Распределение вероятностей экономических факторов

Нахождение вероятности за определенный промежуток времени. Плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Интегральная теорема Лапласа, распределение Стьюдента. Исправленная выборочная дисперсия.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 28.05.2012
Размер файла 110,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача1

Предприятие состоит из трех независимо работающих подразделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной работы в течение времени t соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t рентабельными будут: а) все подразделения, б) два подразделения.

Решение.

Пусть событие Аi - “i -ое подразделение рентабельно в течении времени t”

Тогда

а) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны все подразделения (событие А).

б) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны два подразделения (событие В).

Так как все три события являются независимыми, то искомая вероятность равна

Ответ: а) 0,336, б) 0,452

Задача 2

Задана плотность распределения вероятностей f( x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1) определить коэффициент А

2) найти функцию распределения F(x)

3) схематично построить графики F(x) и f(x)

4) найти математическое ожидание и дисперсию Х

5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2 , 3)

Решение.

1) Определим коэффициент А из условия:

т е. .

Плотность распределения примет вид

2) Найдем функцию распределения :

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то

Следовательно

4) Построим графики функций F(x) и f(x)

4) Вычислим ,

Дисперсию вычислим по формуле

D(X) = M(X 2) - M 2(X), где

5) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;3)

Ответ: 1) 2) 4)

5)

Задача 3

Заданы математическое ожидание а = 3 и среднеквадратическое отклонение ? = 2 нормально распределенной случайной величины. Требуется

1) написать плотность распределения вероятностей f(x) и схематично построить ее график;

2) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2; 8)

Решение.

1) Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и ?, если ее плотность вероятности имеет вид

Построим график f(x)

2) Вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;8) найдем по формуле

Ответ: ,

Задача 4

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р. Опыт повторяют в неизменных условиях n раз.

n = 900; p = 0,5. Определить вероятность того, что в 900 опытах событие А произойдёт в большинстве опытов.

Решение.

Необходимо найти вероятность того, что событие произойдёт не менее, чем в 451 опыте из 900. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где

,

Подставляя в формулу данные задачи, получаем:

Ответ: 0,4721

Задача 5

В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице. Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

7,1

6,3

6,2

5,8

7,7

6,8

6,7

5,9

5,7

5,1

Решение.

Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента.

Необходимо построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.

Требуется отыскать такое число , для которого верно равенство

В этой формуле

- выборочное среднее

S - стандартное (среднеквадратическое) отклонение

a - математическое ожидание

n - объем выборки (нашем случае 10)

- величина, в сумме с доверительной вероятностью дающая 1 (в данном случае 0,05)

Величину (в нашем случае) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.

Находим выборочное среднее как среднее арифметическое

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию:

Тогда

Получаем:

вероятность распределение среднеквадратический отклонение

Истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (5,79; 6,87) с доверительной вероятностью 0,95.

Ответ: (5,79; 6,87)

Задача 6

Отдел технического контроля проверил n = 1000 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных деталей в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке - количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий.

Требуется при уровне значимости ? = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

xi

0

1

2

3

4

5

1000

ni

403

370

167

46

12

2

Решение.

Находим выборочную среднюю

В качестве оценки параметра ? распределения Пуассона

выберем полученное значение выборочного среднего ? = 0,9 .

Расчет теоретических частот ведем по формуле

Расчетная таблица значений:

xi

ni

P(xi)

n•ti

ni - n•ti

(ni - n•ti)2

(ni - n•ti)2/ n•ti

0

403

0,408

408

-5

25

0,061

1

370

0,367

367

3

9

0,024

2

167

0,164

164

3

9

0,055

3

46

0,048

48

-2

4

0,083

4

12

0,011

11

1

1

0,091

5

2

0,002

2

0

0

0

Сумма

1000

1

0,314

Получили:

Число степеней свободы k = s - r - 1, т.к. проверяется гипотеза о распределении Пуассона (т.е. проверяется один параметр), то r = 1, k = s - 2 = 4 (s = 6)

По таблице получаем:

Та как , то гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона может быть принята.

Ответ: гипотеза может быть принята.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Выборочная ковариация как мера взаимосвязи между двумя переменными. Основные правила расчета ковариации исходя из данных выборок. Математическое ожидание, дисперсия и теоретическая ковариация по ряду наблюдений. Коэффициент корреляции как её показатель.

    контрольная работа [30,1 K], добавлен 15.12.2009

  • Вид одномерного распределения для номинальной шкалы с совместимыми альтернативами. Меры центральной тенденции. Математическое ожидание, отклонение. Показатели асимметрии, эксцесса. Построение распределений в пакете ОСА и SPSS, визуальное представление.

    курс лекций [2,4 M], добавлен 09.10.2013

  • Построение гистограммы и эмпирической функции распределения. Нахождение доверительного интервала для оценки математического распределения. Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений, дисперсий, их величине, о виде закона распределения.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.11.2014

  • Элементы математического анализа: производная, определенный интеграл и ряды. Арифметические операции и функции комплексной переменной. Основные понятия и определения теории вероятности, статистики и комбинаторики. Законы распределения вероятностей.

    методичка [2,9 M], добавлен 05.07.2010

  • Имитационное моделирование. Описание моделируемого объекта. Обслуживающие устройства. Конвейер с постоянным интервалом. Дискретный подход в имитационном моделировании. Математическое ожидание. Среднеквадратичное отклонение. Равномерное распределение.

    курсовая работа [43,9 K], добавлен 20.12.2008

  • Анализ различных подходов к определению вероятности. Примеры стохастических зависимостей в экономике. Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования. Вариации.

    реферат [261,0 K], добавлен 17.11.2008

  • Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.

    курсовая работа [79,0 K], добавлен 16.09.2013

  • Использование статистических характеристик для анализа ряда распределения. Частотные характеристики ряда распределения. Показатели дифференциации, абсолютные характеристики вариации. Расчет дисперсии способом моментов. Теоретические кривые распределения.

    курсовая работа [151,4 K], добавлен 11.09.2010

  • Формулы вычисления критерия Пирсона, среднего квадратического отклонения и значений функций Лапласа. Определение свойств распределения хи-квадрата. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Построение графика распределения частот в заданном массиве.

    контрольная работа [172,2 K], добавлен 27.02.2011

  • Закон распределения генеральной совокупности. Вычисление вероятности при помощи распределения Гаусса. Срок действия декларации о соответствии и сертификата соответствия. Применение математической статистики при измерениях и испытаниях продукции.

    презентация [128,7 K], добавлен 30.07.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.