Применение методов нелинейной динамики к исследованию финансового рынка

Рисунок 25. Распределение вероятности дневных прибылей по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года: нормальное распределение и действительные прибыли

Из рисунка 25 видно, что присутствует высокий пик и толстые хвосты. Также значения прибыли встречаются при стандартном отклонении значительно большем, чем 3 на обоих хвостах.

Для анализа и сравнения закона распределения прибылей американского фондового рынка необходимо исследовать основные характеристики полученного закона распределения, а именно среднее значение, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс. Осуществленные расчеты приведены в таблице 2.

Таблица 2

Основные характеристики вероятностного распределения дневных прибылей по индексу S&P 500, с января 1995 года по апрель 2010 года

Период времени	Среднее значение	Стандартное отклонение	Ассиметрия	Эксцесс
1995 год	0.091	0.385	-0.073	1.132
1996 год	0.057	0.583	-0.616	1.814
1997 год	0.083	0.898	-0.681	6.659
1998 год	0.073	1.005	-0.624	4.844
1999 год	0.055	0.892	0.062	-0.114
2000 год	-0.034	1.098	0.001	1.440
2001 год	-0.044	1.065	0.021	1.502
2002 год	-0.083	1.282	0.428	0.699
2003 год	0.073	0.842	0.054	0.798
2004 год	0.027	0.548	-0.111	-0.116
2005 год	0.009	0.508	-0.016	-0.130
2006 год	0.040	0.495	0.103	1.203
2007 год	0.011	0.791	-0.497	1.502
2008 год	-0.151	2.026	-0.034	3.773
2009 год	0.065	1.347	-0.061	1.912
январь-апрель 2010 года	0.059	0.718	-1.053	1.700
Весь период: январь 1995 года - апрель 2010 года	0.021	0.905	-0.194	1.789

Из таблицы 2 видно, что на всех рассматриваемых интервалах времени, распределение дневных прибылей по индексу S&P 500 значительно отличается от нормального распределения. Распределение дневных прибылей характеризуется преимущественно отрицательной асимметрией и большой плотностью в окрестности среднего значения, а также в области хвостов (очень больших прибылей и убытков). Таким образом, можно предположить, что прибыли имеют фрактальное распределение (распределение Парето).

6.2 R/S-анализ американского фондового рынка

При анализе рынка будем использовать логарифмические прибыли, определенные первой разностью логарифмов значений индекса S&P 500 (). Для R/S-анализа логарифмические прибыли подходят больше, чем широко используемые процентные изменения значений индекса (размах, используемый в R/S-анализе, есть накопленное отклонение от среднего, а логарифмические прибыли складываются в накопленную прибыль, чего нельзя сказать о процентных изменениях).

Анализ будет проводиться по двум периодам:

1) Ряд значений индекса S&P 500, зафиксированных на протяжении 15 лет (с 1995 года по 2010 год), которые преобразованы в 3860 дневных логарифмических прибылей.

2) Ряд значений индекса S&P 500, зафиксированных с ноября 2002 года по апрель 2010 года, то есть период развития американского фондового рынка после кризиса доткомов, которые преобразованы в 1886 дневных логарифмических прибылей.

Оценивать показатель Херста для полного диапазона данных неправильно ввиду того, что ряд имеет конечную память и начинает следовать случайным блужданиям. Теоретически процесс с долговременной памятью предполагается берущим начало из бесконечно удаленного прошлого. Но в теории хаоса утверждается, что в любой нелинейной системе, в ее движении, всегда существует точка, где теряется память о начальных условиях. Эта точка «потери» аналогична концу естественного периода системы. Исходя из этого предполагается, что процессы с долговременной памятью в большинстве систем не бесконечны - они имеют предел [63]. Сколь долга эта память, зависит от структуры нелинейной динамической системы, которая порождает фрактальный временной ряд. По этой причине необходимо строить регрессию на конце каждого диапазона данных, и из анализа полученных оценок можно делать вывод о процессе с долговременной памятью.

R/S-анализ прибылей американского фондового рынка за период с 3 января 1995 года по 30 апреля 2010 года. Начнем с применения R/S-анализа к дневным данным индекса S&P 500 за 15-летний период. На рисунке 26 представлены величины , рассчитанные по регрессиям, включающим все предыдущие значения прибыли до расчетного момента.

Рисунок 26. R/S-анализ: оценка длины цикла дневных прибылей по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года

Пик явно наблюдается при значении 601 торговый день или 30 календарных месяцев с . Это оценка показателя Херста для дневных прибылей по индексу S&P 500, которая обозначена на рисунке 26 первой вертикальной линией. После данного значения система монотонно убывает, стремясь к значению . Две последующие вертикальные линии (от (12 октября 2000 года) до (11 марта 2003 года)) показывают отчетливо выделяющийся временной интервал, где происходит смена тенденции поведения оценки показателя Херста - она начинает возрастать, и данная тенденция продолжается в течение средней длины цикла - 601 торгового дня - после чего система замедляет скорость роста. Данный интервал соответствует кризису доткомов 2000-2002 года.

На рисунке 27 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале.

Рисунок 27. R/S-анализ: дневные прибыли по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года

Точечная прямая на рисунке 27 соответствуют . Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение 601 торгового дня или 30 календарных месяцев (значение по оси абсцисс приблизительно равно 2.78).

В таблице 3 представлены результаты регрессии с использованием , меньшего или равного 601 торговому дню, и по всей выборке.

Таблица 3

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям дневных прибылей за рассматриваемый период

Описание регрессии	Регрессия до торгового дня	Регрессия до торговых дней
Константа	-0.298	-0.768
Коэффициент при ()	0.635	0.806
R-квадрат	0.857	0.890
Стандартная ошибка	0.108	0.121

По регрессии внутри среднего цикла , а по всей выборке оценка . Средняя длина цикла, или период для дневных прибылей американского фондового рынка по индексу S&P 500 равняется 601 торговому дню или 30 календарным месяцам. Это именно средняя величина, поскольку система непериодична и фрактальна.

Были получены следующие результаты:

1) Американский фондовый рынок имеет среднюю длину цикла 30 календарных месяцев, то есть в течение данного срока система имеет связь с начальными данными - присутствует долгосрочная память. Потеря памяти системой происходит в среднем каждые 30 месяцев.

2) Изменение тенденции поведения оценки показателя на рисунке 26 на интервале, соответствующем кризису доткомов, может свидетельствовать о том, что на американском фондовом рынке произошли системные изменения, то есть изменились фундаментальные показатели: длина цикла и показатель Херста.

Проверку данной гипотезы осуществим, проведя R/S-анализ ряда значений индекса S&P 500, зафиксированных с ноября 2002 года по апрель 2010 года - второй из рассматриваемых в данной работе периодов, соответствующий американскому фондовому рынку после кризиса доткомов 2000-2002 года.

R/S-анализ прибылей американского фондового рынка за период с 1 ноября 2002 года по 30 апреля 2010 года. Применим R/S-анализ к дневным данным индекса S&P 500 за период после кризиса доткомов 2000-2002 года. На рисунке 28 представлены величины , рассчитанные по регрессиям, включающим все предыдущие значения прибыли до расчетного момента.

Рисунок 28. R/S-анализ: оценка длины цикла дневных прибылей по индексу S&P 500 с ноября 2002 года по апрель 2010 года

Пик наблюдается при значении 20 календарных месяцев с . Это оценка показателя Херста для дневных прибылей по индексу S&P500, которая обозначена на рисунке 28 первой вертикальной линией. Между двумя другими вертикальными линиями - от (27 февраля 2007 года) до (9 февраля 2009 года) - заключен мировой финансовый кризис 2008-2009 года, который является последствием ипотечного кризиса США 2006-2007 года. На этом промежутке времени индекс начинает вести себя антиперсистентно, то есть если он демонстрирует рост в предыдущем локальном периоде, то в следующем периоде, с большой долей вероятности, начинается спад.

На рисунке 29 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале.

Рисунок 29. R/S-анализ: дневные прибыли по индексу S&P 500 с ноября 2002 года по апрель 2010 года

Прямые на рисунке 29 соответствуют и . Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение 20 календарных месяцев (значение по оси абсцисс приблизительно равно 2.60). После этой точки график меняет наклон и становится более пологим.

В таблице 4 представлены результаты регрессии с использованием , меньшего или равного 20 календарным месяцам, и по всей выборке.

Таблица 4

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям дневных прибылей за рассматриваемый период

Описание регрессии	Регрессия до торговых дней	Регрессия до торговых дней
Константа	-0.139	-0.089
Коэффициент при ()	0.604	0.566
R-квадрат	0.957	0.879
Стандартная ошибка	0.052	0.089

По регрессии внутри среднего цикла . По всей выборке оценка . Средняя длина цикла, или период для дневных прибылей американского фондового рынка по индексу S&P 500 после кризиса доткомов равняется 20 календарным месяцам или 400 торговым дням.

Были получены следующие результаты:

1) Для американского фондового рынка на интервале после кризиса доткомов 2000-2002 года была получена оценка показателя Херста равная 0.604, что несколько ниже оценки, полученной на интервале с 1995 года по 2010 год, равной 0.635. Необходимо отметить, что для второй оценки стандартная ошибка регрессии больше в два раза (0.108 против 0.052).

Таким образом, можно констатировать, что так как измеряет степень зазубренности временного ряда (чем меньше , тем больше шума в системе и тем более ряд подобен случайному), то он выступает в том числе и как показатель риска изменения цен. Можно сделать вывод, что оценка риска для американского фондового рынка не была сильно изменена кризисом.

2) После кризиса доткомов 2000-2002 года произошло уменьшение длины среднего цикла на американском фондовом рынке с 30 календарных месяцев за период с 1995 года по 2010 год до 20 календарных месяцев для интервала после кризиса.

Это свидетельствует о том, что игроки преимущественно пересмотрели свои инвестиционные горизонты в пользу более краткосрочных, так как ситуация на фондовом рынке после кризиса стала предсказуема на меньших диапазонах времени.

3) Показатель Херста устойчив для независимых периодов времени. Кризис американской экономики на него не повлиял - исследования на двух интервалах дали однородные величины (0.635 и 0.604).

4) Полученная оценка , отличная от 0.5, говорит о том, что американский фондовый рынок является фракталом, а не следует случайным блужданиям, и его прибыли имеют фрактальное распределение вероятности. Рынок подвержен смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной . Тренд выражен не ярко, но заметен.

Так как значение оценки показателя Херста для прибылей американского фондового рынка принадлежит промежутку , то имеет место персистентный, или трендоустойчивый ряд. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением - . Фрактальная размерность индекса - , то есть ряд более гладкий (менее зазубренный), чем ряд, представляющий собой случайный процесс.

6.3 Тестирование системы торговли, основанной на распознавании фазы рынка

Основной вопрос, который стоит перед трейдером, можно озвучить так: «В каком состоянии находится рынок в данный момент»? Инструментарий CMH может помочь дать ответ на этот вопрос.

Ниже будет предложена простая система торговли, основанная на распознавании фазы рынка. Основная идея системы основана на избегании периодов, когда рынок ведет себя как случайный или хаотический, и попытке инвестировать только тогда, когда поведение рынка напоминает когерентное. Параметры рынка были подсчитаны для коротких, двухмесячных периодов времени, что накладывает некоторые условия на применение теории когерентных рынков. Так, на таких коротких периодах, показатель Херста (а значит и показатель поведения толпы) редко превосходит величину равную 0.7 (для соответственно 2), кроме того, само количество данных для подсчета (в среднем 40 торговых дней) не может давать действительно точную оценку этого показателя. Тем не менее, значение колеблющееся около 0.5 - явное свидетельство о том, что рынок в данном периоде подобен случайному. А значение близкое к 0.6 показывает, что на рынке присутствует неэффективность, то есть можно ожидать большие и продолжительные перемещения в настроениях инвесторов, а вкупе с положительными или отрицательными фундаментальными условиями и тренды (соответственно бычий или медвежий).

Введем следующие торговые правила:

Покупка, когда и ;

Продажа, если становится отрицательным или нейтральным и приближается к 0.5.

Значения и выбраны путем оптимизации стратегии.

Параметры модели вычислялись лишь для последовательных двухмесячных промежутков времени, поэтому реакцию предложенной системы можно считать запоздалой.

Результаты торговли приведены ниже в таблице 5.

Таблица 5

Результат торговли по стратегии избегания хаотичных и случайных фаз рынка

Дата	S&P500	№	H	h	N	Ошибка VEGE	Ошибка pnorm	Нормальный закон дает меньшую ошибку	Buy/Sell	Прибыль	Остаточная сумма квадратов
01.11.2002	900.96	0
31.12.2002	879.82	40	0.378	-0.0045	135	0.001	0.290				10 889
02.01.2003	909.03	41
28.02.2003	841.15	80	0.678	-0.0017	500	0.002	0.005				11 800
03.03.2003	834.81	81
30.04.2003	916.92	122	0.586	0.0017	163	0.002	0.002	да	B		9 790
01.05.2003	916.30	123
30.06.2003	974.50	164	0.390	0.0034	185	0.001	0.006				9 500
01.07.2003	982.32	165
29.08.2003	1 008.01	207	0.645	0.0020	500	0.058	0.062				4 435
02.09.2003	1 021.99	208
31.10.2003	1 050.71	251	0.504	0.0037	417	0.000	0.028				5 909
03.11.2003	1 059.02	252
31.12.2003	1 111.92	292	0.648	0.0005	500	0.071	0.066	да			4 720
02.01.2004	1 108.48	293
27.02.2004	1 144.94	331	0.516	0.0017	500	0.007	0.069				2 511
01.03.2004	1 155.97	332
30.04.2004	1 107.30	375	0.636	-0.0005	500	0.012	0.015				12 905
03.05.2004	1 117.49	376
30.06.2004	1 140.84	416	0.756	0.0007	320	0.237	0.058	да			5 463
01.07.2004	1 128.94	417
31.08.2004	1 104.24	459	0.545	0.0014	500	0.005	0.051				8 066
01.09.2004	1 105.91	460
29.10.2004	1 130.20	501	0.611	0.0020	500	0.029	0.055				4 833
01.11.2004	1 130.51	502
31.12.2004	1 211.92	544	0.695	0.0008	500	0.127	0.059	да			3 267
03.01.2005	1 202.08	545
28.02.2005	1 203.60	583	0.609	0.0013	500	0.045	0.077				4 483
01.03.2005	1 210.41	584
29.04.2005	1 156.85	626	0.428	0.0001	415	0.000	0.046		S	239.93	4 930
02.05.2005	1 162.16	627
30.06.2005	1 191.33	669	0.465	0.0014	500	0.004	0.080				4 148
01.07.2005	1 194.44	670
31.08.2005	1 220.33	712	0.816	0.0024	44	0.372	0.107	да	B		6 646
01.09.2005	1 221.59	713
31.10.2005	1 207.01	754	0.700	0.0001	500	0.084	0.027	да			5 939
01.11.2005	1 202.76	755
30.12.2005	1 248.29	796	0.589	0.0027	500	0.049	0.102				5 432
03.01.2006	1 268.80	797
28.02.2006	1 280.66	835	0.624	0.0016	500	0.047	0.066				4 462
01.03.2006	1 291.24	836
28.04.2006	1 310.61	877	0.448	0.0015	500	0.001	0.067				3 268
01.05.2006	1 305.19	878
30.06.2006	1 270.20	921	0.489	-0.0029	429	0.000	0.033		S	49.87	11 491
03.07.2006	1 280.19	922
31.08.2006	1 303.82	964	0.743	0.0004	463	0.201	0.439				7 058
01.09.2006	1 311.01	965
31.10.2006	1 377.94	1006	0.622	0.0034	500	0.120	0.158		B		1 683
01.11.2006	1 367.81	1007
29.12.2006	1 418.30	1047	0.554	0.0027	500	0.021	0.082				2 258
03.01.2007	1 416.60	1048
28.02.2007	1 406.82	1086	0.291	0.0011	500	0.001	0.072		S	28.88	7 081
01.03.2007	1 403.17	1087
30.04.2007	1 482.37	1128	0.633	0.0016	500	0.044	0.053		B		5 305
01.05.2007	1 486.30	1129
29.06.2007	1 503.35	1171	0.442	0.0036	441	0.000	0.048				7 625
02.07.2007	1 519.43	1172
31.08.2007	1 473.99	1215	0.564	0.0035	280	0.024	0.031				30 514
04.09.2007	1 489.42	1216
31.10.2007	1 549.38	1257	0.570	0.0004	500	0.003	0.030		S	67.01	22 350
01.11.2007	1 508.44	1258
31.12.2007	1 468.36	1298	0.647	-0.0011	244	0.010	0.022				28 814
02.01.2008	1 447.16	1299
29.02.2008	1 330.63	1339	0.716	-0.0001	500	0.026	0.013				32 886
03.03.2008	1 331.34	1340
30.04.2008	1 385.59	1381	0.521	-0.0018	247	0.004	0.007				16 177
01.05.2008	1 409.34	1382
30.06.2008	1 280.00	1423	0.534	0.0035	407	0.009	0.033				14 782
01.07.2008	1 284.91	1424
29.08.2008	1 282.83	1466	0.574	0.0018	219	0.010	0.015				11 756
02.09.2008	1 277.58	1467
31.10.2008	968.75	1510	0.534	-0.0200	10	0.023	0.125				117 280
03.11.2008	966.30	1511
31.12.2008	903.25	1551	0.600	0.0140	10	0.017	0.103		B		74 695
02.01.2009	931.80	1552
27.02.2009	735.09	1590	0.635	-0.0049	66	0.017	0.053				24 164
02.03.2009	700.82	1591
30.04.2009	872.81	1633	0.432	0.0150	50	0.007	0.035				24 857
01.05.2009	877.52	1634
30.06.2009	919.32	1675	0.531	0.0003	167	0.003	0.005		S	16.07	13 050
01.07.2009	923.33	1676
31.08.2009	1 020.62	1718	0.693	0.0012	500	0.062	0.020	да			15 610
01.09.2009	998.04	1719
30.10.2009	1 036.19	1761	0.622	0.0006	500	0.003	0.006				16 057
02.11.2009	1 042.88	1762
31.12.2009	1 115.10	1803	0.805	0.0029	72	0.251	0.049	да			6 969
04.01.2010	1 132.99	1804
26.02.2010	1 104.49	1841	0.583	0.0027	500	0.005	0.032				16 920
01.03.2010	1 115.71	1842
30.04.2010	1 186.69	1885	0.623	0.0036	500	0.097	0.126				4 618
	285.73									401.76

Пример работы модели Веге в сравнении с нормальным законом распределения можно увидеть на рисунке 30.

Рисунок 30. Распределение вероятности дневных прибылей по индексу S&P 500 в период со 2 сентября 2003 года по 31 октября 2003 года: действительные прибыли (), нормальное распределение () и модель Веге ().

Поведение анализируемого индекса S&P 500 и значения параметров модели Веге за выбранный двухмесячный период представлены на рисунке 31.

Рисунок 31. Динамика индекса S&P 500 и значения параметров модели Веге в период со 2 сентября 2003 года по 31 октября 2003 года.

В результате торговли за период с ноября 2002 по апрель 2010 года индекс S&P 500 вырос с 900.96 до 1186.69 (на 285.73 единиц, что может являться прибылью, полученной по стратегии «покупай и держи» за этот период). За этот же период торговля по системе с учетом фазы рынка за счет попытки избегания случайных и хаотичных рынков, то есть с меньшим риском, дала накопленную прибыль 401.76 единиц индекса, что на 40% выше (см. табл. 5).

Всего было совершено 5 сделок, все из них оказались прибыльными, скорей всего, это просто следствие малого количества сделок.

Для оценки риска был использован коэффициент колеблемости остатков ряда после выделения линейной регрессии, построенной по каждому двухмесячному интервалу. Для этого вычислялась остаточная сумма квадратов по следующей формуле:

, (15)

где - число дней в каждом периоде;

- цена закрытия индекса дня;

- цена закрытия индекса дня, построенное по уравнению регрессии.

Из таблицы 5 видно, что среднее значение остаточной суммы квадратов в период торговли 9 341, а среднее значение этого показателя в остальные периоды равно 20 694. Это показывает, что риски торговли по данной системе существенно ниже рисков пассивного управления стратегии длительного владения активом.

Теория когерентного рынка допускает, что в некоторые периоды времени рынок в большей или меньшей степени становится прогнозируемым. Удалось показать, что характеристики состояния рынка связаны с характеристикой «долговременной памяти» Херста, характеризующей настроение участников рынка; в отличие от физической модели Изинга, в которой предполагается постоянное число намагничивающихся элементов, показано, что число участников рынка связано с текущим состоянием рынка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Начиная с середины ХХ века использование нелинейных математических методов находит все более широкое применение в экономике. Данный подход особенно востребован в сфере анализа динамики ценообразования фондовых рынков.

Фрактальная природа рынков капитала противоречит гипотезе эффективного рынка и всем количественным моделям, которые из нее выводятся. К ним относятся модель оценки капитальных активов (САРМ), арбитражная ценовая теория (APT), ценовая модель Блека-Шоулса и другие численные модели, которые подразумевают нормальное распределение и/или конечную дисперсию.

Эти модели терпят неудачу, так как они упрощают реальность, предполагая случайное поведение, игнорируют влияние времени на принятие решений. Этим предположением о случайности проблема упрощается - она может быть оптимизирована в целях получения единственного решения. Используя случайное блуждание, можно получить «оптимальный портфель», «истинную величину», «справедливую цену».

Фрактальный анализ предлагает для моделирования более сложную математику, но его результаты гораздо ближе к практическому опыту. Фрактальная структура рынков капитала порождает циклы, тренды и множество возможных «справедливых цен». Она указывает на зависимость от человеческих решений, и делает возможным их измерение в количественном аспекте.

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет более точно оценивать рыночные риски и получать рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

2. Кравчук В.К. Новый адаптивный метод следования за тенденцией и рыночными циклами // Валютный спекулянт, № 12, декабрь 2000, с. 50-55.

3. Закарян И. Интернет как инструмент для финансовых инвестиций. - Спб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 256 с.

4. Лиховидов В.Н. Фундаментальный анализ мировых валютных рынков: методы прогнозирования и принятия решений. - Владивосток.: Forexclub, 1999. - 234 с.

5. Волков М.В. Структура и классификация рынка ценных бумаг. Операции с ценными бумагами в деятельности банков. Управление портфелем ценных бумаг // Финансы и кредит. - 2005. - № 10 (178) - с. 31-40.

6. Найман Э.Л. Трейдер-инвестор. - Киев.: ВИРА-Р, 2000. - 640 с.

7. Едронова В.Н. Учет и анализ финансовых активов: акции, облигации, векселя. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 267 с.

8. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 432 с.

9. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 360 с.

10. Твардовский В.В. Секреты биржевой торговли: торговля акциями на фондовых биржах. - М.: Альпина Бизнес-Букс, 2004. - 368 с.

11. Хаертфельдер М. Фундаментальный и технический анализ рынка ценных бумаг. Спб.: Питер, 2005. - 352 с.

12. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс. - М.: Альпина Паблишер, 2001. - 768 с.

13. Нисон С. Японские свечи: графический анализ финансовых рынков. - М.: Издательство «Диаграмма», 1998. - 336 с.

14. Мерфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. - М.: Сокол, 1996. - 592 с.

15. Найман Э.Л. Путь к финансовой свободе: профессиональный подход к трейдингу и инвестициям. - М.: Альпина Бизнес-Букс, 2004. - 480 с.

16. Bachelier L., Theory of Speculation. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964. (Originally published in 1900).

17. Roberts H.V., Stock Market Patterns and Financial Analysis: Methodological Suggestions. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

18. Kendall M.G., The Analysis of Economic Time Series. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

19. Osborne M.F. M., Brownian Motion in the Stock Market. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

20. Fama E.F., Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market. Management Science 11, 1965.

21. Kuhn T.S. The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press, 1962.

22. Лытнев О. Основы финансового менеджмента: курс лекций. http://www.cfin.ru/finanalysis/lytnev/4-3.shtml, 2000.

23. Fama E.F., Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market. Management Science 11, 1965.

24. Sharpe W.F., Portfolio Theory and Capital Markrts. New York: McGraw-Hill, 1970.

25. Turner A. L. and Weigel E. J., An Analysis of Stock Market Volatility. Russell Research Commentaries, Frank Russell Company, Tacoma, WA, 1990.

26. Friedman B.M. and Laibson D.I., Economic Implications of Extraordinary Movements in Stock Prices. Brooking Papers on Economic Activity 2, 1989.

27. Sterge A.J., On the Distribution of Financial Futures Price Changes. Financial Analysts Journal, May/June 1989.

28. Shiller R. J., Market Volatility. Cambridge: MIT Press, 1989.

29. Engle R., Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U. K. Inflation. Econometrica 50, 1982.

30. Детинич В. В помощь инвестору: гипотеза об эффективности рынка. http://www.parusinvestora.ru/carticles/cart2_7.shtm.

31. Peters E., Fractal Market Analysis. Applying Chaos Theory to Investment & Economics. J. Wiley & Sons, New York, 1994.

32. Беляков С.С. О возможности получать прогнозные значения из остаточной нерегулярной компоненты временных рядов с памятью. Сборник трудов IV Междунар. науч.-практ. конф. - Таганрог: Изд-во ТИУиЭ, 2004. - с. 21-27.

33. Беляков С.С. Использование агрегирования в методах нелинейной динамики для анализа и прогнозирования временных рядов котировок акций: автореферат. - Ставрополь, 2004. - 24 с.

34. Концевая Н.В. О методах определения «длины памяти» рынка и пути их использования для оптимизации торговых систем на валютном рынке. Материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2006. - с. 22-29.

35. Тебуева Ф.Б. Сравнительный фрактальный анализ экономических временных рядов с долговременной памятью. Материалы VI Междунар. конф. - Тирасполь: Изд-во РИО ПГУ, 2005. - с. 105-109.

36. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. - 335 с.

37. Сергеева Л.Н. Нелинейная экономика: модели и методы. Монография. - Запорожье: Полиграф, 2003. - 218 с.

38. Кричевский М.Л. Интеллектуальные методы в менеджменте. - Спб.: Питер, 2005. - 304 с.

39. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

40. Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. - М.: Наука, 1985. - 327 с.

41. Кузнецов С.П. Динамический хаос: курс лекций. М.: Физматлит, 2001.

42. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

43. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 528 с.

44. Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. - Спб.: Амфора, 2001. - 398 с.

45. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990. - 128 с.

46. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. - 254 с.

47. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивости в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 423 с.

48. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир,1991. - 254с.

49. Жиков В.В. Фракталы. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

50. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Издательство: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

51. Марциновский И. Фракталы: от хаоса к порядку. http://www.comprice.ru/articles/detail.php?ID=40116.

52. Hurst H.E. et al. Long-Term Storage: An Experemental Study. - London, Constable, 1965.

53. Перепелица В.А. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов: монография. - Ростов н/Д: Из-во Ростовского университета, 2002. - 208 с.

54. Pancham S., Evidence of the Multifractal Market Hypothesis Using Wavelet Transforms. Florida International University, 1994.

55. Mandelbrot B., Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles:From the Covariance to R/S Analysis. Annals of Economic Social Measurement 1, 1972.

56. Sheinkman J.A., LeBaron B., Nonlinear Dynamics and Stock Returns. Journal of Business 62, 1989.

57. Cootner P., Comments on the Variation of Certain Speculative Prices.Cambridge: MIT Press, 1964.

58. Маккей Ч. Наиболее распространенные заблуждения и безумства толпы. - М.: Альпина Паблишер, 2004. - 844 с.

59. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 403 с.

60. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. - М.: Интернет-трейдинг, 2004. - 304 с.

61. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «ЗОНТ»: монография. - Воронеж: Изд-во ВГАУ, 2000. - 376 с.

62. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis / T. Vaga // Financial Analysts Journal. - December/January, 1991

63. Вильямс Б. Торговый хаос. - М.: ИК Аналитика, 2000. - 328 c.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Подпрограмма HERST

Подпрограмма VEGE

Построение гистограммы по всей выборке

RS-анализ по всей выборке

Построение зависимости H(t)

Выборка от n1 до n2

RS-анализ



Оптимизация параметров h, N



Размещено на Allbest.ru