Важным направлением совершенствования экономического анализа является использование статистических методов экономико - математического моделирования. С их помощью появляется возможность получения новых качественных выводов об экономических процессах и явлениях. Эффективное применение статистических методов в моделировании требует выполнения следующих условий[32, стр.54]:

1. системного подхода к изучению экономики, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятия;

2. разработка комплекса экономико - математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов;

3. совершенствования системы экономической информации о работе предприятия;

Для решения задач экономического анализа могут использоваться следующие математические методы:

1. Выборочный метод. Его необходимость вызвана тем, что во многих случаях статистические данные представляют собой лишь некоторые выборки из существующей генеральной совокупности. Его цель состоит в оценке параметров распределения по значительно меньшей выборочной совокупности, полученной, из генеральной.

2. Корреляционный и регрессионный анализ. Применяется в ситуациях, когда одна наблюдаемая переменная имеет ожидаемое значение, зависящее от значений других переменных.

3. Статистическое оценивание. Этот метод предназначен для приближенного определения неизвестных параметров распределения случайных величин по известным эмпирическим выборочным данным.

4. Факторный анализ и метод главных компонент. Применяется для решения следующих задач: выявления зависимости между объектами и между переменными путем сокращения размерности, матрицы исходных данных; обнаружения линейных зависимостей между переменными, а также между объектами; установления скрытых факторов, влияющих на наблюдаемые переменные.

5. Статистические анализ рядов динамики. Предполагает получение выводов о свойствах соответствующего стохастического процесса по данным об одой его реализации.

6. Проверка статистических гипотез. Предположение о каких либо свойствах распределения вероятностей (так называемая нулевая гипотеза) экономического показателя не может быть проверено само по себе, а только в сравнении с другой альтернативной гипотезой. Для этого и служит проверка статистических гипотез.

7. Метод распознания образов. Применяется при наличии больших массивов исходной первичной информации, характеризующей большое количество единиц наблюдения по двум и более признакам. Осуществляется с помощью ЭВМ.

8. Робастные методы. С помощью этих методов разрабатываются оценки и критерии проверки статистических гипотез.

9. Методы экспертных оценок. Применяются при моделировании количественно не измеряемых процессов и свойств, с помощью выявления этих и многомерных их шкалирований.

10. Кластерный анализ. Его цель заключается в группировке объектов анализа по некоторому небольшому числу классов, называемых кластерами.

11. Стохастический анализ социально - экономических процессов. Этот анализ основан на динамическом моделировании авторегрессий и автокорреляций с помощью стохастических дифференциальных уравнений.

Наиболее подходящим методом для решения задачи анализа влияния затрат на показатель прибыли является корреляционный и регрессионный. Корреляционный анализ позволит выявить связь между показателями затрат и прибылью предприятия, а также вычислить и проверить значимость множественных коэффициентов корреляции и детерминации. С помощью регрессионного анализа будут установлены формы связи между показателями и найдены наиболее значимые из них.

Основные положения корреляционно - регрессионного анализа

Корреляционный анализ является статистическим методом, который решает следующие задачи[27, стр.37]:

1. выявление связи между переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) корреляций, вычисление и проверка значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации;

2. отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними;

Дополнительной задачей корреляционного анализа (основная в регрессионном анализе) состоит в оценке уровней регрессии одной переменной по другой.

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n - наблюдений; xik - i-ое наблюдениеk-ой переменной. Основными средствами анализа данных являются парные коэффициенты корреляции, частные коэффициенты корреляции и множественные коэффициенты корреляции.

Парный коэффициент корреляции позволяет измерить степень тесноты статистической связи только между парой параметров без учета опосредованного или совместного влияния других исследуемых переменных. Вычисляются и оцениваются они только по результатам наблюдений пары переменных. Вычисляется парный коэффициент корреляции по формуле:

Kxy

p = ------------, (1)

бx б y

где p - парный коэффициент корреляции

Kxy - корреляционный момент исследуемых величин

бx и б y - среднеквадратические отклонения исследуемых величин

Частный коэффициент корреляции позволяет оценить степень тесноты линейной связи между двумя параметрами, очищенной от опосредованного влияния других параметров, которое присутствует в величине парной корреляции. Для его расчета необходимы данные как по подлежащей анализу паре переменных, так и по всем переменным, опосредованное влияние которых необходимо устранить. Частный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

qjk

Rjk.1,2,...,m = ------------------, (2)

vqjj qkk

гдеqjk, qjj, qkk - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы парных корреляций.

После того, как с помощью корреляционного анализа выявлены статистически значимые связи между переменными и оценка степени их тесноты, переходят ко второму этапу - математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа.

Регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает высоким коэффициентом детерминации и коэффициентом регрессии, интерпретируемыми в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе. Задача решалась в два этапа с использованием программы «СтатЭксперт» в режиме «Регрессия». На первом шаге выполнялся выбор модели с использованием режима пошаговой регрессии. Суть метода пошаговой регрессии заключается в последовательном включении переменных в уравнение регрессии. На первом шаге строится регрессия зависимой переменной от переменной, которая имеет наибольшее значение коэффициента корреляции. Для каждой переменной регрессии, за исключением тех, которые уже включены в модель, рассчитывается величина С(j), равная относительному уменьшению суммы квадратов зависимой переменной при включении фактора в модель. Эта величина интерпритируется как доля оставшейся дисперсии независимой переменной, которую объясняет i-ая переменная. Пусть на очередном шаге, i-ая переменная Хi имеет максимальное значение величины С. Если С(i) меньше заранее заданной константы, характеризующей уровень отбора (в нашем случае + 0,010), то построение модели прекращается. В противном случае i-я переменная вводится в модель.

Вспомогательными задачами регрессионного анализа являются:

1. выбор наиболее информативных аргументов Хi;

2. оценивание неизвестных значений параметров aj уравнения связи (4) и анализа его точности.

Экономико-математическое моделирование прибыли предприятия

Постановка задачи

Рассматривается работа торгового предприятия в 2009 - 2011 годах. Основным критерием оценки работы предприятия является прибыль. Для исследования были выбраны 3 фактора, которые приводятся в таблице 2.5.

Таблица 2.5

Факторы оценки работы предприятия

Корреляционно-регрессионный анализ

В таблице 2.6 приводится матрица парных корреляций всех наблюдаемых переменных.

Таблица 2.6

Матрица парных корреляций

Таблица 2.7

Корреляционная таблица

Как видно из корреляционной таблицы, прибыль коррелирует со всеми параметрами.

Для выявления наиболее значимых показателей и объединения их был произведён факторный анализ по методу главных компонент и главных факторов.

Сначала были вычислены собственные числа и собственные значения матрицы корреляций. На рисунке 2.5 приводится график распределения собственных чисел.

Рисунок 2.5 График распределения собственных чисел.

Как видно из графика, наибольшее значение имеют первые два собственных числа (3.76, 0.213). Поэтому очевидно, что имеются два основных фактора, которые включают в себя исследуемые признаки.

В таблице 2.8 приводится статистика собственных чисел. Из таблицы видно, что четыре фактора включают в себя 99% объясняемых признаков.

В таблице 2.9 приводятся общности матрицы факторных нагрузок дебиторской и кредиторской задолженности.

Таблица 2.8

Матрицы факторных нагрузок

В таблице 2.12 приводятся факторные нагрузки дебиторской и кредиторской задолженности.

Таблица 2.9

Факторные нагрузки дебиторской и кредиторской задолженности

Как видно из вышеприведённых таблиц, необходимо провести вращение матрицы факторных нагрузок в линейном гиперпространстве переменных, чтобы наиболее полно распределить признаки по факторам.
Дебиторская и кредиторская задолженность по критерию Варимакс.

В таблице 2.10 приводятся общности матрицы факторных нагрузок дебиторской и кредиторской задолженности.

Таблица 2.10

Факторные нагрузки дебиторской и кредиторской задолженности

В таблице 2.11 приводятся факторные нагрузки дебиторской и кредиторской задолженности.

Таблица 2.11

Факторные нагрузки дебиторской и кредиторской задолженности

Теперь можно сделать определённые выводы из полученных результатов анализа факторных нагрузок дебиторской и кредиторской задолженности.

Два фактора объединяют 99% признаков. Первый фактор объединяет прибыль, векселя к получению и прочих дебиторов, второй фактор объединяет покупателей и заказчиков.

Линейная двухпараметрическая модель регрессии.

В таблице 2.12 приводятся данные по построению и анализу двухпараметрической модели регрессии прибыли.

Таблица 2.12

Двухпараметрическая модель регрессии прибыли

Оценим адекватность и точность полученной модели регрессии.

Среднее остатков: -0.00075

Среднее квадратичное:777.91597

Критерий Стьюдента:0.00000

Критерий поворотных точек:2 < 2 не выполняется

Критерий Дарбина-Уотсона: 1.33655

Первый коэф. автокорреляции: 0.42721

Наибольшее значение остатка: 825.29000

Наименьшее значение остатка: -1380.39300

R/S критерий 2.83537

Средняя относительная ошибка: 10.02793 %

Проведём анализ полученных результатов.

Рисунок 2.6 Регрессионная модель зависимости прибыли

Среднее значение ряда остатков близко к нулю, это очевидно, так как для построения регрессионной модели использовался метод наименьших квадратов, предполагающий минимизацию суммы квадратов остатков.

Для проверки равенства нулю математического ожидания ряда остатков применялся критерий Стьюдента. Для доверительной вероятности 70% и количества наблюдений 8 табличное значение tтабл = 1.05. В данном случаеtнабл = 0.0000, то есть гипотеза о равенстве нулю математического ожидания распределения ряда остатков принимается.

Проверка случайности уровней остатков ряда проводится на основе критерия поворотных точек. Для количества наблюдений, равного 8, необходимо, чтобы было не меньше 2 поворотных точек. В нашем случае их 2, то есть гипотеза о случайности ряда остатков не принимается.

При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определялось отсутствие в ряде остатков систематической составляющей с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона. Для линейной модели в качестве критических возьмёмd1 = 1.08, d2 = 1.36. Так как у нас d находится в пределах от 1.08 до 1.36 то гипотезу об отсутствии автокорреляции принять нельзя и надо воспользоваться другими критериями.

Таким же образом можно проверить отсутствие автокорреляции по первому коэффициенту автокорреляции. Если количество наблюдений меньше 15, то в качестве табличного значения берём rтабл = 0.36. Так как в нашем случае|r(1)| > rтабл, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряде остатков не подтверждается.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определялось при помощи R/S критерия. Для 5% доверительной вероятности интервал для этого критерия будет 2.7 - 3.7. Как видно, в нашем случае данный критерий выполняется, то есть можно говорить о нормальности распределения ряда остатков.

Для характеристики точности модели воспользуемся средней относительной ошибкой. Если ошибка менее 10%, это говорит об удовлетворительной точности полученной модели. В данном случае это имеет место, то есть наша модель имеет удовлетворительную точность.

Из полученных выше результатов можно сделать следующие выводы. Отбор наиболее значимых факторов проведён удачно, построенная линейная двухпараметрическая регрессионная модель адекватно отражает фактические результаты и может использоваться для исследований и прогнозов.

Модели временных прогнозов

Займёмся теперь вопросом прогнозирования прибыли во временном масштабе. Для этого рассмотрим прибыль как временной ряд и построим два прогноза: по методу наименьших квадратов, выбирая линейную и кубическую модель, а также методом экспоненциального сглаживания (адаптивная модель Брауна).

Метод наименьших квадратов, линейная модель

При расчёте линейной модели МНК получен полином вида:

y = 2289.9Чt - 261.82

Рисунок 2.7 Линейная модель МНК

На рисунке 2.7 приводится график линейной модели МНК.

Оценим адекватность и точность полученной модели.

Среднее остатков: 0.02011

Среднее квадратичное:373.37593

Критерий Стьюдента:0.00015

Критерий поворотных точек: 4 > 2выполняется

Критерий Дарбина-Уотсона: 1.80524

Первый коэф. автокорреляции: 0.14484

Наибольшее значение остатка: 296.92011

Наименьшее значение остатка:-656.78000

R/S критерий 2.55426

Средняя относительная ошибка: 4.96033 %

Сделаем прогноз на один шаг вперёд по данной модели. Получаем для 1 квартала 2011 года значение 20347.

Как видно из вышеприведённых результатов, данная линейная модель тренда удовлетворяет требованиям адекватности и точности.

Метод наименьших квадратов, кубичная модель

При расчёте квадратичной модели МНК получен полином вида:

y = - 23.328Чt3 + 346Чt2 + 808.86Чt + 1359.

Рисунок 2.8 Кубическая модель МНК

На рисунке 2.8 приводится график кубической модели МНК.

Оценим адекватность и точность полученной модели.

Среднее остатков: 0.02500

Среднее квадратичное:264.72805

Критерий Стьюдента:0.00027

Критерий поворотных точек: 5 > 2выполняется

Критерий Дарбина-Уотсона: 2.99283

Первый коэф. автокорреляции: -0.46817

Наибольшее значение остатка: 423.90000

Наименьшее значение остатка:-396.50000

R/S критерий3.09903

Средняя относительная ошибка: 3.37333 %

Как видно из вышеприведённых результатов, кубическая модель МНК имеет высокую точность, однако в ряде остатков имеется автокорреляция. Кроме того, не удовлетворяется критерий Дарбина-Уотсона.

Сделаем прогноз на один шаг вперёд по данной модели. Получаем для 1 квартала 2011 года значение 19659.

ГЛАВА 3. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ДЕБИТОРСКОЙ И КРЕДИТОРСКОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТЬЮ В ООО «ВЕТ - ПРОДУКТ»

3.1 Пути и способы уменьшения дебиторской и кредиторской задолженности в ООО «Вет - продукт»