Лінійне програмування симплекс-методом. Загальна модель управління запасами в одному періоді з попитом, розподіленим за нормальним законом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний транспортний університет

Факультет транспортних та інформаційних технологій

Кафедра інформаційних систем і технологій

КУРСОВА РОБОТА

на тему: «Лінійне програмування симплекс-методом. Загальна модель управління запасами в одному періоді з попитом, розподіленим за нормальним законом»

з дисципліни: Математичні методи дослідження операцій

Виконав: ст. гр. КН-3-1 Іщенко В.Д.

Київ - 2018

Зміст

• Завдання до курсової роботи
• Вступ
• 1. Теоретичний розділ
• 1.1 Лінійне програмування. Симплекс-метод
• 1.1.1 Загальна і основна задачі лінійного програмування
• 1.1.2 Симплексний метод
• 1.2 Миттєвий попит при відсутності витрат на оформлення замовлень
• 2. Практичний розділ
• 2.1 Розв'язання задач лінійного програмування симплекс-методом
• 2.2 Розв'язання задач миттєвого попиту при відсутності витрат на оформлення замовлень
• Висновки
• Список використаної літератури
• Завдання до курсової роботи

1) Розв'язати задачу лінійного програмування (ЗЛП) симплекс-методом.

1) 3x₁ - 2x₂ > min,

2x₁ + x₂ ? 14,

-3x₁ + 2x₂ ? 9,

3x₁ + 4x₂ ? 27,

x_j ? 0, j = 1,2.

2) Розв'язати задачу з миттєвим попитом при відсутності витрат на оформлення замовлень.

Вступ

Метою виконання курсової роботи є поглиблення і закріплення студентами теоретичних знань з дисципліни «Математичні методи дослідження операцій», набуття вмінь аналізувати опрацьований матеріал, робити відповідні узагальнення та висновки.

Розділ 1. Теоретичний розділ

1.1 Лінійне програмування. Симплекс-метод

Велика кількість планово-виробничих і економічних задач пов'язана з розподілом яких-небудь, як правило, обмежених ресурсів (сировини, робочої сили, енергії, палива і т.ін.). Часто розподіл ресурсів можна здійснити не єдиним чином. Наприклад, дану продукцію можна отримати різними способами, по-різному вибираючи технологію, сировину, застосовуючи обладнання, організацію процесу. При цьому кожний спосіб розподілу ресурсів, що оцінюється з позиції деякого критерію (прибуток, об'єм випуску продукції і т.ін.), характеризується певним значенням показника цього критерію. Природним тому є намір знайти такий варіант розподілу (програму, план), який би гарантував найбільший економічний ефект. Такий план називають оптимальним.

Реальні економічні процеси досить складні. При їх математичному описанні доводиться враховувати багато різних факторів. Тому математична модель містить велике число умов обмежень із багатьма невідомими. Якщо невідомі входять в модель тільки в першій степені, то задача належить до розділу лінійного програмування, в протилежному випадку - до розділу нелінійного програмування. Оптимізаційні задачі, в яких потрібно враховувати послідовність дій або фактор часу, розглядаються в розділі динамічного програмування. Якщо в задачі фігурують параметри, що є випадковими величинами, то вона відноситься до задач стохастичної оптимізації.

Предметом дослідження математичного програмування є математичні моделі, пов'язані у більшості випадків із визначеними економічними процесами, що описують економіку підприємства, промислового об'єднання, народного господарства або окремих економічних процесів у них.

Математичне програмування - це розділ математики, який розробляє теорію і чисельні методи розв'язання багатовимірних задач з обмеженнями, тобто задач на екстремум функції багатьох змінних з обмеженнями на область зміни цих змінних. На відміну від класичної теорії екстремальних задач, яка є частиною математичного програмування, основна увага приділяється тим задачам, в яких активно беруть участь обмеження на область зміни змінних.

1.1.1 Загальна і основна задачі лінійного програмування

У попередньому пункті були розглянуті приклади задач лінійного програмування. У всіх цих задачах потрібно знайти максимум або мінімум лінійної функції за умови, що її змінні набували невід'ємних значень і задовольняли деяку систему лінійних рівнянь або лінійних нерівностей або систему, що містить як лінійні нерівності, так і лінійні рівняння. Кожна з цих задач є окремим випадком загальної задачі лінійного програмування.

Загальною задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального (мінімального) значення функції

(1.1)

за умов

(1.2)

(1.3)

, (1.4)

де -- задані постійні величини і .

Функція (1.1) називається цільовою функцією (або лінійною формою) задачі (1.1) - (1.4), а умови (1.2) - (1.4) -- обмеженнями даної задачі.

Стандартною (або симетричною) задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального значення функції (1.1) при виконанні умов (1.2) і (1.4), де і .

Канонічною (або основною) задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального значення функції (1.1) при виконанні умов (1.3) і (1.4), де і .

Сукупність чисел , що задовольняють обмеженням задачі (1.2) - (1.4), називається допустимим розв'язком (або планом).

План при якому цільова функція задачі (1) набуває свого максимального (мінімального) значення, називається оптимальним.

Значення цільової функції (1) при плані будемо позначати через . Отже, -- оптимальний план задачі, якщо для будь-якого виконується нерівність [відповідно ].

Вказані вище три форми задачі лінійного програмування еквівалентні в тому значенні, що кожна з них за допомогою нескладних перетворень може бути переписана у формі іншої задачі. Це означає, що якщо є спосіб знаходження розв'язку однієї з вказаних задач, то тим самим може бути визначений оптимальний план будь-якої з трьох задач.

Щоб перейти від однієї форми запису задачі лінійного програмування до іншої, потрібно в загальному випадку вміти, по-перше, зводити задачу мінімізації функції до задачі максимізації, по-друге, переходити від обмежень-нерівностей до обмежень-рівності і навпаки, по-третє, замінювати змінні, які не підлягають умові невід'ємності.

У тому випадку, коли вимагається знайти мінімум функції можна перейти до знаходження максимуму функції оскільки .

Обмеження-нерівність початкової задачі лінійного програмування, що має вигляд «», можна перетворити в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової невід'ємної змінної, а обмеження-нерівність виду «» -- в обмеження-рівність відніманням із його лівої частини додаткової невід'ємної змінної. Таким чином, обмеження-нерівність

перетвориться в обмеження-рівність

(1.5)

а обмеження-нерівність

-- в обмеження-рівність

(1.6)

У той же час кожне рівняння системи обмежень

можна записати у вигляді нерівностей:

(1.7)

Число додаткових невід'ємних змінних, що вводяться, при перетворенні обмежень-нерівностей в обмеження-рівність дорівнює числу перетворюваних нерівностей.

Додаткові змінні, що вводяться, мають цілком певний економічний зміст. Так, якщо в обмеженнях початкової задачі лінійного програмування відображається витрата і наявність виробничих ресурсів, то числове значення додаткової змінної в плані задачі, записаної у формі основної, дорівнює об'єму невживаного відповідного ресурсу.

Відзначимо, нарешті, що якщо змінна не підлягає умові невід'ємності, то її слід замінити двома невід'ємними змінними і , прийнявши

1.1.2 Симплексний метод

Симплекс-метод розв'язання задачі лінійного програмування полягає у переході від одного опорного плану до іншого, при якому значення цільової функції зростає (за умов, що дана задача має оптимальний план і кожен її опорний план є невиродженим). Вказаний перехід можливий, якщо відомий який-небудь початковий опорний план. Розглянемо задачу, для якої цей план можна безпосередньо записати.

Нехай потрібно знайти максимальне значення функції

за умов

Тут , та -- задані сталі числа .

Векторна форма даної задачі має такий вигляд: знайти максимум функції

(1.8)

за умов

,(1.9)

,(1.10)

Оскільки

,

то за означенням опорного плану є опорним планом даної задачі (останні компонент вектора дорівнюють нулю). Цей план визначається системою одиничних векторів , які утворюють базис вимірного простору. Тому кожний із векторів а також вектор можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації векторів даного базису. Нехай

Покладемо Оскільки вектори - одиничні, то а

Теорема 1. (ознака оптимальності опорного плану). Опорний план задачі (1) - (3) є оптимальним, якщо для будь-якого .

Теорема 2. Якщо для деякого і серед чисел немає додатних , то цільова функція (1) задачі (1) - (3) не обмежена на множині її планів.

Теорема 3. Якщо опорний план задачі (1) - (3) невироджений і , але серед чисел є додатні (не всі ), то існує опорний план такий, що .

Сформульовані теореми дозволяють перевірити, чи є знайдений опорний план оптимальним, і виявити доцільність переходу до нового опорного плану.

Дослідження опорного плану на оптимальність, а також подальший обчислювальний процес зручніше вести, якщо умова задачі і початкові дані, одержані після визначення початкового опорного плану, записати так, як показано в таблиці 1.1.

У стовпці цієї таблиці записують коефіцієнти при невідомих у цільовій функції, які мають ті ж індекси, що і вектори даного базису.

У стовпці записують додатні компоненти початкового опорного плану, в ньому ж у результаті обчислень одержують додатні компоненти оптимального плану. Стовпці векторів є коефіцієнтами розкладу цих векторів по векторах даного базису.

У табл. 3.4 перші рядків визначаються початковими даними задачі, а показники -го рядка обчислюють. У цьому рядку в стовпці вектора записують значення цільової функції, якого вона набуває при даному опорному плані, а в стовпці вектора - значення .

Значення знаходиться як скалярний добутку вектора на вектор

.

Значення дорівнює скалярному добутку вектора на вектор :

.

Таблиця 1.1

і	Базис					…		…			…		…
						…
1				1	0	…	0	…	0		…		…
2				0	1	…	0	…	0		…		…
r				0	0	…	1	…	0		…		…
m				0	0	…	0	…	1		…		…
				0	0		0		0

Після заповнення табл. 1.1 початковий опорний план перевіряють на оптимальність. Для цього переглядають елементи -го рядка таблиці. У результаті може мати місце один із наступних трьох випадків:

1) для (при ). Тому в даному випадку числа для всіх від 1 до . У цьому випадку на підставі ознаки оптимальності початковий опорний план є оптимальним.

2) для деякого , і всі відповідні цьому індексу величини . У цьому випадку цільова функція не обмежена зверху на множині планів.

3) для деяких індексів , і для кожного такого принаймні одне з чисел додатне. У цьому випадку можна перейти від початкового плану до нового опорного плану, при якому значення цільової функції збільшиться. Цей перехід від одного опорного плану до іншого здійснюється виключенням із початкового базису якого-небудь із векторів і введенням у нього нового вектора. Як вектор, що вводиться в базис, можна взяти будь-який із векторів , що має індекс , для якого . Нехай, наприклад, і вирішено ввести в базис вектор .

Для визначення вектора, що підлягає виключенню з базису, знаходять для всіх . Нехай цей мінімум досягається при . Тоді з базису виключають вектор , а число називають ключовим елементом.

Стовпець і рядок, на перетині яких знаходиться ключовий елемент, називають провідними.

Після виділення провідного рядка і провідного стовпця знаходять новий опорний план і коефіцієнти розкладу векторів , через вектори нового базису, що відповідають новому опорному плану. Це легко реалізувати, якщо скористатися методом Жордана-Гауса. При цьому можна показати, що додатні компоненти нового опорного плану обчислюються за формулами

(1.12)

а коефіцієнти розкладу векторів через вектори нового базису, відповідних новому опорному плану, - за формулами

(1.13)

Після обчислення та за формулами (4) і (5) їх значення заносять до табл. 3.5. Елементи -го рядка цієї таблиці можуть бути обчислені або за формулами

(1.14)

, (1.15)

або на підставі їх визначення.

Таблиця 1.2

і	Базис
1				1	0				0			0
2				0	1	…		…	0		…	0	…
r				0	0	…		…	0		…	1	…
m				0	0	…		…	1		…	0	…
				0	0				0

Наявність двох способів знаходження елементів -го рядка дозволяє здійснювати контроль правильності обчислень, що проводяться.

З формули випливає, що при переході від одного опорного плану до іншого найбільш доцільно ввести в базис вектор , що має індекс , при якому максимальним за абсолютною величиною є число Проте з метою спрощення обчислювального процесу надалі будемо вектор, що вводиться в базис, визначати, виходячи з максимальної абсолютної величини від'ємних чисел . Якщо ж таких чисел декілька, то в базис вводитимемо вектор, що має такий же індекс, як і максимальне з чисел , визначений даними числами .

Отже, перехід від одного опорного плану до іншого зводиться до переходу від однієї симплекс-таблиці до іншої. Елементи нової симплекс-таблиці можна обчислити як за допомогою рекурентних формул так і за правилами, що безпосередньо з них випливають. Ці правила полягають в наступному.

У стовпцях векторів, що входять у базис, на перетині рядків і стовпців однойменних векторів проставляються одиниці, а всі решта елементів даних стовпців вважають рівними нулю.

Елементи векторів і у рядку нової симплекс-таблиці, в якій записаний вектор, що вводиться в базис, отримують з елементів цього ж рядка початкової таблиці шляхом поділу їх на величину ключового елемента. У стовпці у рядку вектора, що вводиться в базис, ставлять величину , де -- індекс вектора, що вводиться.

Решта елементів стовпців векторів і нової симплекс-таблиці обчислюють за правилом трикутника:

Для обчислення якого-небудь із цих елементів знаходять три числа:

1) число, що стоїть у початковій симплекс-таблиці на місці шуканого елемента нової симплекс-таблиці;

2) число, що стоїть у початковій симплекс-таблиці на перетині рядка, в якому знаходиться шуканий елемент нової симплекс-таблиці, і стовпця відповідного вектора, що вводиться в базис;

3) число, що стоїть у новій симплекс-таблиці на перетині стовпця, в якому стоїть шуканий елемент, і рядка вектора, що вводиться в базис (як зазначено вище, цей рядок отримуємо з рядка початкової симплекс-таблиці шляхом поділу її елементів на ключовий елемент).

Ці три числа утворюють своєрідний трикутник, дві вершини якого відповідають числам, що знаходяться в початковій симплекс-таблиці, а третя -- числу, що знаходиться в новій симплекс-таблиці. Для обчислення шуканого елемента нової симплекс-таблиці від першого числа віднімають добуток другого на третє.

Після заповнення нової симплекс-таблиці проглядають елементи -го рядка. Якщо всі , то новий опорний план є оптимальним. Якщо ж серед вказаних чисел є від'ємні, то, використовуючи описану вище послідовність дій, знаходять новий опорний план. Цей процес продовжують доти, доки або не одержують оптимальний план задачі, або не встановлюють її нерозв'язність.

При знаходженні розв'язку задачі лінійного програмування ми припускали, що ця задача має опорні плани і кожен такий план є невиродженим. Якщо ж задача має вироджені опорні плани, то на одній з ітерацій одна або декілька змінних опорного плану можуть виявитися рівними нулю. Таким чином, при переході від одного опорного плану до іншого значення функції може залишитися попереднім. Більше того, можливий випадок, коли функція зберігає своє значення протягом декількох ітерацій, а також можливе повернення до первинного базису. У останньому випадку звичайно говорять, що відбулося зациклення.

Отже, знаходження оптимального плану симплекс-методом включає наступні етапи:

1. Знаходять опорний план.

2. Складають симплекс-таблицю.

3. З'ясовують, чи є хоча б одне від'ємне число . Якщо ні, то знайдений опорний план оптимальний. Якщо ж серед чисел є від'ємні, то або встановлюють нерозв'язність задачі, або переходять до нового опорного плану.

4. Знаходять провідний стовпець і рядок. Провідний стовпець визначається найбільшим за абсолютною величиною від'ємним числом , а провідний рядок - мінімальним співвідношенням компонент стовпця вектора до додатних компонент провідного стовпця.

5. За формулами визначають додатні компоненти нового опорного плану, коефіцієнти розкладу векторів по векторах нового базису і числа . Всі ці числа записуються в новій симплекс-таблиці.

6. Перевіряють знайдений опорний план на оптимальність. Якщо план не оптимальний і необхідно перейти до нового опорного плану, то повертаються до етапу 4, а у разі отримання оптимального плану або встановлення нерозв'язності процес розв'язання задачі закінчують.

1.2 Миттєвий попит при відсутності витрат на оформлення замовлень

Модель може бути сформульована так. Товари можна замовляти тільки на початку періоду. Одиниця товару коштує грн. незалежно від обсягу замовленої партії. Товар продається по ціні грн. за одиницю. Нехай f(x) - щільність імовірності попиту на продукцію протягом періоду. Якщо в момент виникнення вимоги на складі немає товарів, то окрім недоодержаного прибутку, фірма несе збитки, пов'язані із втратою клієнтів, які можна оцінити у грн. за одиницю товару. Усі нерозпродані до кінця періоду товари можуть бути реалізовані по ціні грн. (. Треба визначити оптимальний обсяг наявних запасів у початковий момент часу за критерієм максимуму середнього прибутку за період.

Розглянемо окремо дискретну і неперервну моделі.

Дискретна модель

Введемо позначення:

- імовірність попиту k одиниць продукції протягом періоду;

-обсяг замовленої у періоді продукції;

- вартість продажу одиниці товару;

- вартість продажу продукції, яка не була реалізована до кінця періоду;

- вартість одиниці закуповуваної продукції;

- збитки, пов'язані із незадоволенням попиту.

Нехай попит є дискретна випадкова величина з розподілом Якщо на початку періоду було заготовлено запас у q одиниць продукції, то математичне сподівання прибутку за період складе

(1.16)

де - середній попит продукції за період.

Значення q, яке максимізує середній прибуток, є таке найбільше q, для якого .

Оскільки

(1.17)

де то оптимальним , буде найбільше q, для якого

(1.18)

Наведемо приклади, які ілюструють усю різноманітність практичних задач, у яких використовується наведена модель.

лінійне програмування симплекс попит

Розділ 2. Практичний розділ

2.1 Розв'язання задач лінійного програмування симплекс-методом

Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексного таблиці.

Визначимо максимальне значення цільової функції F(X) = при наступних умовах-обмежень.

2x1+x2?14

-3x1+2x2?9

3x1+4x2?27

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної формі).

В 1-м й нерівності сенсу (?) вводимо базисну змінну x3. В 2- й нерівності сенсу (?) вводимо базисну змінну x4. В 3- й нерівності сенсу (?) вводимо базисну змінну x5.

2x1+x2+x3 = 14

-3x1+2x2+x4 = 9

3x1+4x2+x5 = 27

Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:

Таблиця 2.1

2	1	1	0	0
-3	2	0	1	0
3	4	0	0	1

Базисні змінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.

Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних: x₃, x₄, x₅, x₆ Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план: X0 = (0,0,14,9,27) Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід'ємне.

Таблиця 2.2

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	14	2	1	1	0	0
x4	9	-3	2	0	1	0
x5	27	3	4	0	0	1
F(X0)	0	-3	2	0	0	0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

Ітерація №0.

1. Перевірка критерію оптимальності.

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.

2. Визначення нової базисної змінної.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної x₂, так як це найбільший коефіцієнт за модулем.

3. Визначення нової вільної змінної.

обчислимо значення D_iпо рядках як частка від ділення: b_i/ a_i2 і з них виберемо найменше: min (14: 1 , 9: 2 ,27:4)=0 Отже, 2-а рядок є провідною.

Дозволяє елемент дорівнює (1) і знаходиться на перетині ведучого шпальти і ведучою рядка.

Таблиця 2.3

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	14	2	1	1	1	0	14
x4	9	-3	2	0	0	1	41/2
x5	27	3	4	0	0	0	27/4
F(X1)	0	-3	2	0	0	0

4. Перерахунок симплекс-таблиці.

Формуємо наступну частину симплексного таблиці. Замість змінної x4 в план 1 увійде змінна x2.

Рядок, відповідна змінної x2 в плані 1, отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x4плана 0 на дозволяє елемент ДЕ=1. На місці дозволяє елемента отримуємо 1. В інших клітинах стовпця x2 записуємо нулі.

Таким чином, в новому плані 1 заповнені рядок x2 і стовпець x2. Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають розв'язний елемент ДЕ. НЕ=СЕ-(А*В)/ДЕ СТЕ - елемент старого плану, ДЕ - елемент, що дозволяє (1), А и В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і ДЕ.

Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

Таблиця 2.4

B	x1	x2	x3	x4	x5
14-(9 * 1):2	2-(-3 * 1):2	1-(2 * 1):2	1-(0 * 1):2	0-(1 * 1):2	0-(0 * 1):2
9 : 2	-3 : 2	2 : 2	0 : 2	1 : 2	0 : 2
27-(9 * 4):2	3-(-3 * 4):2	4-(2 * 4):2	0-(0 * 4):2	0-(1 * 4):2	1-(0 * 4):2
0-(9 * 2):2	-3-(-3 * 2):2	2-(2 * 2):2	0-(0 * 2):2	0-(1 * 2):2	0-(0 * 2):2

Отримаємо нову симплекс-таблицю:

Таблиця 2.5

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	19/2	7/2	0	1	-1/2	0
x2	9/2	-3/2	1	0	1/2	0
x5	9	9	0	0	-2	1
F(X1)	-9	0	0	0	-1	0

1. Перевірка критерію оптимальності.

Серед значень індексного рядка немає позитивних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план завдання.

Остаточний варіант симплекс-таблиці:

Таблиця 2.6

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	19/2	7/2	0	1	-1/2	0	19/2
x2	9/2	-3/2	1	0	1/2	0	9/2
x5	9	9	0	0	-2	1	9
F(X2)	-9	0	0	0	-1	0	-9

Оптимальний план можна записати так: x₁= 0, x₂= 4¹/₂ F(X) = 3*0 -2*4¹/₂= -9

2.2 Розв'язання задач миттєвого попиту при відсутності витрат на оформлення замовлень

Модель може бути сформульована так. Товари можна замовляти тільки на початку періоду. Одиниця товару коштує грн. незалежно від обсягу замовленої партії. Товар продається по ціні грн. за одиницю. Нехай f(x) - щільність імовірності попиту на продукцію протягом періоду. Якщо в момент виникнення вимоги на складі немає товарів, то окрім недоодержаного прибутку, фірма несе збитки, пов'язані із втратою клієнтів, які можна оцінити у грн. за одиницю товару. Усі нерозпродані до кінця періоду товари можуть бути реалізовані по ціні грн. (. Треба визначити оптимальний обсяг наявних запасів у початковий момент часу за критерієм максимуму середнього прибутку за період.

Розглянемо окремо дискретну і неперервну моделі.

Дискретна модель

Введемо позначення:

- імовірність попиту k одиниць продукції протягом періоду;

-обсяг замовленої у періоді продукції;

- вартість продажу одиниці товару;

- вартість продажу продукції, яка не була реалізована до кінця періоду;

- вартість одиниці закуповуваної продукції;

- збитки, пов'язані із незадоволенням попиту.

Нехай попит є дискретна випадкова величина з розподілом Якщо на початку періоду було заготовлено запас у q одиниць продукції, то математичне сподівання прибутку за період складе

(3.37)

де - середній попит продукції за період.

Значення q, яке максимізує середній прибуток, є таке найбільше q, для якого .

Оскільки

(3.38)

де то оптимальним , буде найбільше q, для якого

(3.39)

Наведемо приклади, які ілюструють усю різноманітність практичних задач, у яких використовується наведена модель.

Приклад 1. У великому продовольчому магазині необхідно визначити, скільки хліба потрібно замовляти на день. Вивчення продажу хліба показало, що попит за день можна вважати випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із середнім 300 і середнім квадратичним відхиленням 50. Один батон продається за 1,2 грош. од. Собівартість товару для магазину складає 0,9 грош. од. за батон. Весь не проданий хліб збувається на наступний день по ціні 0,72 грош. од. за штуку. Треба визначити оптимальний розмір закупівлі хліба, який максимізує середню виручку.

У прийнятих у моделі позначеннях маємо:

Алгоритм реалізації моделі

задаємо висхідні дані

обчислюємо імовірність р (критичне відношення );

для нормованої випадкової величини з параметрами визначаємо квантиль нормованого нормального розподілу, де - функція, обернена до функції . У Mathcad величина визначається за оператором . Оптимальна кількість товару яка потрібна для задоволення попиту на даний період, визначається за формулою

Для визначення можна застосувати і інший алгоритм, розв'язуючи рівняння відносно , де . Розв'язуючи це рівняння за допомогою оператора Mathcad знаходимо значення яке співпадає з попереднім значенням.

записуємо вираз для математичного сподівання прибутку P(q). Функції , які входять у цей вираз, можна обчислювати за операторами Mathcad

;

визначаємо середню кількість невикористаних автомобілів n і максимальне значення функції прибутку

Алгоритм у Mathcad

Алгоритм 1

Алгоритм 2

Порівняємо середню денну виручку для випадку, коли у день закуповується батонів, із середньою виручкою, коли у день закуповується батонів, тобто таку кількість, яка дорівнює середньому попиту .

При одержуємо

Абсолютна і відносна зміна прибутку

Оптимальна політика управління запасами хліба полягає у закупівлі щоденно батонів по ціні 0,9 грош. од. При продажу батонів по ціні грош. од. у день і реалізації їх на наступний день по ціні 0,72 грош. од. при середній кількості непроданих батонів, математичне сподівання прибутку дорівнюватиме грош. од.

Якщо закуповувати не а , то математичне сподівання прибутку дорівнюватиме грош. од.

Таким чином, використовуючи оптимальне значення одержимо у порівнянні з щоденний виграш у 0,47 грош. од., тобто біля 0,6 % від усієї виручки.

Приклад 2. В умовах попередньої задачі розглянемо тепер випадок, коли при неспроможності задовольнити попит покупців магазин несе збитки, пов'язані із втратою очікуваного прибутку. Ці збитки оцінюються у розмірі грош. од за одиницю товару.

Як і в попередній задачі визначимо оптимальний обсяг замовлення бато-нів і максимальний очікуваний прибуток , який може одержати ма-газин, замовляючи батони у кількості штук. Визначимо також величину виручки , якщо замовляти батонів.

Для розв'язання цієї задачі застосуємо попередній алгоритм.

Алгоритм у Mathcad

Висновки

Результати розрахунків показують, що виручка у першому випадку, коли замовляється батонів, дорівнює грош. од. і помітно відрізняється від виручки грош. од., одержуваної при середній їх кількості батонів.

Список використаної літератури

1. Кремер Н. Ш. и др. Исследование операций в экономике. - М.: - ЮНИТИ. 2001. - 407 с.

2. Пономаренко О.І., Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, бізнесі й менеджменті. -К.: Либідь, 1995.

3. Таха Х., Хэмди А. Введение в исследование операций. 6-е издание. - М.: Издательский дом “Вильямс”. 2001. - 912 с.

4. РыжиковЮ.И. Теория очередей и управление запасами: Учебное пособие для вузов.-- СПб.: Питер, 2001.-- 384 с.

5. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2003. - 464 с.

6. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И. Математика для экономистов на базе Mathcad. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2003. - 496 с.

7. Цуканов І.М. Системи управління запасами. Навчальний посібник.

Размещено на Allbest.ru