5. ,

где .

6. (Связь между условным математическим ожиданием и условной вероятностью). Если , то .

Это свойство означает, что понятие условного математического ожидания более общее, чем понятие условной вероятности.

7. Если с.в. измерима относительно подалгебры , то . В частности, .

8. (Телескопическое свойство) Пусть алгебра . Тогда .

Точно так же, как мы определяли , определяется условное математическое ожидание . А именно, полагают:

.

9. Если с.в. и независимы, то .

Доказательства свойств 3-9 предоставляются читателю.

Пример 16. Пусть -- независимые с.в., каждая из которых может принимать только значения 0 или 1, причем , а . Мы получили в примере 15:

Вычислим теперь . Имеем:

Произведем теперь подсчет того же условного математического ожидания, используя свойства математического ожидания:

.

Пример 17. Пусть X и Y -- независимые одинаково распределенные случайные величины. Доказать формулу:

.

Докажем сначала первое равенство, используя определение 20. Для простоты будем считать, что с.в. X и Y принимают значения . Тогда принимает значения . По определению 20 имеем:

,

.

Таким образом, достаточно доказать следующее равенство:

.

Рассмотрим события:

, k = 2, 3, 4, … , 2m.

Очевидно, что образуют полную группу гипотез. По определению 17 имеем:

,

.

Для доказательства равенства величин слева достаточно показать, что

.

Действительно,

,

т.е. первое равенство из требуемого двойного равенства доказано.

Докажем второе из двойного равенства. Имеем:

,

что и требовалось доказать.

Пример 18. Привести пример двух зависимых с.в. X и Y, для которых выполняется равенство:

(см. свойство 9).

Зададим вероятностное пространство . Обозначим:

и .

Сначала определим : , , , причем -- различны. Теперь зададим : , , , причем . Обозначим:

, , .

Ясно, что и зависимы тогда и только тогда, когда для некоторого и выполняется . Возьмем , . Тогда:

, .

Т.к. , то . Следовательно, и зависимы.

Имеем

, где .

Получаем:

.

Подберем параметры так, чтобы , т.е. чтобы . Положим . Тогда

.

Достаточно взять , , .

В результате получаем:

.

Таким образом, , что и требовалось.

Пример 19. Условной дисперсией случайной величины относительно подалгебры называется с.в.

.

Читателю предлагается самостоятельно доказать следующее соотношение:

.

Мартингалы и их свойства

Определение 21. Пусть -- стохастический базис, а -- адаптированная последовательность с.в. (т.е. для любых n = 0, 1, … , N с.в. измерима относительно алгебры ). Данная последовательность с.в. называется мартингалом, если для любого справедливо равенство:

 (мартингальное соотношение).

Интуитивно мартингальное соотношение следует понимать так: если значения с.в. оцениваются (усредняются) по отношению к той информации, которая доступна до момента включительно, то ничего нового не получается и мы приходим к значению с.в. в момент времени .

Еще одна трактовка мартингального свойства: мартингал - это случайный процесс, неизменяемый в смысле условного математического ожидания.

Слово мартингал пришло из французского языка: мартингал = une martingale (уздечка, вожжа). Это слово связано со следующим свойством: если с положительной вероятностью превзойдет , то обязательно с положительной вероятностью станет меньше .

Другой источник слова «мартингал»: так называли способ ведения игры одним из игроков, заключающийся в удвоении ставки при проигрыше и завершение игры при первом выигрыше.

Теорема 8. Пусть -- мартингал. Пусть -- алгебра событий, порожденная с.в. , т.е. . Тогда последовательность с.в. является мартингалом.

Доказательство. Ясно, что для любого n = 0, 1, … , N , т.к. -- какая-то алгебра, относительно которой измеримы с.в. , а -- наименьшая алгебра, по отношению к которой измеримы те же с.в. При этом последовательность адаптирована к фильтрации .

Докажем мартингальное соотношение. Имеем:

.

Пример 20. Пусть -- бернуллиевская последовательность независимых в совокупности с.в., где . Образуем новую последовательность с.в.:

Рассмотрим также естественную фильтрацию:

, .

Докажем, что последовательность -- мартингал. Имеем:

.

Таким образом, мартингальность доказана.

Пример 21. Используя обозначения предыдущего примера, доказать, что

.

Сделать самостоятельно!

Пример 22. Пусть - бернуллиевская последовательность независимых в совокупности с.в., где , . Рассмотрим следующие случайные последовательности :

а) ,

б) .

Докажем, что эти последовательности являются мартингалами относительно фильтрации , .

а) Имеем:

.

б) Производим вычисления аналогично пункту а):

.

Теорема 9. Пусть -- стохастический базис, -- некоторая с.в. и . Тогда последовательность образует мартингал (мартингальное решение задачи Дирихле). В частности, .

Доказательство. Имеем:

.

Соотношение следует из цепочки равенств:

.

Определение 22. Пусть -- стохастический базис и -- некоторая адаптированная последовательность с.в. Вероятность будем называть мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой, что употребляется значительно чаще) для заданной последовательности с.в., если -- мартингал.

Заметим, что последовательность , где -- изначально рассматриваемая вероятность, не обязана быть мартингалом.

В финансовой математике для выполнения различных расчетов чрезвычайно важно найти все мартингальные меры исходной последовательности с.в.

12. Мартингальные методы в стохастической финансовой математике

Пусть -- стохастический базис. Напомним наше предположение, что вероятность строго положительна на всех атомах алгебры , то есть . Рассмотрим -рынок на данном стохастическом базисе и обозначим через дисконтированные стоимости акций.

Определение 23. Вероятность называется мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой) данного -рынка, если при любом индексе процесс -- мартингал.

Таким образом, относительно мартингальной меры все дисконтированные стоимости акций являются мартингалами. Мартингальные меры часто называют риск-нейтральными вероятностными мерами. Совокупность всех мартингальных мер данного -рынка обозначим через . Ясно, что

Теорема 10 (первая фундаментальная теорема финансовой математики.) Для того, чтобы -рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство опускается.

Теорема 11 (вторая фундаментальная теорема финансовой математики. Для того, чтобы безарбитражный -рынок был полон, необходимо и достаточно, чтобы множество состояло из одного элемента.

Доказательство опускается.

Модель -рынка Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-рынок)

В данной модели рассматривается банковский счет и один тип акций. Банковский счет изменяется по формуле сложных процентов , где -- фиксированная процентная ставка.

Пусть -- последовательность независимых в совокупности двузначных одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения и , причем , , . Эти случайные величины могут быть определены на некотором конечном вероятностном пространстве , которое можно идентифицировать с совокупностью векторов вида , где

.

Например, элементарное событие означает, что все случайные величины приняли значение . Элементарное событие означает, что , а все остальные приняли значение . Ясно, что . Информационное дерево для данной модели - бинарное дерево - было представлено на странице 16.

В качестве выбирается , т.е. возрастающая последовательность алгебр событий, порожденная случайными величинами . Стоимости акций определяются формулой:

.

Опишем более подробно фильтрацию . Имеем:

;

.

Ясно, что

,

.

Далее:

,

где ,

, и т.д.

Очевидно, что . Ясно также, что

, , .

Рекуррентные формулы для вычисления стоимости цен банковского счета и акций.

Напомним обычный способ задания вероятности на конечном вероятностном пространстве :

, ,,,

.

В следующей теореме нам понадобится также формула бинома Ньютона:

.

Теорема 12. Если , то рынок Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-рынок) безарбитражен и полон.

Доказательство.

Пусть . Тогда

где , если , и наоборот, , если .

Сделаем некоторые выводы.

1. Если -- мартингальная мера, то для неё выполняется равенство

.

Из этого равенства по индукции следует равенство

,

а т.к. событие -- элементарное событие пространства , то определяется однозначно. Таким образом, если мартингальная мера существует, то она единственна.

2. Зададим на элементарных событиях пространства функцию формулой:

.

Проверим, что сумма этих чисел равна 1. Имеем:

.

Таким образом, определяет некоторую вероятность на , которая по ранее доказанной равносильности будет мартингальной мерой.

Из пунктов 1 и 2 следует, что мартингальная мера существует и единственна. По теореме 11 CRR-рынок безарбитражен и полон.

Замечание. Из полученной формулы, по которой вычисляется мартингальная мера , следует, что с.в. независимы в совокупности относительно вероятности .

Теорема 13. Пусть дан CRR-рынок, удовлетворяющий условиям . Тогда:

1) для любого финансового обязательства его справедливая цена определяется по формуле:

,

где -- математическое ожидание относительно мартингальной вероятности ;

2) существует единственный совершенный -хедж , полный капитал которого задается формулой

;

при этом -измеримые с.в. и определяются равенствами:

,

.

Доказательство. По теореме 12 рынок Кокса-Росса-Рубинштейна безарбитражен и полон; поэтому по теореме 6 для любого финансового обязательства и это число называется справедливой ценой финансового обязательства.

Пусть -- некоторый совершенный -хедж. Используя выражение , покажем, что последовательность образует мартингал. Действительно,

==,

что и требовалось. Отметим, что последнее равенство обосновывается самофинансируемостью рассматриваемого портфеля.

Значение мартингала в момент есть , поэтому

.

Таким образом, мы получили формулы для вычисления и одновременно показали, что этот полный капитал совершенного хеджа определяется однозначно. В частности,

.

Из следствия 1 получаем, что выполняется соотношение . Имеем:

.

Таким образом, определено однозначно.

Теперь вычисляется из условия самофинансирования .

Обычно теорему 13 применяют для вычисления справедливых цен опционов с финансовыми обязательствами вида (в частности, для опциона-call европейского типа ).

Пусть , где -- некоторая функция. Рассмотрим следующую функцию двух переменных:

.

Теорема 14. Пусть в модели CRR финансовое обязательство имеет вид . Тогда капитал совершенного хеджа определяется формулой:

,

где число определено в теореме 12 ().

В частности, справедливая цена этого финансового обязательства задаётся формулой:

.

Структура совершенного хеджа такова:

,

.

Доказательство опускается.

Теорема 15 (Кокса-Росса-Рубинштейна). Для стандартного опциона-call европейского типа с финансовым обязательством вида справедливая цена выражается формулой:

,

где , причем означает целую часть числа, , а (функция трёх переменных). При этом, если , то .

Доказательство опускается.

Пример 23. Рассмотрим одношаговую модель Кокса-Росса-Рубинштейна с параметрами: ; ; . По теореме 12, так как выполняется неравенство , данный рынок безарбитражен и полон. Согласно теореме 6 для такого рынка существует справедливая цена опциона. Следуя теореме 15, определим справедливую цену опциона-call, если , , а контрактная цена .

Найдём значения , где . Таким образом , а ;

.

Рассчитаем теперь финансовое обязательство продавца опциона:

, то есть , а .

Решим поставленную задачу двумя способами:

1. Будем действовать как в примерах 1-9, учитывая, что начальный капитал определяется формулой , и предполагая, что в начальный момент времени продавец опциона получает денежную сумму, равную цене опциона С, то есть весь капитал находится на банковском счете, и , а . Составим систему уравнений:



Получили систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим её, вычтя из второго уравнения первое:

, тогда , а .

Таким образом, справедливая цена опциона-call при заданных параметрах финансового рынка .

2. Используем теорему 15 для проведения расчётов при тех же исходных условиях:

3.

, где ; ; ;

;

; ;

;

.

Как видим, формулы теоремы 15 дают тот же результат, что и прямые вычисления. Однако в многошаговых моделях второй метод является основным, в частности, при составлении комплексов программ.

финансовый опцион контракт мартингал

Библиографический список

1. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2007. Т.4 №1. С. 18-65.

2. Красий Н.П., Павлов И.В. Модели -рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естест. науки. 2011. №1. С. 7-11.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2011.

4. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчёт производных ценных бумаг. М.: ТВП, 2007.

5. Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008. №4. С. 24-30.

6. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время // Теория вероятностей и её применения. 2014. Т.39 №1. С.23-79.

7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. М.: Фазис, 2008.

8. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2 кн. - 3-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2014.

9. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и её применения. 2014. Т.39 №1. С.5-22.

Размещено на Allbest.ru