Економічна модель оптимізації закупівель та поставок кондитерських виробів на прикладі товариства з обмеженою відповідальністю "Гермес-Груп"

1.4 Аналіз підприємства як обєкта управління

Будь-яка соціально-економічна система складається з двох взаємопов'язанихале й в той же час самостійних частин: системи управління та системи, якою управляють. До останьої належать усі елементи та підсистеми підприємств, об'єднань і міністерств, яі забезепечують безпосередньо процес виробгицтва матеріальних благ або надання послуг.

Система управління включає елементи та підсистеми тих самих підприємств, об'єднань і міністерств, яі забезепечують процес управління, тобто цілеспрямований вплив на колективи людей, зайнятих у системі, якою управляють, а також на ТП і господарські зв'язки. Найважливішим елементом цієї системи є організаційна структура управління виробництвом. Як правило, вона будується за ієрархічним принципом; на чолі виробництва стоїть керівник, що має заступників, яким підпорядковані підрозділи апарату управління. Паралельно цій структурі можуть працювати органи колегіального керівництва: колегія, науково-технічна рада. Крім того, до складу системи управління входять технічна, технологічна, економічна та соціальна системи. Всі вони в комплексі утворюють систему управління і систему, якою управляють.

Технічна система - це пропорційне поєднання окремих технічних засобів, які складаються з багатьох видів обладнання. В системі, якою управляють, вона виражена потужностями виробництв, на яких виготовляється продукція в заданій кількості та відповідної якості. Умови повної інформатизації потребують від економіки постійного і першорядного вдосконалення технічної системи.

Технологічна система є сукупнєстю стадій, процесів і обладанання, що визначають процес виробництва. Необхідно впроваджувати найефективніші та пердові ТП для інтенсифікації виробництва - така вимога часу.

Організаційна система, що забезпечує створення структури виробництва, дає змогу раціонально використовувати обладнання, предмети праці, технологію, трудові та інші ресурси, застосовувати найпрогресивніші процеси виробництва.

У своїй сукупності технічна, технологвчна й організаційна системи характеризують організаційно-технічну сторону виробництва та управління ним.

Економічна система підпрємства, поєднуючи господарські процеси та зв'язки під час руху виробничих фондів, відображає неперервне, цілеспрямоване функціонування останніх і має великий вплив на ефективність роботи підприємства.

Соціальна система приводить у дію засоби виробництва, бере участь в управлінні ними. Разом з економічною ця система визначає цілі виробництва, формує принципи та методи його організації.

Система, якою управляють, і система управління знаходяться у тісному взаємозв'язку та взаємозалежності, що проявляється й у кількісному відношенні: чим більша система, якою управляють, тим відносно більшою буде і система управління.

Управління суспільним виробництвом здійснюється в соціально-економічних системах і включає процеси управління галуззю, регіоном, об'єднанням, підприємством і його підрозділами.

Процеси управління - це особливий вид людської діяльності для забезпечення цілеспрямованості та узгодженості праці всіх членів колективу. Якщо окремий виробник сам керує своєю діяльністю, то виробничий колектив потребує керівника.

З розвитком виробництва в економічних зв'язках посилюються розподіл, спеціалізація та кооперація, а отже, і взаємозумовленість руху матеріалізованої і живої праці, що значно ускладнює управлінську працю.

Вихідним пунктом управління є формування та вибір цілей, управління. В масштабі всієї економіки система цілей включає соціальні, економічні, організаційно-технічні аспекти. Крім того, цілі поділяються на перспективні, галузеві, територіальні, функціональні та інші.

Традиційні системи управління будуються на науковій основі. Характерними рисами їх є: використання економічних законів і законів управління; забезпечення системності та неперервності процесу управлінського впливу; моделювання обєктів і субєктів управління4 кількісна оцінка явищ; діалективна єдність управління при додержанні плюралізму всіх форм власності. На основі вивчення законів управління формулюються основні правила (принципи) традиційної системи управління.

Реалізація принципів управління здійснюється шляхом виконання системи функій, що породжуються складністю та різноманітністю виробництва й управління. Функції управління спрімовуються на досягнення певної мети - вони відображають необхідні дії при управлінні. До основних функцій управління належать планування, прогнозування, організація, координація стимулювання, нормування, облік, контроль і регулювання. Конкретні функції управління відповідно до виробничо-господарської діяльності об'єкта поділяються на функції забезпечення управління на підготовчій стадії (науково-технічна, економічна, соціальна підготовка виробництва), втробничій стадії (основне, допоміжне, обслуговуюче виробництво) та на заключній стадії (реалізація продукції, фінансова діяльність).

Виділення та формулювання функцій є важливим етапом управління, оскільки власне вони визначають структуру управління, а також задачі органів управління.

Взаємодія і взаємозв'язок системи управління і системи, якою управляють, здійснюються через інформаційні комунікації передаванням потоків інформаці; тому ускладнення управління відразу відображається на ускладненні ІД. Засоби і методи автоматизації управління спрямовані на підтримку необхідних продуктивності та якості роботи системи управління. В цих умовах неминучим є впровадження найпередовіших НІТ управління.

Автоматизація управління економікою - лише один напрям її вдосконалення. Наукові методи управління, заходи щодо удосконалення господарського механізму, структурні перебудови, наукова організація праці, домашні системотехнічні заходи - всі ці напрями служили і служать цій же меті. Але всі вони мають характер еволюції, вдосконалення, модернізації системи управління. В той же час науково-технічна революція, наближена до другого інформаційного бар'єра потребували революційних заходів, докорінного перегляду концепції побудови та функціонування систем управління в широкому розумінні.

Докорінне поліпшення стану в галузі автоматизації управління відбувається з упровадженням НІТ, що принципово відрізняються від ПІТ. Ставиться задача якісного переходу від сучасної технології управління з традиційного людино- паперовим документообігом (який ще застосовується в сучасних АСУ) до безпаперової технології автоматизованого управління. Треба досягти комплексності управління на основі вдосконалення господарського механізмуорганізаційної перебудови інформаційних потоків у системі управління та створення нової людинно-машинної технології управління економікою.

Найбільш поширеною формою автоматизації організаційних систем управління є АСУ різного рівня. Їх застосування і постійний розвиток диктуються необхідністю. Науково-технічний прогрес в економіці країни, який набув форми наукрвр-технічної революції, залучає в єдиний виробничий процес все нові маси працівників і виробничих колективів, а це підвищує вимоги й ускладнює організацію узгодженої діяльності людей, що зумовлюї стрімке зростання потоків інформації, яку необхідно засвоювати, запам'ятовувати, передавати та перетворювати.

В економічних організаційних системах кожен суб'єкт повинен узгоджувати свою діяльність з іншими суб'єктами, поєднувати інтереси, в яких проявляються економічні відносини; крім того, істотниммоментом економічних систем є неповнота інформації. Але все ж сьогодні теорія та практика створення і функціонування АСУ забезпечили розробку моделей об'єктів управління. Виділено функціональні аідсистеми та документообіг, які певною мірою відображають інформаційну модель об'єкта управління. Виділено функціональні підсистеми та документообіг, як певною мірою відображають інформаційну модель об'єкта управління. Ц етакож робиться в рамках АСУ, але моделювання алгоритмів управління, прийняття рішень, проблеми взаємозв'язку планування та управління - ці найважливіші управлінські функції виконуються примітивно, а вивчені вони практично недостатньо. Все це характеризує ступінь вирішення проблем автоматизації соціально-економічних систем організаційного управління.

Будь-яка система управління має допоміжне значення. Основну ж роль відіграє об'єкт управління. Кожний об'єкт управління виконує деяку цільову функцію, що міняється в часі, причому він забезепечує її, пеербуваючи під діянням багатьох зовнішніх і внутрішніх передбачених факторів. Зовнішні фактори - це зв'язок з іншими об'єктами, постачальниками сировини та інших ресурсів, споживачами продукції, яка виробляється об'єктом. Внутрішні фактори, що діють локально в просторі розміщення обєкта, часто називаються внутрішніми збуреннями (аварії, перешкоди і т.і.).

У певні моменти часу діяння на об'єкт можуть мати шкідливий для нього характер; вони порушують умови його функціонування, ставлять під загрозу якість виконання поставлених цілей. Щоб обєкт був гарантований від діяння несприятливих факторів і міг функціонувати із задовільною якістю, можна вибрати два напрямки: забезпечити його резервами, які можуть компенсувати діяння несприятливих факторів; передбачити способи надання йому таких резервів іззовні.

Конструктивна зміна поведінки об'єкта (додаткове використанні ресурсів або зміна траекторії його функціонування) здійснюється шляхом зміни величин, правил, норм та інших атрибутів, які називаються параметрами управління.

Технічні пристрої, що змінюють параметри управління або вводять ланцюжок змін, називаються регуляторами.

Але завжди управління ініціюється сигналом про необхідність видачі управлінського рішення (управління) і потребує деяких правил, розпоряджень або алгоритмів визначення характеру управлінських дій.

Можливості управління різко зростають з появою комп'ютерів і пристроїв перетворення інформації.

Товариство з обмеженою відовідальністю «Гермес-Груп» має свою особливу автоматизовану систему управління, яка зображена на рисунку 1.4.1.

74

Рисунок 1.4.1 - Автоматизована система управління

На рисунку 1.4.1 зображено систему управління ТОВ «Гермес-Груп», де

- матеріальні потоки підприємства;

- інформаційні потоки підприємства.

Знаючи склад ресурсів підприємства, виробники (підприємства 1, 2, 3,..., n) постачають на склад продукцію. Система управління обмінюється зі складом інформацією про кількість товарів, які необхідно закупити, попереджає склад про перешкоди, які можуть виникнути раптово.

Перешкодами можуть бути стихійні лиха, дорожні перешкоди, перешкоди на підприємствах-виробниках, які по тим чи іншим причинам затримують виготовлення продукції та поставку її на склад та інше.

Об'єктом управління на рисунку 1.4.1 є склад та ресурси підприємства. Склад приймає продукцію від виробника та розподіляє її, враховуючи ресурси підприємства, споживачам.

Процес закупівель попереджається замовленням необхідних об'ємів на підприємствах-виробниках. В подальшому викладенні ці закази закупівлі будемо називати закупівлями. Тобто об'єм продажів підприємствам-споживачам буде дорівнювати об'єму закупівель у підприємств-виробників.

1.5 Визначення цілей та постановка задачі дослідження

Проведений аналіз фінансового стану підприємства виявив недоліки в діяльності підприємства. Аналіз балансу та звіту про фінансові результати показує, що підприємство повинно зменшити тривалість дебіторської заборгованості та інших активів.

Головним чинником для покращення його діяльності, визначаємо отримання максимального прибутку.

Отже, метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ТОВ «Гермес-Груп» шляхом отримання максимального прибутку.

Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі питання:

1. Проаналізувати фінансовий стан підприємства з метою виявлення деяких резервів для максимізації прибутку.

2. Розробити економіко-математичну модель, яка буде повною мірою відображати суттєві виробничо-економічні процеси та інформаційні зв'язки на підприємстві.

3. Створити інформаційну систему, яка б спростила та зробила би наочним роботу керівництва підприємства.

4. Перевірити працездатність створеної інформайційної системи на реальних даних.

5. Дати практичні рекомендації, які можуть бути використані керівництвом підприємства для підвищення ефективності.

Економіко-математичну модель необхідно створити, застосовуючи методи моделювання.

Моделювання - один з найбільш поширених способів вивчення різних процесів та явищ. В теперішній час відомі і широко використовуються в наукових дослідженнях, а також в економічній та інженерній практицібагаточисельні методи і прийоми моделювання. Найбільш широкими можливостями володіє математичне моделювання.

Під математичним моделюванням розуміють засіб дослідження різних процесів шляхом вивчення явищ, які мають різний фізичний зміст, але які описуються однакоми математичними співвідносинами. При вивченні любого процесу методом математичного моделювання необхідно побудувати його математичну модель. Математична модель реальної системи є тим абстрактним формально описаним об'єктом, вивчення якого можливо математичними методами, в тому числі і з допомогою математичного моделювання. []

Під оптимізацієй розуміють процес вибора найкращого варіанту з усіх можливих. З точки зору інженерних та економічних розрахунків методи оптимізації дозволяють вибрати найкращий варіант конструкції, найкраще розподілення ресурсів і т. і. В процесі розрахунку задачі оптимізації часто необхідно знайти оптимальне рішення деяких параметрів, визначаючих данну задачу. []

2 ПОБУДОВА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОПТИМІЗАЦІЇ

2.1 Аналітичний огляд літературних джерел

Широке застосування математичних методів є важливим напрямом удосконалювання економічного аналізу, підвищує ефективність аналізу підприємств і їхніх підрозділів. Це досягається за рахунок скорочення термінів проведення аналізу, більш повного охоплення впливу факторів на результати комерційної діяльності, заміни наближених і спрощених розрахунків точними обчисленнями, постановки і рішення нових багатомірних задач аналізу, практично нездійсненних вручну і традиційними методами.

Застосування математичних методів в економічному аналізі вимагає:

· системного підходу до вивчення економіки підприємств, обліку всієї безлічі істотних взаємозв'язків між різними сторонами діяльності підприємств;

· розробки комплексу економіко-математичних моделей, що відображають кількісну характеристику економічних процесів і задач, розв'язуваних за допомогою економічного аналізу;

· удосконалювання системи економічної інформації про роботу підприємств;

· наявності технічних засобів (ЕОМ і ін.), що здійснюють збереження, обробку і передачу економічної інформації з метою економічного аналізу;

· організації спеціального колективу аналітиків, що складається з економістів-виробничників, фахівців з економіко-математичного моделювання, математиків-обчислювачів і ін^[4].

Застосування у фінансово-економічному аналізі математичних методів моделювання господарських процесів для розв'язання аналітичних задач - це шлях підвищення ефективності аналітичної роботи[14].

Застосування математики в економіці приймає форму економіко-математичного моделювання. За допомогою економіко-математичної моделі зображуються той чи інший дійсний економічний процес. Така модель може бути сконструйована тільки на основі глибокого теоретичного дослідження економічної сутності процесу. Тільки в цьому випадку математична модель буде адекватна дійсному економічному процесові, буде об'єктивно відображати його[4].

Математичне програмування - швидко розвиваючийся розділ сучасної прикладної математики. Методи математичного програмування - основний засіб вирішення задач оптимізації виробничо-господарської діяльності. По своїй суті - це методи планових розрахунків. Цінність їх для економічного аналізу виконання бізнес-планів полягає в тому, що вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, визначати лімітовані групи устаткування, види сировини і матеріалів, одержувати оцінки дефіцитності виробничих ресурсів та інше.

Під дослідженням операцій розуміється розробка методів цілеспрямованих дій (операцій), кількісна оцінка отриманих рішень і вибір з них найкращого. Предметом дослідження операцій є економічні системи, у тому числі виробничо-господарська діяльність підприємств. Метою є таке сполучення структурних взаємозалежних елементів систем, що найбільшою мірою відповідає задачі одержання найкращого економічного показника з ряду можливих^[4].

Зв'язок аналізу і математики обумовлюється тим, що і тієї й іншої галузі знань властиве вивчення кількісних відносин. Застосування математики в економічних дослідженнях і розрахунках поширюється в першу чергу на галузь змінних величин, зв'язаних між собою функціональною залежністю. Сама змінна величина з'явилася у свій час поворотним пунктом у математиці. Завдяки цьому в математику увійшли рух і тим самим діалектика, і завдяки цьому стало необхідно диференціальне й інтегральне вирахування.

Вивчення змінних величин, вимір залежності одних перемінних від інших зводяться до визначення значення функції. Зв'язок між змінними величинами математично виражається у виді функціональних рівнянь, до яких, власне кажучи, відносяться диференціальні й інтегральні рівняння.

В економіці суцільно і поруч доводиться мати справу зі змінними величинами. Економічні перемінні, що мають якісну і кількісну визначеність, можуть бути у функціональній залежності друг від друга. Вивчення кількісних співвідношень і функціональних залежностей економічних перемінних являється однією з задач математики.

Багато економічних і математичних задач зводяться до перебування максимуму (мінімуму) функції декількох перемінних. Основною метою рішення задачі керування деякими галузями промисловості, сільського господарства, транспорту звичайно є досягнення деякого оптимального режиму роботи. У цих випадках задачі максимізації (мінімізації) звичайно називають задачами оптимізації, а максимізуючу (мінімізуючу) функцію - цільовою функцією.

Нехай функція W(x) = W(x₁, x₂, …, x_i) i перемінних визначена і безупинна в області. Точка х* = {х₁*, х₂*,..., х_i*) D називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції W(х), якщо існує деяка ?-- околиця точки x*, така, що для всіх х = (x₁, x₂, …, x_i) з цієї околиці виконуються нерівності

W(x)? W(x*) (W(x)? W(x*)), (2.1.1)

де i = 1, 2,…,n

Необхідні умови екстремуму діфференцируємої функції W(x), як відомо, можна представити у виді системи і нелінійних рівнянь

 (2.1.2)

Точки, що визначають рішення системи (2.1.2), називаються стаціонарними. Якщо в околиці ?(х⁰) стаціонарної точки х⁰ = (х₁, х₂, …, х_n) функція W(x) є опуклої, тобто для будь-якого 0 ? ? ? 1

(2.1.3)

де стаціонарна точка х⁰ є точкою максимуму (мінімуму). Зокрема, якщо в околиці стаціонарної точки х⁰ функція W(x) двічі безупинно дифференцируема і її матриця Гессе позитивно визначена в х⁰, то функція W(x) буде опуклої, а х⁰-- точкою мінімуму.

Щоб симетрична матриця А -- [a_ij ] (a_ij = a_ji)була позитивно визначеною, необхідно і досить, щоб кожний з її головних мінорів був позитивний (критерій Сильвестра).

Рішення системи нелінійних рівнянь (2.1.2) і перевірка позитивної визначеності матриці Гессе вимагають великого обсягу обчислень. При цьому часто зустрічаються недифференцируемые функції, або функції, похідні яких записуються громіздкими аналітичними вираженнями. Тому більш ефективними є чисельні методи рішення задачі, що не вимагають перевірки умов (2.1.3).

Чисельне рішення задач максимізації (мінімізації) зводиться до побудови ітерацій таких, що послідовність { x₁, x₂, …, x_i } є максимізуючою (мінімізуючою), тобто

.

У залежності від характеру побудови dⁿ чисельні методи розділяються на прямі (без використання похідних), методи спуска (з використанням перших похідних) і методи з використанням других похідних.

Існує безліч методів рішення поставленої задачі. Розглянемо деякі з тих, за допомогою яких можна вирішити запропоновану модель.

Класичні методи визначення екстремумів

У багатьох економічних моделях дослідження операцій залежності між постійними і перемінними факторами лише в першому наближенні можна вважати лінійними, більш детальний розгляд дозволяє знайти їхня нелінійність. Як правило, такі показники, як прибуток, собівартість, капітальні витрати на виробництво й ін., у дійсності залежать від обсягу виробництва, витрати ресурсів і т.п., нелінійно. У цьому випадку виникає задача нелінійного програмування.

Можна виділити клас нелінійних задач, що відносяться до класичних методів оптимізації. Припустимо, що серед обмежень математичної моделі немає нерівностей, не обов'язкові умови незаперечності, перемінні не є дискретними, m < n, а цільові функції безперервні і мають частки похідні принаймні другого порядку. У цьому випадку задачу оптимізації можна сформулювати так: знайти перемінні х_1, х₂,..., х_M, що задовольняють системі рівнянь

(2.1.4)

і обертаючі в максимум (мінімум) цільову функцію

(2.1.5)

Такі задачі в принципі можна вирішувати класичними методами диференціального вирахування. Однак на цьому шляху зустрічаються такі обчислювальні труднощі, що роблять необхідним пошук інших методів рішення. Тому класичні методи часто використовуються не як обчислювальний засіб, а як основа для теоретичного аналізу.

Прикладом типової і простої нелінійної задачі є наступна: дане підприємство для виробництва якогось продукту витрачає два засоби в кількості х₁ і х₂ відповідно. Це фактори виробництва, наприклад, машини і праця, два різних види сировини і т.п., а величини х₁ і х₂ -- витрати факторів виробництва. Фактори виробництва надалі будемо вважати взаємозамінними. Якщо це "праця" і "машини", то можна застосовувати такі методи виробництва, при яких величина витрат машин у зіставленні з величиною витрат праці виявляється більше або менше (виробництво більш-менш трудомістке). У сільському господарстві взаємозамінними факторами можуть бути посівні площі або мінеральні добрива (екстенсивний або інтенсивний метод виробництва).

Обсяг виробництва (виражений у натуральних або вартісних одиницях) є функцією витрат виробництва Ця залежність називається виробничою функцією. Витрати залежать від витрати обох факторів (х₁ і х₂) і від цін цих факторів (з₁ і з₂). Сукупні витрати виражаються формулою b=c₁x₁+c₂x₂. Потрібно при даних сукупних витратах визначити таку кількість факторів виробництва, що максимізує обсяг продукції z.

Математична модель цієї задачі має вигляд:

Визначити такі перемінні х₁ і х₂, що задовольняють наступним умовам

c₁x₁+c₂x₂= b, (2.1.6)

x₁ ? 0, x₂ ? 0 (2.1.7)

при яких функція досягає максимуму.

Як правило, функція (2.1.7) може мати довільний нелінійний вид.

Використовуючи класичні методи оптимізації, варто чітко уявляти собі розходження між локальним екстремумом функції, глобальним екстремумом і умовним екстремумом. При цьому корисно повторити визначення локального і глобального екстремумів для функції однієї перемінної. Поняття умовного екстремуму вводиться для випадку, коли число перемінних n не менше 2 (n?2).

Будемо думати, що функція двічі діфференцується в точці , і в деякій її околиці. Якщо для всіх точок X цієї околиці , то говорять, що функція f(X) має екстремум у X^* (відповідно максимум або мінімум).

Точка Х^*, у якій усі частки похідні функції z = f (X) рівні 0, називається стаціонарною точкою.

Необхідна умова екстремуму. Якщо в точці Х^* функція z = f (X) має екстремум, то частки похідні функції в цій точці рані нулеві:

Отже, точки екстремуму функції z = f (X) задовольняють системі рівнянь (1.5.5):

(2.1.8)

Як і у випадку одна перемінної, необхідне умова не є достатнім для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму. Для одержання достатніх умов варто визначити в стаціонарній точці знак диференціала другого порядку. Диференціал другого порядку позначається d² f (x₁, x₂,…,x_n)і дорівнює сумі добутків часток похідних другого порядку на відповідні збільшення аргументів. Якщо від частинної похідної знайти частинну похідну по перемінній х_j, то одержимо частинну похідну другого порядку по перемінним х_i, х_j, що позначається . У цьому випадку

Достатні умови екстремуму:

а) у стаціонарній точці X⁰ функція має максимум, якщо < 0, і мінімум, якщо > 0, при будь-яких ; (у цих випадках Х⁰ = Х^*), що не звертаються в нуль одночасно;

6) якщо може приймати в залежності від і позитивні, і негативні значення, то в точці X⁰ екстремуму немає;

в) якщо може звертатися в нуль не тільки при нульових збільшеннях , то питання про екстремум залишається відкритим.

Для функції двох перемінних достатні умови ще не дуже складні. Існують чотири частки похідні другого порядку: . З них дві змішані похідні , якщо безперервні, те рівні.

Знайдемо значення часток похідних другого порядку в стаціонарній точці Х⁰(х⁰₁,х⁰₂):

(можна переконатися, що а₁₂ = а₂₁). Позначимо через ? визначник, складений з а_ij для i, j = 1,2:



Тоді достатні умови екстремуму функції двох перемінних мають вигляд:

а) якщо ? > 0 і а₁₁ < 0 (а₂₂ < 0), те в точці Х⁰ функція має максимум: якщо ? > 0 і а₁₁ > 0 (а₂₂ > 0), те в точці Х⁰ -- мінімум (у цих випадках Х⁰ = Х ^');

б) якщо ? < 0, те екстремуму немає;

в) якщо ? = 0, то питання про екстремум залишається відкритим.

Схема визначення екстремуму функції n перемінних збігається з правилами визначення локального екстремуму функції однієї перемінної.

Умовний екстремум.

Нехай необхідно знайти екстремум функції за умови, що перемінні задовольняють рівнянням (2.1.9)

(2.1.9)

Передбачається, що функції f і ?_i, мають безперервні частки похідні по всім перемінним. Рівняння (2.1.9) називають рівняннями зв'язку.

Говорять, що в точці Х⁰ = , що задовольняє рівнянням зв'язку (1.5.6), функція має умовний максимум (мінімум), якщо нерівність має місце для всіх точок X, координати яких задовольняють рівнянням зв'язку.

Легко помітити, що задача визначення умовного екстремуму збігається з задачею нелінійного програмування (2.1.4), (2.1.5).

Один зі способів визначення умовного екстремуму застосовується в тому випадку, якщо з рівнянь зв'язку (2.1.9) n перемінних, наприклад можна явно виразити через що залишилися n-m перемінних:

 (2.1.10)

Підставивши отримані вираження для , у функцію z, одержимо

(2.1.11)

Задача зведена до перебування локального (глобального) екстремуму для функції (2.1.11) від n-m перемінних. Якщо в точці Х⁰ = функція (2.1.11) має екстремум, то в точці функція має умовний екстремум.

Метод множників Лагранжа

Інший спосіб визначення умовного екстремуму починається з побудови допоміжної функції Лагранжа, що в області припустимих рішень досягає максимуму для тих же значень перемінних х₁, х₂,..., х_n, що і цільова функція z.

Нехай вирішується задача визначення умовного екстремуму функції при обмеженнях (2.1.9).

Складемо функцію, що називається функцією Лагранжа.

, (2.1.12)

де постійні множники (множники Лагранжа). Відзначимо, що множникам Лагранжа можна додати економічний зміст. Якщо -- доход, що відповідає планові , а функція -- витрати і-го ресурсу, що відповідають цьому планові, то -- ціна (оцінка) і-го ресурсу, що характеризує зміну екстремального значення цільової функції в залежності від зміни розміру і-го ресурсу (маргінальна оцінка). L(X) -- функція m+n перемінних . Визначення стаціонарних точок цієї функції приводить до рішення системи рівнянь

(2.1.13)

Легко помітити, що , тобто в (5.10) входять рівняння зв'язку. Таким чином, задача перебування умовного екстремуму функції зводиться до перебування локального екстремуму функції L(X). Якщо стаціонарна точка знайдена, то питання про існування екстремуму в найпростіших випадках вирішується на підставі достатніх умов екстремуму -- дослідження знака другого диференціала d²L(X) у стаціонарній точці за умови, що перемінні збільшення ?_xj зв'язані співвідношеннями, отриманими шляхом диференціювання рівнянь зв'язку.

(2.1.14)

Задача опуклого програмування (ОП)

Нехай дана система нерівностей виду

(2.1.15)

і функція

 (2.1.16)

причому усі функції є опуклими на деякій опуклій безлічі М, а функція Z або опукла на безлічі М, або увігнута. Задача опуклого програмування (ОП) складається у відшуканні такого рішення системи обмежень (2.1.15), при якому цільова функція Z досягає мінімального значення, або увігнута функція Z досягає максимального значення. (Умови незаперечності перемінних можна вважати включеними в систему (2.1.15)).

Усяка задача лінійного програмування є часткою случаємо задачі опуклого програмування (ОП). У загальному випадку задачі ОП є задачами нелінійного програмування. Виділення задач ОП у спеціальний клас порозумівається екстремальними властивостями опуклих функцій: усякий локальний мінімум опуклої функції (локальний максимум увігнутої функції) є одночасно і глобальним; крім того, задана на замкнутій обмеженій безлічі, досягає на цій безлічі глобального максимуму і глобального мінімуму. Звідси випливає, що якщо цільова функція Z є строго опуклою (строго увігнутої) і якщо область рішень системи обмежень не порожня й обмежена, то задача ОП завжди має єдине рішення. У цьому випадку мінімум опуклої (максимум увігнутої) функції досягається усередині області рішень, якщо там мається стаціонарна точка, або на границі цієї області, якщо усередині неї немає стаціонарної точки. (У загальному випадку можна затверджувати лише, що безліч оптимальних рішень будь-якої задачі ОП є опуклою безліччю).

Наближене рішення задач опуклого програмування методом кусочно-лінійної апроксимації

Функція називається сепарабельной, якщо її можна представити у виді суми функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї перемінної, тобто якщо

(2.1.17)

(не виключено, що F_i(x_i) = 0 при деяких i).

Нехай у задачі ОП (2.1.15), (2.1.16) і функція мети Z, і всі обмеження , є сепарабельними. Тоді задача має вигляд: знайти мінімум опуклої (максимум увігнутої) функції , при обмеженнях

(2.1.18).

Ідея методу кусочно-лінійної апроксимації полягає в тому, що всі f_i, і всі , заміняються ламаними лініями, що складаються з прямолінійних відрізків. При цьому вихідна задача ОП заміняється новою, наближеною задачею, що є задачею лінійного програмування. Ця задача вирішується звичайно симплексним методом, і її рішення є наближеним рішенням вихідної задачі ОП.

Для побудови наближеної задачі розглянемо кусочно-лінійну апроксимацію функції одному перемінної h(х), заданої на відрізку [0, а]. Розіб'ємо цей відрізок на r частин точками х₀ < х₁ <...< х_r так, щоб х₀ = 0, х_r = а (малюнок 2.1.1).

Рисунок 2.1.1 - Кусочно-лінійна апроксимація функції однієї перемінної

Обчислимо значення функції h_k(x), у цих точках. З'єднаємо попарно точки (х_k; h_k) і (х_k+1; h_k+1) відрізками прямих. Складена з цих відрізків ламана h(х) апроксимує функцію h(х) на відрізку [0, а]. (Не розглядаючи тут оцінку точності наближення, відзначимо тільки, що точність можна збільшити за рахунок більш дрібної розбивки відрізка).

Рівняння ділянки ламаної (х) між точками (х_k; h_k) і (х_k+1; h_k+1) має вигляд

(рівняння прямої по двох точках). Якщо кожне з відносин у цій рівності позначити через, то одержимо (2.1.19):

(2.1.19)

причому

Відзначимо, що для кожного існує єдине значення , що задовольняє умовам (2.1.19). Позначивши , можна представити у виді:

(2.1.20)

де

(Рівняння (2.1.20) називаються параметричними рівняннями відрізка. Якщо h(x)=0, те друге з цих рівнянь звертається в тотожність 0 = 0.

Таким чином, для будь-якого рівняння ламаної можна записати у виді:

(2.1.21)

причому завжди відмінні від нуля тільки два значення (якщо х є внутрішньою точкою k-го відрізка розбивки) або одне (якщо х збігається з кінцем відрізка).

Повертаючи до задачі ОП із сепарабельними функціями, відзначимо, що насамперед (у залежності від системи обмежень) потрібно визначити інтервал зміни кожної перемінної х_j. Потім кожен цей інтервал розбивається на частині точками х_jk і з використанням формул (2.1.21) будується кусочно-лінійна апроксимація для функцій f_j і . Після цього можна для вихідної задачі (2.1.18) записати наближену задачу:

знайти максимум функції

при обмеженнях

(2.1.22)

Оскільки наближена задача (2.1.22) є задачею лінійного програмування і ми звичайно вирішуємо її симплексним методом, умови незаперечності перемінних записуються окремо від інших обмежень. Відмінність отриманої задачі (2.1.22) від звичайної задачі лінійного програмування полягає в тому, що для кожного x_j мається не більш двох сусідніх ненульових з однаковим j і несусідніми k. Помітимо також, що для умов незаперечності перемінних що складаються f_j(x_j) і (якщо такі виявляться) кусочно-лінійну апроксимацію проводити, звичайно, не потрібно.[9]

2.2 Дослідження об'ємів закупівель та продажів

В даному підпункті необхідно дослідити стан закупівель та продажів підприємства, обчислити недоотриману виручку від реалізації за минулий рік, обчислити відсоток втрат по кожному виробу кожного підприємства. Зробити висновки щодо подальшої політики діяльності фірми.

ТОВ «Гермес-Груп» відповідно до статуту займається оптовою торгівлею продуктами харчування. В основному, це кондитерські вироби. Головними постачальниками є: київська кондитерська фабрика «Київград», ТМ «Росічі», ТМ «Кремінь», ТМ «Буринь», Київський кондитерський завод з виробництва пряників.

Проведений фінансовий аналіз показав, що підприємство у 2008 році було неплатоспроможним. Активи підприємства були ліквідними, загрози попасти в тяжкий фінансовий стан не було. Але розрахований коефіцієнт обертання дебіторської заборгованості показав, що гроші за відвантажений товар перераховуються не вчасно, тому підприємство не може правильно скоригувати свою діяльність, свої об'єми закупівель. Кожна гривня обєму реалізації приносить 3.5 % прибутку за рік в цілому. Багато показників вказують на те, що підприємство неефективно використовує свої активи для отримання прибутку.

Підприємство спочатку закуповувало товар на підприємствах-виробниках, а потім продавало його підприємствам- споживачам. Розрахунки з постачальниками були після доставки товарів одразу. А розрахунки зі споживачами проводилися невчасно. Внаслідок цього підприємство мало багато поверненого, неоплаченого товару, тобто мало збитки.

Необхідно порівняти усі об'єми продажів та закупівель у 2008 році та розрахувати втрати виробництва.

Втрати обчислюються як різниця між закупівлями та продажами.

Відсоток втрат по одному виробу обчислюється за формулою 2.2.1:

(2.2.1)

Відсоток втрат повинен бути не більше 9-10%. Збільшення цього відсотку свідчить про те, що підприємство працює в збиток собі.

Закупівля та продаж кондитерських виробів ООО «Гермес-Груп» у 2008 році складали об'єми, які приведені в зведеній таблиці 2.2.1.

Таблиця 2.2.1 - Об'єми продажів та закупівель у 2008 році

Кондитерьські вироби	Разом по місяцях закупівлі, кг:	Разом по місяцях продажі, кг:	Втрати, кг:	Разом по місяцях втрати, грн.:	Відсоток втрат, %
Божья корівка	20218	19638	580	-24 223.40р.	10.74
Карат	845	768	77	-5 503.15р.	1.43
Київські зорі	1104	1024	80	-1 146.18р.	1.48
Метеорит Зоряний	11498	10375	1123	-2 367.29р.	20.79
Прем'ера Київська	1645	1443	202	408.29р.	3.74
Світ Прометея	7063	6380	683	-1 709.08р.	12.64
Сонячна родзинка	580	420	160	2 408.79р.	2.96
Пташине молоко Новинка з горіхом	7348	6676	672	-1 904.65р.	12.44
Пташине молоко Новинка	523	418	105	798.09р.	1.94
Пташине молоко Ласунка	1021	851	170	1 001.30р.	3.15
Фруктово-желейні (горіх)	10113	9160	953	-1 976.33р.	17.64
Фруктово-желейні (родзинки)	6140	5543	597	-921.39р.	11.05
Абрикос з горіхом	2730	2590	140	-5 157.31р.	9.98
Желейна з горіхом (абрикос)	2190	2085	105	-2 102.64р.	7.48
Желейна з горіхом (слива)	3260	3025	235	-1 853.57р.	16.75
Лісовичок	3080	2760	320	-369.03р.	22.81
Святковий десерт	2094	1891	203	-574.37р.	14.47
Чорнослив з горіхом	2490	2090	400	3 904.86р.	28.51
Злагода	9990	9454	536	-5 564.07р.	30.93
Лукум з родзинками	539	475	64	46.24р.	3.69
Лукум молочний	1511	1444	67	-682.00р.	3.87
Рахат-лукум кольоровий	872	810	62	-204.59р.	3.58
Рахат-лукум в кунжуті	363	342	21	-130.60р.	1.21
Весна (мармелад)	575.5	542.5	33	-231.80р.	1.90
Нуга горіх з кунжутом	829	782	47	-424.22р.	2.71
Курага в глазурі	129	110	19	58.55р.	1.10
Кос-халва "Білосніжка"	738	692	46	-297.01р.	2.65
Шербет арахис. з курагою	816	748	68	-154.51р.	3.92
Шербет восточн.сюрприз	1454	1370	84	-556.00р.	4.85
Шербет Фараон	2448	2386	62	-1 555.43р.	3.58
Шербет арахис. з чорносливом	802	764	38	-361.27р.	2.19
Шербет Султан	1178	1097	81	-346.91р.	4.67
Шербет Самаркандський	1741	1652	89	-755.44р.	5.14
Шербет Емір	1529	1438	91	-593.51р.	5.25
Дайма-ойла шоколад (вост.сладощі)	2168.5	2115	53.5	-1 691.53р.	3.09
Дайма-ойла земфира (вост.сладощі)	2725.5	2673	52.5	-2 412.17р.	3.03
Дайма-ойла шоколадно-фруктова (вост.сладости)	3020.5	2952.5	68	-2 433.72р.	3.92
Шербет Падишах	1948	1871	77	-1 141.87р.	4.44
Шанс (цукерки)	318	285	33	0.60р.	1.90
Фігурний мармелад	704	675	29	-469.99р.	1.67
Слива в глазури	142	130	12	-60.42р.	0.69
Зефір "Джаїна"	4768.5	4698.5	70	-2 977.73р.	4.96
Зефір б/розовий	16133.5	15652	481.5	-7 856.66р.	34.11
Зефір "Малятко"	3963.5	3883	80.5	-2 324.32р.	5.70
Зефір "Казкові кільця"	4605.5	4229.2	376.3	-760.46р.	26.65
Зефір ромовий	3026	2896	130	-1 254.87р.	9.21
Вівсяне печіво	3156	3085.5	70.5	-1 103.42р.	4.99
вівсяне печіво з кунжутом	2001	1900.5	100.5	-520.06р.	7.12
Печіво "Солоденьке"	1538.5	1471	67.5	-699.58р.	4.78
Зефір крем-брюле	2006	1971	35	-1 612.53р.	2.48
Північний малюк	5845	5725	120	-2 071.82р.	17.02
Сатурн горіх	5490	5439	51	-2 599.26р.	7.23
Сатурн	5648	5616	32	-2 345.58р.	4.54
Насолода з курагою	5798	5740	58	-2 787.51р.	8.23
Насолода з чорносливом	6204	6050	154	-2 527.67р.	21.84
Насолода зі згущеним молоком	11880	11590	290	-4 864.44р.	41.13
РАЗОМ:	202546.5	191891.7	10654	-97 554.60р.	500

В таблиці 2.2.1 показано, що від невірно сформованих закупівель ООО «Гермес-Груп» втрачає 10654 кг кондитерських виробів за рік. І недоотримує за рік 97554,60 грн. Тобто частину цих 10654 кг воно змушене повертати заводам-виробникам, частину продавати з великими знижками або робити розпродаж з ціллю отримання прибутку.

Розглянемо рисунки 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 на яких зображені відсотки втрат кожного кондитерського виробу від загальних втрат.

Рисунок 2.2.1 - Відсоток втрат ТМ Київград

З рисунка 2.2.1 легко помітити, що необхідно приділити увагу закупівлі таких видів продукції, як Метеорит Зоряний (21 %), Фруктово-желейні (горіх) (18 %), Світ прометея (13 %), Пташине молоко Новинка з горіхом (12%).



Рисунок 2.2.2 - Відсоток втрат ТМ Росичі

З рисунка 2.2.1 видно, що практично ні один з видів кондитерських виробів не вигідно закуповувати. Тобто політику роботи з цією торгівельною маркою треба передивитися та прийняти заходи по підвищенню продажів виробів ТМ Росичі.

Рисунок 2.2.3 - Відсоток втрат ТМ Кремінь

З рисунка 2.2.3 легко помітити, що з маркою Кремінь працювати досить вигідно. Не варто закуповувати лише цукерки Злагода. Вони складають 31 % втрат в загальному.



Рисунок 2.2.4 - Відсоток втрат ТМ Буринь

Рисунок 2.2.4 вказує на те, що підприємству необхідно приділити увагу закупівлям виробів: зефір Зефір б/рожевий (34%), Зефір Казкові кільця (27%).

Рисунок 2.2.5 - Відсоток втрат ТМ Пряник Київський

На роботу з цією маркою необхідно привернути увагу. Більша кількість виробів має великий відсоток втрат.

Відсотки втрат дуже великі, тому необхідно запропонувати такі умови, які б підвисили б об'єми продажів на підприємстві з мінімальними втратами.

З проведеного аналізу закупівель та продажів видно, що підприємство мало б отримати від продажу кондитерських виробів за рік на 97000 гривень більше, аніж отримало. З проведеного аналізу рентабельності продажів видно, що кожна гривня об'єму реалізації приносить 0% прибутку за перший квартал, 5.5 % за 9 місяців діяльності підприємства, 3.5 % за рік в цілому.

З проведених досліджень видно, що необхідно скласти таку модель оптимізації, яка б максимізувала прибуток підприємства та виражала б найкращі умови і для виробників, і для споживачів.

На величину прибутку впливають обсяги закупівель та продажів.

Шляхом підвищення прибутку буде визначення оптимального обсягу закупівель та продажів на підприємстві при гнучкій системі цін.

2.3 Постановка задачі оптимізації закупівель

Підхід до побудови математичної моделі може бути індуктивним і дедуктивним. При використанні індуктивного методу модель того чи іншого економічного процесу будується за допомогою часткового моделювання, що охоплює більш прості змінні економічного процесу, з переходом від них до загальної моделі всього процесу. При дедуктивному методі спочатку будується загальна модель і лише на її основі конструюються часткові моделі, встановлюються алгоритми конкретних математичних розрахунків. Економіко-математичні моделі будуть найбільш обґрунтованими, якщо при їхньому конструюванні методи індукції і дедукції використані в єдності. У цих умовах забезпечується більша «подібність» моделі на реальний економічний процес; вона в більшій мірі буде відображати об'єктивно існуючі економічні явища і закономірності^[4].

При проведенні досліджень було виявлено, що підприємство веде неправильну політику при вирішенні обсягів закупівлі товарів на заводах-виробниках. Також результати опитань та досліджень показали, що на ринку продажу кондитерських виробів існує висока конкуренція. Тому споживачів необхідно заохочувати пільгами та вигідними пропозиціями при купівлі кондитерських виробів. При підвищенні обсягів закупівель продукції споживачами вигідно знизити ціни, щоб збільшити обсяг закупівель у виробників і тим самим збільшити обсяг продажу виробів. Іноді вигідно знизити ціни, щоб збільшити об'єми продажів.

Для заохочення споживачів необхідно створити таку систему цін продажів товару, яка б залежала від обсягу закупівель з боку споживачів.

Необхідно розробити економіко-математичну модель, яка б розраховувала максимальний прибуток при оптимальному обсязі закупівель.

Завод і випускає та продає продукцію j в об'ємі x. Підприємство закупає цю продукцію в об'ємі х та продає її в об'ємі у.

Шляхом аналізу необхідно поставити головну умову розробки економіко-математичної моделі: процес закупівлі попереджається замовленням необхідних обсягів на підприємствах-виробниках. В подальшому викладенні ці замовлення-закупівлі будемо називати закупівлями. x = y або обсяг закупівель дорівнює обсягу продажів.

Тобто для досягнення максимального прибутку на підприємстві необхідно прийняти таку умову - закупівлі підприємства повинні дорівнювати продажам споживачам. Розробимо таку систему цін, щоб задовольнити потреби споживачів. Побудуємо графік залежності обсягу закупованої продукції від цін (рисунок 2.3.1).



Рисунок 2.3.1 - Графік залежності обсягу продажів від ціни

На рисунку 2.3.1 y - обсяг закупованої продукції; x - ціна.

З вище наведеного графіка легко побачити, що при закупівлі продукції в об'ємі y₁ ціна цієї закупівлі буде максимальна - х₄, а при максимальному обсязі закупівлі у₄ ціна буде мінімальною - х₁.

Тобто підприємство закуповує кондитерські вироби за цінами - ціна закупівлі i-го заводу, j-ї продукції.

Відпускна ціна i-го заводу, j-ї продукції (), буде різною для різних обсягів закупівель. Це буде та . Обсяги закупівель встановлює керівник підприємства.

Відпускна ціна залежить від обсягів закупівель, тобто .

Така залежність знаходиться по статистичним даним як рівняння регресії:

, (2.3.1)

де a і b - коефіцієнти.

Вони знаходяться з рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки [].

Також їх можна знайти, виходячи з графіка, представленого на рисунку 2.3.2.

Рисунок 2.3.2 - Графік для знаходження рівнянь двох точок

y₁ = ax₁ + b

b = y₁ - ax₁,

де х₁ і х₂ - обсяги продажів 1 і 2;

у₁ і у₂ - відпускні ціни при об'ємах закупівель 1 і 2.

Прибутком підприємства (W) є різниця між відпускними цінами та закупівельними, які пов'язані з обсягом закупівлі.

З вищеоговореного складемо економіко-математичну модель максимізації прибутку (2.3.2).

(2.3.2)

Підставимо (2.3.1) в (2.3.2), отримаємо (2.3.3) та (2.3.3.а):

(2.3.3.)

(2.3.3.а)

(2.3.4)

Дана функція має ряд обмежень. Підприємства-виробники обмежують ряд закупівель, які повинно замовити підприємство. Обсяги закупівлі x_ij підприємства обмежені можливостями підприємств-виробників (2.3.4).

Цільова функція - параболічна. Залишкова дисперсія в неї нижче аніж у лінійної функції, тому що вона краще описує об'єкт дослідження та моделювання.

Але дослідженнями було доказано, що закупівельні ціни - це не всі витрати, які залежать від обсягів закупівель - це тільки частина. Закупівельна ціна містить в собі відсоток втрат. Відсоток втрат встановлюється шляхом дослідження.

Таке дослідження може бути застосовано для підприємств оптової торгівлі. Закупівельні ціни можна використовувати як індикатор втрат, розуміючи під С_з закупівельні ціни плюс втрати.

2.4 Вибір методу оптимізації закупівель

Сформульована математична задача може бути вирішена одним з розроблених математичних методів. Методи елементарної математики використовуються в звичайних традиційних економічних розрахунках при обґрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат на виробництво, розробці планів, проектів, при балансових розрахунках і т.д. Ці методи використовуються не тільки в рамках інших методів, але й окремо.

Існує безліч методів рішення поставленої задачі. Розглянемо деякі з тих, за допомогою яких можна вирішити запропоновану модель.

Метод покоординатного спуску

Цей метод є найбільш простим із прямих методів пошуку мінімуму функції декількох перемінних. Викладемо ідею методу для випадку функції двох перемінних f (x, y).

Виберемо початкове наближення M₀ (х⁰, у⁰). Зафіксуємо в⁰ і знайдемо мінімум функції однієї перемінної f (x, y⁰). Нехай він досягається при х = х¹. Уздовж прямій, рівнобіжній осі ОХ, здійснюємо спуск у точку M_t (х¹, у⁰). Фіксуємо х¹ і знаходимо мінімум функції однієї перемінної f (х¹, у). Нехай це буде в¹. З точки М₁ (х¹, у⁰) рухаємося уздовж прямій, рівнобіжній осі OY, до точки М₂ (.x¹, у¹). Потім знову здійснюємо спуск із точки М₂ уздовж прямої рівнобіжної осі ОХ і т.д. (рисунок 2.4.1).

Рисунок 2.4.1 - Метод покоординатного спуска

Відомо, що якщо функція f (х, у) має безупинні другі похідні в околиці мінімуму, то при відповідному виборі початкового наближення (х⁰, у⁰) спуск по координатах сходиться до мінімуму. Зокрема, метод сходиться, якщо в області D, обмеженою лінією рівня, що проходить через точку М₀ {х⁰, у⁰), виконуються умови:

(2.4.1)

Частки похідні функції прагнуть до нуля. Метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії.

Метод градієнтного спуску

Метод визначення мінімуму функції f(х), х=(x₁, x₂,..., х_п), називаний методом градієнтного чи найшвидшого спуска, запропонованийі Коши.

Для мінімізації по методу спуска вибирається початкова точка х⁰= (х⁰₁, х⁰₂,..., х⁰_n) (звичайно відповідно до фізичного змісту задачі). Функція f (x) = f (х⁰) визначає в n-мірному просторі гіперповерхня, градієнт якого вказує напрямок найшвидшого зростання функції.

Тому в напрямку -- grad f(х⁰) функція швидше за все убуває при нескінченно малому русі з даної точки. Спуск по цьому напрямку до мінімуму визначає нове наближення х¹.. У цій точці знову визначається градієнт і здійснюється спуск у напрямку антиградієнта. Випадок п = 2 представлений на рисунку 2.4.2

Малюнок 2.4.2 - Метод градієнтного спуску для n=2

Вектор х, який було необхідно знайти послідовно уточнюється на k-й ітерації методу градієнтного спуска по формулі 2.4.2.

,

де h_k -- оптимальний крок для k -й ітерації.

Таким чином, на кожнім кроці градієнтного спуска потрібно вирішувати ще задачу мінімізації функції одним перемінної яким-небудь чисельним методом. Зокрема, можна розкласти функцію в ряд Тейлора, обмеживши членами другого порядку, і визначити hk. Однак такий метод приводить до дуже громіздких обчислень. При цьому необхідно враховувати також трудомісткість обчислення значень функції f(х) і її градієнта в точках хк. Тому на практиці часто h вибирають емпіричним шляхом. Здійснюється спуск при довільному hk; якщо значення функції f (хk+1) зменшиться, те переходимо до наступного кроку спуска, якщо ж f (х^k+1) не убуває, те зменшуємо крок h_k. Варто враховувати, що якщо h_k вибрати дуже малим, те це приводить до істотного збільшення обсягу обчислень, якщо h_k занадто велике, те це може привести до проскакування через мінімум функції. Обчислення по формулі (2.4.2) проводимо доти, поки функція f(х) практично перестане убувати, тобто до виконання для наперед заданого ? нерівності