Моделирование и определение основных свойств волны Лява

Рассмотрим среду, состоящую из однородного полупространства, перекрытого однородным слоем мощности h. Кровля этого слоя является свободной границей. Сделаем естественное предположение, что скорость распространения поперечных волн в слое V_S1 меньше скорости распространения поперечных волн V_S2 в полупространстве. Предположим, что в таких условиях проводятся сейсмические работы с использованием поперечных волн типа SН. В этом случае наряду с объемными волнами SН могут существовать родственные им поверхностные волны типа Лява. Начало декартовой системы координат поместим на дневной поверхности. Ось 0Z направим вертикально вниз, ось ОХ - по направлению распространения сейсмических волн. В соответствии с предположением о структуре сейсмических волн вектор смещения в искомой волне должен иметь вид в слое:

(1)

в полупространстве:

, (2)

где щ - круговая частота; V_L - скорость распространения искомой волны Лява. U и W компоненты вектора смещения, которые вводятся следующим образом:

и

Как было показано ранее, вектор смещения и все его компоненты должны удовлетворять волновому уравнению вида:

. (3)

Подставляя в это уравнение соответственно компоненты V₁ (х, z, t) и V₂ (х, у,t), получим, что искомые функции А (z) и В (z) должны являться решением следующих дифференциальных уравнений:

; ; (4)

Из очевидных физических соображений следует допустить, что искомая скорость распространения волн Лява должна быть заключена в интервале

. (5)

При этих предположениях в качестве решений, обеспечивающих убывание амплитуды колебаний в волне Лява в бесконечности (по оси OZ), следует взять:

; (6)

, (7)

где А₀₁, А₀₂, В₀₁ - константы интегрирования.

Граничные условия на свободной поверхности требуют обращения в нуль всех компонент нормального вектора напряжения Р_z. В силу сделанного предположения о структуре компонент вектора смещения, это условие эквивалентно следующему:

. (8)

На границе слоя и полупространства должна выполняться непрерывность компонент вектора напряжения и вектора смещения. Эти условия, как легко видеть, трансформируются в следующие два уравнения:

; (9)

. (10)

С учетом (5) компоненты смещения могут быть представлены в виде:

; (11)

, (12)

где ; .

Подставляя выражение для смещения в первом слое в граничное условие (8), получим: А₀₁ = 0. С учетом этого результата из условия (9) легко получить уравнение

. (13)

Выполнив третье краевое условие (10), получим уравнение

. (14)

Рассматривая (13) и (14) как систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных А₀₂ и B₀₁, можно сделать заключение, что нетривиальное решение этой системы будет возможно только в случае равенства нулю ее главного определителя

. (15)

Это уравнение целесообразно представить в виде:

, (16)

где ; .

Если это уравнение записать в другом виде и учесть многозначность функции arctg, то основное характеристическое уравнение (16) решаемой задачи можно представить в виде:

, (17)

где k - целое число, определяющее порядок (номер) гармоники волны Лява. Значение k = 0 соответствует первой, основной гармонике волн Лява. Полученное характеристическое уравнение является трансцендентным. Оно определяет бесчисленное множество зависимостей (V_{L (щ)) k} искомой скорости волн Лява от параметров разреза и частоты.

Найденная скорость волны Лява носит название фазовой скорости и ее величина, помимо прочего, зависит от частоты колебаний и номера гармоники k - номера корня уравнения (17). Это означает, что в изучаемом разрезе может наблюдаться целая серия гармоник волн Лява. В реальных условиях в зависимости от параметров разреза и частоты обычно могут наблюдаться две или более гармоник (рис.1).

Из уравнения (17) следует, что при неограниченном увеличении частоты (щ > ?) фазовая скорость любой гармоники волн Лява асимптотически приближается к скорости распространения поперечных волн в слое. Наоборот, при неограниченном уменьшении частоты (щ > 0) фазовые скорости всех гармоник приближаются к значению скорости распространения поперечных волн в полупространстве (рис).

Перепишем уравнение (17) в следующем виде

, (18)

Воспользуемся тем, что

(18а)

тогда подставляя (18а) в (18), получим

. (19)

Рассмотрим предельные случаи:

Когда V_L = V₁ и щ > ?, то , очевидно л > 0.

Когда V_L = V₂ и щ > ?, то л > ?.

Рис.1. Запись гармоник поверхностных волн Лява: 1 - первая гармоника; 2 - вторая гармоника

Найдя корни характеристического уравнения (17) - численную зависимость фазовой скорости от частоты для конкретной гармоники k - компоненты векторов смещения в слое и полупространстве можно рассчитать по формулам:

; (18)

. (19)

Полученные формулы описывают все кинематические и динамические особенности распространения гармоник волн Лява в рассмотренной модели среды.

Расчётная часть