Наиболее часто встречающимися методами количественного анализа рисков проекта, являются анализ чувствительности (уязвимости), анализ сценариев и имитационное моделирование рисков по методу Монте-Карло.

Проведение количественного анализа проектных рисков опирается на базисный вариант расчета проекта. Задача количественного анализа состоит в численном измерении влияния изменений рискованных факторов на эффективность проекта.

Анализ чувствительности (уязвимости) происходит при "последовательно-единичном" изменении каждой переменной: только одна из переменных меняет значение, на основе чего пересчитывается новое значение используемого критерия (например, критерия чистого дисконтированного дохода NPV). Затем оценивается процентное изменение критерия по сравнению с базисным случаем и рассчитывается показатель чувствительности, представляющий собой отношение процентного изменения критерия к изменению значения переменной на один процент (так называемая эластичность изменения показателя). Таким же образом исчисляются показатели чувствительности по каждой из остальных переменных.

По результатам этих расчетов происходят экспертное ранжирование переменных по степени важности (например, "очень высокая", "средняя", "невысокая") и экспертная оценка прогнозируемости (предсказуемости) значений переменных (например, "высокая", "средняя", "низкая")· Далее эксперт строит матрицу чувствительности, позволяющую выделить наименее и наиболее рискованные для проекта переменные (показатели).

Анализ чувствительности -- простейший и поэтому наиболее используемый количественный метод исследования рисков. Однако в его простоте кроются некоторые недостатки:

во-первых, этот метод является экспертным, т.е. разные группы экспертов могуг получить различные результаты;

во-вторых, в ходе анализа чувствительности не учитывается связь (корреляция) между изменяемыми переменными.

Цель анализа чувствительности -- выявить важнейшие факторы, так называемые "критические переменные", способные наиболее серьезно повлиять на проект и проверить воздействие последовательных (одиночных) изменений этих факторов на результаты проекта. В теории эксперимента анализ чувствительности называют однофакторным анализом. Результаты проведенного ранее качественного анализа рисков проекта являются базой, фундаментом при отборе факторов для количественного анализа.

Классификация факторов, варьируемых в процессе анализа чувствительности:

первая группа -- факторы, влияющие на обьем доходов (выгод) проекта;

вторая группа -- факторы, влияющие на объем проектных затрат.

Варьируемые факторы, рассматриваемые на практике:

показатели инфляции;

физический объем продаж как следствие емкости рынка, доли предприятия на рынке, потенциала роста рыночного спроса;

переменные издержки;

постоянные издержки;

требуемый объем инвестиций;

стоимость привлекаемого капитала в завиеимости от условий и источников его формирования (например, процент за кредиты).

В инвестиционном проектировании анализ чувствительности играет важную роль для учета неопределенности и выделения факторов, которые могут повлиять на успешный результат проекта. Кроме того, анализ чувствительности лежит в основе принятия ряда управленческих решений. Так, например, если цена продукта оказалась критическим фактором, то можно усилить программу маркетинга или пересмотреть затратную часть, чтобы снизить стоимость проекта. Если же проведенный количественный анализ рисков проекта выявит его высокую чувствительность к изменению объема производства, то следует уделить внимание мерам по повышению производительности, например, обучению персонала менеджменту и др.

В формировании денежного потока проекта, а следовательно, и в расчете его критериев эффективности участвуют многие факторы и позитивного (доходного), и негативного (расходного) характера с точки зрения конечной результативности проекта. В качестве примера рассмотрим некоторые из факторов, учет изменения которых необходим при проведении анализа чувствительности.

К позитивным факторам прежде всего можно отнести: задержку оплаты за поставленное сырье, материалы, комплектующие, а также период времени поставки продукции с момента получения авансового платежа при реализации продукции или услуг на условиях предоплаты. Однако задержка оплаты за сырье имеет позитивное влияние на результат только в том случае, если цена материалов и комплектующих определяется на дату поставки и соответствует текущему уровню цен. Важной является группа факторов, связанная с формированием и управлением запасами. Объектом анализа должны стать факторы, характеризующие условия формирования капитала.

Анализ точки безубыточности, широко используемый в международной практике -- простейший способ, позволяющий проводить грубую оценку риска проекта по методу чувствительности.

В качестве другого способа анализа чувствительности проекта можно использовать задачу математического программирования.

Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий возможности использования методов математического программирования для решения задачи организации бизнеса и анализа проектных рисков.

Пример. Некий бизнесмен решил создать компанию, сдающую в аренду клиентам офисное оборудование (например, факсы и ксероксы), которое он предполагает закупить. Предположим (для простоты), что каждый договор с клиентом об аренде имеет длительность два года и заключается в момент закупки оборудования компанией, т.е. в начале первого года. Проведенный компанией анализ рынка позволяет утверждать, что существует неограниченный спрос на предлагаемое в аренду оборудование по стандартной арендной плате, общая сумма которой будет выплачена в конце второго года. Чистый дисконтированный доход, полученный бизнесменом от сдачи в аренду каждого факса и каждого ксерокса, составит 400 и 500 ден. ед, соответственно. Стоимость факса 300 ден. ед., из которых часть (100 ден. ед.) выплачивается в конце первого года, а остальная сумма (200ден.ед.) -- в конце второго, ксерокс стоит 400 ден. ед., и схема выплат аналогична:

300 ден, ед, выплачиваются в конце первого года, а остальная сумма (100 ден.ед,) -- в конце второго. Бизнесмен предполагает, что доступные ему ежегодные фонды ограничены и составляют 40 000 ден. ед. (в первый год) и 30 000 ден. ед. (во второй год).

Какое количество факсов и ксероксов следует приобрести бизнесмену, чтобы максимизировать суммарный чистый дисконтированный доход проекта?

Ответ на вопрос данной задачи можно получить с помощью методов линейного программирования.

Для построения модели задачи обозначим число единиц оборудования, которое нужно приобрести:

f -- число факсов;

х -- число ксероксов.

Введем ограничения:

100 f + 300х < 40 000; (1)

200 f + 100х < 30 000. (2)

Экономический смысл построенных ограничений (1), (2) состоит в том, что ежегодные суммарные выплаты за приобретенные бизнесменом факсы и ксероксы не могут превышать размеров доступных ему ежегодных фондов. Кроме того, для реальных экономических величин должны выполняться ограничения:

f ? 0 (3)

х ? 0 (4)

Требуется максимизировать функцию

Z = 400 f + 500 х (5)

при ограничениях (1)--(4).

Известно, что в случае двух переменных решение задачи математического программирования можно провести не только аналитически (например, используя симплекс-метод), но и графически. В нашем примере интерес представляет только целочисленное решение.

Рассмотрим графический вариант решения модели сконструированной по выражениям (1)--(5).

Заменив неравенство (1) равенством, построим в декартовой системе координат соответствующую прямую 1 (рис.1). Она разделит плоскость на две полуплоскости, расположенные над и под прямой. Неравенству (1) будут удовлетворять все точки, принадлежащие нижней полуплоскости и самой прямой 1.

Аналогичным образом отразим на графике решения неравенств (2)-(4).

Допустимое множество решений задачи линейного программирования находится в заштрихованной области и на ее границах.

Функционал (5) задачи строится аналогичным образом. Из всего допустимого множества (согласно теории математического программирования) представляют интерес только точки, расположенные в вершинах заштрихованной области:

А (0; 150); В (100; 100); С (400/3; 0); О (0; 0).

Рис.1. Графический вариант решения модели (1)--(5):

1 -- в соответствии с выражением (1);

2 -- в соответствии с выражением (2).

Максимального значения, равного 90 000 ден.ед., функционал (5) достигает в вершине В, т.е. максимальный чистый дисконтированный доход, равный 90000 ден.ед., бизнесмен может получить, если приобретет 100 факсов и 100 ксероксов.

Итак, в качестве функционала нашей модели был рассмотрен некий простейший аналог критерия NРV, а в качестве значений правых частей ограничений модели использовались лимиты ресурсов проекта в денежном выражении. Неизвестными в данной задаче являлись стоимостные значения объемов проектных услуг.

На основании теории двойственности в математическом программировании можно построить задачу, двойственную данной, а полученные при ее решении так называемые двойственные переменные (объективно обусловленные оценки, теневые цены, скрытые цены, неявные цены) позволяют определить альтернативную стоимость используемых в проекте дефицитных ресурсов.

Построим задачу, двойственную нашей.

Пусть p₁ -- двойственная оценка фондов в первый год;

p₂ -- двойственная оценка фондов во второй год.

В этих обозначениях, необходимо минимизировать общие альтернативные стоимости совокупного объема фондов в целом за период проекта, т. е. минимизировать функцию

Z = (40 000 p₁+ 30 000 p₂)

при следующих ограничениях:

100p₁+ 200 p₂ ? 400;

300p₁+ 100 p₂ ? 500;

Экономический смысл ограничений состоит в том, что продажа всех ресурсов (фондов), затрачиваемых на единицу каждого вида оборудования (факса или ксерокса) по их альтернативной стоимости в сумме не может быть меньше чистого дисконтированного дохода от одного факса или ксерокса (соответственно). Кроме того, альтернативные стоимости, как реальные экономические величины, не могут иметь отрицательных значений, поэтому: p₁ ? 0; p₂ ? 0;

Уже этот простой пример наглядно демонстрирует возможности и преимущества использования методов математического программирования для принятия проектных решений.

Экономико-математическая сущность анализа чувствительности состоит в следующем:

на основе базового варианта проекта определяют ожидаемое среднее отклонение каждой переменной величины (фактора) и результаты проекта в случае отклонения одной из переменных величин от базового сценария. Предполагают, что проект более чувствителен к изменению одного из параметров базового варианта, чем другого, если отклонение первого параметра дает большее отклонение критерия NРV -- чистого дисконтированного дохода проекта (или другого критерия, выбранного для оценки) по сравнению с базовым сценарием.

Построим количественный показатель чувствительности проекта sens(у,х_i). Пусть у -- некоторый критерий эффективности проекта. Он может быть функционально выражен через параметры проекта х_i, т.е.

у = у(x₁,x₂,...,x_k-1, x_k).

В качестве показателя чувствительности проекта к изменению параметра х, рассчитаем отношение относительного приращения критерия к относительному приращению параметра:

Однако при различных (дискретных) значениях будут получаться различные значения чувствительности. Чтобы этого не происходило, будем уменьшать так, чтобы в интервале функция у (х_i) при неизменных прочих х приближалась к касательной в точке х_i , тогда

Величина sens (у, х_i) показывает, на сколько процентов изменится значение критерия у проекта при изменении параметра х_i на один процент.

Пример. Рассмотрим проект строительства нового завода по производству лазерных дисков.

Первоначально требуется вложить денежные средства в строительство завода и покупку технологии. Первоначальные затраты представляют собой фиксированное значение величины С₀ , которая инвестируется сразу в момент времени t = 0.

Предположим, что ежемесячный выпуск будет постоянным и равным N лазерных дисков в месяц при постоянной же себестоимости Y, тогда ежемесячные издержки по выпуску равны NY. Пусть ежсмесячные постоянные издержки составят F. Производство лазерных дисков нaчнется через п месяцев после начала проекта.

Денежные поступления (выгоды) от проекта будут идти только в виде выручки от продажи продукции и цена Р одного лазерного диска постоянна во времени. Длительность проекта во времени не ограничена.

Чистый дисконтированный доход (NPV) проекта можно рассчитать на основании следующего уравнения:

, где r - ставка процента

Упростив формулу, получим:

Рис.2. Чувствительность NPV к относительным изменениям параметров:

Баренс В., Хавренек П. М. Руководство по оценке эффективности инвестиций: Пер. с англ.- М.: АОЗТ «Интерэксперт», 1995. - 528 с.

Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов: Пер. с англ. / Под ред. Л.П. Белыx. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,1997.-631с.

Бланк И. А. Инвестиционрый менеджмент. - К.: МП «ИТЕМ» ЛТД,

1995.-448с.

Волков Н. Г. Учет долгосрочных инвестиций и источников их финансирования. -М.: Финансы и статистика, 1998. ;

Волков И. М., Грачева М.В. Проектный анализ. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. - 423 с.

Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. -М.: Финансы и статистика, 1996.-432с.

Ковалев В. В. Методы оценки инвестиционных проектов, - М.:

Финансы и статистика, 1998. - 144 с.

Мелкумов Я.С. Экономическая оценка эффективности инвестиций.- М.: ИКЦ «ДИС», 1997. - 160 с.

Управление инвестициями/Под ред. В.В.Шеремета. В 2-х т.- М.: Высшая школа, 1998.