
15	6	x	15	x	90 - 90 = 0
x	x	x	19	22	230
x	x	x	0	0	80
0	0	0	225 - 90 = 135	175	0

Искомый элемент равен 19

Для этого элемента запасы равны 230, потребности 135. Поскольку минимальным является 135, то вычитаем его.

x₃₄ = min(230,135) = 135.

12	x	6	x	x	0
15	6	x	15	x	0
x	x	x	19	22	230 - 135 = 95
x	x	x	x	0	80
0	0	0	135 - 135 = 0	175	0

Искомый элемент равен 22

Для этого элемента запасы равны 95, потребности 175. Поскольку минимальным является 95, то вычитаем его.

x₃₅ = min(95,175) = 95.

12	x	6	x	x	0
15	6	x	15	x	0
x	x	x	19	22	95 - 95 = 0
x	x	x	x	0	80
0	0	0	0	175 - 95 = 80	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 80, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x₄₅ = min(80,80) = 80.

12	x	6	x	x	0
15	6	x	15	x	0
x	x	x	19	22	0
x	x	x	x	0	80 - 80 = 0
0	0	0	0	80 - 80 = 0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40]	6[180]	13	15[90]	23	310
3	21	18	14	19[135]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 12*170 + 6*240 + 15*40 + 6*180 + 15*90 + 19*135 + 22*95 + 0*80 = 11165

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

12*170 + 6*240 + 15*40 + 6*180 + 15*90 + 19*135 + 22*95 + 0*80 = 11165

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверка опорного плана на оптимальность. Чтобы установить является ли опорный план оптимальным, надо проверить, как повлияет на величину целевой функции любое возможное перераспределение поставок.

План распределения поставок будет оптимальным лишь в том случае, когда целевая функция имеет минимальное значение, т.е. когда дальнейшее уменьшение затрат на поставку будет невозможно.

Проверим возможность уменьшения суммарных затрат на поставку продукции. С этой целью для каждой свободной от поставки клетки определяется величина Д_ij, характеризующая изменение суммарных затрат на поставку (в расчете на единицу перераспределяемой продукции), при условии включения в план единичной поставки х_ij=1 от поставщика А_i к потребителю В_j.

При этом должно быть произведено такое изменение остальных поставок, чтобы получившаяся совокупность поставок не нарушала баланса спроса и поставок транспортной задачи.

Величина Д_ij называется оценкой свободной клетки (или характеристика).

В исходном решении задачи имеются клетки свободные от поставок.

Необходимо вычислить значение оценок Д_ij для этих свободных от поставок клеток. С этой целью для каждой свободной клетки составляется означенный цикл перерасчета (или замкнутая цепь, круг, кольцо, контур и т.д.).

Под циклом пересчета (цепью) понимается замкнутая ломаная линия. Вершинами цикла (цепи) являются клетки таблицы, проще - вершины лежат в клетках таблицы.

Причем одна из вершин находится в свободной от поставки клетке, в той, для которой определяется оценка Д_ij. Все другие вершины находятся в базисных клетках, т.е. клетках, занятых поставками.

Вершины, в которых поставки при перераспределении увеличиваются, отмечаются плюсом и называются положительными вершинами и, наоборот, вершины, в которых поставки при перераспределении уменьшаются отмечаются минусом и называются отрицательными вершинами.

В цикле знаки по вершинам расставляют начиная с вершины, лежащей в свободной клетке, для которой определяется Д_ij. В нее записывают знак плюс, затем знаки по вершинам чередуются: минус, плюс, минус, плюс и т. д., независимо от того, расставляют ли их по часовой стрелке или в обратном направлении. Таким образом, в цикле всегда насчитывается одинаковое число положительных и отрицательных вершин.

Следующий этап решения транспортной задачи заключается в улучшении опорного плана.

Если при каком-то опорном плане оказывается несколько свободных клеток с отрицательными оценками Д_ij, то за один переход к лучшему плану можно занять поставкой только одну клетку - ту, которая обеспечивает наибольшее снижение целевой функции.

Шаг 1. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

(1;2): В свободную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][-]	10[+]	6[240]	12	18	410
2	15[40][+]	6[180][-]	13	15[90]	23	310
3	21	18	14	19[135]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (1,2 > 1,1 > 2,1 > 2,2).

Оценка свободной клетки равна Д₁₂ = (10) - (12) + (15) - (6) = 7.

(1;4): В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][-]	10	6[240]	12[+]	18	410
2	15[40][+]	6[180]	13	15[90][-]	23	310
3	21	18	14	19[135]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,1 > 2,1 > 2,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (12) - (12) + (15) - (15) = 0.

(1;5): В свободную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][-]	10	6[240]	12	18[+]	410
2	15[40][+]	6[180]	13	15[90][-]	23	310
3	21	18	14	19[135][+]	22[95][-]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (1,5 > 1,1 > 2,1 > 2,4 > 3,4 > 3,5).

Оценка свободной клетки равна Д₁₅ = (18) - (12) + (15) - (15) + (19) - (22) = 3.

(2;3): В свободную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][+]	10	6[240][-]	12	18	410
2	15[40][-]	6[180]	13[+]	15[90]	23	310
3	21	18	14	19[135]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (2,3 > 2,1 > 1,1 > 1,3).

Оценка свободной клетки равна Д₂₃ = (13) - (15) + (12) - (6) = 4.

(2;5): В свободную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40]	6[180]	13	15[90][-]	23[+]	310
3	21	18	14	19[135][+]	22[95][-]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (2,5 > 2,4 > 3,4 > 3,5).

Оценка свободной клетки равна Д₂₅ = (23) - (15) + (19) - (22) = 5.

(3;1): В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40][-]	6[180]	13	15[90][+]	23	310
3	21[+]	18	14	19[135][-]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (3,1 > 3,4 > 2,4 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₃₁ = (21) - (19) + (15) - (15) = 2.

(3;2): В свободную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40]	6[180][-]	13	15[90][+]	23	310
3	21	18[+]	14	19[135][-]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (3,2 > 3,4 > 2,4 > 2,2).

Оценка свободной клетки равна Д₃₂ = (18) - (19) + (15) - (6) = 8.

(3;3): В свободную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][+]	10	6[240][-]	12	18	410
2	15[40][-]	6[180]	13	15[90][+]	23	310
3	21	18	14[+]	19[135][-]	22[95]	230
4	0	0	0	0	0[80]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (3,3 > 3,4 > 2,4 > 2,1 > 1,1 > 1,3).

Оценка свободной клетки равна Д₃₃ = (14) - (19) + (15) - (15) + (12) - (6) = 1.

(4;1): В свободную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40][-]	6[180]	13	15[90][+]	23	310
3	21	18	14	19[135][-]	22[95][+]	230
4	0[+]	0	0	0	0[80][-]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (4,1 > 4,5 > 3,5 > 3,4 > 2,4 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₄₁ = (0) - (0) + (22) - (19) + (15) - (15) = 3.

(4;2): В свободную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40]	6[180][-]	13	15[90][+]	23	310
3	21	18	14	19[135][-]	22[95][+]	230
4	0	0[+]	0	0	0[80][-]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (4,2 > 4,5 > 3,5 > 3,4 > 2,4 > 2,2).

Оценка свободной клетки равна Д₄₂ = (0) - (0) + (22) - (19) + (15) - (6) = 12.

(4;3): В свободную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170][+]	10	6[240][-]	12	18	410
2	15[40][-]	6[180]	13	15[90][+]	23	310
3	21	18	14	19[135][-]	22[95][+]	230
4	0	0	0[+]	0	0[80][-]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (4,3 > 4,5 > 3,5 > 3,4 > 2,4 > 2,1 > 1,1 > 1,3).

Оценка свободной клетки равна Д₄₃ = (0) - (0) + (22) - (19) + (15) - (15) + (12) - (6) = 9.

(4;4): В свободную клетку (4;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	12[170]	10	6[240]	12	18	410
2	15[40]	6[180]	13	15[90]	23	310
3	21	18	14	19[135][-]	22[95][+]	230
4	0	0	0	0[+]	0[80][-]	80
Потребности	210	180	240	225	175

Цикл приведен в таблице (4,4 > 4,5 > 3,5 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₄₄ = (0) - (0) + (22) - (19) = 3.

Из приведенного расчета видно, что ни одна свободная клетка не имеет отрицательной оценки, следовательно, дальнейшее снижение целевой функции Fx невозможно, поскольку она достигла минимального значения.

Таким образом, последний опорный план является оптимальным.

Минимальные затраты составят:

12*170 + 6*240 + 15*40 + 6*180 + 15*90 + 19*135 + 22*95 + 0*80 = 11165

Если в оптимальном решении задачи имеется несколько оценок равных нулю, то это является свидетельством того, что среди бесчисленного множества решений этой задачи существуют еще решения, являющиеся также оптимальными, поскольку значение целевой функции остается одинаковым -- минимальным. Их принято называть альтернативными.

Примечание. Основной алгоритм распределительного метода является не лучшим методом решения транспортных задач, так как на каждой итерации для проверки опорного плана на оптимальность приходилось строить [mп--(m+n--1)] циклов пересчета, что при больших размерах матрицы оказывается очень громоздким и трудоемким делом. Так, для расчетов по матрице 10х10 на каждой итерации надо строить 81 цикл, а по матрице 20x20 -- 361 цикл.

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (170), в 3-й магазин (240)

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (40), в 2-й магазин (180), в 4-й магазин (90)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 4-й магазин (135), в 5-й магазин (95)

Потребность 5-го магазина остается неудовлетворенной на 80 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x₄₅=0.

4. Задача о назначениях

Исходные данные

Бригада	Виды работ
	1	2	3	4	5
1	2	5	16	2	2
2	0	7	8	5	10
3	4	17	6	3	3
4	6	11	11	7	8
5	6	12	2	13	12

Исходная матрица имеет вид:

2	5	16	2	2
0	7	8	5	10
4	17	6	3	3
6	11	11	7	8
6	12	2	13	12

Шаг №1.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

0	3	14	0	0	2
0	7	8	5	10	0
1	14	3	0	0	3
0	5	5	1	2	6
4	10	0	11	10	2

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

0	0	14	0	0
0	4	8	5	10
1	11	3	0	0
0	2	5	1	2
4	7	0	11	10
0	3	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

Фиксируем нулевое значение в клетке (1, 5).

Другие нули в строке 1 и столбце 5 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (2, 1).

Другие нули в строке 2 и столбце 1 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (3, 4).

Другие нули в строке 3 и столбце 4 вычеркиваем.

В итоге получаем следующую матрицу:

[-0-]	[-0-]	14	[-0-]	[0]
[0]	4	8	5	10
1	11	3	[0]	[-0-]
[-0-]	2	5	1	2
4	7	0	11	10

Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из 5-х независимых нулей (в матрице их только 3), то решение недопустимое.

3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов:

строку 1,

столбец 1,

строку 3,

столбец 3,

Получаем сокращенную матрицу (элементы выделены):

0	0	14	0	0
0	4	8	5	10
1	11	3	0	0
0	2	5	1	2
4	7	0	11	10

Минимальный элемент сокращенной матрицы (min(4, 5, 10, 2, 1, 2, 7, 11, 10) = 1) вычитаем из всех ее элементов:

0	0	14	0	0
0	3	8	4	9
1	11	3	0	0
0	1	5	0	1
4	6	0	10	9

Затем складываем минимальный элемент с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов:

1	0	15	0	0
0	3	8	4	9
2	11	4	0	0
0	1	5	0	1
4	6	0	10	9

Шаг №2.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

1	0	15	0	0	0
0	3	8	4	9	0
2	11	4	0	0	0
0	1	5	0	1	0
4	6	0	10	9	0

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

1	0	15	0	0
0	3	8	4	9
2	11	4	0	0
0	1	5	0	1
4	6	0	10	9
0	0	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

Фиксируем нулевое значение в клетке (1, 2). Другие нули в строке 1 и столбце 2 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (2, 1). Другие нули в строке 2 и столбце 1 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (3, 5). Другие нули в строке 3 и столбце 5 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (4, 4). Другие нули в строке 4 и столбце 4 вычеркиваем.

Фиксируем нулевое значение в клетке (5, 3). Другие нули в строке 5 и столбце 3 вычеркиваем.

В итоге получаем следующую матрицу:

1	[0]	15	[-0-]	[-0-]
[0]	3	8	4	9
2	11	4	[-0-]	[0]
[-0-]	1	5	[0]	1
4	6	[0]	10	9

Количество найденных нулей равно k = 5. В результате получаем эквивалентную матрицу Сэ:

1	0	15	0	0
0	3	8	4	9
2	11	4	0	0
0	1	5	0	1
4	6	0	10	9

4. Методом проб и ошибок определяем матрицу назначения Х, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в квадратах) вычислить минимальную стоимость назначения.

1	[0]	15	[-0-]	[-0-]
[0]	3	8	4	9
2	11	4	[-0-]	[0]
[-0-]	1	5	[0]	1
4	6	[0]	10	9

Cmin = 3 + 5 + 0 + 7 + 2 = 17

5. Задача о ранце

Направление	Планируемая прибыль	Стоимость проекта
I	200	300
II	150	200
III	400	145
IV	160	120
V	840	650
VI	750	650

Решение.

Направление	Планируемая прибыль	Стоимость проекта	Эффективность	Место
I	200	300	0,66	6
II	150	200	0,75	5
III	400	145	2,76	1
IV	160	120	1,33	2
V	840	650	1,29	3
VI	750	650	1,15	4
Всего	2500	2065	7,94

Предприятие имеет только 60% средств на реализацию от суммарных по всем проектам, то есть 2065*0,6= 1239

Эффективность каждого предприятия определяем, как отношение планируемой прибыли к стоимости проекта.

F(х) = 200+150+400+160+840+750

Ограничение задачи:

200+150+400+160+840+750

Границы оптимального решения: верхняя - 2500, нижняя - 0.

Оптимальное решение Х=

При этом суммарная прибыль = 2150, а стоимость выбранных проектов =435

Заключение

Применение экономико-математических моделей в управлении устраняет большинство трудностей выработки и обоснования управленческих решений, открывает дорогу рациональному даже оптимальному управлению. Однако требованием к экономико-математическим моделям является в том, что они должны соответствовать моделируемым экономическим объектам, то есть обладать адекватностью.

Результат экономико-математического моделирования есть предмет для рассуждения управляющих, дающий им возможность расширить представления об ожидаемом функционировании объекта управления при тех или иных условиях, а также о результативности управления в разных его вариантах. На первый план выходит консультирующая роль экономико-математического моделирования; модели подсказывают управляющим многое из того, на что они могли бы обратить внимание, расширяют поле обзора способов, средств и потенциально возможных результатов управления.

Реализуемость экономико-математического моделирования с использованием современной компьютерной техники, средств передачи и отображения информации позволяет благодаря моделям многократно повысить количество рассматриваемых вариантов управления, различающихся по характеру управленческих решений. Благодаря этому применение экономико-математических моделей в управлении позволяет приблизиться к рациональным, а также к оптимальным решениям, обеспечивающим лучшее использование экономических ресурсов, достижение высокой эффективности управления.

Экономико-математические методы и модели представляют обширный и достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический инструмент познания. Благодаря тому, что экономико-математическое моделирование распространяет свои возможности на все уровни управления, начиная от экономики страны и заканчивая экономикой предприятия, фирмы, небольшой компании, отдельного хозяйства, можно объединить отдельные модели в систему моделей. При умелом использовании многоуровневые системы экономико-математических моделей позволяют судить о необходимой увязке мероприятий управления на разных уровнях, достижении их непротиворечивости.

Многолетним мировым опытом доказано, что экономико-математические модели способны служить мощным средством научного анализа, прогнозирования, аналитического планирования самых разных социально-экономических процессов. Проводится большая исследовательская деятельность в области экономико-математических методов планирования и управления, которой заняты академические и прикладные научно-исследовательские организации.

Многообещающей становится разработка проблемно-ориентированного программно-математического обеспечения в виду универсальных математических алгоритмов решения широкого класса экономических задач управления. Особенно широко применяется моделирование при принятии решений в экономике. Это обусловлено тем, что проведение экспериментов на реальных экономических объектах чрезвычайно затруднено, а в ряде случаев из-за нежелательных последствий и потери времени практически невозможно. Моделирование помогает предсказать поведение реальных объектов, не прибегая к экспериментам.

Можно выделить четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование системы экономической информации.

Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов.

Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем.

Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы и т.п.

4. Решение принципиально новых экономических задач.

Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

Математическое программирование даёт способы находить наиболее выгодные варианты при планировании производства, перевозок и снабжения и при управлении сложными процессами. Внедрение методов программирования в практику позволяет достичь значительной экономии средств и времени.

Значение моделирования для научных исследований трудно переоценить, так как в процессе проектирования человек работает уже не с реальным объектом, а с его моделями: графическими и знаково-графическими (изображения чертежи), пространственно-подобными (макеты), математическими (числовые данные, расчетные формулы).

Рассмотренные и изученные в данной курсовой работе задачи показывают роль экономико-математического моделирования и применение этих методов в управлении, прогнозировании, анализе всей производственной деятельности. С помощью транспортной задачи можно определить оптимальный план перевозок однородного груза в соответствии с выбранным критерием от поставщиков к потребителям так, чтобы общий грузооборот или суммарная стоимость перевозок были минимальными. Большинство задач такого рода решается в целях оптимизации строительных и технологических процессов, уменьшая при этом затраты на перевозку.

Задача о назначениях связана с назначением исполнителей на определённый вид работ. Это назначение обеспечит наибольшую эффективность, то есть минимум суммарных затрат или максимум прибыли (производительности). Такие задачи возникают повсюду, где существует необходимость распределения кандидатов на выполнение работ, то есть они отражают ситуации, возникающие при организации любого производства.

Задача о ранце - задача о наилучшем использовании ограниченного объёма средств. Она помогает руководителям при планировании осуществления каких-либо проектов.

С помощью методов спуска можно, например, определить, в каком количестве необходимо выпускать продукцию, чтобы полученная прибыль была максимальной.

Статические и динамические балансовые модели широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических процессов, в том числе в задачах экономики труда.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. В связи с этим необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы. Этим определяется ограниченность балансовых моделей и балансового метода в целом.

К числу важнейших аналитических возможностей балансового метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моделью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении.

Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

Использование данных моделей позволяет проводить эксперименты не в процессе производства или строительства, что дорого, трудоёмко, связано со значительными временными затратами, а на схемах, чертежах и в расчётах.

Литература

1) «Исследование операций в экономике» под редакцией проф. Н.Ш. Кремера 2010.

2) «Методы и модели решения экономических задач» - Хачатрян С.Р., Пинегин М.В., Буянов В.П. 2008.

3) «Математические модели в экономике» - Чуркин Э.М. 2011.

Размещено на Allbest.ru