Денежная политика

5. Следовательно, гипотеза Н₀ отвергается, то есть при 1% уровне значимости количество продаваемого ежедневно хлеба в количестве 3000 в виде отчета принята быть не может.

В качестве примеров распределений непрерывной случайной величины приведем следующие часто используемые в задачах управления качеством распределения, которые понадобятся нам для дальнейшей работы.

Нормальное (гауссовское) распределение имеет вид

,

Здесь   - среднее,   - дисперсия распределения СВ.

Равномерное (равновероятное для дискретных СВ) распределение на интервале [a,b] описывается соотношением

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

 ,  .

Распределение  (хи - квадрат).  Если ,   - независимые нормально распределенные числа с нулевым  средним  и единичной дисперсией, то статистика (функция случайных величин)

подчиняется распределению   с  k степенями свободы.

Здесь   - гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия данного распределения имеют вид соответственно

.

Распределение Стьюдента (t - распределение).

Пусть z - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть также v - независимая от z  СВ, имеющая распределение с k степенями свободы. Тогда СВ

имеет t - распределение с k степенями свободы

Среднее значение и дисперсия равны соответственно

.

Распределение Фишера-Снедекора.

Если u и v   независимые СВ, распределенные по закону со степенями свободы    и    соответственно, то  СВ

имеет распределение  Фишера-Снедекора

Здесь .,  среднее значение и дисперсия равны соответственно

,  .

Приведем примеры распределений дискретной СВ,  используемые в задачах управления качеством.

Гипергеометрическое распределение, часто применяемое в задачах выборочного контроля, имеет вид

Здесь V -  объем контролируемой партии, N - число изделий в выборке, k - число дефектных изделий в выборке, D - число дефектных изделий в партии,

 -  число сочетаний из D по k.

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

,        .

В случае N<<V гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением, вычисляемым по формуле

Здесь  -  вероятность дефекта, остальные обозначения соответствуют приведенным для гипергеометрического распределения.

Среднее значение и дисперсия для биномиального  распределения вычисляются соответственно по формулам

, .

В случае, если число испытаний N  возрастает, а вероятность q уменьшается так, что Nq = const, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона

.

Здесь N - объем испытуемой выборки, k - число интересующих исследователя событий, происшедших в процессе испытаний,  - среднее  число событий в выборке (интенсивность потока событий). Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона имеют вид 

Вопросу распределения вероятности касаются вопросы № 4 и № 5.

Вопрос № 4

Chi-Squared Distribution

Условие задачи

Менеджер розничного магазина хочет установить, соотносится или нет количество покупателей, приходящих ежедневно в магазин со временем суток. Счетчик дает следующую информацию, касающуюся количества продаж в разное время дня.

Если менеджер хочет проверить гипотезу, что продажи не соотносятся со временем суток на 5% уровне значимости, к какому выводу можно прийти.

Решение:

Сформулируем нулевую гипотезу:

Пусть случайная величина Х - момент продажи. Тогда следующая формулировка нулевой гипотезы является эквивалентной:

Н₀ = {случайная величина Х имеет равномерное распределение на [8⁰⁰; 18⁰⁰]}; согласно равномерному закону, вероятность того, что случайная величина принадлежит одному из периодов равна:

i = 1, …, 5,

где Д_i - длительность i-периода.

Расчетное значение статистики получаем по формуле:

Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы (k - 1) = (5-1) = 4 равно:

Так как что гипотеза Н₀ отвергается .

Значит количество продаж в разные периоды времени за сутки действительно различное.

Вопрос № 5

Распределение вероятности

Условие задачи:

Существует 80% шанс, что обучаемый по программе в компании завершит программу успешно. Какова вероятность, что в группе из 4 выбранных случайным образом обучаемых:

5.1. Все четверо успешно завершат программу?

5.2. Максимум один обучающийся не справится с программой?

Решение:

В данной задаче имеем дело с числом Х появления события при 4 независимых опытах (обучаемые друг от друга независимы). Следовательно, дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, а ее возможные значения 0, 1, 2, 3, 4 соответствуют вероятностям:

Где 0 < Р < 1; q = 1 - p, m = 1, …, n.

Данное распределение зависит от двух параметров: р и n (т.е. от р = 80%/100% = 4/5; n = 4).

Составим ряд распределения:

Вероятность того, что никто не завершит успешно программу равна:

Вероятность того, что один человек завершит успешно программу равна:

Вероятность того, что два человека завершат успешно программу равна:

Вероятность того, что три человека завершат успешно программу равна:

5.1. Вероятность того, что все четверо завершат успешно программу равна:

5.2. Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой, определяется следующим образом.

Для ответа на данный вопрос необходимо составить ряд распределения случайной величины Х - числа появлений противоположного события в 4 опытах.

При Х = 0:

При Х = 1:

При Х = 2:

При Х = 3:

При Х = 4:

Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой равна при этом математическое ожидание не справившихся с программой равно:

Список литературы

1. Добрынин А.И., Салов А.И. Экономика. - М.: Юрайт, 2002.

2. Попов А.И. Экономическая теория. СПб.; М.; Харьков; Минск: Питер, 2000.

3. Фишер С., Дорнбут Р., Шмалензи Р. Экономика. - М.: Дело, 1993.

4. Экономическая теория. / Под ред. Видяпина В.И. и др. - М.: ИНФРА-М, 2000.

5. Экономическая теория. / Под ред. Камаева В.Д. - М.: ВЛАДОС, 1999.