Прогнозирование характеристик рынка базового актива
Ценообразование опционов и их взаимосвязь с риск-нейтральными вероятностями. Решение проблемы нахождения матрицы переходных цен Эрроу-Дебре с помощью методов интерполяции и оптимизации. Истинное вероятностное распределение движений цены базового актива.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.10.2016 |
| Размер файла | 3,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Хотя этот метод может быть относительно неэффективным и нестабильным, он очень гибкий. Например, количество функций Грина может быть меньше чем количество точек. Таким образом, интерполированная кривая или поверхность не будет проходить через проблемные точки. Преимуществом является то, что данные метод легко применяется к задачам интерполяции в трех и более измерениях.
Рассмотрим как работает данный метод в одном измерении. Проблема заключается в нахождении бигармонической функции, которая проходит через точек. Draftsmen в 19 веке решил данную проблему, выбирая на эластичной пластине точки, и оказывая на них давление таким образом, чтобы пластина проходила через нужные точки. Сила, приложенная на пластину должна была заставить ее оставаться согнутой.
Рисунок 4. Пример бигармонической интерполяции
Функция Грина в точках давления должна удовлетворять бигармоническому уравнению:
Частное решение данное уравнение представлено в виде:
Когда функция Грина используется для интерполяции точек, , расположенных на , проблема заключается в:
Частное решение для вышепредставленных уравнений представляет собой линейную комбинацию функции Грина в точках приложения силы, центрированных около каждой точки:
Согласно Sandwell [23], сила в каждой точке, , находится из решения линейной системы (77):
Перейдем к рассмотрению следующего интерполяционного метода, когда используются Thin-plate splines. Название данного метода относится к физической аналогии с участием тонкого гибкого листа металла. Подобно тому, как металл имеет жесткость, и сопротивляется изгибам, также и подгонка методом thin-plate splines назначает штрафы за подобные изгибы, создавая гладкую подогнанную поверхность.
Thin-plate spline представляет из себя следующую функцию:
где представляет собой базовую функцию thin-plate spline, обозначает евклидовую длину вектора . Здесь независимая переменная представлена с помощью , причем в данном случае это вектор двух компонентов, и . Соответственно, узлы являются точками в .
Оптимизация достигается, минимизируя следующее выражение:
Минимизация идет по всем достаточно гладким функциям . Здесь представляет собой значения данных на узлах , а является сглаживающим параметром, и обозначает частную производную функции по переменной . Интеграл берется по всему пространству . Верхний предел оператора суммы, , отображает тот факт, что 3 степень свободы thin-plate spline ассоциируется с его полиномиальной частью [9].
Последний использованный интерполяционный метод предполагает использование полиномов для построение поверхности волатильности. Была использована пятая степень полинома. Задача предполагает нахождение коэффициентов в следующей функции, максимально приближающих модель к истинным данных по методу наименьших квадратов:
Исходными данными являются поверхность волатильности опционов на индекс S&P500, зафиксированная на 16.02.16. Данная поверхность волатильности была получена из базы данных Bloomberg. Данная поверхность представляет собой матрицу размером , столбцы которой являются страйками, начиная от 563,721 и заканчивая 5637,2. Столбцы матрицы являются периодами к погашению, начиная от 19.02.2016 и заканчивая 31.12.2018.
Осуществляя построение поверхности волатильности с помощью рассмотренных выше методов, были получены следующие модели:
Рисунок 5. Построенные модели поверхности волатильности опционов
Прежде чем приступить к интерполяции волатильностей с помощью полученных моделей, необходимо определиться с определением периодов к погашению, и страйков, с помощью которых в дальнейшем будет получено натуральное вероятностное просранство. Рассмотрим график индекса S&P500 за последнее время [25].
Среднеквадратическое отклонение значения индекса, рассчитанное по месячным данным с 01.02.2013 по 01.02.2016, составило 114,46 пунктов. Текущее значение индекса на 16.02.2016 составило 1879,07.
Рисунок 6. Динамика индекса S&P500 по месячным данным
Учитывая, что необходимо, чтобы созданные нами состояния рынка полностью учитывали все возможные движения индекса, нахождение значении индекса в интервале от до будет вполне приемлемым. Будем использовать шаг в 100 пунктов от текущего значения индекса на 16.02.2016 для моделирования страйков. Прогноз движения индекса будет сделан на один месяц вперед, поэтому для моделирования периодов к погашению будем использовать шаг в 1/12 года.
При использовании интерполяции по методу кубических сплайнов была получена следующая поверхность волатильности опционов:
Таблица 3. Интерполированные подразумеваемые волатильности по методу кубических сплайнов
|
K\T |
0,0833 |
0,1667 |
0,25 |
0,3333 |
0,4167 |
0,5 |
0,5833 |
0,6667 |
0,75 |
0,8333 |
1 |
|
|
1279,07 |
44,12 |
40,98 |
38,30 |
38,39 |
37,79 |
36,64 |
35,66 |
34,96 |
34,24 |
33,68 |
32,23 |
|
|
1379,07 |
42,04 |
38,37 |
35,97 |
35,72 |
35,17 |
34,14 |
33,33 |
32,68 |
32,14 |
31,66 |
30,43 |
|
|
1479,07 |
39,53 |
35,68 |
33,50 |
32,97 |
32,50 |
31,68 |
30,98 |
30,51 |
30,05 |
29,61 |
28,65 |
|
|
1579,07 |
35,70 |
32,61 |
30,95 |
30,35 |
29,91 |
29,23 |
28,64 |
28,32 |
27,91 |
27,53 |
26,88 |
|
|
1679,07 |
30,83 |
28,99 |
28,07 |
27,67 |
27,29 |
26,77 |
26,29 |
26,12 |
25,77 |
25,47 |
25,09 |
|
|
1779,07 |
26,65 |
25,43 |
25,14 |
24,87 |
24,77 |
24,39 |
24,05 |
24,00 |
23,74 |
23,53 |
23,39 |
|
|
1879,07 |
22,49 |
22,02 |
22,17 |
22,11 |
22,24 |
22,07 |
21,90 |
21,93 |
21,80 |
21,70 |
21,66 |
|
|
1979,07 |
18,21 |
18,39 |
19,05 |
19,33 |
19,49 |
19,57 |
19,65 |
19,72 |
19,77 |
19,84 |
19,87 |
|
|
2079,07 |
16,34 |
15,65 |
16,72 |
16,81 |
17,23 |
17,18 |
17,28 |
17,68 |
17,90 |
17,94 |
18,05 |
|
|
2179,07 |
16,10 |
15,17 |
16,25 |
15,48 |
16,75 |
16,20 |
15,35 |
16,57 |
16,55 |
15,99 |
16,39 |
|
|
2279,07 |
16,57 |
15,05 |
16,03 |
14,84 |
16,29 |
15,15 |
14,19 |
15,71 |
15,32 |
14,68 |
15,08 |
|
|
2379,07 |
17,69 |
14,97 |
16,07 |
14,73 |
16,38 |
15,13 |
14,02 |
16,04 |
15,10 |
13,78 |
14,23 |
|
|
2479,07 |
18,88 |
15,43 |
16,10 |
15,03 |
16,50 |
15,11 |
14,06 |
16,13 |
14,85 |
13,53 |
13,81 |
Как можно заметить, теперь мы имеем подразумеваемые волатильности, отличающиеся друг от друга фиксированными приращениями по периодам к погашению и фиксированными приращениями по страйкам.
Из данных подразумеваемых волатильностей, используя формулу Блэка-Шоулза, перейдем к ценам опционов call. Для использования данной формулы, определимся с входящими в нее параметрами: ценой спот, безрисковой ставкой, ставкой доходности, страйком, периодом к погашению. Данные по этим показателям представлены в следующей таблице:
Таблица 4. Параметры модели Блэка-Шоулза для расчета цен опционов call
|
Параметр |
Значение |
|
|
Спот цена, S |
1879,07 |
|
|
Страйк, К |
От 1279,07 до 2479,07 с шагом 100 |
|
|
Безрисковая ставка, r |
0,051 |
|
|
Ставка доходности, q |
0,02687 |
|
|
Периоды погашения, T |
От 1/12 до 1 с шагом в 1/12 |
|
|
Подразумеваемые волатильности |
Интерполированные значения |
Значение безрисковой ставки было взято с официального сайта казначейства США [26]. А ставка доходности была взята из системы Bloomberg. Применяя формулу Блэка-Шоулза, перейдем от подразумеваемых волатильностей к ценам опционов call.
Перейдя к ценам опционов call, необходимо убедиться в отсутствии арбитражных возможностей с помощью тестов, рассмотренных выше [11]. Первый тест по вертикальному спреду дал следующие результаты.
Таблица 5. Интерполированные значения цен опционов call по методу кубических сплайнов
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,83 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
601,29 |
603,31 |
605,86 |
609,98 |
614,22 |
617,81 |
621,31 |
624,97 |
628,31 |
631,74 |
636,97 |
|
|
1379,07 |
501,96 |
505,39 |
509,47 |
515,23 |
521,00 |
525,78 |
530,51 |
535,15 |
539,72 |
544,12 |
551,08 |
|
|
1479,07 |
403,24 |
408,85 |
414,91 |
422,41 |
429,86 |
436,09 |
442,00 |
448,02 |
453,64 |
458,92 |
467,93 |
|
|
1579,07 |
305,67 |
314,55 |
323,37 |
332,85 |
341,99 |
349,64 |
356,73 |
364,15 |
370,64 |
376,76 |
388,12 |
|
|
1679,07 |
210,29 |
223,71 |
236,06 |
247,93 |
258,59 |
267,61 |
275,80 |
284,50 |
291,80 |
298,72 |
312,39 |
|
|
1779,07 |
122,15 |
140,26 |
156,12 |
169,65 |
182,18 |
192,25 |
201,34 |
211,13 |
219,09 |
226,73 |
242,31 |
|
|
1879,07 |
50,40 |
70,74 |
88,00 |
102,03 |
115,33 |
126,09 |
135,79 |
145,88 |
154,39 |
162,55 |
178,68 |
|
|
1979,07 |
9,28 |
22,84 |
37,02 |
49,48 |
60,72 |
71,00 |
80,70 |
89,96 |
98,63 |
107,12 |
122,51 |
|
|
2079,07 |
0,60 |
3,51 |
10,41 |
17,02 |
25,13 |
31,75 |
38,95 |
47,65 |
55,58 |
62,35 |
75,81 |
|
|
2179,07 |
0,02 |
0,42 |
2,64 |
4,47 |
10,28 |
13,07 |
14,58 |
23,23 |
27,89 |
29,89 |
41,31 |
|
|
2279,07 |
0,00 |
0,04 |
0,55 |
0,96 |
3,55 |
4,08 |
4,52 |
9,92 |
11,67 |
12,45 |
19,75 |
|
|
2379,07 |
0,00 |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
1,29 |
1,46 |
1,55 |
5,18 |
5,33 |
4,52 |
8,68 |
|
|
2479,07 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,05 |
0,44 |
0,48 |
0,53 |
2,47 |
2,20 |
1,76 |
3,77 |
Таблица 6. Результаты проверки безарбитражности по вертикальному спреду
|
1,000 |
0,999 |
0,997 |
0,995 |
0,992 |
0,989 |
0,986 |
0,983 |
0,980 |
0,978 |
0,975 |
0,971 |
|
|
1,000 |
0,993 |
0,979 |
0,964 |
0,948 |
0,932 |
0,920 |
0,908 |
0,898 |
0,886 |
0,876 |
0,859 |
|
|
1,000 |
0,987 |
0,965 |
0,946 |
0,928 |
0,911 |
0,897 |
0,885 |
0,871 |
0,861 |
0,852 |
0,831 |
|
|
1,000 |
0,976 |
0,943 |
0,915 |
0,896 |
0,879 |
0,864 |
0,853 |
0,839 |
0,830 |
0,822 |
0,798 |
|
|
1,000 |
0,954 |
0,908 |
0,873 |
0,849 |
0,834 |
0,820 |
0,809 |
0,796 |
0,788 |
0,780 |
0,757 |
|
|
1,000 |
0,881 |
0,834 |
0,799 |
0,783 |
0,764 |
0,754 |
0,745 |
0,734 |
0,727 |
0,720 |
0,701 |
|
|
1,000 |
0,717 |
0,695 |
0,681 |
0,676 |
0,668 |
0,662 |
0,655 |
0,653 |
0,647 |
0,642 |
0,636 |
|
|
0,000 |
0,411 |
0,479 |
0,510 |
0,526 |
0,546 |
0,551 |
0,551 |
0,559 |
0,558 |
0,554 |
0,562 |
|
|
0,000 |
0,087 |
0,193 |
0,266 |
0,325 |
0,356 |
0,392 |
0,418 |
0,423 |
0,430 |
0,448 |
0,467 |
|
|
0,000 |
0,006 |
0,031 |
0,078 |
0,125 |
0,148 |
0,187 |
0,244 |
0,244 |
0,277 |
0,325 |
0,345 |
|
|
0,000 |
0,000 |
0,004 |
0,021 |
0,035 |
0,067 |
0,090 |
0,101 |
0,133 |
0,162 |
0,174 |
0,216 |
|
|
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,004 |
0,008 |
0,023 |
0,026 |
0,030 |
0,047 |
0,063 |
0,079 |
0,111 |
|
|
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,002 |
0,008 |
0,010 |
0,010 |
0,027 |
0,031 |
0,028 |
0,049 |
Как видно из таблицы, все значения вертикальных спредов удовлетворяют условию нахождения в интервале от 0 до 1. Второй тест по спреду батерфляй дал следующие результаты:
Таблица 7. Результаты проверки безарбитражности по спреду батерфляй
|
7,3488 |
23,346 |
40,352 |
57,151 |
72,572 |
84,039 |
96,337 |
105,33 |
117,67 |
126,58 |
134,66 |
143,47 |
|
|
0,6066 |
1,3686 |
1,8256 |
1,9267 |
2,0701 |
2,3513 |
2,2988 |
2,6829 |
2,4991 |
2,4211 |
2,7218 |
2,748 |
|
|
1,1424 |
2,2492 |
3,0202 |
3,2696 |
3,279 |
3,2395 |
3,2285 |
3,2589 |
3,0932 |
3,0437 |
3,3978 |
3,3269 |
|
|
2,1957 |
3,4568 |
4,2293 |
4,6337 |
4,4663 |
4,4154 |
4,3402 |
4,2234 |
4,1518 |
4,1173 |
4,059 |
4,095 |
|
|
7,2381 |
7,3976 |
7,3785 |
6,639 |
6,9825 |
6,6625 |
6,481 |
6,276 |
6,1365 |
6,0478 |
5,8544 |
5,6408 |
|
|
16,394 |
13,923 |
11,812 |
10,667 |
9,5732 |
9,2128 |
8,9053 |
8,1222 |
7,9988 |
7,8188 |
6,7855 |
6,4537 |
|
|
30,627 |
21,614 |
17,144 |
15,063 |
12,234 |
11,068 |
10,459 |
9,3269 |
8,9534 |
8,7343 |
7,8196 |
7,4609 |
|
|
32,441 |
28,581 |
24,369 |
20,087 |
19,015 |
15,838 |
13,336 |
13,612 |
12,705 |
10,674 |
10,272 |
9,4667 |
|
|
8,1025 |
16,236 |
18,835 |
19,919 |
20,746 |
20,563 |
17,385 |
17,895 |
15,354 |
12,306 |
13,453 |
12,199 |
|
|
0,5568 |
2,7038 |
5,681 |
9,0364 |
8,114 |
9,7014 |
14,3 |
11,108 |
11,476 |
15,019 |
12,831 |
12,941 |
|
|
0,02 |
0,3502 |
1,6517 |
2,7486 |
4,4704 |
6,3674 |
7,0965 |
8,5691 |
9,8772 |
9,5136 |
10,563 |
10,493 |
|
|
0,0006 |
0,0327 |
0,3545 |
0,609 |
1,4191 |
1,6379 |
1,9553 |
2,0213 |
3,2162 |
5,1661 |
4,9585 |
6,1511 |
Все значения спреда батерфляй удовлетворяют условию нахождения в интервале от нуля до плюс бесконечности. Последний тест на календарные спреды дал следующие результаты:
Таблица 8. Результаты проверки безарбитражности по спреду батерфляй
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1,29 |
2,02 |
2,55 |
4,12 |
4,24 |
3,60 |
3,50 |
3,66 |
3,34 |
3,43 |
1,98 |
3,25 |
|
|
1,96 |
3,43 |
4,08 |
5,76 |
5,77 |
4,77 |
4,73 |
4,65 |
4,57 |
4,40 |
2,76 |
4,19 |
|
|
3,24 |
5,60 |
6,06 |
7,50 |
7,45 |
6,23 |
5,91 |
6,02 |
5,61 |
5,28 |
3,85 |
5,16 |
|
|
5,67 |
8,88 |
8,82 |
9,48 |
9,14 |
7,65 |
7,09 |
7,42 |
6,49 |
6,12 |
5,29 |
6,06 |
|
|
10,29 |
13,42 |
12,35 |
11,87 |
10,66 |
9,02 |
8,18 |
8,71 |
7,30 |
6,92 |
6,68 |
6,99 |
|
|
22,15 |
18,12 |
15,86 |
13,53 |
12,53 |
10,07 |
9,10 |
9,79 |
7,96 |
7,63 |
7,87 |
7,71 |
|
|
50,40 |
20,34 |
17,26 |
14,03 |
13,30 |
10,76 |
9,70 |
10,09 |
8,50 |
8,17 |
8,02 |
8,10 |
|
|
9,28 |
13,56 |
14,19 |
12,46 |
11,24 |
10,28 |
9,70 |
9,25 |
8,67 |
8,48 |
7,27 |
8,13 |
|
|
0,60 |
2,91 |
6,90 |
6,60 |
8,11 |
6,62 |
7,20 |
8,70 |
7,94 |
6,77 |
6,11 |
7,36 |
|
|
0,02 |
0,40 |
2,22 |
1,83 |
5,81 |
2,78 |
1,52 |
8,65 |
4,66 |
2,00 |
6,09 |
5,33 |
|
|
0,00 |
0,04 |
0,51 |
0,42 |
2,59 |
0,53 |
0,44 |
5,41 |
1,75 |
0,78 |
3,89 |
3,41 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,10 |
0,10 |
1,09 |
0,18 |
0,08 |
3,64 |
0,14 |
-0,80 |
2,74 |
1,42 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,03 |
0,39 |
0,04 |
0,05 |
1,94 |
-0,27 |
-0,44 |
1,39 |
0,62 |
Как видно из таблицы, три значения являются отрицательными, что создаёт возможности арбитража. Тем не менее, метод интерполяции с помощью кубических сплайнов дал весь хороший результат.
При использовании интерполяции по методу бигармонических сплайнов была получена следующая поверхность волатильности опционов:
Таблица 9. Интерполированные значения подразумеваемых волатильностей по методу бигармонических сплайнов
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,83 |
0,92 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
46,72 |
39,36 |
37,78 |
38,21 |
37,97 |
36,71 |
35,65 |
34,85 |
34,23 |
33,59 |
32,68 |
31,92 |
|
|
1379,07 |
44,33 |
37,32 |
35,83 |
35,65 |
35,25 |
34,24 |
33,36 |
32,72 |
32,14 |
31,59 |
30,83 |
30,13 |
|
|
1479,07 |
39,86 |
35,62 |
33,54 |
33,02 |
32,59 |
31,67 |
30,99 |
30,54 |
30,03 |
29,60 |
28,98 |
28,34 |
|
|
1579,07 |
34,82 |
32,60 |
31,17 |
30,44 |
29,93 |
29,15 |
28,63 |
28,34 |
27,89 |
27,56 |
27,12 |
26,58 |
|
|
1679,07 |
30,73 |
29,01 |
28,13 |
27,68 |
27,33 |
26,71 |
26,29 |
26,19 |
25,76 |
25,47 |
25,26 |
24,84 |
|
|
1779,07 |
26,61 |
25,44 |
25,15 |
24,87 |
24,81 |
24,34 |
24,04 |
24,08 |
23,72 |
23,52 |
23,48 |
23,13 |
|
|
1879,07 |
22,48 |
22,02 |
22,18 |
22,11 |
22,26 |
21,99 |
21,90 |
21,95 |
21,76 |
21,70 |
21,68 |
21,41 |
|
|
1979,07 |
18,11 |
18,38 |
19,04 |
19,32 |
19,48 |
19,46 |
19,65 |
19,75 |
19,81 |
19,84 |
19,79 |
19,64 |
|
|
2079,07 |
16,22 |
15,56 |
16,59 |
16,73 |
17,21 |
16,98 |
17,21 |
17,80 |
17,96 |
17,89 |
17,87 |
17,85 |
|
|
2179,07 |
15,33 |
14,85 |
15,96 |
15,60 |
16,55 |
15,33 |
15,33 |
16,67 |
16,43 |
16,05 |
16,21 |
16,18 |
|
|
2279,07 |
16,28 |
15,11 |
16,27 |
15,15 |
16,72 |
14,55 |
14,26 |
16,30 |
15,40 |
14,67 |
15,03 |
14,83 |
|
|
2379,07 |
16,59 |
15,23 |
16,66 |
15,62 |
16,79 |
14,37 |
14,21 |
16,40 |
14,86 |
13,97 |
14,45 |
13,86 |
|
|
2479,07 |
19,15 |
15,21 |
16,39 |
15,48 |
16,79 |
14,49 |
14,34 |
16,53 |
14,74 |
13,69 |
14,15 |
13,29 |
Применяя формулу Блэка-Шоулза, перейдем от подразумеваемых волатильностей к ценам опционов call:
Таблица 10. Интерполированные значения цен опционов call по методу бигармонических сплайнов
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,83 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
601,35 |
603,06 |
605,66 |
609,85 |
614,40 |
617,90 |
621,29 |
624,76 |
628,29 |
631,54 |
636,16 |
|
|
1379,07 |
502,15 |
505,04 |
509,38 |
515,16 |
521,13 |
525,97 |
530,57 |
535,24 |
539,72 |
543,90 |
550,08 |
|
|
1479,07 |
403,31 |
408,81 |
414,96 |
422,48 |
430,04 |
436,08 |
442,04 |
448,14 |
453,58 |
458,89 |
466,65 |
|
|
1579,07 |
305,28 |
314,53 |
323,74 |
333,06 |
342,04 |
349,40 |
356,71 |
364,22 |
370,56 |
376,88 |
386,63 |
|
|
1679,07 |
210,20 |
223,74 |
236,21 |
247,96 |
258,71 |
267,38 |
275,78 |
284,83 |
291,77 |
298,73 |
310,92 |
|
|
1779,07 |
122,08 |
140,29 |
156,16 |
169,65 |
182,35 |
192,00 |
201,33 |
211,56 |
219,01 |
226,72 |
240,66 |
|
|
1879,07 |
50,38 |
70,74 |
88,01 |
102,03 |
115,45 |
125,69 |
135,79 |
146,00 |
154,13 |
162,56 |
176,89 |
|
|
1979,07 |
9,14 |
22,81 |
36,99 |
49,44 |
60,70 |
70,44 |
80,72 |
90,12 |
98,90 |
107,17 |
120,82 |
|
|
2079,07 |
0,57 |
3,42 |
10,15 |
16,80 |
25,04 |
30,91 |
38,59 |
48,26 |
55,91 |
62,09 |
74,40 |
|
|
2179,07 |
0,01 |
0,36 |
2,40 |
4,64 |
9,83 |
10,76 |
14,50 |
23,63 |
27,34 |
30,19 |
40,10 |
|
|
2279,07 |
0,00 |
0,04 |
0,61 |
1,11 |
4,06 |
3,30 |
4,62 |
11,45 |
11,90 |
12,42 |
18,71 |
|
|
2379,07 |
0,00 |
0,00 |
0,15 |
0,35 |
1,52 |
1,02 |
1,69 |
5,80 |
4,91 |
4,85 |
7,72 |
|
|
2479,07 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,07 |
0,51 |
0,33 |
0,63 |
2,87 |
2,10 |
1,90 |
3,02 |
Перейдя к ценам опционов call, необходимо убедиться в отсутствии арбитражных возможностей с помощью тестов, рассмотренных выше. Первый тест по вертикальному спреду дал следующие результаты:
Таблица 11. Результаты проверки безарбитражности по вертикальному спреду
|
1 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,98 |
0,98 |
0,97 |
0,97 |
|
|
1 |
0,99 |
0,98 |
0,96 |
0,95 |
0,93 |
0,92 |
0,91 |
0,90 |
0,89 |
0,88 |
0,87 |
0,86 |
|
|
1 |
0,99 |
0,96 |
0,94 |
0,93 |
0,91 |
0,90 |
0,89 |
0,87 |
0,86 |
0,85 |
0,84 |
0,83 |
|
|
1 |
0,98 |
0,94 |
0,91 |
0,89 |
0,88 |
0,87 |
0,85 |
0,84 |
0,83 |
0,82 |
0,81 |
0,80 |
|
|
1 |
0,95 |
0,91 |
0,88 |
0,85 |
0,83 |
0,82 |
0,81 |
0,79 |
0,79 |
0,78 |
0,77 |
0,76 |
|
|
1 |
0,88 |
0,83 |
0,80 |
0,78 |
0,76 |
0,75 |
0,74 |
0,73 |
0,73 |
0,72 |
0,71 |
0,70 |
|
|
1 |
0,72 |
0,70 |
0,68 |
0,68 |
0,67 |
0,66 |
0,66 |
0,66 |
0,65 |
0,64 |
0,64 |
0,64 |
|
|
0 |
0,41 |
0,48 |
0,51 |
0,53 |
0,55 |
0,55 |
0,55 |
0,56 |
0,55 |
0,55 |
0,56 |
0,56 |
|
|
0 |
0,09 |
0,19 |
0,27 |
0,33 |
0,36 |
0,40 |
0,42 |
0,42 |
0,43 |
0,45 |
0,46 |
0,46 |
|
|
0 |
0,01 |
0,03 |
0,08 |
0,12 |
0,15 |
0,20 |
0,24 |
0,25 |
0,29 |
0,32 |
0,33 |
0,34 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,07 |
0,10 |
0,12 |
0,15 |
0,18 |
0,19 |
0,21 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,03 |
0,02 |
0,03 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,11 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
Как видно из таблицы, все значения вертикальных спредов удовлетворяют условию нахождения в интервале от 0 до 1. Второй тест по спреду батерфляй дал следующие результаты.
Все значения спреда батерфляй удовлетворяют условию нахождения в интервале от нуля до плюс бесконечности. Последний тест на календарные спреды дал следующие результаты.
Таблица 12. Результаты проверки безарбитражности по спреду батерфляй
|
0 |
8,91 |
22,27 |
41,86 |
58,09 |
71,61 |
85,42 |
97,34 |
109,24 |
117,98 |
126,65 |
135,94 |
141,97 |
|
|
0 |
0,36 |
1,78 |
1,86 |
2,01 |
2,19 |
2,03 |
2,20 |
2,42 |
2,42 |
2,62 |
2,65 |
2,64 |
|
|
0 |
0,81 |
1,95 |
3,20 |
3,27 |
3,08 |
3,21 |
3,21 |
3,18 |
3,12 |
3,01 |
3,28 |
3,41 |
|
|
0 |
2,95 |
3,50 |
3,70 |
4,32 |
4,67 |
4,67 |
4,39 |
4,53 |
4,24 |
3,85 |
4,21 |
4,31 |
|
|
0 |
6,97 |
7,33 |
7,48 |
6,79 |
6,98 |
6,64 |
6,48 |
6,11 |
6,03 |
6,14 |
5,76 |
5,44 |
|
|
0 |
16,42 |
13,90 |
11,90 |
10,69 |
9,45 |
9,07 |
8,92 |
7,72 |
7,88 |
7,85 |
6,74 |
6,50 |
|
|
100 |
30,46 |
21,62 |
17,14 |
15,03 |
12,16 |
11,06 |
10,47 |
9,67 |
9,66 |
8,77 |
7,81 |
7,68 |
|
|
0 |
32,67 |
28,54 |
24,17 |
19,96 |
19,09 |
15,73 |
12,94 |
14,02 |
12,23 |
10,32 |
10,14 |
9,66 |
|
|
0 |
8,02 |
16,33 |
19,09 |
20,47 |
20,45 |
19,37 |
18,04 |
17,22 |
14,42 |
13,17 |
13,40 |
12,11 |
|
|
0 |
0,55 |
2,74 |
5,97 |
8,63 |
9,44 |
12,70 |
14,20 |
12,46 |
13,14 |
14,13 |
13,62 |
12,93 |
|
|
0 |
0,01 |
0,28 |
1,32 |
2,77 |
3,23 |
5,18 |
6,96 |
6,53 |
8,45 |
10,20 |
10,03 |
10,39 |
|
|
0 |
0,00 |
0,03 |
0,33 |
0,49 |
1,53 |
1,59 |
1,87 |
2,71 |
4,18 |
4,62 |
4,91 |
6,29 |
Таблица 13. Результаты проверки безарбитражности по календарному спреду
|
1,35 |
1,72 |
2,61 |
4,19 |
4,56 |
3,49 |
3,40 |
3,46 |
3,52 |
3,25 |
2,30 |
2,35 |
|
|
2,16 |
1,72 |
2,61 |
4,19 |
4,56 |
3,49 |
3,40 |
3,46 |
3,52 |
3,25 |
2,30 |
2,35 |
|
|
3,32 |
2,90 |
4,34 |
5,78 |
5,97 |
4,85 |
4,59 |
4,67 |
4,48 |
4,17 |
3,21 |
3,00 |
|
|
5,28 |
5,50 |
6,15 |
7,52 |
7,57 |
6,04 |
5,96 |
6,10 |
5,45 |
5,30 |
4,15 |
3,65 |
|
|
10,20 |
9,23 |
9,21 |
9,32 |
8,98 |
7,36 |
7,32 |
7,51 |
6,34 |
6,32 |
5,37 |
4,42 |
|
|
22,08 |
13,54 |
12,47 |
11,75 |
10,74 |
8,67 |
8,40 |
9,05 |
6,94 |
6,96 |
6,94 |
5,29 |
|
|
50,38 |
18,21 |
15,87 |
13,49 |
12,70 |
9,65 |
9,33 |
10,23 |
7,46 |
7,71 |
8,12 |
5,84 |
|
|
9,14 |
20,35 |
17,27 |
14,02 |
13,42 |
10,24 |
10,10 |
10,21 |
8,13 |
8,43 |
8,20 |
6,16 |
|
|
0,57 |
13,66 |
14,19 |
12,45 |
11,26 |
9,74 |
10,29 |
9,40 |
8,78 |
8,26 |
7,32 |
6,35 |
|
|
0,01 |
2,85 |
6,73 |
6,65 |
8,23 |
5,87 |
7,68 |
9,67 |
7,65 |
6,18 |
6,26 |
6,07 |
|
|
0,00 |
0,35 |
2,04 |
2,25 |
5,19 |
0,93 |
3,75 |
9,12 |
3,71 |
2,86 |
5,44 |
4,48 |
|
|
0,00 |
0,04 |
0,57 |
0,49 |
2,95 |
-0,76 |
1,32 |
6,83 |
0,45 |
0,52 |
4,10 |
2,20 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,15 |
0,19 |
1,18 |
-0,50 |
0,66 |
4,12 |
-0,89 |
-0,06 |
2,58 |
0,29 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,05 |
0,44 |
-0,18 |
0,29 |
2,24 |
-0,77 |
-0,19 |
1,35 |
-0,24 |
Как видно из таблицы, восемь значений являются отрицательными, что создаёт возможности арбитража. Таким образом, данный метод является показал меньшую эффективность чем интерполяция с помощью кубических сплайнов.
При использовании интерполяции по методу Thin-plate splines была получена следующая поверхность волатильности опционов:
Таблица 14. Интерполированные подразумеваемые волатильности по методу Thin-plate splines
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,83 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
46,89 |
39,45 |
37,83 |
38,24 |
37,99 |
36,73 |
35,67 |
34,86 |
34,24 |
33,60 |
31,94 |
|
|
1379,07 |
44,47 |
37,39 |
35,87 |
35,67 |
35,27 |
34,26 |
33,37 |
32,72 |
32,15 |
31,59 |
30,14 |
|
|
1479,07 |
39,88 |
35,63 |
33,55 |
33,02 |
32,59 |
31,67 |
30,99 |
30,54 |
30,03 |
29,60 |
28,35 |
|
|
1579,07 |
34,82 |
32,59 |
31,16 |
30,43 |
29,93 |
29,15 |
28,63 |
28,34 |
27,89 |
27,56 |
26,58 |
|
|
1679,07 |
30,73 |
29,01 |
28,13 |
27,68 |
27,33 |
26,71 |
26,29 |
26,19 |
25,76 |
25,47 |
24,85 |
|
|
1779,07 |
26,61 |
25,44 |
25,15 |
24,87 |
24,81 |
24,34 |
24,04 |
24,08 |
23,72 |
23,52 |
23,14 |
|
|
1879,07 |
22,48 |
22,02 |
22,18 |
22,11 |
22,26 |
21,99 |
21,90 |
21,95 |
21,76 |
21,70 |
21,42 |
|
|
1979,07 |
18,11 |
18,38 |
19,04 |
19,32 |
19,48 |
19,46 |
19,65 |
19,75 |
19,81 |
19,84 |
19,64 |
|
|
2079,07 |
16,22 |
15,56 |
16,59 |
16,73 |
17,21 |
16,98 |
17,21 |
17,80 |
17,96 |
17,89 |
17,85 |
|
|
2179,07 |
15,34 |
14,86 |
15,96 |
15,60 |
16,55 |
15,33 |
15,33 |
16,67 |
16,43 |
16,05 |
16,19 |
|
|
2279,07 |
16,28 |
15,10 |
16,27 |
15,15 |
16,72 |
14,55 |
14,26 |
16,30 |
15,40 |
14,67 |
14,83 |
|
|
2379,07 |
16,59 |
15,23 |
16,66 |
15,62 |
16,79 |
14,37 |
14,21 |
16,40 |
14,86 |
13,97 |
13,86 |
|
|
2479,07 |
19,17 |
15,22 |
16,40 |
15,48 |
16,79 |
14,49 |
14,34 |
16,53 |
14,74 |
13,70 |
13,30 |
Применяя формулу Блэка-Шоулза, перейдем от подразумеваемых волатильностей к ценам опционов call:
Таблица 15. Интерполированные цены опционов call по методу Thin-plate splines
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,92 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
601,35 |
603,08 |
605,68 |
609,87 |
614,43 |
617,92 |
621,32 |
624,78 |
628,31 |
633,85 |
636,21 |
|
|
1379,07 |
502,16 |
505,07 |
509,40 |
515,18 |
521,15 |
526,00 |
530,59 |
535,26 |
539,74 |
547,12 |
550,13 |
|
|
1479,07 |
403,32 |
408,82 |
414,96 |
422,48 |
430,05 |
436,09 |
442,04 |
448,14 |
453,59 |
463,04 |
466,69 |
|
|
1579,07 |
305,28 |
314,51 |
323,73 |
333,05 |
342,04 |
349,39 |
356,71 |
364,22 |
370,56 |
382,24 |
386,67 |
|
|
1679,07 |
210,20 |
223,74 |
236,21 |
247,96 |
258,71 |
267,38 |
275,78 |
284,83 |
291,77 |
305,66 |
310,95 |
|
|
1779,07 |
122,08 |
140,29 |
156,16 |
169,65 |
182,35 |
192,00 |
201,33 |
211,56 |
219,01 |
234,84 |
240,69 |
|
|
1879,07 |
50,38 |
70,74 |
88,01 |
102,03 |
115,45 |
125,69 |
135,79 |
146,00 |
154,13 |
170,76 |
176,92 |
|
|
1979,07 |
9,14 |
22,81 |
36,99 |
49,44 |
60,70 |
70,44 |
80,72 |
90,12 |
98,90 |
114,49 |
120,84 |
|
|
2079,07 |
0,57 |
3,42 |
10,15 |
16,80 |
25,04 |
30,91 |
38,59 |
48,26 |
55,91 |
68,36 |
74,42 |
|
|
2179,07 |
0,01 |
0,36 |
2,40 |
4,64 |
9,83 |
10,76 |
14,50 |
23,63 |
27,33 |
35,63 |
40,11 |
|
|
2279,07 |
0,00 |
0,04 |
0,61 |
1,11 |
4,06 |
3,30 |
4,62 |
11,45 |
11,90 |
16,52 |
18,72 |
|
|
2379,07 |
0,00 |
0,00 |
0,15 |
0,35 |
1,52 |
1,02 |
1,69 |
5,80 |
4,91 |
7,43 |
7,73 |
|
|
2479,07 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,07 |
0,51 |
0,33 |
0,63 |
2,87 |
2,10 |
3,26 |
3,02 |
Перейдя к ценам опционов call, необходимо убедиться в отсутствии арбитражных возможностей с помощью тестов, рассмотренных выше. Первый тест по вертикальному спреду дал следующие результаты:
Таблица 16. Результаты проверки безарбитражности по вертикальному спреду
|
1 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,98 |
0,98 |
0,97 |
0,97 |
|
|
1 |
0,99 |
0,98 |
0,96 |
0,95 |
0,93 |
0,92 |
0,91 |
0,90 |
0,89 |
0,88 |
0,87 |
0,86 |
|
|
1 |
0,99 |
0,96 |
0,94 |
0,93 |
0,91 |
0,90 |
0,89 |
0,87 |
0,86 |
0,85 |
0,84 |
0,83 |
|
|
1 |
0,98 |
0,94 |
0,91 |
0,89 |
0,88 |
0,87 |
0,85 |
0,84 |
0,83 |
0,82 |
0,81 |
0,80 |
|
|
1 |
0,95 |
0,91 |
0,88 |
0,85 |
0,83 |
0,82 |
0,81 |
0,79 |
0,79 |
0,78 |
0,77 |
0,76 |
|
|
1 |
0,88 |
0,83 |
0,80 |
0,78 |
0,76 |
0,75 |
0,74 |
0,73 |
0,73 |
0,72 |
0,71 |
0,70 |
|
|
1 |
0,72 |
0,70 |
0,68 |
0,68 |
0,67 |
0,66 |
0,66 |
0,66 |
0,65 |
0,64 |
0,64 |
0,64 |
|
|
0 |
0,41 |
0,48 |
0,51 |
0,53 |
0,55 |
0,55 |
0,55 |
0,56 |
0,55 |
0,55 |
0,56 |
0,56 |
|
|
0 |
0,09 |
0,19 |
0,27 |
0,33 |
0,36 |
0,40 |
0,42 |
0,42 |
0,43 |
0,45 |
0,46 |
0,46 |
|
|
0 |
0,01 |
0,03 |
0,08 |
0,12 |
0,15 |
0,20 |
0,24 |
0,25 |
0,29 |
0,32 |
0,33 |
0,34 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,07 |
0,10 |
0,12 |
0,15 |
0,18 |
0,19 |
0,21 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,03 |
0,02 |
0,03 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,11 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,03 |
0,03 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
Как видно из таблицы, все значения вертикальных спредов удовлетворяют условию нахождения в интервале от 0 до 1. Второй тест по спреду батерфляй дал следующие результаты:
Таблица 17. Результаты проверки безарбитражности по спреду батерфляй
|
0 |
9,02 |
22,40 |
41,91 |
58,07 |
71,55 |
85,35 |
97,27 |
109,20 |
117,97 |
126,58 |
135,89 |
141,88 |
|
|
0 |
0,34 |
1,76 |
1,84 |
1,99 |
2,18 |
2,01 |
2,18 |
2,41 |
2,41 |
2,61 |
2,64 |
2,64 |
|
|
0 |
0,81 |
1,95 |
3,20 |
3,27 |
3,09 |
3,22 |
3,21 |
3,19 |
3,12 |
3,02 |
3,29 |
3,42 |
|
|
0 |
2,95 |
3,53 |
3,72 |
4,34 |
4,68 |
4,68 |
4,41 |
4,54 |
4,25 |
3,86 |
4,22 |
4,31 |
|
|
0 |
6,97 |
7,32 |
7,47 |
6,78 |
6,98 |
6,64 |
6,47 |
6,11 |
6,03 |
6,14 |
5,76 |
5,44 |
|
|
0 |
16,42 |
13,90 |
11,89 |
10,69 |
9,45 |
9,07 |
8,92 |
7,72 |
7,88 |
7,85 |
6,74 |
6,50 |
|
|
100 |
30,46 |
21,62 |
17,14 |
15,03 |
12,16 |
11,06 |
10,47 |
9,67 |
9,66 |
8,77 |
7,81 |
7,68 |
|
|
0 |
32,67 |
28,54 |
24,17 |
19,96 |
19,09 |
15,73 |
12,94 |
14,02 |
12,23 |
10,32 |
10,14 |
9,66 |
|
|
0 |
8,01 |
16,33 |
19,09 |
20,47 |
20,45 |
19,37 |
18,04 |
17,22 |
14,42 |
13,17 |
13,40 |
12,10 |
|
|
0 |
0,55 |
2,74 |
5,97 |
8,62 |
9,44 |
12,70 |
14,20 |
12,46 |
13,14 |
14,13 |
13,62 |
12,93 |
|
|
0 |
0,01 |
0,28 |
1,32 |
2,77 |
3,23 |
5,18 |
6,96 |
6,53 |
8,45 |
10,20 |
10,03 |
10,39 |
|
|
0 |
0,00 |
0,03 |
0,33 |
0,49 |
1,53 |
1,59 |
1,87 |
2,72 |
4,18 |
4,62 |
4,91 |
6,29 |
Все значения спреда батерфляй удовлетворяют условию нахождения в интервале от нуля до плюс бесконечности. Последний тест на календарные спреды дал следующие результаты:
Таблица 18. Результаты проверки безарбитражности по календарному спреду
|
1,35 |
1,72 |
2,61 |
4,19 |
4,56 |
3,49 |
3,40 |
3,46 |
3,52 |
3,25 |
2,30 |
2,35 |
|
|
2,16 |
1,72 |
2,61 |
4,19 |
4,56 |
3,49 |
3,40 |
3,46 |
3,52 |
3,25 |
2,30 |
2,35 |
|
|
3,32 |
2,90 |
4,34 |
5,78 |
5,97 |
4,85 |
4,59 |
4,67 |
4,48 |
4,17 |
3,21 |
3,00 |
|
|
5,28 |
5,50 |
6,15 |
7,52 |
7,57 |
6,04 |
5,96 |
6,10 |
5,45 |
5,30 |
4,15 |
3,65 |
|
|
10,20 |
9,23 |
9,21 |
9,32 |
8,98 |
7,36 |
7,32 |
7,51 |
6,34 |
6,32 |
5,37 |
4,42 |
|
|
22,08 |
13,54 |
12,47 |
11,75 |
10,74 |
8,67 |
8,40 |
9,05 |
6,94 |
6,96 |
6,94 |
5,29 |
|
|
50,38 |
18,21 |
15,87 |
13,49 |
12,70 |
9,65 |
9,33 |
10,23 |
7,46 |
7,71 |
8,12 |
5,84 |
|
|
9,14 |
20,35 |
17,27 |
14,02 |
13,42 |
10,24 |
10,10 |
10,21 |
8,13 |
8,43 |
8,20 |
6,16 |
|
|
0,57 |
13,66 |
14,19 |
12,45 |
11,26 |
9,74 |
10,29 |
9,40 |
8,78 |
8,26 |
7,32 |
6,35 |
|
|
0,01 |
2,85 |
6,73 |
6,65 |
8,23 |
5,87 |
7,68 |
9,67 |
7,65 |
6,18 |
6,26 |
6,07 |
|
|
0,00 |
0,35 |
2,04 |
2,25 |
5,19 |
0,93 |
3,75 |
9,12 |
3,71 |
2,86 |
5,44 |
4,48 |
|
|
0,00 |
0,04 |
0,57 |
0,49 |
2,95 |
-0,76 |
1,32 |
6,83 |
0,45 |
0,52 |
4,10 |
2,20 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,15 |
0,19 |
1,18 |
-0,50 |
0,66 |
4,12 |
-0,89 |
-0,06 |
2,58 |
0,29 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,02 |
0,05 |
0,44 |
-0,18 |
0,29 |
2,24 |
-0,77 |
-0,19 |
1,35 |
-0,24 |
Как видно из таблицы, восемь значений являются отрицательными, что создаёт возможности арбитража. Таким образом, данный метод является показал меньшую эффективность чем интерполяция с помощью кубических сплайнов.
При использовании интерполяции по полиномиальному методу была получена следующая поверхность волатильности опционов:
Таблица 19. Интерполированные значения подразумеваемых волатильностей по полиномиальному методу
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,92 |
1,00 |
|
|
1279,07 |
44,51 |
38,47 |
34,95 |
33,25 |
32,77 |
33,03 |
33,66 |
34,37 |
34,97 |
35,37 |
35,12 |
|
|
1379,07 |
40,68 |
34,95 |
31,72 |
30,27 |
30,01 |
30,47 |
31,27 |
32,12 |
32,83 |
33,38 |
33,17 |
|
|
1479,07 |
37,08 |
31,63 |
28,65 |
27,42 |
27,35 |
27,98 |
28,92 |
29,88 |
30,69 |
31,36 |
31,18 |
|
|
1579,07 |
33,77 |
28,55 |
25,78 |
24,74 |
24,84 |
25,61 |
26,67 |
27,73 |
28,61 |
29,37 |
29,20 |
|
|
1679,07 |
30,77 |
25,76 |
23,17 |
22,29 |
22,53 |
23,41 |
24,56 |
25,70 |
26,64 |
27,46 |
27,30 |
|
|
1779,07 |
28,12 |
23,28 |
20,84 |
20,09 |
20,44 |
21,42 |
22,64 |
23,84 |
24,82 |
25,68 |
25,51 |
|
|
1879,07 |
25,84 |
21,14 |
18,81 |
18,17 |
18,61 |
19,65 |
20,94 |
22,18 |
23,18 |
24,05 |
23,86 |
|
|
1979,07 |
23,94 |
19,34 |
17,11 |
16,54 |
17,04 |
18,14 |
19,46 |
20,73 |
21,74 |
22,60 |
22,39 |
|
|
2079,07 |
22,42 |
17,89 |
15,73 |
15,21 |
15,76 |
16,89 |
18,23 |
19,51 |
20,53 |
21,35 |
21,12 |
|
|
2179,07 |
21,27 |
16,79 |
14,67 |
14,19 |
14,76 |
15,91 |
17,26 |
18,53 |
19,53 |
20,31 |
20,04 |
|
|
2279,07 |
20,50 |
16,04 |
13,93 |
13,46 |
14,04 |
15,18 |
16,53 |
17,79 |
18,77 |
19,49 |
19,17 |
|
|
2379,07 |
20,07 |
15,61 |
13,50 |
13,02 |
13,58 |
14,71 |
16,04 |
17,27 |
18,22 |
18,87 |
18,51 |
|
|
2479,07 |
19,98 |
15,49 |
13,35 |
12,85 |
13,38 |
14,49 |
15,78 |
16,98 |
17,89 |
18,45 |
18,04 |
Применяя формулу Блэка-Шоулза, перейдем от подразумеваемых волатильностей к ценам опционов call:
Таблица 20. Интерполированные значения цен опционов call по полиномиальному методу
|
K/T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,92 |
1,00 |
|
|
1279,1 |
601,3 |
603,0 |
604,8 |
607,0 |
609,8 |
613,6 |
618,4 |
623,9 |
629,8 |
640,8 |
645,1 |
|
|
1379,1 |
501,9 |
504,4 |
507,1 |
510,3 |
514,4 |
519,8 |
526,3 |
533,8 |
541,6 |
555,5 |
560,7 |
|
|
1479,1 |
402,8 |
406,6 |
410,3 |
414,8 |
420,5 |
427,8 |
436,5 |
446,1 |
455,8 |
472,7 |
478,8 |
|
|
1579,1 |
304,9 |
310,5 |
315,5 |
321,5 |
329,2 |
338,8 |
350,0 |
361,9 |
373,6 |
393,1 |
400,0 |
|
|
1679,1 |
210,2 |
218,3 |
224,9 |
232,7 |
242,6 |
254,8 |
268,4 |
282,6 |
296,2 |
318,0 |
325,4 |
|
|
1779,1 |
124,5 |
134,9 |
142,7 |
152,0 |
164,1 |
178,5 |
194,3 |
210,3 |
225,3 |
248,8 |
256,3 |
|
|
1879,1 |
57,6 |
68,1 |
75,6 |
85,3 |
98,1 |
113,6 |
130,4 |
147,3 |
163,0 |
187,0 |
194,3 |
|
|
1979,1 |
18,3 |
25,3 |
30,5 |
38,3 |
49,5 |
63,7 |
79,7 |
96,0 |
111,1 |
134,2 |
140,9 |
|
|
2079,1 |
3,5 |
6,1 |
8,5 |
12,7 |
20,0 |
30,6 |
43,5 |
57,4 |
70,9 |
91,5 |
97,2 |
|
|
2179,1 |
0,4 |
0,9 |
1,5 |
2,9 |
6,2 |
12,3 |
21,0 |
31,4 |
42,1 |
59,1 |
63,6 |
|
|
2279,1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1,5 |
4,1 |
9,0 |
15,8 |
23,4 |
36,2 |
39,6 |
|
|
2379,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,1 |
0,3 |
1,2 |
3,5 |
7,4 |
12,4 |
21,3 |
23,6 |
|
|
2479,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,1 |
0,3 |
1,3 |
3,4 |
6,3 |
12,2 |
13,6 |
Перейдя к ценам опционов call, необходимо убедиться в отсутствии арбитражных возможностей с помощью тестов, рассмотренных выше. Первый тест по вертикальному спреду дал следующие результаты:
Таблица 21. Результаты проверки безарбитражности по вертикальному спреду
|
1 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,97 |
0,97 |
0,96 |
|
|
1 |
0,99 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,95 |
0,94 |
0,92 |
0,90 |
0,88 |
0,87 |
0,85 |
0,84 |
|
|
1 |
0,99 |
0,98 |
0,97 |
0,96 |
0,94 |
0,92 |
0,90 |
0,88 |
0,86 |
0,84 |
0,83 |
0,82 |
|
|
1 |
0,98 |
0,96 |
0,95 |
0,93 |
0,91 |
0,89 |
0,87 |
0,84 |
0,82 |
0,81 |
0,80 |
0,79 |
|
|
1 |
0,95 |
0,92 |
0,91 |
0,89 |
0,87 |
0,84 |
0,82 |
0,79 |
0,77 |
0,76 |
0,75 |
0,75 |
|
|
1 |
0,86 |
0,83 |
0,82 |
0,81 |
0,79 |
0,76 |
0,74 |
0,72 |
0,71 |
0,70 |
0,69 |
0,69 |
|
|
1 |
0,67 |
0,67 |
0,67 |
0,67 |
0,66 |
0,65 |
0,64 |
0,63 |
0,62 |
0,62 |
0,62 |
0,62 |
|
|
0 |
0,39 |
0,43 |
0,45 |
0,47 |
0,49 |
0,50 |
0,51 |
0,51 |
0,52 |
0,52 |
0,53 |
0,53 |
|
|
0 |
0,15 |
0,19 |
0,22 |
0,26 |
0,30 |
0,33 |
0,36 |
0,39 |
0,40 |
0,42 |
0,43 |
0,44 |
|
|
0 |
0,03 |
0,05 |
0,07 |
0,10 |
0,14 |
0,18 |
0,23 |
0,26 |
0,29 |
0,31 |
0,32 |
0,34 |
|
|
0 |
0,00 |
0,01 |
0,01 |
0,02 |
0,05 |
0,08 |
0,12 |
0,16 |
0,19 |
0,21 |
0,23 |
0,24 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,03 |
0,05 |
0,08 |
0,11 |
0,13 |
0,15 |
0,16 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,08 |
0,09 |
0,10 |
Как видно из таблицы, все значения вертикальных спредов удовлетворяют условию нахождения в интервале от 0 до 1. Второй тест по спреду батерфляй дал следующие результаты:
Таблица 22. Результаты проверки безарбитражности по спреду батерфляй
|
0 |
6,18 |
15,58 |
24,53 |
34,98 |
48,41 |
65,00 |
83,73 |
102,80 |
120,45 |
135,41 |
147,04 |
155,24 |
|
|
0 |
0,35 |
0,73 |
0,94 |
1,20 |
1,52 |
1,87 |
2,18 |
2,39 |
2,51 |
2,53 |
2,49 |
2,38 |
|
|
0 |
1,11 |
1,71 |
1,97 |
2,28 |
2,66 |
3,03 |
3,30 |
3,45 |
3,48 |
3,43 |
3,31 |
3,15 |
|
|
0 |
3,34 |
3,98 |
4,15 |
4,39 |
4,69 |
4,91 |
5,01 |
4,97 |
4,84 |
4,65 |
4,43 |
4,21 |
|
|
0 |
8,91 |
8,74 |
8,39 |
8,19 |
8,00 |
7,75 |
7,39 |
6,99 |
6,57 |
6,19 |
5,85 |
5,55 |
|
|
0 |
18,81 |
16,53 |
15,15 |
13,90 |
12,64 |
11,42 |
10,30 |
9,34 |
8,56 |
7,93 |
7,44 |
7,07 |
|
|
100 |
27,57 |
24,06 |
22,06 |
19,79 |
17,32 |
15,02 |
13,09 |
11,57 |
10,42 |
9,58 |
8,98 |
8,57 |
|
|
0 |
24,50 |
23,67 |
22,96 |
21,38 |
19,11 |
16,70 |
14,57 |
12,87 |
11,60 |
10,69 |
10,08 |
9,71 |
|
|
0 |
11,72 |
13,90 |
15,09 |
15,80 |
15,72 |
14,87 |
13,68 |
12,50 |
11,53 |
10,81 |
10,35 |
10,11 |
|
|
0 |
2,78 |
4,43 |
5,67 |
7,33 |
9,05 |
10,16 |
10,51 |
10,37 |
10,06 |
9,76 |
9,57 |
9,53 |
|
|
0 |
0,32 |
0,74 |
1,17 |
2,05 |
3,54 |
5,22 |
6,51 |
7,26 |
7,62 |
7,79 |
7,90 |
8,04 |
|
|
0 |
0,02 |
0,07 |
0,14 |
0,36 |
0,96 |
2,04 |
3,28 |
4,32 |
5,03 |
5,50 |
5,81 |
6,07 |
Все значения спреда батерфляй удовлетворяют условию нахождения в интервале от нуля до плюс бесконечности. Последний тест на календарные спреды дал следующие результаты:
Таблица 23. Результаты проверки безарбитражности по календарному спреду
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1,30 |
1,66 |
1,85 |
2,20 |
2,85 |
3,76 |
4,75 |
5,55 |
5,92 |
5,78 |
5,18 |
4,27 |
|
|
1,88 |
2,52 |
2,70 |
3,19 |
4,12 |
5,35 |
6,59 |
7,47 |
7,77 |
7,41 |
6,49 |
5,24 |
|
|
2,81 |
3,77 |
3,76 |
4,43 |
5,71 |
7,29 |
8,73 |
9,62 |
9,73 |
9,05 |
7,76 |
6,11 |
|
|
4,85 |
5,61 |
5,08 |
5,98 |
7,69 |
9,60 |
11,15 |
11,91 |
11,72 |
10,64 |
8,91 |
6,83 |
|
|
10,23 |
8,10 |
6,58 |
7,78 |
9,95 |
12,13 |
13,66 |
14,16 |
13,57 |
12,04 |
9,85 |
7,32 |
|
|
24,53 |
10,41 |
7,72 |
9,36 |
12,04 |
14,41 |
15,81 |
16,01 |
15,02 |
13,06 |
10,44 |
7,51 |
|
|
57,63 |
10,44 |
7,50 |
9,70 |
12,87 |
15,46 |
16,85 |
16,90 |
15,68 |
13,45 |
10,54 |
7,33 |
|
|
18,30 |
6,96 |
5,28 |
7,76 |
11,22 |
14,20 |
15,97 |
16,27 |
15,19 |
13,00 |
10,05 |
6,74 |
|
|
3,47 |
2,65 |
2,34 |
4,25 |
7,31 |
10,54 |
12,95 |
13,94 |
13,43 |
11,64 |
8,94 |
5,78 |
|
|
0,36 |
0,53 |
0,59 |
1,44 |
3,31 |
6,03 |
8,73 |
10,44 |
10,70 |
9,56 |
7,37 |
4,59 |
|
|
0,02 |
0,06 |
0,08 |
0,30 |
1,03 |
2,64 |
4,87 |
6,80 |
7,65 |
7,18 |
5,61 |
3,35 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,01 |
0,04 |
0,23 |
0,92 |
2,30 |
3,91 |
4,96 |
4,97 |
3,96 |
2,26 |
|
|
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,05 |
0,28 |
0,97 |
2,06 |
2,99 |
3,23 |
2,63 |
1,42 |
В отличие от всех других интерполяционным методов, последний тест по календарным спредам дал положительный результат. Все элементы вышепредставленной таблицы удовлетворяют условию неотрицательности. Таким образом, полиномиальная интерполяция показала наилучшие результаты, и данные, полученные этим методом, будут в дальнейшем использоваться для нахождения истинного вероятностного пространства.
Используя цены опционов call, смоделированные с помощью полиномиальной интерполяции, перейдем от ним к ценам Эрроу-Дебре с помощью формулы из работы Breeden-Litzenberg [8]. Матрица цен Эрроу-Дебре представлена в следующей таблице:
Таблица 24. Матрица цен Эрроу-Дебре
|
K\T |
0,08 |
0,17 |
0,25 |
0,33 |
0,42 |
0,50 |
0,58 |
0,67 |
0,75 |
0,92 |
1,00 |
|
|
1379,07 |
0,003 |
0,007 |
0,009 |
0,012 |
0,015 |
0,019 |
0,022 |
0,024 |
0,025 |
0,025 |
0,024 |
|
|
1479,07 |
0,011 |
0,017 |
0,020 |
0,023 |
0,027 |
0,030 |
0,033 |
0,034 |
0,035 |
0,033 |
0,032 |
|
|
1579,07 |
0,033 |
0,040 |
0,042 |
0,044 |
0,047 |
0,049 |
0,050 |
0,050 |
0,048 |
0,044 |
0,042 |
|
|
1679,07 |
0,089 |
0,087 |
0,084 |
0,082 |
0,080 |
0,077 |
0,074 |
0,070 |
0,066 |
0,058 |
0,055 |
|
|
1779,07 |
0,188 |
0,165 |
0,151 |
0,139 |
0,126 |
0,114 |
0,103 |
0,093 |
0,086 |
0,074 |
0,071 |
|
|
1879,07 |
0,276 |
0,241 |
0,221 |
0,198 |
0,173 |
0,150 |
0,131 |
0,116 |
0,104 |
0,090 |
0,086 |
|
|
1979,07 |
0,245 |
0,237 |
0,230 |
0,214 |
0,191 |
0,167 |
0,146 |
0,129 |
0,116 |
0,101 |
0,097 |
|
|
2079,07 |
0,117 |
0,139 |
0,151 |
0,158 |
0,157 |
0,149 |
0,137 |
0,125 |
0,115 |
0,103 |
0,101 |
|
|
2179,07 |
0,028 |
0,044 |
0,057 |
0,073 |
0,090 |
0,102 |
0,105 |
0,104 |
0,101 |
0,096 |
0,095 |
|
|
2279,07 |
0,003 |
0,007 |
0,012 |
0,021 |
0,035 |
0,052 |
0,065 |
0,073 |
0,076 |
0,079 |
0,080 |
|
|
2379,07 |
0,000 |
0,001 |
0,001 |
0,004 |
0,010 |
0,020 |
0,033 |
0,043 |
0,050 |
0,058 |
0,061 |
3.3 Оптимизация
Таким образом, мы убедились, что использованный нами интерполяционный метод помог получить необходимые теоретические цены Эрроу-Дебре. В пункте 3.1 главы 3 была затронута проблема решения системы линейных уравнений, удовлетворяющая условию неотрицательности матрицы переходных цен Эрроу-Дебре. Чтобы решить данную проблему придется решить оптимизационную задачу, максимально близко подбирая искомые значения матрицы переходных цен Эрроу-Дебре.
Для того, чтобы отыскать элементы искомой матрицы, необходимо сформулировать функцию ошибок, которая будет представлять из себя ошибки подбора элементов массива.
Искомая матрица переходных цен Эрроу-Дебре имеет размерность . Обозначим ее через и каждый элемент матрицы обозначим как , где - номер строки, а - номер столбца этой матрицы. Элементы должны подбираться таким образом, чтобы получить расчетные значения элементов матрицы цен Эрроу-Дебре, минимально отличающиеся от истинных значений. Оптимизация будет происходить по методу наименьших квадратов с ограничениями.
Расчетное значение элемента матрицы будем обозначать как . Учитывая что 6 строка матрицы представляет собой значения первого столбца матрицы , осталось найти значения матрицы с 1 по 5 строку, и с 7 по 11 строку. Значения при представлены в виде:
Таким образом функция ошибок имеет вид:
Минимизируя данную функцию , мы получим искомые значения матрицы переходных цен Эрроу-Дебре. Оптимизация должна быть произведена с некоторыми ограничениями:
Так, определимся с краевыми условиями. Нижняя граница для элемента равна нулю, а верхняя граница равна единице.
Начальные приближения для элементов матрицы Р зададим равными 0,5.
Предположим, что вероятность остаться в текущем состоянии рынка максимальна и составляет 35%, вероятность что рынок упадет на одно состояние вниз составляет 15%, а вероятность что рынок упадет на два состояния вниз составляет 20%. Данная ситуация кажется весьма нереалистичной, так как с точки зрения здравого смысла вероятность перехода во всё более дальние состояния должна убывать. Поэтому необходимо сформулировать последнее ограничение, связанное с унимодальностью строк матрицы Р.
В данной работе будет предполагаться, что вероятность остаться в текущем состоянии рынка будет максимальной, а вероятности попадания во всё более дальние состояния рынка должны убывать. Более формально данное ограничение можно записать как:
Проведя оптимизацию в среде Matlab с помощью функцию fmincon была получена следующая матрица перехода цен Эрроу-Дебре:
Таблица 25. Матрица переходных цен Эрроу-Дебре
|
-27% |
-21% |
-16% |
-11% |
-5% |
0% |
5% |
11% |
16% |
21% |
27% |
||
|
-27% |
0,268 |
0,168 |
0,129 |
0,103 |
0,083 |
0,068 |
0,057 |
0,047 |
0,038 |
0,027 |
0,012 |
|
|
-21% |
0,071 |
0,255 |
0,166 |
0,125 |
0,098 |
0,078 |
0,065 |
0,054 |
0,044 |
0,031 |
0,014 |
|
|
-16% |
0,042 |
0,093 |
0,252 |
0,162 |
0,118 |
0,092 |
0,076 |
0,064 |
0,051 |
0,035 |
0,015 |
|
|
-11% |
0,023 |
0,047 |
0,087 |
0,262 |
0,166 |
0,124 |
0,102 |
0,082 |
0,060 |
0,035 |
0,014 |
|
|
-5% |
0,010 |
0,022 |
0,039 |
0,077 |
0,281 |
0,205 |
0,172 |
0,114 |
0,050 |
0,022 |
0,008 |
|
|
0% |
0,003 |
0,011 |
0,033 |
0,089 |
0,188 |
0,276 |
0,245 |
0,117 |
0,028 |
0,003 |
0,000 |
|
|
5% |
0,007 |
0,015 |
0,026 |
0,046 |
0,088 |
0,310 |
0,271 |
0,173 |
0,044 |
0,016 |
0,006 |
|
|
11% |
0,011 |
0,022 |
0,034 |
0,047 |
0,062 |
0,082 |
0,285 |
0,231 |
0,168 |
0,043 |
0,015 |
|
|
16% |
0,009 |
0,018 |
0,025 |
0,032 |
0,039 |
0,047 |
0,063 |
0,321 |
0,277 |
0,124 |
0,047 |
|
|
21% |
0,007 |
0,015 |
0,021 |
0,026 |
0,031 |
0,037 |
0,047 |
0,072 |
0,231 |
0,377 |
0,137 |
|
|
27% |
0,008 |
0,017 |
0,024 |
0,030 |
0,037 |
0,044 |
0,054 |
0,075 |
0,134 |
0,210 |
0,367 |
Строки данной матрицы представляют собой начальные состояния рынка, а столбцы конечные состояния рынка. Так, например, значение означает, что столько инструмент Эрроу-Дебре по которому нам выплатят 1$ при условии перехода из состояния в состояние .
Применяю к матрице переходных цен Эрроу-Дебре теорему Росса, получим матрицу истинных вероятностей перехода:
Таблица 26. Матрица истинных вероятностей перехода из одного состояния в другое
|
-27% |
-21% |
-16% |
-11% |
-5% |
0% |
5% |
11% |
16% |
21% |
27% |
||
|
-27% |
0,268 |
0,169 |
0,129 |
0,103 |
0,083 |
0,068 |
0,056 |
0,047 |
0,038 |
0,027 |
0,012 |
|
|
-21% |
0,071 |
0,255 |
0,166 |
0,125 |
0,098 |
0,077 |
0,065 |
0,054 |
0,044 |
0,031 |
0,014 |
|
|
-16% |
0,042 |
0,093 |
0,252 |
0,162 |
0,118 |
0,091 |
0,076 |
0,064 |
0,051 |
0,035 |
0,015 |
|
|
-11% |
0,023 |
0,047 |
0,087 |
0,262 |
0,166 |
0,123 |
0,102 |
0,082 |
0,06 |
0,035 |
0,014 |
|
|
-5% |
0,01 |
0,022 |
0,039 |
0,077 |
0,281 |
0,204 |
0,172 |
0,114 |
0,05 |
0,022 |
0,008 |
|
|
0% |
0,004 |
0,011 |
0,034 |
0,09 |
0,189 |
0,276 |
0,247 |
0,118 |
0,028 |
0,003 |
2E-04 |
|
|
5% |
0,007 |
0,015 |
0,026 |
0,046 |
0,088 |
0,308 |
0,271 |
0,173 |
0,044 |
0,016 |
0,006 |
|
|
11% |
0,011 |
0,022 |
0,034 |
0,048 |
0,062 |
0,081 |
0,284 |
0,232 |
0,169 |
0,043 |
0,015 |
|
|
16% |
0,009 |
0,018 |
0,025 |
0,032 |
0,039 |
0,046 |
0,063 |
0,321 |
0,277 |
0,124 |
0,047 |
|
|
21% |
0,007 |
0,015 |
0,021 |
0,026 |
0,031 |
0,037 |
0,047 |
0,072 |
0,231 |
0,377 |
0,137 |
|
|
27% |
0,008 |
0,017 |
0,024 |
0,03 |
0,037 |
0,044 |
0,054 |
0,075 |
0,134 |
0,21 |
0,367 |
Также, как и в матрице переходных цен Эрроу-Дебре, по строкам располагаются начальные состояния, а по столбцам конечные состояния. Так элемент данной матрицы означает, что истинная вероятность перехода из состояния 0%, т.е. текущего состояния рынка, в состояние -5% равна 18,9%.
Нас прежде всего интересует центральная строка данной матрицы, которая представляет собой натуральные вероятности перехода из текущего состояния рынка во все другие состояния. Данные вероятности представлены на следующей диаграмме:
Рисунок 7. Натуральная плотность вероятности
Из матрицы истинных вероятностей следует, что вероятность роста индекса S&P500 через месяц составляет 39,6% против вероятности падения в 32,8%. Математическое ожидание изменения индекса S&P500 составляет 0,26%, что соответствует его значению в 1883,9 пункта на 17.03.2016.
Истинное же значение индекса S&P500 через месяц на 17.03.2016 составило 2040,59 пунктов, то есть был осуществлен рост на 8,6%, что по построенной модели составляет около 12%.
Заключение
Данная работа была посвящена получению истинных вероятностей перехода значения стоимости базового актива из одного состояния рынка в другое с помощью новой концепции, которую Steve Ross назвал Recovery Theorem. Для данной цели были проделы следующие этапы работы:
· Были изучены теоретические аспекты ценообразования опционов и их взаимосвязи с риск-нейтральными вероятностями;
· Были рассмотрены необходимые условия, при выполнении которых можно применить к матрице переходных цен Эрроу-Дебре Recovery Theorem для извлечения из цен опционов истинного вероятностного пространства;
· С помощью методов интерполяции и оптимизации была решена проблема с нехваткой данных и проблема нахождения матрицы переходных цен Эрроу-Дебре;
· Из матрицы переходных цен Эрроу-Дебре было получено истинное вероятностное распределение будущих движений цены базового актива.
Концепция извлечения натуральных вероятностей из цен опционов с помощью Recovery Theorem вызывает некоторые вопросы. Так, предположение о гомогенности предпочтений инвестора является весьма сильным. Если предпочтения и вправду являются гомогенными, то может просто стоит оценить эти предпочтения по историческим данным, ведь они не подвержены изменению во времени. Очевидно, что спустя 5 лет предпочтения инвестора все же как-то поменяются. Поэтому, возможно, следует попытаться получить результаты Steve Ross, минуя данную предпосылку.
Задача получения цен Эрроу-Дебре была связана с интерполяционными методами применяемыми к поверхности волатильности опционов. В данной работе были использованы следующие методы интерполяци:
· Cubic splines;
· Thin-plate splines;
· Biharmonic splines;
· Polynomial.
Интерполированные цены опционов call проверялись на отсутствие арбитражных возможностей. Все интерполяционные методы показали хорошие результаты, однако только метод Polynomial показал отсутствие арбитража по всем спредам: вертикальному спреду, спреду батерфляй и календарному спреду. Именно данный метод использовался в данной работе для получения цен Эрроу-Дебре.
Для получения матрицы переходных цен Эрроу-Дебре было необходимо решить оптимизационную задачу с ограничениями. Оптимизация проводилась по методу наименьших квадратов. А набор ограничений включал в себя:
· Нахождение всех элементов матрицы переходных цен Эрроу-Дебре в интервале [0,1];
· Унимодальность строк.
Применяя Recovery Theorem к матрице переходных цен Эрроу-Дебре была получена матрица истинных вероятностей перехода значения индекса S&P500 из одного состояния рынка в другое. Эта матрица показывает вероятности перехода из всех возможных состояний рынка в другие состояния, и не только из текущего состояния. В первую очередь нас интересует центральная строка данной матрицы, которая представляет истинные вероятности перехода из текущего состояния рынка в другие состояния. Данная строка может быть использована для прогноза движения базового актива. Так, например, одной из стратегий может быть сравнение медианы данного распределения с текущим состоянием рынка.
Recovery Theorem предполагает нетривиальные способы получения матрицы цен Эрроу-Дебре с помощью процедур интерполяции и оптимизации. Если неточно провести данные процедуры, то на выходе результат может весьма исказится. Поэтому в дальнейшем также следует работать в этом направлении в попытке получить наиболее оптимальные методы получения цен Эрроу-Дебре.
Полученные результаты могут вызвать множество вопросов. Один из которых затрагивает проблему проверки полученных вероятностей и сопоставления их с историческими данными. Одним из решений данной проблемы является проведение процедуры получения истинных вероятностей перехода на большом количестве исторических данных. Прогноз о росте или падении стоимости базового актива может делаться на основании медианы. Сопоставление прогнозных результатов с истинными историческими данными может осуществляться на основании статистических тестов с нулевой гипотезой об отсутствии прогнозных способностей у полученного истинного распределения вероятностей.
Список использованных источников
1. Ait-Sahalia, Yacine and Andrew Lo (1998). Nonparametric Estimation of State-Price Densities Implicit in Financial Asset Prices. Journal of Finance, 499-547.
2. Ahlberg, Harold J., Nilson, Edwin and Walsh Joseph, 1967. The Theory of Splines and Their Applications. Academic Press, 1967.
3. Backwell, Alex,2015,State Prices and Implementation of the Recovery Theorem, Journal of Risk and Financial Management 8, 2-16
4. Bahra, Bhupinder (1997). Implied Risk-Neutral Probability Density Function from Option Prices: Theory and Application. Workng Paper, Bank of England.
5. Black, Fischer, and Myron Scholes, 1973, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, 637-654.
6. Bliss, Robert R. and Panigirtzoglou Nikolaos, 2004, Option-Implied Risk Aversion Estimates, The Journal of Finance
7. Boyle, Mike, 2000. Notes on The Perron-Frobenius Theory of Nonnegative Matrices.
8. Breeden, Douglas T., and Robert Litzenberger, 1978, Prices of state contingent claims implicit in option prices, Journal of Business 51, 621-651.
9. Carl de Boor. Spline Toolbox For Use with Matlab
10. Carr, Peter, and Jiming Yu, 2012, Risk, Return, and Ross Recovery, Journal of Derivatives 20, 38-59.
11. Carr, Peter, and Madan, Dilip B, 2005, A note on sufficient conditions for no arbitrage, Finance Research Letters 2, 125-130
12. Dumas, Bernard, Fleming,Jeff and Whaley Robert E., 1998, Implied Volatility Functions: Empirical Tests, The Journal of Finance, Vol. 53, No.6. (Dec,.1998),pp.2059-2106
13. Dybvig, Philip H., and Christopher G. Rogers, 1997, Recovery of preferences from observed wealth in a single realization, Review of Financial Studies 10, 151-174.
14. Fama, Eugene F., 1970, Efficient capital markets: A review of theory and empirical work, Journal of Finance 25, 383-417.
15. Hull,John (2006). Options, Futures, and Other Derivatives. New Jersey: Prentice Hall.
16. Jackwerth Jens (1996). Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. The Review of Financial Studies. Vol. 13, No. 2, pp. 433-451.
17. Jackwerth, Jens and Mark Rubinstein (1996). Recovering Probability Distributions from Option Prices. Journal of Finance, 1611-1631.
18. Malz, Allan (1997). Estimating the Probability Distribution of the Future Exchange Rate from Options Prices. Journal of Derivatives, 18-36.
19. Ross, Steve (1976). Options and Efficiency. Quarterly Journal of Economics, 75-89.
20. Ross, Steve A., 1976, The arbitrage theory of capital asset pricing, Journal of Economic Theory 13, 341-360.
21. Ross, Steve. “The Recovery Theorem.” Working paper Sept. 10, 2011 forthcoming in Journal of Finance
22. Rubinstein, Mark (1994). Implied Binomial Tree. Journal of Finance, 771-818.
23. Sandwell D.T. (1987), Biharmonic spline interpolation of GEOS-3 and SEASAT altimeter data, Geophysical Research Letters, Vol. 2, p. 139 - 142.
24. Zhou, Hong Cheng. (2012). Option Implied Risk Aversion. Master thesis within the major profile of Energy, Natural Resouces and the Environment. Norwegian school of economics.
25. Информационный финансовый ресурс поисковой системы yahoo.com
26. Официальный сайт Казначейства США
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование аномалий и закономерностей в ценообразовании опционов. Выражение эмпирических отклонений в ценах, вызванных поведенческими паттернами инвесторов. Зависимость вмененного риск-нейтрального распределения базового актива и сентимента инвесторов.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 30.09.2016Особенности фьючерсного контракта, который заключается на срочных биржах и отличается от форвардных контрактов большей стандартизацией размеров, способом предоставления гарантий. Анализ взаимосвязи фьючерсной цены с ценой базового актива на рынке спот.
контрольная работа [1007,3 K], добавлен 29.01.2010Контракты, дающие право на покупку или продажу определенного количества ценных бумаг по заранее установленной цене в течение определенного срока. Классификация опционов: по форме реализации, по времени исполнения и по характеру базисного актива.
эссе [19,3 K], добавлен 18.05.2009Характеристика основных направлений деятельности финансового менеджмента. Раскрытие содержания финансовых целей предприятия. Изучение сущности концепции абсолютно эффективных рынков. Обоснование эффективности приобретения актива на условиях лизинга.
практическая работа [74,8 K], добавлен 29.02.2012Основные аспекты составления и взаимосвязи показателей актива бухгалтерского баланса. Организационно-экономическая характеристика предприятия. Анализ динамики состава и структуры актива баланса. Оценка источников финансирования оборотных активов.
курсовая работа [307,5 K], добавлен 01.10.2014Основные этапы процесса бюджетирования, методы оценки приемлемости и достижимости бюджетов организации. Разработка и анализ базового варианта, определение его безубыточности и оценка чувствительности, мероприятия по улучшению финансовых показателей.
курсовая работа [226,4 K], добавлен 25.04.2014Изучение понятия, принципов, этапов формирования, рисков и доходности инвестиционного портфеля, определение методов его оптимизации. Рассмотрение модели оценки стоимости финансовых активов, арбитражного ценообразования и их практическое применение.
курсовая работа [324,4 K], добавлен 26.04.2010Принципы и главные этапы фундаментального анализа. Расчёт справедливой цены акции ПАО "Газпром". Классификация методов и моделей прогнозирования, временные ряды. Риск как неотъемлемая часть инвестиций в финансовые инструменты, особенности оценки.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 21.06.2016Базовая модель оценки финансового актива (модель Уильямса). Оценка долевых ценных бумаг. Виды денежных потоков. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями (потоки постнумерандо и пренумерандо). Виды и оценка доходности финансового актива.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 10.04.2009Процесс стоимостного распределения общественного продукта. Финансы как особая экономическая категория и их признаки. Финансовые отношения и распределение. Общие черты, различия и взаимосвязь финансов и денег, цены, оплаты труда, кредита, страхования.
реферат [15,1 K], добавлен 27.09.2008
