Динамика рыночной экономики

………………(12.3) Сравни с (12.1)..

На рис. 6 представлены характеристики сбалансированной статичной экономики, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

- начальный планируемый спрос (t = 0) х₀₁=1 (у.е.),

- планируемый годовой спрос Yвх =b = 1 (у.е./год),

- планируемый спрос х_вх = х₀₁ + b•t = 1+t (у.е.),

- период естественной цикличности T = 6,28 года,

- коэффициент распределения дохода К_S = 0,75,

- коэффициент расширения спроса ? = 0,75,

- объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 1 (у.е.),

- годовой выпуск при t = 0 (у.е./год),

- масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

- объем выпуска

(у.е.)………..(13);

где

,, год, (у.е.),

(у.е./год), (у.е.),

(у.е.);

- годовой выпуск

(у.е./год)…13.1);

- средний годовой выпуск

(у.е./год);

- годовой объем поставок на рынок (предложение)

= 0,75•(1 + 0,048•cos t) = 0,75 + 0,036•cos t (у.е./год);

- средний годовой объем поставок на рынок

= 0,75 (у.е./год);

- текущий годовой (рыночный) спрос

(у.е./год);

- средний объем годового текущего (рыночного) спроса

(у.е./год);

- затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_Bср=(1 - K_S)•Y_{вых ср}= (1 - 0,75)•1= 0,25 (у.е./год);

- требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства

Y_Аср =(1- ?)•Y_{вых ср}= (1- 0,75)•1 = 0,25 (у.е./год);

- общее потребление

Q= Y_Рср + Y_Вср = 0,75 + 0,25 = 1 (у.е./год);

- чистые инвестиции

I = (? ? К_S)•Y_вых ср = (0,75 - 0,75)•1 = 0 (у.е./год);

- индекс цен

,Р = 100 = const;

- инфляция и безработица отсутствуют.

- На рис. 7 ? 7.3 представлены динамические характеристики несбалансированной экономики с постоянным темпом роста ? экономики, растущей в условиях безработицы и инфляции. Подобное развитие событий имело место, например, в экономике США в 1961-1962 годах, "когда в экономике имели место превышающая нормальную безработица и вялый экономический рост" См. Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика", т.1, с.252..



Рис.6

Характеристики получены путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

- темп роста 5% в год (р₀ = 0,05, =1 год, ),

- показатель экспоненты а =[ln(1+ p₀)]/ = 0,0488 год-¹ ,

- начальный (начальный средний) годовой спрос Yвх₀ = Yвх ср₀= b = 1 (у.е./год),

- планируемый (планируемый средний) годовой спрос

Yвх = Yвх ср = Yвх₀•(1+ р₀)^t/ = b•exp (a•t)= ехр (0,0488•t), (у.е./год),

- начальный планируемый спрос х₀₁ = 0 (у.е.),

- планируемый спрос

х_вх = х₀₁ - b/a +(b/a)•exp(a•t) = 20,492•exp (0,0488•t) - 20,492, (у.е.);

- период естественной цикличности T = 6,28 года,

- коэффициент распределения дохода К_S = 0,8,

- коэффициент расширения спроса ? = 0,5,

- начальный объем выпуска (t = 0)хвых₀ = 0, (у.е.),

- начальный годовой выпуск (t = 0) (у.е./год),

- масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

- объем выпуска

(у.е.)…….……..…..(13),

(у.е.),

где

,,

(у.е.), (у.е.), (у.е.),год,(у.е.);

годовой выпуск

(у.е./год)……..(13.1),

(у.е./год);

- средний годовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,

(у.е./год);

- годовой объем поставок на рынок

 (у.е./год);

- средний годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

- текущий (рыночный) годовой спрос

, (у.е./год);

- средний объем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклической составляющей,

, (у.е./год);

- индекс цен (при t = 0 Р = 100)

,

……(13.2),

=476,73;

темп инфляции

%/год,

(при t>?, ?_Р >5%);

- уровень безработицы

,;

- средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_Вср = (1 - K_S)•Y_{вых ср} = (у.е./год);

- требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

Y_Аср =(1 - ?)•Y_{вых ср}= (у.е./год);

- общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср = (у.е./год);

- чистые инвестиции

I = (? ? К_S)•Y_вых ср = - (у.е./год).

Отношение среднего выпуска к планируемому спросу для растущей экономики составит

…….(13.2)

и не будет равно этому отношению для статичной экономики с теми же параметрами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исполнитель Хвостов Н. П., 18.02.05, 141336, Московская область, Сергиево-Посадский район, пос. Реммаш, Институтская,

Рис. 7

Рис 7.1



Рис. 7.2

Рис. 7.3

На рис. 8, 8.1 представлены характеристики сбалансированной экономики с постоянным темпом роста, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

- годовой темп роста 10% (р₀ = 0,1, =1 год),

- показатель экспоненты а =[ln(1+p₀)]/ = 0,0953 год-¹,

- начальный (начальный средний) годовой спрос Yвх₀= Yвх ср₀ = b =1 (у.е./год),

- планируемый годовой спрос

Yвх =Yвх ср = Yвх₀•(1+ р₀)^t/ = b•exp(a•t) = exp (0,0953•t) (у.е./год),

- начальный (t = 0) спрос х₀₁ = 0 (у.е.);

- планируемый спрос

х_вх = х₀₁ - b/a +(b/a)•exp(a•t)=10,492• exp(0,0953•t) - 10,492 (у.е.),

- период естественной цикличности T = 6,28 года,

- коэффициент расширения спроса ? = 0,75,

- объем выпуска при t =0 хвых₀ = К₀•х₀₁= 0 (у.е.),

- годовой выпуск при t = 0 (у.е./год),

- масштабный факторС_р =100 (%/год).

Определим параметр, характеризующий динамику системы (параметр динамичности)

год,

Для того чтобы растущая экономика была полностью сбалансированной, т. е. Y_вых=Y_вх, системный мультипликатор определим из выражения (13.2), приняв К_д =1:

………..(14),

Коэффициент распределения дохода определим из выражения (6.2) для "К₀":

………..(14.1).

Для полностью сбалансированной экономики решения имеют следующий вид:

- объем выпуска

…(у.е.)……….(14.2),

(у.е.),

Где

(у.е.), (у.е.), (у.е.), (у.е.);

годовой выпуск

…(у.е./год)…...(14.3),

(у.е./год);

средний годовой выпуск

(у.е./год);

- годовой объем поставок на рынок

= (у.е./год),

(у.е./год) ;

- средний годовой объем поставок на рынок

= (у.е./год);

- текущий годовой (рыночный) спрос

(у.е./год);

- средний объем годового текущего (рыночного) спроса

(у.е./год);

- индекс цен (Р = 100 при t = 0)

,

Р = 100;

- темп инфляции ;

- уровень безработицы

;

- средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_{В ср} =(1 - K_S)•Y_{вых ср} = 0,259• (у.е./год);

- требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

Y_Аср =(1 - ?)•Y_{вых ср}= (у.е./год);

- общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср = (у.е./год);

- чистые инвестиции

I = (? ? К_S)•Y_вых ср = (у.е./год).



Рис. 8

Рис. 8.1

Посмотрим, как изменятся характеристики экономики, если принять системный мультипликатор равным единице, то есть вычислить его по выражению (6.2), приняв коэффициент распределения дохода К_S =0,75:

.

Характеристики такой "почти сбалансированной растущей экономики" представлены ниже и на рис. 9 ? 9.3.

Решения уравнения (7.2) будут иметь вид:

- объем выпуска

(у.е.)……….….(14.4),

(у.е.),

где,

(у.е.), (у.е.), (у.е.),

(у.е.);

годовой выпуск

(у.е./год)…..(14.5),

(у.е./год);

- средний годовой выпуск

(у.е./год);

- годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

- средний годовой объем поставок на рынок

= (у.е./год);

- текущий годовой (рыночный) спрос

(у.е./год);

- средний объем годового текущего (рыночного) спроса

(у.е./год);

- индекс цен (при t = 0 Р = 100)

),

,

;

темп инфляции

%/год,

(при t>?, );

уровень безработицы

;

- средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_Вср = (1 - K_S)•Y_{вых ср} = 0,248• (у.е./год);

- требуемые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

Y_Аср = (1 - ?)•Y_{вых ср}= (у.е./год);

- общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср = (у.е./год);

- чистые инвестиции

I = (? ? К_S)•Y_вых ср = 0 (у.е./год).



Рис. 9.1

Рис. 9.2

На рис. 10 ? 10.3 представлены характеристики несбалансированной экономики со снижающимся уровнем производства, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:

- годовой темп снижения 10% (р₀ = - 0,1, =1 год),

- показатель экспоненты а =[ln(1+p₀)]/ = - 0,1054 год-¹,

- исходный уровень (t = 0) годового спроса Yвх₀= b₁ =1 (у.е./год),

- новый уровень годового спроса Yвх_к= b₂ = 0,5 (у.е./год),

- планируемый годовой спрос

Yвх =Yвх ср = Yвх₀•(1+ р₀)^t/ + b₂ = b₁•exp (a•t) + b₂ ,

Yвх = ехр (? 0,1054•t) + 0,5 (у.е./год);

- начальный (t = 0) планируемый спрос х_вх = х₀₁ = 0,769 (у.е.),

- планируемый спрос

х_вх = х₀₁ - b₁/a + (b₁/a)•exp(a•t) + b₂•t = 10,26 - 9,491•exp (- 0,1054•t)+0,5•t, (у.е.),

- период естественной цикличности T = 6,28 года,

- коэффициент распределения дохода К_S =0,8,

- коэффициент расширения спроса ? =0,5,

- объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 0,769, (у.е.),

- годовой выпуск при t = 0 (у.е./год),

- масштабный факторС_р =100 (%/год).

Решения имеют следующий вид:

- объем выпуска

(у.е.)…………...(15),

(у.е.),

где,,

(у.е.),

(у.е.),

С₅ =К₀•b₂ = 0,384 (у.е./год), год,

(у.е.),

(у.е.);

годовой выпуск

(у.е./год)…..(15.1),

(у.е./год);

средний годовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,

(у.е./год);

- годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

- средний годовой объем поставок на рынок

(у.е./год);

- текущий (рыночный) годовой спрос

(у.е./год);

- средний объем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклической составляющей

(у.е./год);

- индекс цен (при t = 0 Р = 100)

,

,= ?227,04, ;

темп инфляции

,

(так как а<0, то при t> ?, ?_Р > 0);

- уровень безработицы

%;

- средние ежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)

Y_Вср = (1 - K_S)•Y_{вых ср}=(у.е./год),

- требуемые годовые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)

Y_Аср = (1 - ?)•Y_{вых ср}= (у.е./год);

- общее потребление

Q = Y_{вых ср} = Y_Рср + Y_Вср = 0,384+ (у.е./год);

- чистые инвестиции

I = (? ? К_S)•Y_вых ср = ? 0,115 ? (у.е./год).

Рис. 10



Рис. 10.1

Рис. 10.2



Рис. 10.3

Представляет интерес реакция системы на входные воздействия, содержащие гармонические возмущения спроса (рис.11).

Пусть имеется система с параметрами:

- коэффициент расширения спроса ? = 0,5,

- коэффициент распределения К_S = 0,8,

- параметр динамичности Т₄ = 1 год: соответствует периоду естественной цикличности Т = 6,28 года.

При входном воздействии (планируемом спросе):

х_вх = х₀₁ + b•t ? b₁•sin t/T₅ = t - 0,09•sin(2•t)… (у.е.)….………….…...(16),

где хвх₀ =х₀₁ = 0 ? начальный планируемый спрос, b = 1 у.е./год ? средний годовой планируемый спрос, b₁ = 0,09 у.е. ? амплитуда цикла спроса, T₅ = 0,5 года - параметр динамики спроса (соответствует периоду цикла спроса Т_спроса = Т₁= 2•?•Т₅ = 2•? 0,5 = 3,14 года),

и начальных условиях:

- хвых₀ = 0 (у.е.) ? объем выпуска при t = 0,

-

- (у.е./год) - значение годового выпуска при t = 0,

-

решение дифференциального уравнения (7.2) будет иметь вид:

(у.е.)………...(16.1),

(у.е.),

где

, С₃ = К₀•х₀₁ = 0,

С₄ = К₀•b =0,769 (у.е./год),(у.е.),

С₁ =хвых₀ ? С₃ = хвых₀ - К₀•х₀₁ = 0,

(у.е.).

Годовой объем производства составит

(у.е.)/год ……….(16.2),

(у.е.)/год;

годовой объем планируемого спроса

Y_вх =1 - 0,18•cos (2•t) (у.е./год).



Рис. 11

На рис. 11 видно, что быстрые колебания (Т₅ Т₄) спроса мало влияют на размер производства. Исключением может явиться случай, когда частота колебаний спроса будет близка или совпадет с собственной частотой системы. Здесь амплитуда колебаний может многократно возрасти.

На рис.12 представлен один из возможных способов целенаправленного подавления цикличности на примере статичной экономики со следующими параметрами и начальными условиями:

- планируемый годовой спрос Yвх = b =1 (у.е./год),

- начальный планируемый спрос х₀₁=1 (у.е.),

- планируемый спрос хвх = хвх₁ = х₀₁ + b•t = 1+t (у.е.)………………...….(17),

- период естественной цикличности T = 6,28 года,

- коэффициент распределения дохода К_S = 0,8,

- коэффициент расширения спроса ? = 0,5,

- объем выпуска при t = 0 хвых₀ = 0,769 (у.е.),

- годовой выпуск при t = 0 (у.е./год).

Для нерегулируемого процесса при заданных параметрах и начальных условиях имеем:

(у.е.)…(17.1),

(у.е./год)...(17.2),

где ,С₃₀ = К₀•х₀₁ = 0,769 (у.е.),

С₄₀ = К₀•b =0,769 (у.е./год), С₁₀ = хвых₀ ? С₃₀ = хвых₀ - К₀•х₀₁ = 0,

год,

(у.е.).

Пусть теперь в момент времени t = 7,8 (t₂ = 0) года на естественный цикл (17.1) накладывается на входе регулирующее воздействие, так что входной сигнал приобретает вид:

хвх = ………….……...(17.3),

где Т₆ = 1 год - постоянная регулирующего воздействия (время предварения), а t₂ = t - 7,8.

Выражение (17.3) получено добавлением члена (?) в определение (17) планируемого спроса до момента времени t = 7,8 года.

Подставив выражение (17.3) в правую часть дифференциального уравнения (7.2) и решив его, получим

хвых =хвых₂ =exp (??•t₂)•[C₁•cos (t₂/T₅)+C₂•sin (t₂/T₅)] + C₃ + C₄•t₂ (у.е.)…..…(17.4),

...(17.5),

где

, года,

(у.е./год), (у.е.),

- коэффициент затухания,

года - период затухающих колебаний,

года ? период свободных колебаний.

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определим, исходя из условия сохранения непрерывности функции годового выпуска в точке t = 7,8 года (t₁=7,8; t₂= 0), что обеспечивается при равенстве первой и второй производных от объема выпуска справа и слева от этой точки:

,,

Где

(у.е./год) ? значение годового выпуска,

определенное из выражения (17.2) при t = 7,8 года (первая производная);

 ? значение второй производной,

определенное путем дифференцирования выражения (17.2) и последующей подстановки t =7,8 года, учитывая, что t₁ = t, а t₂ = t ?7,8.

Дважды продифференцировав (17.4) и подставляя в полученные выражения числовые значения производных Y2₀ и Y'2₀, найдем:

(у.е.),

(у.е.),

хвых =хвых₂ =exp (? 0,385•t₂)•[0,23•cos (t₂/1,083)+0,097•sin (t₂/1,083)]+0,178 +0,769•t₂ (17.6),

Необходимое для подавления цикличности регулирующее воздействие (годовой спрос, как функция времени с момента t =7,8 года) должно меняться по закону:

.

………….(17.7)



Рис. 12

На рис. 12 видно, что регулирование спроса является эффективным методом подавления цикличности. Различные точки зрения по поводу эффективности регулирующих воздействий объясняются, по-видимому, не всегда удачным выбором момента и параметров воздействия.

На рис. 13 приведены индексы цен на потребительские товары в США за период с 1936 по 1988 год См. Кэмпбелл Р. МАККОННЕЛ, Стенли Л. БРЮ. Экономикс. Принципы, проблемы и политика. М., 1993, "Республика".

. Экспериментальные точки хорошо ложатся на кривую, описываемую уравнением Р=14,424+2,384•ехр (0,0735•t), аналогичным уравнениям (11.2) и (13.2), что подтверждает правильность исходных предпосылок, принятых при выводе уравнения для индекса цен.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исполнитель Хвостов Н. П., 18.02.05, 141336, Московская область, Сергиево-Посадский район, пос. Реммаш, Институтская,

Рис. 13

Заключение

Предложенные математические модели чистой монополии, монополистической конкуренции, чистой конкуренции адекватно описывают основные явления в экономике: конкуренцию и монополию, цикличность развития, безработицу, инфляцию, стагфляцию. Заслуживает внимания вытекающая из этих моделей функциональная связь между основными макроэкономическими переменными: спросом, объемом производства и инвестициями.

Модели могут оказаться полезным дополнением к существующим методам прогнозирования и управления экономикой.

Размещено на Allbest.ru