Применение методов нелинейной динамики к исследованию финансового рынка
Исторический обзор теории финансового инвестирования. Применение методологического аппарата нелинейной динамики к моделированию и анализу процессов, протекающих на рынках ценных бумаг. Исследование фрактальных свойств американского фондового рынка.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.02.2011 |
| Размер файла | 2,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Можно отметить, что необходимость большой выборки очень точных измерений предшествующих состояний объекта для алгоритмов нахождения количественных характеристик хаоса и построения прогнозирующих систем делает эти алгоритмы достаточно «капризными». Как указывается в [39] «… в то же время живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке возник новый класс задач, весьма сложный для разработчиков программ и легко решаемый биологическими субъектами».
Символами этой эпохи [43] стали субгарманический каскад, множества Кантора, аттрактор Хенона, система Лоренца. Заметим, что именно Э. Лоренц в 1963 г. явился одним из основоположников теории хаоса.
Можно выделить следующие причины, вызвавшие повышенный интерес на сегодняшний день к теории хаоса:
· исследование хаоса обеспечивает новые концептуальные и теоретические средства, позволяющие понять сложное поведение систем, которое не удавалось объяснить другими теориями;
· хаотическое поведение универсально и проявляется в самых разных областях, таких, например, как в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, в том числе, как будет показано далее, и на финансовых рынках.
Теория хаоса [44] является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф [45, 46]. Этот тип разрывов был введен Р. Томом в 1972 г. и Е. Зиманом в 1977 г. Крупномасштабные разрывы (катастрофы) происходят в определенном состоянии переменных при изменении других, управляемых переменных, которые достигают критических бифуркационных значений. В применении к экономике теорию катастроф впервые продемонстрировал Е. Зиман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на финансовом рынке. Теория катастроф предложила анализ обшей структуры крупномасштабных разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.
Оба подхода к динамике разрывов и теорию катастроф, и теорию хаоса можно рассматривать как частные случаи более широкой категории - теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где и происходят скачки на плавных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977 г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983 г. [47]. По их мнению, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.
При анализе хаотических явлений необходимы некоторые меры (критерии), позволяющие получить количественную оценку хаоса, сравнить теоретические и экспериментальные наблюдения, выявить отличие хаотического ряда от случайного. В задаче формирования таких критериев используются два подхода.
В первом подходе акцент делается на динамике хаотической характеристики. В рамках этого подхода применяются такие критерии, как показатель Ляпунова (мера скорости расхождения траекторий, начинающихся на соседних точках), энтропия Колмогорова (параметр, который отображает количество информации на аттракторе). Сюда же можно отнести спектральный анализ, а именно спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию.
Второй подход отражает геометрическую природу траекторий в пространстве состояний. Данный подход предполагает использование критериев, определяемых через фрактальную и корреляционную размерности.
4.2 Рождение и развитие фрактальной геометрии
Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.
По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [48]. Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.
С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности [49].
Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).
Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» [50].
Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.
4.3 Фрактальная размерность
Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства , для поверхности - , для линии - , для точки ), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).
Рисунок 7. Построение линии Пеано
Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.
Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.
Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной , так что . По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной , то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае , где - размерность объекта (см. рис. 8).
Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками
Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:
(1)
Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.
Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.
Рисунок 9. Построение множества Кантора
Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,
.
Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной
Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно
Поэтому его фрактальная размерность
.
Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект , от изменения его линейных размеров [51]:
(2)
Для линии . Для плоскости . Для объема .
Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.
Рисунок 10. Построение снежинки Кох
Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна , так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.
4.4 Показатель Херста и R/S-анализ временных рядов
Одним из наиболее популярных методов нелинейной динамики является анализ временных рядов на основе вычисления показателя Херста, который получил название - R/S-анализ (rescaled range analysis). Метод был предложен английским исследователем Гарольдом Херстом. На протяжении длительного периода времени Херст занимался исследованием Нила и решением задач, связанных с накоплением водных ресурсов. Он открыл новый статистический метод - метод нормированного размаха [52]. Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, изменения температуры, осадки, рост колец деревьев, солнечные пятна следуют «смещенному случайному блужданию» - тренду с шумом. Величина коэффициента (показатель Херста) характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Метод Херста применим и для изучения временных рядов в экономике и на рынках капитала, и позволяет выяснить, являются ли эти ряды также смещенными случайными блужданиями.
Используя безразмерное отношение нормированного размаха можно сравнивать различные явления. Херст обнаружил, что для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением:
, (3)
где - некоторая константа,
- текущее значение длины выборки,
- показатель Херста (принимает значения от 0 до 1).
Размах вариации измеряемой случайной величины определяется как разность максимального и минимального накопившегося отклонения:
,
- длина всей выборки
Накопившееся отклонение значений случайной величины от ее среднего значения за время рассчитывается как:
.
Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил размах вариации на стандартное отклонение исходных наблюдений, рассчитываемое по формуле:
.
Прологарифмировав соотношение (3), получим:
. (4)
Для оценки показателя Херста значения как функции от откладываются в двойной логарифмической шкале. Полученные точки аппроксимируются с помощью метода наименьших квадратов, и через угол наклона прямой определяется величина .
Если рассматриваемый временной ряд обладает долговременной памятью, то его R/S-траектория факт исчерпания памяти о начале ряда демонстрирует так называемым «срывом с тренда» или, в другой терминологии, сменой направления тренда, вдоль которого следует определенное количество начальных точек R/S-траектории [53].
Вышеуказанный термин «смена тренда» подразумевает, что точки R/S-траектории, следующие после точки смены тренда, уже «не возвращаются» к первоначальному тренду.
На основании компьютерных экспериментов для временных рядов было сформулировано следующее определение трендоустойчивого начального отрезка временного ряда, заканчивающегося точкой исчерпания этого тренда:
1. Определенное количество точек, относящихся к началу R/S-траектории, следуют вдоль линейного тренда.
2. После точки R/S-траектория меняет тренд, причем, последующие точки этой траектории «не возвращаются» к первоначальному тренду.
3. Временной ряд ординат точек Н-траектории (;) при переходе от к получает отрицательное приращение; при этом точка Н-траектории находится в зоне черного шума, то есть значение показателя Херста .
Как правило, точка смены тренда R/S-траектории появляется с лагом, в силу чего номер точки смены тренда этой траектории является верхней оценкой глубины памяти о начале рассматриваемого временного ряда.
При построении R/S-траектории и H-траектории необходимо учитывать, что R/S-анализ в силу алгоритмической особенности не вычисляет координаты , соответствующие двум первым уровням исследуемого временного ряда, то есть для и .
Применительно к финансовым данным можно использовать следующую трактовку: показатель Херста измеряет влияние информации на временной ряд данных. Значение подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже впитаны и обесценены рынком. В противоположность этому при события сегодня будут иметь значение завтра, то есть полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. Это не просто автокорреляция, когда влияние информации быстро падает (кратковременная «марковская» память), а это долговременная память. Она обусловливает информационное влияние в течение больших периодов времени и характеризуется длиной цикла.
Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением [54]:
, (5)
где - мера корреляции,
- показатель Херста.
Для очень большого количества наблюдений можно ожидать сходимости ряда к величине , так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того как приблизится к 0.5, так как корреляционная мера не применима ко всем без исключения приращениям.
Важно напомнить, что корреляционная мера не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гауссовские или почти гауссовские свойства лежащего в основе распределения - хорошо знакомую колоколообразную кривую. Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах [55].
На рисунке 11 в двойных логарифмических координатах представлена кривая зависимости от для , построенная по данным, полученным с помощью генератора псевдослучайных чисел с гауссовским выходом, и показывает . Эта оценка немного выше, чем ожидалось, но эти псевдослучайные числа сгенерированы детерминистическим алгоритмом, что может быть причиной смещения. Важно заметить, что R/S-анализ - это исключительно устойчивый метод. В его основе нет предположения о гауссовском распределении. Найденное значение не является доказательством того, что налицо гауссовское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать .
Рисунок 11. R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение , оценка
На рисунке 12 показана аналогичная кривая для - значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данные были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения. Такой ряд получен, с учетом памяти о 200 наблюдениях. Данные имитируют естественный цикл из 200 наблюдений.
Рисунок 12. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка .
Когда превышается (), тогда R/S-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство R/S-анализа позволяет определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.
На рисунке 13 показана аналогичная кривая, построенная для . Действительная в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.
Рисунок 13. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка
Благодаря своей замечательной устойчивости, показатель Херста широко применяется в анализе временных рядов сложных систем. Он содержит минимум предположений об изучаемой системе и позволяет ввести классификацию временных рядов безотносительно к их виду распределения.
Выделяют три интервала значений показателя Херста:
|
Значение |
Поведение случайного временного ряда |
Цвет шума |
Карикатура долгосрочной зависимости |
|
|
Данный диапазон соответствует антиперсистентным (эргодическим) рядам. Такой тип системы часто называют - «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то, скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе к , или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив, или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. |
Розовый шум |
|||
|
Указывает на случайный ряд (броуновское движение, случайные блуждания). События некоррелированы между собой (), настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако, это не обязательное условие. |
Белый шум |
м |
||
|
Значения показателя , принадлежащие данному диапазону, характерны для персистентных или трендоустойчивых рядов. Они характеризуются наличием долговременных корреляций между текущими событиями и событиями будущими. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Сила персистентности, увеличивается при приближении к 1, или 100% корреляции (). Чем ближе к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный временной ряд является фракталом, поскольку может быть описан как обобщенное броуновское движение или смещенные случайные блуждания. |
Черный шум |
Персистентные временные ряды являют собой наиболее интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, - это открытие принадлежит Херсту, - но и свойственны рынкам капитала.
4.5 Эмпирический закон Херста
Херст предложил также формулу для оценки величины по значению :
. (6)
В этой формуле предполагается, что константа из соотношения (4) равна .
Федер показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать , когда оно больше , и, наоборот, преуменьшать, если , однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение [48].
4.6 Взаимосвязь фрактальной размерности и показателя Херста
Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных изменений при случайном блуждании, равна . Фрактальная размерность кривой линии равна , а фрактальная размерность геометрической плоскости равна . Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит между кривой линией и плоскостью.
Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:
(7)
Таким образом, если , то . Обе величины характеризуют независимую случайную систему. Величина будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии. Это персистентный временной ряд, дающий более гладкую, менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Антиперсистентная величина дает соответственно более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам.
4.7 Обоснованность оценки Н
Даже если найдена аномальная величина , закономерен вопрос, обоснована ли ее оценка. Можно усомниться в том, достаточно ли было данных, или даже - работает ли вообще R/S-анализ. Для решения этого вопроса предлагается следующий простой тест, основанный на тесте, разработанном Шейнкманом и Ле Бароном для корреляционной размерности [56].
В сущности оценка , которая значительно отличается от , имеет два возможных объяснения:
1. В изучаемом временном ряду имеется долговременная память. Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями.
2. Такого рода анализ сам по себе несостоятелен, и аномальная величина не означает, что имеет место эффект долговременной памяти.
Может оказаться, что существует нехватка данных для обоснованного теста (при этом не существует четких критериев того, сколько данных необходимо). Тем не менее, в этом случае изучаемый ряд как ряд независимых случайных переменных либо а) заключает в себе , отличное от , либо б) представляет собой независимый процесс с толстыми хвостами, описанный Кутнером [57].
Можно проверить обоснованность результатов путем случайного перемешивания данных, в результате чего порядок наблюдений станет полностью отличным от исходного ряда. Ввиду того, что наблюдения остаются теми же, их частотное распределение также останется неизменным. Далее необходимо вычислить показатель Херста этих перемешанных данных. Если ряд действительно является независимым, то показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, то есть корреляции между наблюдениями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.
Если имел место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешанные данные, разрушают структуру системы. Оценка при этом окажется значительно ниже и будет приближаться к , даже если частотное распределение наблюдений не изменится.
Сначала перемешаем случайный ряд, который имел значение . На рисунке 14 в двойных логарифмических координатах представлены перемешанный и неперемешанный ряды. Между ними фактически нет разницы. Перемешанный ряд дал оценку . Перемешивание на самом деле даже увеличило оценку ; это говорит о том, что эффект долговременной памяти отсутствовал.
Рисунок 14. Тест на перемешивание для R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Для неперемешанных данных , для перемешанных
На рисунке 15 в двойных логарифмических координатах представлены неперемешанный ряд (полученный при ) и тот же ряд - перемешанный. Исходный ряд дал результативную оценку , перемешанный - . Такое падение величины говорит о том, что при перемешивании была разрушена структура процесса. Перемешанный ряд остался не нормально распределенным, но процесс перемешивания сделал данные независимыми. Это доказывает утверждение Мандельброта о том, что R/S-анализ работоспособен безотносительно к распределению временного ряда.
Рисунок 15. Тест на перемешивание для R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Для неперемешанных данных , для перемешанных
Рассмотренный выше показатель Херста, как будет показано в пятой главе, является одним из важнейших параметров многопараметрической модели, построенной исходя из гипотезы когерентных рынков. В данной модели будет предложено связать показатель Херста с показателем поведения толпы .
5. ГИПОТЕЗА КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА
Теория хаоса пытается предсказать движение рыночных цен с точки зрения нелинейных детерминистических моделей. В противоположность ей гипотеза когерентного рынка (coherent market hypothesis, CMH) является нелинейной статистической моделью. Модель была разработана Тонисом Веге и описана в 1990 году в статье «The Coherent Market Hypothesis». В основе модели Веге использована теория социальной имитации, которая в свою очередь является развитием физической модели Изинга, описывающей когерентное молекулярное поведение в ферромагнетике (то есть в металле, обладающем высокой магнитной проницаемостью).
5.1 Модель Изинга
Как отмечает Шредер [43], большинство физических моделей настолько сложны, что приходится полагаться лишь на достаточно простые модели реальности. Одной из таких моделей является модель спиновых систем, названная в честь известного физика Эрнеста Изинга и ставшая в настоящее время основой для создания статистических моделей фазовых переходов в различных областях физики.
Рассмотрим модель в приложении к ферромагнетикам, представляющие собой удобные системы, в которых можно наблюдать фазовые переходы различных типов. В качестве примера ферромагнетика возьмем брусок железа. В модели Изинга спины (магнитные моменты) могут принимать только два выделенных направления - либо вверх (положительный спин), либо вниз (отрицательный спин). Уровень магнитного поля будет зависеть от двух параметров: связи соседних молекул (внутренняя кластеризация) и наличия внешнего поля.
Если железный брусок нагрет, случайные столкновения соседних молекул будут являться причиной хаотического молекулярного движения. Время от времени, большая часть молекул может быть направлена вверх или вниз, но в среднем, разница между количеством молекул направленных верх или вниз будет равна нулю, и как результат мы будем иметь нормальное вероятностное распределение.
Если температура железного бруска понижается ниже критической отметки, то взаимодействие между соседними молекулами усиливается и начинает превышать случайные термальные силы. В случае, если группа молекул начнет движение в определенном направлении, то соседние молекулы также последуют в этом направлении. Вскоре сформируются большие группы как положительно, так и отрицательно направленных молекул, которые на макроскопическом уровне станут причиной долговременных флуктуаций магнитного поля. Однако, если нет внешнего смещения, имеющего тенденцию выравнивать группы в том или ином направлении, среднее значение будет оставаться равным нулю.
Если, в это время, на брусок железа воздействует внешнее магнитное поле, то большинство групп молекул будут выстраиваться в одном направлении. Случайные термальные силы все еще будут являться причиной изменений в магнитном поле, но пока внешнее поле будет оставаться тем же самым, а температура не будет выше критического уровня, большинство молекул будут оставаться выстроенными по направлению внешней силы.
Таким образом, модель Изинга предлагает удобную модель, которую можно применять к системам, состояние которых определяется уровнем внутренней кластеризации и воздействием внешних сил.
5.2 Теория социальной имитации
Теория социальной имитации стала известной после появления работы Е. Каллан и Д. Шапиро, чья статья «A Theory of Social Imitation» вышла в свет в журнале Physics Today в 1974 году. Стоит отметить, что отправной точкой данной теории можно считать работу Вольфранга Вейдлиха. Главная идея Вейдлиха основывалась на предположении, что поведение индивидуумов в социальных группах (к которым можно отнести и рыб, плавающих в косяках, и полет птиц в стаях, и светлячков, мерцающих в унисон, и людей, подтвержденных тенденциям и настроениям моды) подобно молекулам в бруске железа. При некоторых условиях они ведут себя независимо друг от друга. В других случаях, мышление тех же самых индивидуумов поляризуется, то есть личности будут действовать как толпа, и индивидуальное рациональное мышление заменяется коллективным.
Как заметил еще в XIX веке Чарльз Маккей [58]: «Люди, как некто удачно выразился, мыслят стадом; вы узнаете, что стадом же они сходят с ума, а в сознание приходят медленно и поодиночке». Таким же образом, брусок железа, подверженный влиянию магнитного поля достаточно продолжительное время, станет сильно поляризованным, и, только после прекращения влияния внешних факторов, медленно вернется к неполяризованному состоянию.
Фактически Вейдлих расширил хорошо известную модель ферромагнетизма Изинга на поляризацию мнения в социальных группах.
5.3 Гипотеза когерентного рынка
В 1990 году Тонис Веге предложил гипотезу когерентного рынка. За основу Веге взял теорию социальной имитации для моделирования поляризации общественного мнения. Он предположил, что существует связь между рыночной поляризацией и доходностью ценных бумаг.
Отметим, что в применении модели Изинга к моделированию доходностей финансовых инструментов, следует учесть некоторые особенности фондового рынка. В отличие от бруска железа, фондовый рынок представляет собой открытую систему, что предполагает непрерывный поток денежных средств для сохранения возможности фазовых переходов от «беспорядка» к более организованному состоянию. По аналогии, можно привести в пример лазер, нуждающийся во внешней накачке для поддержания непрерывного потока электронов для излучения света. Если поток энергии в лазере недостаточен, он будет излучать лишь слабый, «случайный» свет.
Можно предположить, что промышленные группы на фондовом рынке являются аналогами молекул в бруске железа, и что доходность рынка ценных бумаг пропорциональна различию между числом инвестиционных групп, торгующих на повышение, и числом, торгующих на понижение. Рыночные доходности могут беспорядочно колебаться около нуля (как в перегретом бруске железа), либо, при особых условиях, они могут демонстрировать высокую степень поляризации, которая сопровождается большой разницей в доходности между инвесторами. В дальнейшем такие понятия как инвестор, трейдер, торговец будем считать синонимами.
Для переноса модели Изинга на рынки капитала предположим следующие допущения. Пусть n - число инвестиционных групп на финансовом рынке (число инвесторов). Мнение инвесторов, ожидающих рост котировок, можно обозначить, как «+» (будем называть его позитивным или бычьим), аналогично, мнение инвесторов, ожидающих падение котировок, обозначим как «-» (будем называть его отрицательным или медвежьим), при этом в любой момент времени инвестор может поменять свое мнение на противоположное. Обозначим вероятность изменения мнения с плюса на минус, а - вероятность изменения мнения с минуса на плюс. Необходимо выразить функцию распределения вероятностей .
Можно получить следующее кинетическое выражение [59]:
(8)
В этом уравнении суммируются все вероятностные переходы во мнениях инвесторов, произошедшие за короткий интервал времени , относительно некоторого положения (см. рис. 16).
Рисунок 16. Пример вероятностных переходов
Для описания преобладающей тенденции на рынке (позитивной или негативной) введем переменную . Эта переменная отражает величину рыночной поляризации мнений участников рынка:
Мы можем переписать распределение вероятностей, используя и :
Используя эти выражения, выражение (8) можно упростить:
Тогда
Определим - коэффициент дрейфа, - коэффициент диффузии:
(9)
(10)
В результате получим уравнение Фоккера-Планка для распределения вероятностей:
Это уравнения в частных производных решается интегрированием
(11)
где - это нормирующая константа.
Как было указано выше, Вейдлих по аналогии между поведением индивидуумов в социальных группах и поведением молекул в ферромагните сделал предположение о вероятностях переходов и . Он предположил, что индивидуумы подвергаются воздействию двух сил: силе внутреннего взаимодействия между самими индивидуумами и силе влияния внешних окружающих условий.
Сопоставляя мнения «+» или «-» с направлением спина, аналогично с моделью Изинга, вероятностные переходы экспоненциально зависят от влияния вышеописанных двух сил и равны:
где - мера способности к адаптации по отношению к соседям;
- параметр предпочтительного мнения ( показывает, что положительное мнение предпочитается отрицательному);
- коллективный параметр общественного мнения (в физике соответствует параметру , где - постоянная Больцмана, - температура);
- частота процессов «перескоков».
Используя выражения (9) и (10) можно получить:
(12)
(13)
По аналогии с моделью Изинга при подстановке численных значений (12) и (13) в (11) можно получить два типичных результата. Первый соответствует высокотемпературному пределу, и возникает из-за частых перемен мнения при низкой адаптации индивидуумов , таким образом, получается одноцентровое распределение мнений ( будет колебаться около нуля). Другая ситуация возникает, когда параметр социального климата уменьшается, или же константа связи между инвесторами увеличивается, возникает две группы мнений которые и описывает «поляризацию» рынка.
Распределение рыночных доходностей Веге сопоставил с распределением вероятностей поляризации и дал следующую интерпретацию управляющих параметров системы:
- фундаментальное смещение (результат влияния внешних экономических условий). Параметр варьируется от -0.02, что соответствует негативным окружающим условиям (то есть тем, влияние которых потенциально может уменьшать стоимость ценных бумаг, что может привести к медвежьему рынку), до значения +0.02, соответствующего позитивным окружающим условиям (соответственно, это такие условия, влияние которых потенциально может увеличить стоимость ценных бумаг, что может привести к бычьему рынку). Значения, лежащие около нуля, соответствуют нейтральной экономической ситуации.
- рыночные настроения или показатель степени согласованности инвесторов (в [67] - «показатель поведения толпы»). Параметр может принимать значения от 1,8 до 2,3. При этом соответствует полностью случайному временному ряду. Ситуацию, когда принимает значения от 2 и более, назовем «режимом толпы».
- число степеней свободы, или количество участников рынка. Будем называть участником рынка - группу инвесторов со сходными инвестиционными действиями и ожиданиями относительно дальнейшего направления рынка. Данный параметр Веге предполагает фиксированным и равным 186 (количество промышленных групп).
5.4 Влияние изменений управляющих параметров на вид функции плотности вероятности
Были написаны программы в пакете математической обработки данных Mathcad (см. приложение), позволяющие эффективно исследовать математическую модель, соответствующую CMH. Одна из программ рассчитывает и строит кривую функции плотности вероятности (11) при изменяющихся управляющих параметрах.
Фазы рынка. Изменение управляющих параметров меняет форму функции вероятности (11). Комбинация значений параметров системы дает основные рыночные состояния (фазы рынка):
1. Эффективный рынок, то есть рынок, в котором финансовые инструменты ведут себя как случайный временной ряд, и, следовательно, такой рынок не может быть прогнозируемым. В этом случае инвесторы действуют независимо друг от друга, и информация мгновенно отражается в ценах.
2. Переходные состояния рынка. Возникают из-за возрастания «группового сознания», то есть происходит некое смещение в настроениях инвесторов.
3. Хаотический рынок. Рынок, на котором финансовые инструменты обладают «долгосрочной памятью». Настроения инвесторов в данном случае характеризуются тем, что быстро распространяются в «групповом сознании», а фундаментальные условия нейтральны или еще не определенны.
4. Когерентный рынок, в котором обозначены фундаментальные тенденции, и, кроме того, как и в случае 3, присутствует «долговременная память». Это часто трендовые рынки с низким риском для получения прибыли.
На рисунке 17 проиллюстрирована зависимость рыночного состояния от преобладающего настроя инвесторов и фундаментальных экономических условий по аналогии с Бостонской матрицей, характеризующей тип предприятия. Ниже критического переходного порога (при ) на рынке преобладает состояние случайного блуждания и быстрой смены настроений на рынке. Выше переходного порога, в случае если фундаментальные данные позитивны, проявляется когерентный бычий рынок, если фундаментальные данные негативны, то можно увидеть когерентный медвежий рынок. Когда фундаментальные данные не обеспечивают чистого направления для инвесторов, получаем хаотический рынок.
Рисунок 17. Зависимость рыночного состояния от h и k
Ситуация случайного блуждания. Функция плотности вероятностей (11) может быть значительно упрощена, если поведение инвесторов не является групповым, то есть когда . Если предположить, что фундаментальные данные нейтральны (то есть ), то функция может быть выражена в следующей форме:
Таким образом, мы получаем плотность вероятности нормального закона распределения, отражающее состояние истинного случайного блуждания (см. рис. 18).
Доходности рыночного индекса могут быть рассмотрены как частица, попавшая в потенциальный колодец под действием случайных сил. Колодец будет иметь форму симметричной чаши с дном около нуля. Это отражает действие случайных сил на частицу, влияние которых быстро ослабевает, и она возвращается на дно. Теоретически, случайные блуждания на рынках капитала, в зависимости от фундаментальных данных, могут вызвать как незначительные стабильные прибыли, так и незначительные стабильные убытки. Как замечает Веге, исторически, тем не менее, случайное блуждание на рынках сопровождается, в силу транзакционных издержек, стабильными незначительными убытками и наиболее часто ассоциируется с медвежьими рынками.
Рисунок 18. Функция плотности вероятности доходностей рынка в ситуации случайного блуждания. Параметры: ; ;
Переход к режиму толпы. В случае небольшого возрастания до 2 (величина критического переходного порога) при неизменных фундаментальных условиях (), дисперсия в уравнении (11) становится очень большой, и нормальное распределение для плотности вероятности доходностей рынка (как и модель случайных блужданий) больше не применима. Функция плотности вероятности становится более широкой и плоской. Мы получаем ситуацию неустойчивого перехода.
Если на рынке со случайным блужданием движение частицы в потенциальном колодце резко затухает, что означает, что эффекты от случайных воздействий на частицу будут быстро дисконтированы, то при возрастании , частица начинает свободно колебаться от одного крайнего положения в другое внутри потенциального колодца. Это предполагает высокую неэффективность рынка, на котором можно ожидать большие и продолжительные перемещения в настроениях инвесторов. На рынке присутствует «долговременная память» (таким образом, информация не обесценена), имеются тренды, и они сохраняются, пока новая информация не изменит их.
На рисунке 19 изображена кривая вероятностного распределения, которая соответствуют ситуации нестабильного перехода от случайного блуждания к рынку, на котором присутствует режим толпы. Потенциальный колодец при переходе к режиму толпы будет иметь почти горизонтальное дно на широком диапазоне ожидаемых доходностей. В этот период нестабильности может случиться все что угодно.
Это случай, когда на рынке присутствуют нейтральные фундаментальные новости, в тот же момент незначительное смещение в характере фундаментальных новостей может привести к скосу кривой распределения в сторону этого смещения.
Рисунок 19. Функция плотности вероятности доходностей рынка при переходе к режиму толпы. Параметры: ; ;
Хаотические рынки. Когда показатель поведения толпы превышает величину критического уровня , а фундаментальные данные нейтральны либо очень малы (), модель Изинга будет демонстрировать двойное дно потенциального колодца и соответственно бимодальную функцию распределения вероятностей (любая позитивная или негативная информация может привести к радикальным переменам, это и отражает функция плотности вероятности образуя две вершины). Проявляется высокий уровень поляризации среди инвесторов, но при отсутствии сильного фундаментального смещения им трудно выявить четкое направление, в сторону которого могла бы двигаться толпа, будь то в медвежьем либо бычьем тренде.
За недостатком фундаментальной информации инвесторы отслеживают действия друг друга, поэтому любые слухи могут стать причиной паники, вероятна возможность внезапного смещения в направлении с бычьего в медвежий или наоборот. Вероятность сильного смещения в настроениях инвесторов увеличивается, когда преобладающее направление инвесторского настроя идет вразрез с направлением внешнего смещения в фундаментальных данных.
Как пример, можно привести период, предшествующий краху американского фондового рынка в 1987 году. В это время на рынке наблюдался режим толпы. Фундаментальные экономические условия были нейтрально-медвежьи () и объяснялись монетарной политикой, которую проводила Федеральная резервная система.
На протяжении последних 6 лет процентная ставка постепенно сокращалась с 14 до 5.5%, на этом уровне в 5.5% ставка оставалась первые 8 месяцев 1987 года. К этому моменту рынок поднялся более чем на 25% за последний год, и на рынке преобладал бычий настрой инвесторов. И вот 4 сентября 1987 г. появилась сильная негативная новость для финансовых рынков - ФРС повышает учетную ставку на 0.5% и ясно показывает намерение проводить в дальнейшем сдерживающую монетарную политику.
На рисунке 20 показано вероятностное распределение, относящееся к периоду, предшествовавшему кризису 1987 года.
Рисунок 20. Функция плотности вероятности доходностей рынка в условиях хаотического рынка. Параметры: ; ;
На рисунке 21 изображено движение индекса S&P500, соответствующее этому распределению:
Рисунок 21. Пример фазы «хаотического рынка» индекса S&P 500 1987г.
По функции плотности вероятности видно, что вероятность бычьего состояния рынка остается еще вполне возможной, и, более того, на рынке присутствует режим толпы, тем не менее, на режим толпы наложились медвежьи фундаментальные новости, а это может вызвать потенциально опасную ситуацию. Даже незначительные негативные импульсы могут направить частицу (рыночную доходность) через небольшой барьер в центре потенциального колодца в более вероятное состояние чистого медвежьего настроя и отрицательной доходности. Специфические новости, предшествовавшие краху, были менее важны как причина, нежели преобладающая комбинация настроя инвесторов и фундаментального смещения в данных.
Хаотический рынок может быть описан как квази-эффективный. Пока на рынке присутствует режим толпы, любое направление движения в котировках ценных бумаг может быть устойчивым, если поддерживается хотя бы слабыми новостями, «подогревающими» движение в этом направлении. Такая ситуация существовала первые 8 месяцев 1989 года, когда хорошие новости отражались в высоких рыночных ценах, а плохие, наоборот, в низких (см. рис. 22).
Рисунок 22. Пример фазы «хаотического рынка» индекса S&P500 1989г.
Необходимо быть осторожным, так как высокое стандартное отклонение, связанное с распределением вероятностей на рисунке 20, отражает высокую степень риска на хаотическом рынке.
Когерентный бычий рынок. Когда сильные позитивные фундаментальные данные () накладываются на режим толпы () - ситуация благоприятствует развитию когерентного бычьего рынка. Такой рынок может быть рассмотрен как хаотический рынок, на котором медвежья сторона потенциального колодца высока, и соответствующая ей пропорция вероятностного распределения уменьшается.
На рисунке 23 представлена функция плотности распределения когерентного бычьего рынка. Распределение имеет достаточно длинный хвост, уходящий далеко в отрицательную часть. Модель показывает, что, несмотря на бычьи условия, все же остается небольшая вероятность получения на рынке убытков. На таком рынке риск потерь низок, и общая волатильность падает. Данные условия как нельзя более подходят для совершения покупок ценных бумаг.
Рисунок 23. Функция плотности вероятности доходностей рынка при когерентном бычьем рынке. Параметры: ; ;
Типичный пример когерентного рынка можно наблюдать, когда возрастают свободные денежные накопления. Для поддержания бычьего когерентного рынка необходимо поступление свободных денежных средств (по аналогии - для лазера для поддержания достаточного количества высокоэнергетических электронов для излучения света, необходима внешняя накачка). Поэтому часто когерентные рынки можно наблюдать, тогда, когда величина денежных резервов очень высока.
Для примера, на российском фондовом рынке многие практикующие трейдеры обращают внимание на остатки денег коммерческих банков на корреспондентских счетах в Центральном банке. Фактор избыточной ликвидности является сигналом того, что часть этих денег может пойти на фондовый рынок и поддержит рост котировок.
Как отмечает Веге, большая часть долгосрочной рыночной прибыли получается благодаря когерентным рынкам. Когда когерентный рынок заканчивается и наступает состояние хаотического рыка или случайного блуждания, слишком поздно надеяться на получение дохода от инвестиций.
Когерентные медвежьи рынки. Когерентные медвежьи рынки появляются, когда на рынке присутствуют сильные негативные фундаментальные данные вкупе с поведением инвесторов в режиме толпы . По сути, это зеркальное отражение когерентного бычьего рынка. Когерентный медвежий рынок может быть рассмотрен как хаотический рынок, на котором бычья сторона потенциального колодца высока и соответствующая ей пропорция вероятностного распределения уменьшается. Стандартное отклонение такое же, как и у когерентного бычьего рынка, однако ожидаемый убыток сходен с аналогичной прибылью на бычьем рынке. Хорошим примером когерентного медвежьего рынка может быть крах 1929 года на американском фондовом рынке, который длился несколько лет.
Рисунок 24. Функция плотности вероятности доходностей рынка при когерентном медвежьем рынке. Параметры: ; ;
На рисунке 24 приведен пример подобного рынка. Функция плотности вероятности сильно скошена влево, но остается длинный положительный хвост, указывающий на то, что дни положительных доходностей рынка остаются возможными, даже если их вероятности очень малы. Положительные фундаментальные новости могут иметь меньший эффект на рынок, чем отрицательные той же величины. На таких рынках, совершая короткие продажи, трейдер может получить прибыль сравнимую с доходностью при инвестировании на бычьем рынке.
5.5 Подсчет параметров модели Веге-Изинга
Веге предполагал, что мы не сможем точно узнать значения параметров и (параметр он предлагал приравнять к 186 [62]), и даже узнать, положительны ли они, нейтральны или отрицательны. Тем не менее, удалось предложить метод, позволяющий достаточно точно определить значения управляющих параметров.
Предположим, что существует связь между показателем настроя толпы и показателем Херста . Эту связь можно выразить соотношением:
(14)
Действительно, в случае - мы получаем случайный рынок. Если возрастает и равно 2, то возрастает и показатель Херста до 0.7, что означает присутствие на рынке «режима толпы».
Таким образом, показатель настроения толпы вычисляется достаточно легко, так как существует несколько надежных способов расчета показателя Херста [1, 53, 60, 61]. Для расчета числа степеней свободы рынка и показателя фундаментального смещения использовались процентные приращения дневных значений индекса S&P 500 за период с ноября 2002 года по апрель 2010 года. Вся совокупность данных была разбита на 2-месячные интервалы, и далее, путем подгонки уравнения (11) для каждого интервала были найдены соответствующие значения параметров и .
Следует заметить, что если на рынке нейтральные фундаментальные данные (тем самым отсутствуют значимые инвестиционные идеи) и слабый настрой толпы, то количество степеней свободы рынка - максимально. На рынке много групп (их количество может достигать 500), каждая из которых проводит свою инвестиционную политику с разным временным горизонтом, и в среднем, влияния их на рынок нивелируется, рынок дрейфует в «боковом тренде». В периоды же когерентных рынков (то есть когда есть сильные позитивные или негативные данные вкупе с поведением инвесторов как толпы) число участников рынка сокращается и может уменьшиться даже до 5-20. Это можно объяснить их объединением в большие группы. В период сильных бычьих трендов, равно как и в период сильных медвежьих, ситуация инвесторам, как правило, понятна и вопрос «что делать?» - покупать или продавать не стоит, количество мнений уменьшается, тем самым уменьшается и количество групп игроков.
Гипотеза когерентного рынка дает удобную модель для изучения изменяющихся состояний рынка и, кроме того, позволяет более качественно разобраться в его структуре.
6. АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АМЕРИКАНСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА
6.1 Сравнение распределения прибыли на американском фондовом рынке на основании индекса S&P 500 и нормального закона распределения
Проведем исследование распределения прибыли американского фондового рынка, используя дневной индекс S&P 500 за период с января 1995 года по апрель 2010 года.
В приложении произведена подготовка данных для исследования, на основании которых построена гистограмма вероятностного распределения.
На рисунке 25 представлена полученная гистограмма распределения вероятности реализации () за исследуемый период и гистограмма распределения вероятности гауссовых случайных чисел ().
Подобные документы
Подходы к оценке стоимости финансовых активов в рамках линейной и нелинейной парадигмы. Анализ фрактальных свойств американского фондового рынка. Разработка методики расчета параметров модели Веге-Изинга, построенной на основе гипотезы когерентных рынков.
дипломная работа [2,3 M], добавлен 13.12.2010Основы финансового анализа рынка ценных бумаг. Основы модели АРТ. Методологические подходы к анализу фондового рынка. Теоретические и практические аспекты АРТ-моделирования: воплощение теоретических посылок в модель. АРТ-моделирование в практика.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 27.03.2008Характеристика состояния акций второго эшелона рынка нефтяной отрасли. Рассмотрение подходов ученых к определению сущности поведения участников фондового рынка. Исследование и анализ особенностей эконометрического поведения участников фондового рынка.
курсовая работа [522,1 K], добавлен 13.10.2017Сущность портфельного подхода при решении задачи распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг. Варианты составления портфеля равными долями и оптимального портфеля. Влияние корреляции ценных бумаг разного вида.
презентация [196,6 K], добавлен 01.11.2013Порядок расчета установившегося случайного процесса в системе управления. Статистическая линеаризация нелинейной части системы. Расчет математического ожидания, среднеквадратического отклонения сигнала ошибки. Решение уравнений и построение зависимостей.
контрольная работа [269,4 K], добавлен 23.02.2012Теоретическая оценка инфляционных процессов, обзор исследований по российской инфляции и статистических данных. Обзор используемых методов эмпирического анализа, особенности эконометрического моделирования инфляционных процессов в современной России.
курсовая работа [44,3 K], добавлен 04.02.2011Сущность многофакторного регрессионного анализа с применением МНК-оценок. Математическая модель влияния структуры кредитных активов и ресурсов банков на уровень процентной прибыльности. Подготовка к эконометрическому моделированию в пакете IBM SPSS.
дипломная работа [3,9 M], добавлен 03.07.2015Уравнение нелинейной регрессии и вид уравнения множественной регрессии. Преобразованная величина признака-фактора. Преобразование уравнения в линейную форму. Определение индекса корреляции и числа степеней свободы для факторной суммы квадратов.
контрольная работа [501,2 K], добавлен 27.06.2011Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.
курсовая работа [395,5 K], добавлен 04.05.2011Основы понятия финансового рынка. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод временного ряда на примере продажи акций. Производный финансовый инструмент (дериватив). Екстраполяция тенденции как метод прогнозирования. Валютный рынок Форекс.
курсовая работа [398,4 K], добавлен 25.02.2011
