Контрольная задача 1

Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39?17.4'; 39?16.8'; 39?16.6'; 39?16.2'; 39?15.5'; 39?15.8'; 39?16.3'; 39?16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39?16'42". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.

Решение:

№ измерения	Результаты измерений, l	Погрешности ? = l-X	?2
1	39?17.4'	+0.7'	0.49
2	16.8	+0.1	0.01
3	16.6	-0.1	0.01
4	16.2	-0.5	0.25
5	15.5	-1.2	1.44
6	15.8	-0.9	0.81
7	16.3	-0.4	0.16
8	16.2	-0.5	0.25
Сумма			3.42

39?16'42" = 39?16.7'

Средняя квадратическая погрешность: m = v([?²]/n),

m = v(3.42/8) = 0.65'.

Оценка надёжности СКП: m_m = m / v2n,

m_m = 0.65 / v16=0.1625?0.16'.

Предельная погрешность: ?_пр = 3?m,

?_пр = 3?0.65' = 1.96'

Контрольная задача 2

Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

Lim[?] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.

N	W	N	W	N	W	N	W	N	W
1	+1,02	11	-1,72	21	-0,90	31	+2,80	41	-0,44
2	+0,41	12	+1,29	22	+1,22	32	-0,81	42	-0,28
3	+0,02	13	-1,81	23	-1,84	33	+1,04	43	-0,75
4	-1,88	14	-0,08	24	-0,44	34	+0,42	44	-0,80
5	-1,44	15	-0,50	25	+0,18	35	+0,68	45	-0,95
6	-0,25	16	-1,89	26	-0,08	36	+0,55	46	-0,58
7	+0,12	17	+0,72	27	-1,11	37	+0,22	47	+1,60
8	+0,22	18	+0,24	28	+2,51	38	+1,67	48	+1,85
9	-1,05	19	-0,13	29	-1,16	39	+0,11	49	+2,22
10	+0,56	20	+0,59	30	+1,65	40	+2,08	50	-2,59

Решение:

W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = v( [W²] - [W]²/n ) ? (n-1),

m = v( 76,5703 - (2,51²)/50) ? 49 = 1,249

Оценку надёжности СКП по формуле: m_m = m / v2(n-1),

m_m = 1,249/ v(2?49) = 0,13.

Предельная погрешность по формуле: ?_пр = 3?m,

?_пр = 3?1,249= 3,747.

Контрольная задача 5

Определить СКП расстояния вычисленного по формуле

S = v(x₂ - x₁)² + (y_{2 -} y₁)²

если x₂ = 6 068 740 м; y₂ = 431 295 м;

x₁ = 6 068 500 м; y₂ = 431 248 м;

m_х = m_y = 0,1 м.

Решение:

S =v(6 068 740 - 6 068 500 )² + (431 295 - 431 248)² =235,36

m_m = 0,1/ v4 = 0,05

Контрольная задача 6

Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60?41'; 60?40'; 60?40'; 60?42'; 60?41'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

Решение:

Nп/п	l, ?	?, '	v, '	v2, '
1	60?41'	1	-0,2	0,04
2	60?40'	0	+0,8	0,64
3	60?40'	0	+0,8	0,64
4	60?42'	2	-1,2	1,44
5	60?41'	1	-0,2	0,04
Сумма		4	0	2,8

l₀ - минимальное значение измеряемой величины, l₀ = 60?40' ; ? - остаток, полученный как ? = l₁ - l₀ ; L - наилучшее значение измеряемой величины,

L = [l]/n; m = v([ v²]/(n - 1), где v-уклонение от арифметического среднего. М - оценка точности среднего арифметического значения, М = m/vn.

L = 60?40' + 4/5 = 60?40,8'

m = v2,8 / 4 = 0,7'

М = 0,7'/v5 = 0,313'

Контрольная задача 7

Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,31 га.

Решение:

Nп/п	l, га	?, га	v, га	v2, га
1	26,31	0,05	-0,014	0,000196
2	26,28	0,02	+0,016	0,000256
3	26,32	0,06	-0,024	0,000576
4	26,26	0	0,036	0,001296
5	26,31	0,05	-0,014	0,000576
Сумма		0,18	0	0,0029

l₀ = 26,26

L = 26,26 + 0,18/5 = 26,296 га

m = v0,0029/ 4 = 0,0269 га

М = 0,0269/v5 = 0,01204 га

Контрольная задача 8

При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3?; 19,9?; 20,1?; 20,2?; 20,3?. Провести математическую обработку результатов измерения.

Решение:

Nп/п	l, ?	?, ?	v, ?	v2, ?
1	20,3	0,4	-0,14	0,0196
2	19,9	0	-0,26	0,0676
3	20,1	0,2	-0,06	0,0036
4	20,2	0,3	0,04	0,0024
5	20,3	0,4	0,14	0,0196
Сумма		1,3	0	0,1128

l₀ = 19,9

L = 19,9 + 1,3/5 = 20,16?

m = v0,1128/ 4 = 0,168?

М = 0,168/v5 = 0,075?

3.3 Веса измерений

Вес измерения - это отвлеченное число, обратно пропорциональное квадрату СКП результата измерения.

Формула веса:

P = К / m²,

где P - вес результата измерения,

К - произвольное постоянное число для данного ряда измерений,

m - СКП результата измерения.

Из формулы видно, что чем меньше СКП измерения, тем оно точнее и его вес больше.

Отношение весов двух измерений обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:

P₁ / P₂ = m₂² / m₁²

Если имеется ряд измерений l₁, l₂, …, l_n, то очевидно, что вес одного измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.:

P_m < P_M,

где m - погрешность одного измерения,

M - погрешность среднего арифметического значения.

Тогда отношение весов обратнопропорционально отношению квадратов СКП:

P_M/P_m = m²/M²;M = m/vn;

P_M/P_m = m²/ (m/vn) ² = m²/ (m²/n) = m²?n/m² = n.

Таким образом, вес среднего арифметического значения больше отдельно взятого значения в n раз. Следовательно, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она составлена.

Общая арифметическая середина из неравноточных измерений равна дроби, в числителе которой - сумма произведений средних арифметических значений из результатов измерений на их веса, а знаменатель - сумма всех весов измерений. Следовательно, вес общей арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений:

A₀ = (a₁P₁ + a₂P₂ + … + a_nP_n) / (P₁ + P₂ + … +P_n),

где A₀ - общая арифметическая середина,

a_i - результат отдельно взятого измерения,

P_i - вес отдельно взятого измерения.

СКП любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1, делимой на корень квадратный из веса этого результата, т.е.:

m = M/vP,

где m - СКП любого результата измерения;

M - погрешность измерения с весом 1;

P - вес данного результата измерения.

СКП измерения с весом 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которой - сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе - число неравноточных измерений.

M = v (??²P/n),

где ? - абсолютная погрешность неравноточного измерения;

P -его вес;

n - число измерений.

Контрольная задача 9

Результатам измерения углов соответствуют m₁ = 0,5; m₂ = 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

Решение:

P = К / m²;

P₁ = 1 / (0,5)² = 4;

P₁ = 1 / (0,7)² = 2,04;

P₁ = 1 / (1,0)² = 1.

Ответ: 4; 2,04; 1.

Контрольная задача 11

Найти вес невязки в сумме углов треугольника, если все углы измерены равноточно.

Решение:

m = v[V²] / (n-1), n = 3

P = К / m²

m = v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/(3 - 1) = v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2

P = К / v[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2 = 2 К / v[ V²₁ + V²₂+ V²₃] = 2/ ? V²_i

3.4 Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U₁ = k?l₁

?U₂ = k?l₂

…………..

?U_n = k?l_n

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U₁² + ?U₂² + … + ?U_n²) / n = k²?(?l₁² + ?l₂² + ... + ?l_n²) / n;

??U² / n = k²?(??l² / n);

m = v(??U² / n);

m² = k² ? m_l²,

где m_l - СКП дальномерного отсчёта.

m = k ? m_l.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Функция вида U = l₁ + l₂

Определить СКП U, где l₁ и l₂ - независимые слагаемые со случайными погрешностями ?l₁ и ?l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U = ?l₁ + ?l₂.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U₁ = ?l₁' + ?l₂' - 1-е измерение,

?U₂ = ?l₁" + ?l₂" - 2-е измерение,

…………………

?U_n = ?l₁⁽ⁿ⁾ + ?l₂⁽ⁿ⁾ - n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

??U² / n = (??l₁²)/n + 2?(??l₁??l₂)/n + (??l₂²)/n.

Так как в удвоенном произведении ?l₁ и ?l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

m_U² = m_l1² + m_l2²;

m_U = v( m_l1² + m_l2² ).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

m_l1 = m_l2 = m;

m_U = v(m² + m²) = v2m² = mv2.

В общем случае:

m_U = mvn,

где n - количество аргументов l.

Функция вида U = l₁ - l₂

m_U = mvn;

m_U = v( m_l1² + m_l2²).

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l₁ - l₂ + l₃

m_U = v( m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_n

m_U = v[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ?( l₁, l₂, …, l_n)

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (d?/dl₁)?dl₁ + (d?/dl₂)?dl₂ + … + (d?/dl_n)?dl_n,

где (d?/dl₁), (d?/dl₂), …,(d?/dl_n) - частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (d?/dl₁)²?m_l1² + (d?/dl₂)²?m_l2² + … +(d?/dl_n)²?m_ln².

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(d?/dl₁), (d?/dl₂), …,(d?/dl_n).

И тогда m_U = v[ (d?/dl₁)²? m_l1² + (d?/dl₂)²?m_l2² + … +(d?/dl_n)²?m_ln²].

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.

3.5 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах.

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения - по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

m_lср. = ? v?d²/n

где d - разности в каждой паре; n - количество разностей.

Формула Бесселя:

m_lср = ? v?d²/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

?=v? [f² /n]/N,

где - СКП одного угла;

f - невязка в полигоне;

N - количество полигонов;

n - количество углов в полигоне.

4. Определение дополнительных пунктов

4.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов

Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными, а при наличии электронных дальномеров - линейными засечками и лучевым методом.

В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на землю.

4.2 Передача координат с вершины знака на землю. (Решение примера)

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории.

Исходные данные: пункт A с координатами X_A, Y_A; пункты геодезической сети B (X_B, Y_B) и C (X_C, Y_C).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b₁ и b'₁; измерения горизонтальных углов ?₁ , ?'₁ , ?₂ , ?'₂ ; б , б'.

Требуется найти координаты точки P - X_P, Y_P.

Решение задачи разделяется на следующие этапы:

Решение числового примера

Исходные данные

Обозначе- ния	А ХА, YА	B ХB, YB	C ХC, YC	?1 ?2	?2 ?2`	?1 ?1`	б б`
Численные значения	6327,46	8961,24	5604,18	266,12	38o26'00"	70o08'54"	138o33'49"
	27351,48	25777,06	22125,76	198,38	42?26'36"	87?28'00"	71?55'02"

Вычисление расстояния D_АР

Обозначе- ния	B1 B2	sin?2 sin?`2	sin(?1+?2 ) sin(?`1+?`2)	B1 sin?2 B2 sin?`2	D1 D2	D1 -D2 2D/T	Dср
Численные значения	266,12	0,62160	0,94788	165,420	174,52	0,00	174,52
	198,38	0,67482	0,76705	133,871	174,52

Решение обратных задач

Обозначения	YB YА	ХB ХА	YC YА	ХC ХА	tg?AB ?AB	tg?AC ?AC	sin? AB sin? AC cos ?AB cos?AC	S AB S AC
Численные значения	10777,06	8961,24	7125,76	5605,08	-0,5977	7,23421	-0,51309 -0,99058 0,85833 -0,13693	3068,48
	12351,48	6327,46	12351,48	6327,46	329?07'55"	262o07'51"		5275,51

Вычисление дирекционных углов ?_{АР =} ?_D

Обозна- чения	D	sinб sinб'	S AB S AC	sin ? sin ?'	? ?'	? ?'	?AB ?AC	?D ?'D	?D-?'D om?
Численные значения	174,52	0,66179	3068,48	0,03950	2o15'50"	39o10'41"	329o07'55"	8o18'36"	??=1'30"
		0,95061	5275,51	0,03292	1o53'13"	106o11'46"	262o07'51"	8o18'37"

sin ? = D?sinб/ S _AB; sin =174,52?0,66179/3068,48=0,03950;

sin ?' = D?sinб'/ S _AС; sin `=174,52?0,95061/5275,51=0,03292;

? = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

?'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

? = 180 ^o - (б+ ?) = 180 ^o - (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

?`= 180 <sup>o</sup> - (б`+ ?` ) = 180 <sup>o</sup> - (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

?_D = ?_AB ± ? =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

?_D`= ?<sub>AC</sub> ± ?`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

Контроль:

(?_D - ?'_D) om_?;

где m_? -СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в формулах вычисления дирекционного угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ? 30``

0^o00` 01`` ? 30``

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Обозначения	?D ?D'	sin?D sin?D'	cos?D cos?D'	Dcos?D Dcos?D'	Dsin?D Dsin?'D	?Х - ?Х' ?Y - ?Y'	ХА YА	Хp = ХА+ ?Х Х'p = ХА+ ?Х' Yp = YА+ ?Y Y'p = YА+ ?Y'
Численные значения	8o18'36"	0,14453	0,98950	172,69	25,22	?=00,00 ?=00,00 ?доп=25см	6327,46	6500,15
	8o18'37"	0,14454	0,98950	172,69	25,22		12351,48	12376,70

Х_p = Х_А+ ?Х,Y_p = Y_А+ ?Y,

Х'_p = Х_А+ ?Х',Y'_p = Y_А+ ?Y'.

?Х= Dcos?_D,?Y= Dsin?_D,

?Х'= Dcos?'_D,?Y'=Dsin?'_D.

Расхождение координат не должно превышать величины om_??p, где p=206265", m_? - средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формуле:

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D?m_? / P)²

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _? - точностью угловых измерений.

Пример: m_D =2см, m_?= 5``, тогда

M_p =v [(0,02) ²+(170?5/2?10⁵)²] ? 2?10^-2 = 0,02м.

4.3 Решение прямой и обратной засечки (по варианту задания)

Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга).

Для однократной засечки необходимо иметь два твёрдых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твёрдого пункта.

Исходные данные: твердые пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

Полевые измерения: горизонтальные углы ?1, ? ₂, ?`<sub>1</sub>, ?`_2.

Определяется пункт P.

Формулы для решения задачи:

Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctg ? ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctg ? ₁+ ctg ? ₂);

Х_p= Х_А+?Х_А;

Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctg ? ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctg ? ₁+ ctg ? ₂); Y_p= Y_А+?Y_А;

Оценка точности определения пункта P.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определения:

M₁ =(m_??v(S₁²+ S₂²))/p?sin?₁;

M₂ =(m_??v(S₁²+ S₂²))/p?sin?₂;

Значения величин, входящих в приведённые формулы следующие:

m_? =5``, p=206265``; ?=73?15,9`; ?=62?55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

M₁ = (5``?v2,86+2,69)/(2?10⁵?0,958)=0,06м.

M₂ = (5``?v2,69+4,41)/(2?10⁵?0,890)=0,07м.

M_r = v (M₁² +M₂²); M_r =v [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м.

Расхождение между координатами из двух определений

r = v [( Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

r =v [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=v0,0036=0,06м.

На основании неравенства r =0,06м 3?0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

За окончательные значения координат принимают среднее из двух определений.

Решение числового примера

?1 ?2	XB XA	ctg ?1 ctg ?2 (XB- XA)ctg ?1	YB YA	? XA XP = XA+?XA	(YB-YA)ctg?1	? YA YP=YA+?YA
	XB- XA		YB-YA
		ctg ?1 + ctg ?2
52?16.7' 52?27.4'	1630.16 1380.25	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50	1453.57 2833.82	1523.39	855.88 2116.38
	+249.91		+1969.50
?'1 ?'2	XC XB	ctg ?'1 ctg ?'2 (XC- XB)ctg ?'1	YC YB	? XB XP = XA+?XA	(YC-YB)ctg?'1	? YB YP=YA+?YA
	XC- XB		YC-YB
		ctg ?'1 + ctg ?'2
69?48.5' 52?27.4'	3401.04 1630.16	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00	1203.56 2833.82	332.24	-1113.68 2116.32
	+1770.88		+903.41

2833.82 2116.35

Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота).

Необходимо иметь три твёрдых пункта, для решения задачи с контролем используют четвёртый твердый пункт.

Исходные данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

Полевые измерения: горизонтальные углы ?₁, ?₂, ?₃.

Определяемый пункт P.

Формулы для вычисления:

1.ctg?₁=а; ctg?₂=b

2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-( Х_B- Х_A);

3.k₂ =a( Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-( Х_C- Х_A);

5.k₄ =b( Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

6.c=( k₂ - k₄)/( k₁ - k₃)=ctga_AP;

7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

8.?Y=( k₂ - с k₁)/( 1 - с²);

9.?Х= с _AY;

10.Х_p = Х_А+ ?Х, Y_p = Y_А+?Y.

Решение численного примера

1	?1 ?2 a=ctg ?1 b=ctg ?2	109?48'42" 224?15'21" -0.360252 +1.026320
2	XB XC XA	5653.41 8143.61 6393.71
	X'B = XB- XA X'C = XC- XA	-740.30 1749.90
	X'C- X'B = XC- XB	2490.20
	YB YC YA	1264.09 1277.59 3624.69
	Y'B = YB- YA Y'C = YC- YA	-2360.60 -2347.16
	Y'C- Y'B = YC- YB	13.5
3	k1 k3	+1590.71 -4158.78
	k1- k3	+5749.49
	k2 k4	-2093.91 -551.14
	k2- k4	-1542.77
	c = ctg ? c2 + 1 k2-ck1 k4-ck3	-0.268332 1.072002 -1667.07 -1667.07
4	?Y YA Y ?X XA X	-1555.0 3624.65 +2069.56 +417.28 6393.71 +6810.99

Координаты из первого определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.

Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т.е. пунктом А, B, C.

Исходными данными являются: ?₁=109^o48`42``; ?<sub>3</sub>=151<sup>o</sup>26`24``; Х_d=6524,81м, Y_d=893,64м.

Контроль осуществляется следующим образом: определить

ctg?_PD =( Х_D- Х_P)/( Y_D- Y_P), ?_PD=256 ^o27`38``;

Из схемы первого решения имеем: С=ctg? _PA=-0,26833;

?_PD=105^o01`13``.

Контроль определяется пунктом P:

r=v [( Х_P - Х`<sub>P</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>P</sub> - Y`_P) ²] ? 3 M_r;

где r, как и в случае прямой засечки,

M_r=1/2?v [M₁² +M₂²]

5. Уравнивание системы ходов съемочной сети

5.1 Общее понятие о системах ходов и их уравнивании

Координаты пунктов могут быть определены положением через них теодолитных ходов, опирающихся в начале и в конце хода на пункты с известными координатами и стороны с известными дирекционными углами. При математической обработке результатов таких измерений координаты определяемых пунктов получают однозначно, а их точность зависит от точности полевых измерений, точности исходных данных и принятого метода обработки измерений.

На практике возможно появление ситуаций, когда в геодезических построениях возникает неоднозначность получения определяемых величин, например координат пунктов.

С этой точки зрения рассмотрим геодезическое построение в виде системы трех теодолитных ходов с одной узловой точкой. Практическая необходимость построения такой системы обусловлена невозможностью определения положения пунктов путем проложения через них одного теодолитного хода (например, из-за отсутствия на местности необходимых видимостей). Ограничивающим фактором может быть превышение допустимой длины одиночного теодолитного хода или нарушением каких-либо других нормативных требований.

В системе теодолитных ходов положение пунктов определено от трех исходных - В, D, F, тогда как для этой цели достаточно было двух из них, следовательно, в сети имеются избыточные измерения (избыточные в смысле их необходимого числа при бесконтрольном определении координат пунктов). Так, например, координаты любого определяемого пункта сети, могут быть получены, как минимум, дважды. В таком случае говорят о необходимости уравнения.

Способы уравнения разделяются на строгие, когда уравнение производится под условием минимума суммы произведение квадратов поправок в измерение величины, и нестрогие (раздельные), когда сначала уравниваются углы, а затем раздельно между собой приращения координат.

При выборе способа уравнения исходят, прежде всего, из необходимой точности получения координат пунктов. Если раздельное уравнение обеспечивает указанное требование, то его применение в настоящее время предпочтительно, т. к. упрощает процесс вычислений. Последний может быть выполнен как посредством традиционных средств, так и с помощью микрокалькуляторов или ЭВМ.

При раздельном уравнении системы теодолитных ходов с одной узловой точкой уравнивают сначала измеренные углы, а затем по полученным вероятнейшим значениям дирекционных углов и измеренным горизонтальным положениям линий вычисляю приращение координат, которые уравнивают отдельно, приращения по оси абсцисс и приращения по оси ординат.

Уравнивание системы проводят раздельно, т.е. вначале уравнивают горизонтальные углы, а затем - приращения координат.

Вычисление координат пунктов теодолитных ходов производят в ведомости координат, куда вписывают измеренные углы, горизонтальные проложения, координаты исходных геодезических пунктов.

5.2 Упрощенное уравнение системы теодолитных ходов по варианту задания

Вычислим координаты пунктов системы теодолитных ходов с одним узловым пунктом.

Исходные данные

Координаты и дирекционные углы

№№ пунктов	Координаты, м
	Х	У
D В F	4740,84 3687,80 3263,23	6451,27 5761,83 6767,63
Дирекционные углы линий
CD EF AB	188?58.7' 245?04.1' 80?35.4'

Вычисление дирекционного угла

Номер хода	Дирекчионный угол Узловой линии
1	99?35,9'
2	99?36,1'
3	99?36,2'

Ведомость вычисления координат

№	? измер	?	d	?Х d?cos?	?У d?sin?	?Х исп.	?У исп.	Х	У
1 ход
А
		80?35,4'
В	155?17,5'							3687,80	5761,83
		55?52,9'	200,02	112,19	165,59	112,25	165,67
2	223?43,0'							3800,05	5927,5
		99?35,9'	322,34	-53,75	317,83	-53,65	317,96
3	238?53,5'							3746,4	6245,46
		158?29,4'	508,76	-473,33	186,54	-473,18	186,74
7	113?14,0'							3273,22	6432,2
		91?43,4'	335,45	-10,09	335,30	-9,99	335,43
F	153?20,5'							3263,23	6767,63
		65?03,9'
Е
2 ход
Е
		245?04,1'
F	153?20,5'							3263,23	6767,63
		271?43,6'	335,45	10,11	-335,30	10,11	-335,38
7	113?14,0'							3273,34	6432,25
		338?29,6'	508,76	473,34	-186,52	473,33	-186,65
3	118?11,0'							3746,67	6245,6
		40?18,6'	345,76	263,66	223,68	263,66	223,6
4	226?15,0'							4010,33	6469,20
		354?03,6'	292,82	291,25	-30,30	291,25	-30,37
5	172?25,5'							4301,58	6438,83
		1?38,1'	439,44	439,26	12,54	439,26	12,44
D	172?39,5'							4740,84	6451,27
		8?58,6'
C
3 ход
С
		188?58,7'
D	187?20,5'							4740,84	6451,27
		181?38,2'	439,44	-439,26	-12,55	-439,39	-12,57
5	187?34,5'							4301,45	6438,7
		174?03,7'	292,82	-291,25	30,29	-291,34	30,28
4	133?45,0'							4010,11	6468,98
		220?18,7'	345,76	-263,65	-223,69	-263,75	-223,71
3	120?42,5'							3746,36	6245,27
		279?36,2'	322,34	53,77	-317,82	53,68	-317,83
2	223?43,0'							3800,04	5927,44
		235?53,2'	200,02	-112,18	-165,60	-112,24	-165,61
B	155?17,5'							3687,80	5761,83
		260?35,7'
A

Вычисление координат пункта

Координаты	Номер хода
	1	2	3
X3	3746,4	3746,67	3746,36
Y3	6245,46	6245,6	6245,27

Для проверки доброкачественности линейных измерений вычисляют по двум наиболее коротким ходам, например:

f X₁₊₂ = X_1,3 - X_2,3

f Y₁₊₂ = Y_1,3 - Y_2,3

f X₂₊₃ = X_2,3 - X_3,3

f Y₂₊₃ = Y_2,3 - Y_3,3

f X₁₊₂ = 3746,4 - 3746,67 = -0,27;

f Y₁₊₂ = 6245,46 - 6245,6 = -0,14;

f X₂₊₃ = 3746,67 - 3746,36 = 0,31;

f Y₂₊₃ = 6245,6 - 6245,27 = 0,33.

Затем вычисляют значения:

fS₁₊₂ = v [f² X₁₊₂ + f² Y₁₊₂]

fS₂₊₃ = v [f² X₂₊₃ + f² Y₂₊₃]

fS₁₊₂ = v [(-0,27)² + (-0,14)²] = 0,3;

fS₂₊₃ = v [(0,31)² + (0,33)²] = 0,45.

и выразив их в относительной мере:

(fS₁₊₂) / (S₁₊₂);

(fS₂₊₃) / (S₂₊₃),

сравнивают с допустимым значением относительной невязки хода (1:2000).

(fS₁₊₂) / (S₁₊₂) = 0,3 / 1366,57; 1: 4555

(fS₂₊₃) / (S₂₊₃) = 0,45 / 1922,23; 1: 4272

Обе невязки допустимы.

Среднее весовое значение X₃^ОК, Y₃^ОК координат узловой линии определяется выражениями:

X₃^ОК = (p₁ X_1,3 + p₂ X_2,3 + p₃ X_3,3) / (p₁ + p₂ + p₃),

Y₃^ОК = (p₁ Y_1,3 + p₂ Y_2,3 + p₃ Y_3,3) / (p₁ + p₂ + p₃).

P_i = K /[S]_i,

где K-любое положительное число(К=1, [S]_I-выражают в километрах.)

P₁ = 1/1,36657 = 0,73

P₂ = 1/1,92223 = 0,52

P₃ = 1/1,60038 = 0,62

X₃^ОК = (0,73?3746,4 + 0,52 ?3746,67 + 0,62?3746,36) / (0,73 + 0,52 + 0,62) = 3746,5

Y₃^ОК = (0,73?6245,46 + 0,52 ?6245,6 + 0,62?6245,27) / (0,73 + 0,52 + 0,62) = 6245,4

6. Тахеометрическая съёмка

6.1 Плановое и высотное обоснование тахеометрической съёмки

Съёмка местности при тахеометрической съёмке заключается в определении наиболее характерных точек, отображающих контуры предметов и рельеф местности. На каждую снимаемую точку ставится рейка по которой определяются полярные координаты, направление, угол наклона. Снимаемые реечные точки могут быть контурными, рельефными, контурно-рельефными. Во всех случаях каждый раз берутся отсчёты по дальномерным нитям, горизонтальному и вертикальному кругу.

При тахеометрической съёмке работа на станции выполняется в следующей последовательности:

устанавливают теодолит над точкой съёмочного обоснования и приводят его в рабочее положение, т.е. центрируют и нивелируют. Затем измеряют высоту инструмента, отмечают её на рейке и записывают в тахеометрический журнал

наводят теодолит на соседнюю точку съёмочного обоснования, средней горизонтальной нитью на отмеченную высоту инструмента и берут отсчёт по КЛ. Переводят трубу через зенит и снова при КП наводят на высоту инструмента и берут отсчёт. Вычисляют место нуля.

при КЛ совмещают нуль алидады с нулём лимба, т.е. ставят отсчёт 0-0 и закрепляют защёлкой.

наводят на точки съёмочного обоснования по которым брали вертикальные углы

открепляют защёлку и наводят на все реечные точки, берут отсчёты и отсчитывают по рейке дальномерное расстояние

составляются кроки, на которых изображаются все реечные точки, зарисовывается ситуация и показывается рельеф

Далее выполняются камеральные работы в следующей последовательности:

поверка записей в тахеометрическом журнале

вычисление горизонтальных превышений и проложений

вычисление отметок реечных точек

построение координатной сетки

нанесение по координатам точек съёмочного обоснования

нанесение реечных точек по полярным координатам

построение контуров по данным тахеометрического журнала и крок

зарисовка рельефа по высотам реечных точек и заметкам в кроках

вычерчивание контуров и рельефа по условным знакам заданного масштаба

зарамочное оформление составленного плана

Главными особенностями тахеометрической съёмки является то, что на местности измеряются углы и расстояния, рисуется рельеф, составляются кроки, план составляется в камеральных условиях.

Для построения съёмочного обоснования применялся метод полигонов (замкнутых ходов). На участке работ было закреплено 5 точек на расстоянии 100 метров. На местности точки были закреплены колышками длиной 25 см. и сторожками длиной 50 см., на которых была сделана надпись порядкового номера точки и номера бригады. Вокруг точки была сделана канавка шириной и глубиной 10 см.

Плановое обоснование.

Исходным пунктом при создании планового обоснования была точка опорной геодезической сети. По точкам съёмочного обоснования был проложен ход, с числом сторон 5. В результате измерений было установлено, что наибольшая длина сторон ходе между точками 3-4 составляет 101,8 м., а

наименьшая между точками 4-5 равна 49,6 м. Было вычислено, что средняя длина сторон в ходе 89,68 м.; наименьший угол в треугольнике это угол 4-5-1 равный 20°22'58''. Для выполнения работ были необходимы следующие инструменты и оборудование: теодолит 2Т30М, штатив, лента стальная (20 м), шпильки к ленте (5 шт), отвес, винт.

Были выполнены следующие поверки теодолита:

ось цилиндрического уровня на алидаде должна быть перпендикулярна к оси вращения инструмента

Инструмент устанавливается на штатив, прикрепляется становым винтом и плоскость лимба приблизительно приводится в горизонтальное положение. После этого поворотом алидады ставят ось уровня по направлению двух подъемных винтов и, действуя этими подъёмными винтами, выводят пузырёк уровня на середину. Потом поворачивают алидаду на 90° и третьим подъёмным винтом выводят пузырёк в нуль пункт. Затем алидаду поворачивают на 180°. Если пузырёк уровня остановился на середине (в нуль пункте), то условие перпендикулярности осей уровня и инструмента выполнено. Если условие не выполнено, то пользуясь исправительными винтами уровня, перемещают пузырёк к нуль пункту на половину его отклонения от середины.

визирная ось трубы должна быть перпендикулярна к оси вращения трубы

Угол отклонения визирной оси от перпендикуляра к оси вращения трубы называется коллимационной ошибкой. Для выявления этой ошибки крест сетки нитей трубы наводят на хорошо видимую точку, удалённую на 50-100 м. и берут по обоим верньерам отсчёты. Записывают градусы по первому верньеру, а минуты и секунды по обоим верньерам и из них подсчитывают среднее. Берут отсчёт по КП по горизонтальному кругу. Затем открепляют алидаду и, повернув трубу через зенит, снова наводят её на эту же точку и снова берут отсчёты при другом положении круга - КЛ.

Коллимационная ошибка подсчитывается по формуле:

Если С?2t (t-точность верньера), то можно считать условие выполненным.

Б. Высотное обоснование

Исходными данными высотного обоснования является отметка первой точки .

При высотном обосновании нивелирные ходы прокладываются по точкам теодолитного хода. Геометрическое нивелирование выполняется по методу "из середины". Инструмент устанавливается между нивелируемыми точками на середине. Нивелирные рейки ставятся на теодолитные точки. В случае, когда превышение между теодолитными точками нельзя определить с одной постановки инструмента, применяется сложное нивелирование, при котором разность высот определяется как сумма отдельных превышений. На данном участке нивелирная сеть состоит из 5 станций.

6.2 Нанесение съёмочных и реечных точек

Станции, с которых ведется тахеометрическая съемка, служат точки съемочного обоснования

Порядок работы на станции:

Устанавливают теодолит над точкой съемочного обоснования, центрируют, приводят в рабочее положение;

Наводят трубу на веху, устанавливаемую на точку съемочного обоснования или тахеометрического хода, и совмещают нуль лимба горизонтального круга с нулем алидады;

Определяют место нуля вертикального круга по трем точкам;

При определении пикетных точек измерения ведут при одном положении круга: для определения превышения трубу наводят на высоту прибора.

На рейке при помощи резиновой тесьмы фиксируют высоту прибора, а при использовании реек в выдвижным кольцом нуль рейки устанавливают на высоту прибора.

Съемка предметов местности и контуров угодий производится поерным способом определением по дальномеру кипрегеля расстояний от приборов до пикетов. При съемке контура рейку ставят на всех поворотах границы контура, съемку замкнутого контура необходимо закончить на той же точке, с которой начиналась съемка. Кроме высот пикетов необходимых для проведения горизонталей, следует определять отметки каменных, бетонных и земляных плотин, дам, шлюзов, мостов, углов кварталов. Реечные точки (пикеты) должны быть набраны такой густоты, чтобы расстояния между ними были не более 20 м. для масштаба 1:500. При высоте сечения рельефа менее 1 м. отметки вычисляют и выписывают с точностью до 1 см. Съемку рельефа в застроенной части города производят на планшетах после нанесения контура застройки, если он снимался другим методом.

После построения съемочного обоснования по координатам на план наносят, пользуясь способом полярных координат, реечные точки. При этом пользуются круговым транспортиром (тахеографом) или простым транспортиром и масштабной линейкой. Центр транспортира совмещают с точкой съемочного обоснования (например, вершиной I). Нулевое деление транспортира нужно совместить со стороной хода, по которой ориентирован лимб прибора в процессе съемки (например, I-II), в соответствии с записью в тахеометрическом журнале. Помня, что отсчеты на лимбе возрастают по часовой стрелке, горизонтальные углы (отсчеты по горизонтальному кругу - из соответствующей графы тахеометрического журнала) надо откладывать по часовой стрелке. Отложив с помощью транспортира отсчет по горизонтальному кругу, получаем направление на реечную точку, которое временно закрепляем на бумаге тонкой чертой мягким карандашом. На полученном направлении в масштабе плана откладывают горизонтальное расстояние (графа 9 тахеометрического журнала). Нанесенная точка отмечается условным знаком (черной точкой диаметром 0,6 мм).

6.3 Интерполирование отметок пикетов и вычерчивание горизонталей

По высотам съёмочных пикетов производиться интерполяция горизонталей «на глаз» по направлениям, указанным на абрисах стрелками и провести горизонтали через 1м по высоте. Следует иметь в виду, что интерполяцию можно производить только между пикетами соединёнными стрелками.

Если между двумя пикетами проходит несколько горизонталей, то они должны находиться на одинаковом расстоянии друг от друга.

Подписав на плане высоту уреза воды в озере как среднее арифметической из всех значений высот уреза с округлением до 0,01 м, вычертить план в соответствии с условными знаками.

6.4 Нанесение ситуации в условных знаках

Местные предметы и характерные точки контуров наносят на план, руководствуясь абрисом. Подавляющее большинство предметов и контуров при тахеометрической съемке снимались полярным способом и поэтому, по мере нанесения реечных точек на план, соответствующие точки соединяются линиями, чем и образуют границы соответствующих угодий, которые обозначаются условными знаками. Отдельные предметы или контуры могут быть сняты и другими способами (например: прямоугольных координат, угловых засечек и т.п.). Для накладки точек, снятых на местности способом координат, пользуются линейками и треугольниками, при этом соответствующие отрезки откладывают циркулем-измерителем в масштабе плана. Например, при производстве съемки был заснят правый берег и в абрисе записана ширина реки. Чтобы нанести на план левый берег, от построенного по точкам контура правого берега по перпендикулярам к нему откладывают в масштабе ширину реки в нескольких характерных местах. Последовательно соединив полученные таким образом точки, проводят линию левого берега.

Контуры, снятые угловыми засечками, наносят на план с помощью транспортира и линейки. Углы откладывают от тех же опорных линий, от которых они измерялись при съемке. Например, способом угловых засечек заснято отдельно стоящее дерево (точка а) от линии АВ.

6.5 Оформление плана тахеометрической съёмки (по варианту задания)

При составлении плана тахеометрической съёмки работу производят от «общего к частному». На чертёжной бумаге размером 30*40 см построить сетку квадратов со сторонами 10 см. Значение подписей координат сторон сетки для масштаба 1:2000 должны быть кратны 200м. Далее наносят на план главные опорные пункты, а затем точки съёмочного обоснования. После этого накладывают съёмочные ходы, затем ситуационные и орографические точки по данным полевого журнала и кроки. Точки, снятые при тахеометрической съёмке полярным способом, удобно накладывать на план, пользуясь круглым транспортиром.

Перед нанесением горизонталей необходимо, сообразуясь с зарисовками кроки, предварительно пунктирными линиями нанести скелет рельефа - его характерные и главные линии. После этого приступают к интерполированию и нанесению горизонталей.

План, составленный по результатам тахеометрической съёмки, подвергается полевой поверке.

Тахеометрическая съёмка. Ведомость вычисления координат.

№ точки	Углы, ?	Дир. углы,?	Гор. прол.	Приращения координат	Координаты
				Вычисл.	Исправл.
	Изм.	Испр.			?X	?Y	?X	?Y	X	Y
Усово
			222?36'
216	122?14,5'	122?14'							4255,70	-2009,00
			280?22'	118,25	21,3	-116,3	21,36	-116,39
1	222?59,5'	222?59'							4277,06	-2125,39
			237?23'	157,5	-84,9	-132,6	-84,83	-132,7
2	134?03'	134?02'30?							4192,23	-2258,09
			283?20'30?	127	29,3	-123,6	29,36	-123,7
225	108?15'	108?14'30?							4221,59	-2381,79
			355?06'	?402,75
226
?	пр. 287?32'
	теор. 287?30'

Ведомость вычисления высот съёмочных точек

№ точек	Расстояние S, м	Превышения	Высота точек, Н
		прямые	обратные	средние	поправки	исправл.
?216 1 2 ?225 ? S							229,66
	118,25	-2,77	2,82	-2,8	-0,02	-2,82
							210,63
	157,5	-0,74	0,77	-0,75	-0,02	-0,77
							209,86
	127	0,36	-0,34	0,35	-0,02	0,33
	402,75						226,47

Вычисление высот съёмочных пикетов

I. Вычислить последовательно углы наклона на съёмочные пикеты на каждой съёмочной точке хода по формуле:

? =Л - МО,

1. ? =359?12' - 359?50' = - 0?38'

II. Вычислить превышения на съёмочные пикеты. Если наведение средней нити производилось на точку рейки, соответствующую высоте прибора, то превышение до пикета вычисляется по формуле:

h =1/2 D' sin2?; D' = S

1. h = - 0,46

III. Вычислить высоты съёмочных пикетов и записать их в соответствующую строку тахеометрического журнала.

Нi =Hст + hi, i - номер пикета.

Ст.216 Н1=229,66+(-0,46)=229,2

Список использованной литературы

1. Маслов А.В., Гордеев А. В., Батраков Ю.Г. Геодезия . - М.:КолосС, 2006.

2. Кузнецов П. Н. Геодезия. - М.: Недра, 2003.

3. Маслов А. В., Юнусов А. Г., Горохов Г. И. Геодезические работы при землеустройстве. - М.: Недра, 1990.

4. Лысов А.В., Павлов А. П., Шиганов А. С. Геодезия. Методические указания по изучению дисциплины: Саратов, ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ им. Н. И. Вавилова». 2007.

5. Селиханович В.Г., Козлов В.П., Логинова Г.П. Практикум по геодезии. - М.: Недра, 1978.