Размещено на http://www.allbest.ru/

Завдання 1

На звірофермі вирощують чорно-бурих лисиць і песців, для яких заготовляють корми 3-х видів.

Кількість корму кожного виду, яку повинні щоденно одержувати звірі, зазначено кількість корму кожного виду, яке може бути використано фермою та прибуток від реалізації однієї шкурки лисиці і песця подані в таблиці:

Вид корму	Кількість одиниць корму, яку щоденно повинні одержувати	Загальна кількість корму
	лисиця	песець
І	2	3	360
ІІ	4	1	480
ІІІ	6	7	852
Прибуток на 1-н виріб (грн.)	32	25

Розв'язок. Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х₁ кількість виробів 1-ї моделі, що виготовляє фабрика за деяким планом, а через х₂ кількість виробів 2-ї моделі. Тоді прибуток, отриманий фабрикою від реалізації цих виробів, складає

? = 32х₁ + 25х₂.

Витрати сировини на виготовлення такої кількості виробів складають відповідно:

А =2х1 + 3х2,В = 4х1 + 1х2,С = 6х1 + 7х2

Оскільки запаси сировини обмежені, то повинні виконуватись нерівності:

2х₁ + 3х₂ ? 360

4х₁ + 1х₂ ? 480

6х₁ + 7х₂ ? 852

Оскільки, кількість виробів є величина невід'ємна, то додатково повинні виконуватись ще нерівності: х₁ > 0, х₂ > 0.

Таким чином, приходимо до математичної моделі (задачі лінійного програмування):

Знайти х₁, х₂ такі, що функція f = 32x₁ +25x₂ досягає максимуму при системі обмежень:

Розв'язуємо задачу лінійного програмування симплексним методом. Введемо балансні змінні х₃ ? 0, х₄ ? 0, х₅ ? 0. Їх величина поки що невідома, але така, що перетворює відповідну нерівність у точну рівність. Після цього, задача лінійного програмування набуде вигляду: f = 32x₁ +25x₂ > max при обмеженнях

де х₁,., х₅ >0

Складаємо симплекс-таблицю:

	Базис	32	25	0	0	0	b
	I	II	III	IV	V	VI	VII
а	0	2	3	1	0	0	360
б	0	4	1	0	1	0	480
с	0	6	7	0	0	1	852
d	?i	32	25	0	0	0	0

Оскільки змінних х₃, х₄, х₅ в цільовій функції немає, то їм відповідають коефіцієнти 0;

	Базис	32	25	0	0	0	b
	I	II	III	IV	V	VI	VII
а	0	0	2,5	1	-0,5	0	120
б	32	1	0,25	0	0,25	0	120
с	0	0	5,5	0	-1,5	1	132
d	?i	0	17	0	-8	0	3840

Отримано новий план виробництва: х₁ =120, x₂=0. Прибуток за цим планом складає 3840 грн. Оскільки серед оцінок є додатні, то будуємо новий план (відповідно нову симплекс-таблицю), вибираючи ведучий елемент в 2-му стовпці:

	Базис	4	5	0	0	0	b
	I	II	III	IV	V	VI	VII
а	0	0	0	1	0,18	-0,62	60
б	32	1	0	0	0,32	-0,04	114
с	25	0	1	0	-0,27	0,18	24
d	?i	0	0	0	-3,36	-3,01	4248

Отримано план х₁ =114; х₂ = 24, при якому досягається прибуток 427,72 грн. Оскільки серед оцінок є додатні, то оптимальний план ще не знайдено. Вибираємо ведучий елемент в третьому стовпці та будуємо новий план (відповідно нову симплекс-таблицю):

Оскільки всі оцінки < 0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х₁=60, х₂=114, х₃=24, х₄=0, х₅=0. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 4248 грн.

Дамо економічну трактову розв'язку: щоби досягнути максимально можливого, за умов задачі, прибутку (4248 грн.), необхідно виробів першої моделі випустити 114 од. другої моделі - 24. При цьому залишиться сировини виду А - 60 од., сировини виду В і сировини виду С не залишиться зовсім.

Завдання 2

Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв'язати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі. Оптимальні результати перевірити графічно.

Розв'язок

Розв'яжемо задачу лінійного програмування симплексним методом.

Визначимо максимальне значення цільової функції F (X) = 9x₁-7x₂ при наступних умовах-обмежень.

2x₁+16x₂?16

2x₁+5x₂?20

5x₁-3x₂?20

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних.

2x₁ + 16x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 16

2x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 20

5x₁-3x₂ + 0x₃ + 0x₄-1x₅ = 20

Введемо штучні змінні x.

2x₁ + 16x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 16

2x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 20

5x₁-3x₂ + 0x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 20

Для постановки задачі на мінімум цільову функцію запишемо так:

F (X) = 9x₁-7x₂ - Mx₆ - Mx₇ => max

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,0, 20,0,16, 20).

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	х6	х7
0	х6	16	2	16	-1	0	0	1	0
	x4	20	2	5	0	1	0	0	1
	х7	20	5	-3	0	0	-1	0	0
Індексний рядок	F (X0)	0	0	0	0	0	0	0	0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7	min
1	х6	16	2	16	-1	0	0	1	0	1
	x4	20	2	5	0	1	0	0	1	4
	х7	20	5	-3	0	0	-1	0	0	0
Індексний рядок	F (X1)	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х₂, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7	min
2	х2	1	0,125	1	-0,0625	0	0	0,0625	0	8
	x4	15	1,38	0	0,3125	1	0	-0,3125	0	10,91
	х7	23	5,38	0	-0,1875	0	-1	0,1875	1	4,28
Індексний рядок	F (X2)	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х₁, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7	min
3	х2	0,4651	0	1	-0,0581	0	0,0233	0,0581	-0,0233	20
	x4	9,12	0	0	0,3605	1	0,2558	-0,3605	-0,2558	35,64
	х1	4,28	1	0	-0,0349	0	-0,186	0,0349	0,186	0
Індексний рядок	F (X3)	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х₅, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7	min
4	х5	20	0	43	-2,5	0	1	2,5	-1	0
	x4	4	0	-11	1	1	0	-1	0	4
	х1	8	1	8	-0,5	0	0	0,5	0	0
Індексний рядок	F (X4)	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х₃.

симплексний метод програмування лінійне

План	Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	х7
5	х5	30	0	15,5	0	2,5	1	0	-1
	x3	4	0	-11	1	1	0	-1	0
	х1	10	1	2,5	0	0,5	0	0	0
Індексний рядок	F (X5)	0	0	0	0	0	0	0	0

Оптимальний план можна записати так:

x₅ = 30, x₃ = 4, x₁ = 10

F (X) = 9*10 = 90

Складемо двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування.

2y₁+2y₂+5y₃?9

16y₁+5y₂-3y₃=-7

16y₁+20y₂+20y₃ => min

y₁ ? 0, y₂ ? 0, y₃ ? 0

Рішення двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів. Використовуючи останню інтеграцію прямої задачі знайдемо, оптимальний план двоїстої задачі. Із теореми двоїстості слідує, що Y = C*A^-1.

Сформуємо матрицю A із компонентів векторів, які входять в оптимальний базис.

Як видно із останнього плану симплексної таблиці, обернена матриця A^-1 розміщена у стовбцях додаткових змінних.

Тоді Y = C*A^-1 =

Запишемо оптимальний план двоїстої задачі:

y₁ = 0

y₂ = 4.5

y₃ = 0

Z (Y) = 16*0+20*4.5+20*0 = 90

Завдання 3

Розв'язати транспортну задачу.

1	4	2	3	1	200
2	1	7	8	1	150
2	1	3	1	4	200
100	100	80	70	90

Розв'язок

Побудова математичної моделі. Нехай x_ij - кількість продукції, що перевозиться з і-го пункту виробництва до j-го споживача . Оскільки , то задачу треба закрити, тобто збалансувати (зрівняти) поставки й потреби:

У нашому випадку робиться це введенням фіктивного постачальника, оскільки . З уведенням фіктивного споживача транспортній таблиці додатково заявляється n робочих клітинок.

Ціни, додатковим клітинкам, щоб фіктивний стовбець був нейтральним щодо оптимального вибору планових перевезень, призначаються усі рівні нулю.

Занесемо вихідні дані у таблицю.

	В1	В2	В3	В4	В5	В6	Запаси
А1	1	4	2	3	1	0	200
А2	2	1	7	8	1	0	150
А3	2	1	3	1	4	0	200
Потреби	100	100	80	70	90	110

Забезпечивши закритість розв'язуваної задачі, розпочинаємо будувати математичну модель даної задачі:

Економічний зміст записаних обмежень полягає в тому, що весь вантаж потрібно перевезти по пунктах повністю.

Аналогічні обмеження можна записати відносно замовників: вантаж, що може надходити до споживача від чотирьох баз, має повністю задовольняти його попит. Математично це записується так:

Загальні витрати, пов'язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними.

Тому формально це можна записати так:

minZ=1x₁₁+4x₁₂+2x₁₃+3x₁₄+1x₁₅+0x₁₆+2x₂₁+1x₂₂+7x₂₃+8x₂₄+1x₂₅+0x₂₆+2x₃₁+1x₃₂+3x₃₃+1x₃₄+ +4x₃₅+0x₃₆.

Загалом математична модель сформульованої задачі має вигляд:

minZ=1x₁₁+4x₁₂+2x₁₃+3x₁₄+1x₁₅+0x₁₆+2x₂₁+1x₂₂+7x₂₃+8x₂₄+1x₂₅+0x₂₆+2x₃₁+1x₃₂+3x₃₃+1x₃₄+ +4x₃₅+0x₃₆.

Запишемо умови задачі у вигляді транспортної таблиці та складемо її перший опорний план у цій таблиці методом "північно-західного кута".

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4 100	2	3	1	0	u1 =
а2 = 150	2	1	7 80	8 70	1	0	u2 =
а3 = 200	2	1	3	1	4 90	0 110	u3 =
vj	v1 =	v2 =	v3 =	v4 =	v5 =	v6 =

Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 6, а має бути m+n-1 = 8. Отже, опорний план є виродженим. Будуємо новий план.

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4 20	2 80	3	1	0	u1 =
а2 = 150	2	1 80	7	8 70	1	0	u2 =
а3 = 200	2	1	3	1	4 90	0 110	u3 =
vj	v1 =	v2 =	v3 =	v4 =	v5 =	v6 =

Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 7, а має бути m+n-1 = 8. Отже, опорний план є виродженим. Будуємо новий план.

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4 [-] 10	2 [+]	3	1 90	0	u1 = 0
а2 = 150	2	1 [+] 90	7 [-] 60	8	1	0	u2 = - 3
а3 = 200	2	1	3 20	1 70	4	0 110	u3 = - 7
vj	v1 = 1	v2 = 4	v3 = 10	v4 = 8	v5 = 1	v6 = 7

В результаті отримано перший опорний план, який є допустимим, оскільки всі вантажі з баз вивезені, потреба магазинів задоволена, а план відповідає системі обмежень транспортної задачі.

Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 8, а має бути m+n-1=8. Отже, опорний план є не виродженим.

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0: u₁=0, u₂=-3, u₃=-7, v₁=1, v₂=4, v₃=10 v₄=8, v₅=1, v₆=7. Ці значення потенціалів першого опорного плану записуємо у транспортну таблицю.

Потім згідно з алгоритмом методу потенціалів перевіряємо виконання другої умови оптимальності u_i + v_j ? c_{ij (}для порожніх клітинок таблиці).

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких

u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 + 10 > 2

(1;4): 0 + 8 > 3

(1;6): 0 + 7 > 0

(2;6): - 3 + 7 > 0

Тому від нього необхідно перейти до другого плану, змінивши співвідношення заповнених і порожніх клітинок таблиці. Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (А₁B₃): 2. Для цього в перспективну клітку (1;

3) поставимо знак "+", а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки "-", "+", "-". Цикл наведено в таблиці.

Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу. З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (1;

2) = 10. Додаємо 10 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 10 з х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Для цього у порожню клітинку А₁B₃ переносимо менше з чисел х_ij, які розміщені в клітинках зі знаком "-". Одночасно це саме число х_ij додаємо до відповідних чисел, що розміщені в клітинках зі знаком "+", та віднімаємо від чисел, що розміщені в клітинках, позначених знаком "-".

Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану, тобто дорівнювати (n + m - 1).

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий вигляд:

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4	2 [+] 10	3	1 [-] 90	0	u1 = 0
а2 = 150	2	1 100	7 [-] 50	8	1 [+]	0	u2 = 5
а3 = 200	2	1	3 20	1 70	4	0 110	u3 = 1
vj	v1 = 1	v2 = - 4	v3 = 2	v4 = 0	v5 = 1	v6 = - 1

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i > c_ij

(2;1): 5 + 1 > 2

(2;5): 5 + 1 > 1

(2;6): 5 + - 1 > 0

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (А₂B₅): 1

Для цього в перспективну клітку (А₂B₅) поставимо знак "+", а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки "-", "+", "-". Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (А₂B₃) = 50. Додаємо 50 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 50 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4	2 [+] 60	3	1 [-] 40	0	u1 = 0
а2 = 150	2	1 [-] 100	7	8	1 [+] 50	0	u2 = 0
а3 = 200	2	1 [+]	3 20	1 70	4	0 110	u3 = 1
vj	v1 = 1	v2 = 1	v3 = 2	v4 = 0	v5 = 1	v6 = - 1

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких

u_i + v_i > c_ij

(3;2): 1 + 1 > 1

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (А₃B₂): 1

Для цього в перспективну клітку (А₃B₂) поставимо знак "+", а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки "-", "+", "-". Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (А₃B₃) =20. Додаємо 20 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 20 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах.

В результаті отримаємо новий опорний план.

Ai	Bj	ui
	b1 = 100	b2 = 100	b3 = 80	b4=70	b5=90	b6=110
а1 = 200	1 100	4	2 80	3	1 20	0	u1 = 0
а2 = 150	2	1 80	7	8	1 70	0	u2 = 0
а3 = 200	2	1 20	3 20	1 70	4	0 110	u3 = 0
vj	v1 = 1	v2 = 1	v3 = 2	v4 = 1	v5 = 1	v6 = 0

Перевіримо оптимальність опорного плану, тобто повторюємо описані раніше дії.

Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний.

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

F (x) = 1*100 + 2*80 + 1*20 + 1*80 + 1*70 + 1*20 + 1*70 + 0*110 = 520

За оптимальним планом перевезень загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 520 грн.

Завдання 4

Знайти графічним методом екстремуми функцій в області, визначеній нерівностями.

.

Розв'язання

Побудуємо область допустимих рішень, тобто вирішимо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо півплощини, задані нерівностями (півплощини позначені штрихом).

Межі області

Цільова функція F (x) => min

Розглянемо цільову функцію завдання F = 3X1+5X2 => min.

Побудуємо пряму, що відповідає значенню функції F = 0: F = 3X1+5X2 = 0. Будемо рухати цю пряму паралельним чином. Оскільки нас цікавить мінімальне рішення, тому рухався прямо до першого торкання позначеної області. На графіку ця пряма позначена пунктирною лінією.

Рівний масштаб

Перетином півплощини буде область, яка представляє собою багатокутник, координати точок якого задовольняють умові нерівностей системи обмежень задачі.

Пряма F (x) = const перетинає область у точці C. Оскільки точка C отримана в результаті перетину прямих 4 i 3, то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:

x2=0, x1+x2?1

Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x1 = 1, x2 = 0

Звідки знайдемо мінімальне значення цільової функції:

F (X) = 3*1 + 5*0 = 3

Размещено на Allbest.ru