Анализ антонимических отношений в подъязыке математики английского языка

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ:

1. Современный подъязык математики характеризуется высоким уровнем абстрактности, развитием символики. На задний план уходит словесная аргументация. Однако, несмотря на высокую степень формализации и абстрактности, несмотря на то, что большинство высказываний современной математики очень трудно сформулировать на общелитературном языке, подъязык математики остается неразрывно и тесно связанным с общелитературном языком.

2. С точки зрения синтаксической организации предложения стиль научной прозы характеризуется точно определенной системой союзной связи, вытекающей из строгой логически последовательной системы изложения, т.е. в стиле научной прозы находит свое наиболее яркое выражение логический синтаксис, в отличие от эмоционального синтаксиса художественной речи.

3. Особенностью научной речи в английском языке является высокая степень образности функционального стиля научной прозы, в то время как в русской научной прозе образность почти не свойственна, а также то, что в англоязычных научных текстах имеется большее количество стилистических приемов, чем научных текстах, созданных на русском языке.

4. Книжная экспрессивная, эмоционально-окрашенная лексика в англоязычной научной прозе находит свое регулярное использование там, где речь идет о накоплении и систематизации научного материала, о выделении и осмыслении его наиболее существенных сторон, объяснении тех или иных закономерностей, выяснений новых путей научного познания, т. е. всего того, что составляет основу любой научной работы, будь то статья, книга, монография и т.д.

5. Явление антонимии может наблюдаться как в логической части текста, раскрывающей результат, так и в экспрессивной части текста, раскрывающей отношение автора к данной проблеме.

3 АНТОНИМИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТЕКСТЕ

3.1 «Противоположность» с точки зрения математики

Выявление пар: дуад, бинарных отношений, оппозиций, характерно для всех направлений философии. Установка на противоречия послужила интеллектуально-эмоциональным импульсом для волн социальных и технических революций со второй половины XIX по последнюю треть XX вв. Способы понимания противоречия серьезно повлияли на культуру в целом, проявляясь, как в областях фундаментальной (принципы дополнительности, неопределенности), так и прикладной науки.

В области знания, по мнению многих мыслителей, бинарные оппозиции, дуады рассматриваются в роли системообразующих конструкций. Парные категории удобны, для поляризации материалов, выявления напряжения; дуада хорошее основание для дихотомических классификаций. Однако знание обыкновенно рассматривается областью задания оппозиций, но оппозициям, свойственным самому знанию, уделяется существенно меньше внимания.

Выявление оппозиций в любом конкретном исследовании актуально по ряду причин.

1. Оппозиции есть выражение предельного отношения между компонентами системы.

2. Оппозиции проявляют избирательный исследовательский интерес, формулируемый обычно как проблема данной работы.

3. Оппозиции есть ведущие области деформации системы, когда по какой-то паре категорий или ребер происходит нарушение распределения ресурса.

4. Оппозиции есть области важные для диагностики и идентификации объектов.

5. Оппозиции выявляют основные напряжения системы, концентрацию на парах элементов и ребер ресурсов.

6. Оппозиции ограничивают фрагмент системы, наиболее чувствительный для развития катастрофы.

7. Оппозиция есть выражение ограниченности в представлении системы.

8. К оппозиции сводится сосредоточение ресурсов системы в экстремальной ситуации, когда задачей оказывается ее выживание.

9. Оппозиция есть фрагмент системы, посредством которой она может быть эффективно включена в систему управления, когда эта внешняя система своим подключением устраняет диспропорцию, но уже в рамках новой системы, соединяющей управляющую и управляемую подсистемы.

Противоположные суждения -- так называются два суждения, имеющие одно и то же подлежащее и сказуемое, но различающиеся между собой по количеству или качеству. Если назвать A -- общеутвердительные суждения; E -- общеотрицательные; I -- частноутвердительные; O -- частноотрицательные, то можно составить квадрат, на котором все отношения противоположности будут выяснены графически.

Противные суждения (A и E) могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными; подпротивные (I и O) могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Из двух противоречивых суждений (A и O или E и I) одно непременно должно быть истинным, а другое ложным. Итак, противоречие и противность суть виды противоположности. Из рассмотрения отношений противоречия и противности выводится закон противоречия и закон исключенного третьего. Есть ещё вид противоположности, основанной на отношении контраста; в таковом отношении находятся суждения с одинаковым подлежащим и с контрастирующими сказуемыми, например, "эта стена бела" и "эта стена черна". Изложенное нами обычное учение логики, вовсе не общепризнанное. Многообразные отношения противоположности стоят все в более или менее тесной связи со значением отрицания и зависят от различия в понимании и толковании отрицания. Подобно тому, как некоторые вовсе отрицают значение закона противоречия, так другие отрицают возможность строгого различения противоречия от противности. В логике часто утверждали, -- говорит Зигварт, -- что представления несоединимы, когда они относятся как A и non A (чёрное и не чёрное) или как A и non A+В (чёрное и то не чёрное, которое бело). Первого рода противоположность называют противоречивой, вторую противной. Однако, эти правила при ближайшем изучении оказываются недостаточными. Что касается, во-первых, противоречивой противоположности (A и non А), то представление non A не имеет никакого определённого содержания. Защитники этого правила говорят обыкновенно, что все вещи, существующие в мире, могут быть поделены на те, которые суть A, и те, которые суть не A (например, чёрные и не чёрные). Но что, в таком случае, сказать, например, о добродетели, треугольнике, звуке: чёрные они или не чёрные. Это деление, очевидно, имеет смысл лишь до тех пор, пока мы говорим вообще лишь о вещах, имеющих цвет; а, в таком случае, противоположность A не есть чистое отрицание (non А), но non A, вместе с некоторым положительным признаком цвета. Таким образом, противоречивые представления сводятся к противным A и non A+B. Однако, и второго правила недостаточно. Понятие A не соединимо с понятием non A+B или потому, что это второе есть non A, или потому, что оно B. Но non A само по себе есть ничто; что же касается до B, то есть того, что, отличаясь от A, имеет и своё особое содержание, то не все, отличное от A, с ним несоединимо, напротив, многие различающиеся признаки вполне соединимы. Какие же признаки, отличные от A, с ним несоединимы, как их узнать, об этом, наше правило ничего не говорит. Узнать мы это можем, только пытаясь соединить их, общего же правила, которое заранее это указывало бы, установить нельзя. Таким образом, узнать заранее по какому-нибудь общему правилу какое понятие non A+B несоединимо с A, а какое соединимо, невозможно: это обнаруживается только на деле. В этом рассуждении, столь убедительном, по-видимому, противоречие сводится к противности, а относительно её говорится, что её можно определить только на опыте, таким образом подрывается в корне закон противоречия и даётся доступ крайнему эмпиризму.

Закомн двойномго отрицамния -- положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то верно А». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания. В формализованном языке логики высказываний закон двойного отрицания выражается формулой

и в таком виде фигурирует обычно в перечне логических аксиом формальных теорий. В традиционной содержательной математике закон двойного отрицания служит логическим основанием для проведения так называемых доказательств от противного по следующей схеме: из предположения, что суждение А данной математической теории неверно, выводится противоречие в этой теории, затем на основании непротиворечивости теории делается вывод, что неверно «не А», и тогда по закону двойного отрицания заключают, что верно А. В рамках конструктивных рассмотрений, когда действует требование алгоритмической реализуемости обоснования математических суждений, закон двойного отрицания оказывается, вообще говоря, неприемлемым.

Типичным тому примером служит всякое доказательство от противного суждения А, имеющего вид «при всяком х существует у такой, что верно В(х, у)», когда последний шаг, состоящий в применении закона двойного отрицания, оказывается невозможным из-за того, что конструктивное понимание суждения требует для его обоснования построения алгоритма, который по каждому х давал бы конструкцию у такого, что верно В(х, у). Между тем рассуждение с применением закона двойного отрицания не приводит к построению какого бы то ни было алгоритма; более того, искомого в этом случае алгоритма может вообще не существовать (см. также принцип конструктивного подбора).

Закон двойного отрицания тесно связан с законом исключённого третьего, а также с так называемым законом Пирса. В определенном смысле все три закона эквивалентны. Так, в интуиционистском исчислении высказываний, где эти законы не являются тавтологиями, каждый из этих двух законов выводим из другого, а добавление любого из них в аксиоматику сразу приводит к классической логике. При этом однако, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны.

Закон противоречия (закон непротиворечия) -- закон логики, который гласит, что два противоречащих друг другу суждения не могут быть оба истинными. Если тезис принимает истинностное значение «истина», то антитезис принимает значение «ложь».

Математическая запись:

Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика. Он является тавтологией классической логики а также большинства неклассических логик, в том числе интуиционистскую логику. Все же, существуют нетривиальные логические системы, в которых он не соблюдается, например логика Клини.

Закон исключённого третьего -- закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний -- «А» или «не А» -- одно обязательно является истинным, т.е. два противоречивых суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов современной математики.

С интуиционистской (и, в частности, конструктивистской) точки зрения, установление истинности высказывания вида «А или не А» означает установление истинности A или истинности его отрицания, . Поскольку не существует общего метода, позволяющего для каждого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключенного третьего подвергается критике со стороны представителей интуиционистского и конструктивного направлений в основаниях математики.

3.2 Категория «противоположность» в различных логических системах

Конструктивная математика -- абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах -- конструктивных объектах.

Характерной чертой конструктивных объектов является то обстоятельство, что они не существуют извечно. Они рождаются в результате развёртывания некоторых конструктивных процессов, а затем исчезают (в силу самых различных естественных причин). Алгебраическое выражение, написанное мелом на доске, находилось на этой доске не всегда -- и просуществует на ней ровно до того момента, пока его не сотрут. Таблица, сохранённая на жёстком диске персональной ЭВМ, также заведомо не существовала до момента изготовления этого диска -- и также рано или поздно будет уничтожена (или в результате переформатирования, или в результате выхода диска из строя).

В связи со сказанным, в конструктивной математике под «существованием» конструктивного объекта понимается его потенциальная осуществимость -- то есть наличие в нашем распоряжении метода, позволяющего воспроизводить этот объект любое потребное число раз. Такое понимание резко расходится с пониманием существования объекта, принятым в теоретико-множественной математике. В теории множеств факт постоянного рождения и исчезновения конструктивных объектов не находит никакого выражения: с её точки зрения, подвижные реальные объекты являются лишь «тенями» вечно существующих в некотором фантастическом мире статичных «идеальных объектов» (и только эти «идеальные объекты» и следует якобы рассматривать в математике).

Понимание существования объекта как потенциальной осуществимости приводит к тому, что логические законы, действующие в конструктивной математике, оказываются отличными от классических. В частности, теряет универсальную применимость закон исключённого третьего. Действительно, формула при конструктивном понимании выражает суждение

«среди формул A и потенциально осуществима верная»,

однако классический вывод дизъюнкции не даёт никакого способа построить её верный член. Аналогичным образом, логическое опровержение предположения, что любой конструктивный объект рассматриваемого вида обладает некоторым свойством T -- считающееся в теоретико-множественной математике достаточным основанием признать «существующим» объект со свойством , -- не может само по себе служить поводом для признания объекта со свойством потенциально осуществимым. Следует заметить, однако, что за такого рода логическими опровержениями всё же признаётся определённая эвристическая ценность (так как они, хотя и не дают никакого способа построения искомого объекта, всё же указывают на осмысленность попыток такого построения). Конструктивные объекты, для которых удалось в рамках классической логики доказать их «существование», принято называть квазиосуществимыми.

Различие между понятиями потенциально осуществимого и квазиосуществимого конструктивного объекта становится особенно существенным при рассмотрении общих утверждений о существовании. Действительно, суждение

«для любого конструктивного объекта X рассматриваемого вида потенциально осуществим конструктивный объект Y, находящийся в отношении T к объекту X»

означает наличие в нашем распоряжении единого общего метода (алгоритма) переработки объекта X в отвечающий ему объект Y. Поэтому такое суждение может быть заведомо неверным даже в случае верности суждения

«для любого конструктивного объекта X рассматриваемого вида квазиосуществим конструктивный объект Y, находящийся в отношении T к объекту X».

Конкретные математические теории, развиваемые в рамках представлений конструктивной математики, обладают рядом существенных отличий от соответствующих теоретико-множественных теорий.

Например, основное понятие математического анализа -- понятие вещественного числа -- вводится в традиционном варианте теории на базе общего представления о множестве. Для конструктивной математики, требующей, чтобы рассмотрение ограничивалось конструктивными объектами, такой способ определения понятия вещественного числа неприемлем. В ней под вещественными числами обычно понимают записи алгоритмов , перерабатывающих любое натуральное число в некоторое рациональное число, и удовлетворяющих условию

Такие записи представляют собой конструктивные объекты и допускаются к рассмотрению в конструктивной математике. Как обычно, два вещественных числа и считаются равными, если выполняется условие

Следует отметить, что проблема распознавания равенства двух произвольных вещественных чисел является алгоритмически неразрешимой, а потому при конструктивном понимании математических суждений утверждение

«любые два вещественных числа или равны, или не равны»

оказывается ложным. Соответственно, теоретико-множественное представление об атомарности континуума (его составленности из чётко отделённых друг от друга точек) не переносится в конструктивную математику.

Многие утверждения теоретико-множественного анализа в конструктивном анализе опровергаются на примерах. Таковы, в частности, теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности и лемма Гейне-Бореля о выборе покрытия. Ряд других утверждений теоретико-множественного анализа могут быть перенесены в конструктивную математику лишь при условии понимания «существования» искомого объекта как квазиосуществимости (а не потенциальной осуществимости). Таковы теорема о представлении вещественных чисел систематическими дробями и теорема о нуле знакопеременной непрерывной функции.

С другой стороны, в конструктивном анализе доказывается ряд утверждений, не имеющих теоретико-множественных аналогов. Одним из наиболее ярких примеров здесь является теорема Г. С. Цейтина о непрерывности любого отображения из сепарабельного метрического пространства в метрическое пространство. Из этой теоремы следует, в частности, что любое отображение метрических пространств является непрерывным по Гейне. Следует заметить, что известны примеры отображений из несепарабельных пространств, которые не являются непрерывными по Коши. Таким образом, в конструктивной математике может быть опровергнуто на примерах утверждение об эквивалентности непрерывности отображения по Коши и по Гейне, доказываемое в классическом анализе на основе привлечения сильных теоретико-множественных средств (в частности, аксиомы выбора).

Интуиционимзм -- система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида может и не быть истинным, если проблема А не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Теоремы и принципы	Теоретико-множественная математика	Интуиционистская математика	Конструктивная математика
Закон исключённого третьего	Да	Нет	Нет
Закон двойного отрицания	Да	Нет	Нет
Принцип Маркова	Да	Нет	Да
Абстракция актуальной бесконечности	Да	Частично	Нет
Тезис Чёрча	Да	Нет	Да

3.3 Построение противоположных высказываний к высказываниям с составным логическим смыслом

Объектами изучения логики являются ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ: понятие, суждение и умозаключение.

ПОНЯТИЕ - это мысль, в которой обобщаются отличительные свойства предметов. Т.к. язык является формой выражения мысли, то в языке термину "понятие" соответствует "слово". Но человек не мыслит отдельными понятиями. Выражая свои мысли, он составляет слова в предложения. Предложение в языке есть суждение в мыслях.

СУЖДЕНИЕ (высказывание) - есть мысль (выраженная в форме повествовательного предложения), в которой нечто утверждается о предмете действительности, которая объективно является либо истинной, либо ложной. Правда, истинность суждения относительна (приведите примеры). Говорят, что суждение может иметь одно из двух значений истинности: "истина" или "ложь". СУЖДЕНИЕ ИСТИННО (имеет значение истинности - истина), ЕСЛИ ОНО СООТВЕТСТВУЕТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ. Критерий истинности - практика (утверждал В.И.Ленин). К числу суждений не относятся мысли, не имеющие значения истинности. Таким мыслям в языке соответствуют вопросительные и побудительные предложения. Является ли суждением фраза: "Иванов сдаст экзамен на отлично"? Да, ведь это не вопросительное и не побудительное предложение. Но значение истинности его не определено, пока не пройдет экзамен.

Суждение, значение истинности которого не однозначно, называется ГИПОТЕЗОЙ. Отношение к гипотезе среди ученых тоже было неоднозначным. Например Исаак Ньютон утверждал: "Hypotheses non fingo" - "Гипотез не измышляю". М.В.Ломоносов же, напротив, писал, что гипотезы "дозволены в философских предметах и даже представляют собой единственный путь, которым величайшие люди дошли до открытия самых важных истин. Это - нечто вроде порыва, который делает их способными достигнуть знаний, до каких никогда не доходят умы низменных и пресмыкающихся во прахе..." Правда, была и оговорка: "Я не признаю никакого измышления и никакой гипотезы, какой бы вероятной она ни казалась, без точных доказательств".

Суждения (высказывания), как и предложения в нашем языке, бывают простыми и сложными. Простые суждения неразложимы. Сложные суждения образуются из простых при помощи ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (операций). Рассмотрим некоторые из этих функций.

В обыденной речи мы часто пользуемся словом "НЕ", или словами "НЕВЕРНО, ЧТО", когда хотим что-то отрицать. Пусть, например, кто-то сказал: "Тоска зеленая." (Обозначим это высказывание А). Если Вы не согласны, Вы скажете:" Тоска НЕ зеленая." Или:" Неверно, что тоска зеленая." (Ваше высказывание обозначим В). Нетрудно заметить, что значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот. Функция, с помощью которой из высказывания А получается высказывание В, называется ОТРИЦАНИЕМ и само высказывание В называется ОТРИЦАНИЕМ ВЫСКАЗЫВАНИЯ А и обозначается А. Мы получили определение:

Отрицанием ? А некоторого высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

Отрицание высказывания А обозначим А. Определение отрицания может быть записано с помощью так называемой таблицы истинности:

А	?А
И	Л
Л	И

В ней указано, какие значения истинности (Истина, Ложь) принимает отрицание А в зависимости от значений истинности исходного высказывания А.

Если два высказывания соединены союзом И, то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным. Например, возьмем два высказывания:

"У кота есть хвост" (А) "У зайца есть хвост" (В)

Сложное высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В. Но если взять другие высказывания:

"У кота длинный хвост" (С) "У зайца длинный хвост" (D)

то сложное высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" будет ложным, т.к. ложно высказывание (D). Таким образом, исходя из обычного смысла союза И, приходим к определению соответствующей логической функции - КОНЪЮНКЦИИ:

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Конъюнкцию высказываний А и В мы обозначим: A & B. Знак & - амперсент -- читается как английское "and". Часто встречается обозначение А /\ В. Иногда, для краткости, пишут просто АВ.

Определение конъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности, в которой для каждого из четырех возможных наборов значений исходных высказываний А и В задается соответствующее значение конъюнкции А & В:

А	В	А&B
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Определение конъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число составляющих: конъюнкция А₁ & A₂ & A₃ &...& A_N истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания А₁, A₂, A₃, ...A_N (а, следовательно, ложна, когда ложно хотя бы одно из этих высказываний).

Если два высказывания соединены союзом ИЛИ, то полученное сложное высказывание обычно считается истинным, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из составляющих высказываний. Например, возьмем два высказывания:

"Мел черный." (А) "Доска черная." (В)

Высказывание "Мел черный или доска черная" будет истинным, т.к. одно из исходных высказываний (В) истинно. Получаем определение функции ДИЗЪЮНКЦИИ:

Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний.

Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим символом А V В и будем читать: А или В. Определение дизъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности:

А	В	АVB
И И Л Л	И Л И Л	И И И Л

Определение дизъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число составляющих: дизъюнкция А₁ V А₂ V А₃ V...V А_N истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А₁, А₂, А₃, ..., А_N (а следовательно, ложна, когда ложны все эти высказывания).

Как Вы думаете, в каком случае два простых высказывания можно считать эквивалентными (равносильными). Чисто интуитивно можно догадаться, что высказывания эквивалентны, когда их значения истинности одинаковы. Например, эквивалентны высказывания: "железо тяжелое" и "пух легкий", так же как и высказывания: "железо легкое" и "пух тяжелый". Обозначим эквиваленцию символом <=> и запись "А <=> В" будем читать "А эквивалентно В", или "А равносильно В", или "А, если и только если В". Запишем определение:

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Отметим, что высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А" (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ <=>). Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции. Запишем таблицу истинности для эквиваленции:

А	В	А<=>В
И И Л Л	И Л И Л	И Л Л И

Попробуем записывать сложные высказывания схематически с помощью обозначения логических связок:

1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (Шекспир) А V ?A <=> В

2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют БУЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ СУЖДЕНИЙ (F(A,B)). Рассмотрим примеры построения таблиц истинности для сложных суждений.

1. А <=> А (закон "отрицания отрицания": Отрицание отрицания суждения тождественно самому суждению.)

А	?А	??А	??A<=>A
И	Л	И	И
Л	И	Л	И

Если значение истинности булевой функции всегда истина, то эта функция выражает ЗАКОН.

2. ((А => В) & ? В) => ?A (доказательство "от противного": Если А влечет В, но В не верно, то не верно и А.)

A	B	A=>B	?B	(A=>B)&?B	?A	((A=>B)&?B)=>?A
И И Л Л	И Л И Л	И Л И И	Л И Л И	Л Л Л И	Л Л И И	И И И И

Вы знаете, что ТЕОРЕМА - это предложение, истинность которого доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем. Теоремы часто формулируются в виде импликаций. Импликативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать). Если импликация А => В выражает некоторую теорему, то основание импликации А выражает условие, а следствие В - заключение теоремы. Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную. Рассмотрим примеры:

1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру А V В => C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".

2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А - "четырехугольник - трапеция"; В - "его средняя линия параллельна основаниям"; С - "(его средняя линия) равна полусумме оснований".

Часто в формулировках теорем используется выражение "необходимо и достаточно" (ПРИЗНАК). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую НЕОБХОДИМОСТЬ признака, другая выражает теорему, доказывающую ДОСТАТОЧНОСТЬ признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

"Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой", может быть сформулирован и так: "Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой":

А <=> В или А => B & B =>A.

Для преобразования суждений важны следующие законы:

1) ??А <=> A закон двойного отрицания;

2) ?(A&B) <=> ?A V ?B законы де Моргана;

3) ?(AVB) <=> ?A & ?B

4) A => B <=> ?A V B замена импликации.

Для построения высказываний о всеобщности и о существовании вводятся операции связывания кванторами (или "навешивания кванторов").

Выражение "для всех Х" ("для любого Х") называется КВАНТОРОМ ВСЕОБЩНОСТИ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует точно одно Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ и обозначается символом: ?! Х.

Пример: Высказывание (суждение) "Ты любишь потому, что ты любишь. Не существует причин, чтобы любить." (Экзюпери) можно записать в виде:

А => А. ??В.

где A - "ты любишь", В - "причины любви".

Исчисление предикатов расширяет язык исчисления высказываний так, что мир оказывается, состоящим из объектов, отношений и свойств.

Логику предикатов можно рассматривать как компоненту естественного языка, имеющую в соответствии со сложностью синтаксических правил иерархическую структуру, которую образуют предикаты первого порядка, второго и так далее. Для логики предикатов определено множество значений и на его основе определены слова как последовательности знаков. Функцией языка предикатов является задание слов двух типов:

1. Слова, задающие сущности изучаемого мира.

2. Слова, задающие атрибуты / свойства этих сущностей, а также их поведение и отношения.

Первый тип слов называется термами, второй - предикатами.

Некие сущности и переменные определяются упорядоченными последовательностями конечной длины из букв и символов, исключая зарезервированные. Константы и переменные определяют отдельные объекты рассматриваемого мира. Последовательность из n констант или переменных (1 n < ), заключенная в круглые скобки, следующие за символом функции, имя которой задано некоторой конечной последовательностью букв, называется функцией.

Например, функция f(x, y) принимает некоторые значения, которые определяются значениями констант и переменных (аргументов функции), содержащимися под знаком функции. Эти значения, так же как и аргументы, являются некоторыми сущностями рассматриваемого мира. Поэтому все они объединяются общим названием терм (константы, переменные, функции).

Атомарным предикатом (атомом) называется последовательность из n (1 n <) термов, заключенных в круглые скобки, следующие за предикатным символом, имя которого выражается конечной последовательностью букв. Предикат принимает одно из двух значений true или false в соответствии со значениями, входящих в него термов.

Предикат Нераспространенное простое предложение

Из атомов с помощью, выполняющих функции союзов, символов составляются логические формулы, соответствующие сложным предложениям. В логике предикатов используются два класса символов. Первый класс соответствует союзам и включает операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.

Символы первого класса позволяют определять новый составной предикат, используя уже определенные предикаты. Различие между символами первого класса лежит в правилах, в соответствии с которыми определяются значения истинности или ложности составного предиката в зависимости от истинности или ложности элементарных предикатов. Символы и , вообще говоря избыточны так, как:

но используются т.к. эквивалентен фразе «Если А, то В», а - «А и В эквивалентны».

В качестве символов второго класса используются и . Эти символы называются кванторами общности и существования, соответственно. Переменная, которая квантифицирована, т.е. к ней применен один из кванторов , называется связанной. Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования - обобщением, аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное множество.

Действительно, пусть Тогда для любого предиката U выполняется:

Аналогом законов Де Моргана для кванторов являются:

Таким образом, чтобы найти отрицание выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый квантор заменить на его двойственный и перенести знак отрицания за кванторы. Отсюда:

Функция, двойственная к данной, есть функция, в которой взяты отрицания от всех операций и от всех операндов, и обозначается .

Пример:

.

Общезначимое равенство между функциями влечёт общезначимое равенство между двойственными функциями. Из этого следует, что принцип двойственности вдвое сокращает время доказательства теорем: вместе с каждой теоремой мы автоматически доказываем двойственную ей.

3.4 Специфика антонимии в математическом тексте

В связи с информацией двух предыдущих подразделов, антонимов в математическом тексте гораздо меньше, чем в художественном тексте и их основная функция - это построение отрицания. Причем выражение отрицания проявляется не только на уровне слов, но и на уровне предложений и даже целых абзацев. Например, антонимы на уровне слов: рациональный - иррациональный, алгебраический - трансцендентный, и т.д. Антонимы, на уровне предложений: Функция f(x), определенная на множествеE, называется ограниченной, если существует число M, что для любого x из E справедливо . - Функция f(x), определенная на множествеE, называется неограниченной, если для любого положительного числа M, существует x из E такой, что . Антонимы на уровне абзацев обычно представляют собой прямую и противоположную теоремы. Прямая и противоположная теоремы, хоть и являются антонимичными, но они абсолютно равносильны между собой, поэтому в данном случае, исходя из смысла теорем, имеет смысл говорить о синонимии антонимов.

При анализе словарей [44-53] были произведены следующие выводы:

1. В английском и русском языках присутствует больше всего антонимов образованных с помощью частицы “не” (“non”) для прилагательных и существительных, для глаголов частицы “не” и “not”.

2. Больше всего антонимов наблюдается среди прилагательных (в русском и английском языках) и существительных, выступающих в роли определения (в английском языке).

3. Антонимичные пары глаголов одинаковы для всех рассмотренных отраслей математики. Наиболее часто из них употребляются является-не является, принадлежит - не принадлежит, входит - не входит, существует - не существует. Особенностью пары принадлежит - не принадлежит, является тот факт, что она представлена не в виде слов, а специальными математическими знаками ( соответственно).

4. Наиболее часто встречающаяся антонимичная пара прилагательных: любой - единственный специфична только для математических текстов. В художественных текстах и речи антонимом любой является никакой. Пара любой - единственный всегда представлена неявно и обозначается с помощью кванторов всеобщности () и существования ().

В математическом тексте присутствуют как градуальные (отрицательный - неположительный - неотрицательный - положительный), так и бинарные антонимы (непрерывный - разрывный, константа - переменная).

В математическом тексте сильно проявлены контекстуальные антонимы. Разберем на примерах. Антоним простой (когда речь идет о натуральных числах) - составной, но антонимами пара простой-составной может являться только, когда речь идет о натуральных числах больше 1, в противном случае антонимом к простому является составной или 1 т.е. сразу два случая и только в процессе исследования выясняется, какой случай подходит. Приведем еще один пример. Когда речь идет о евклидовой плоскости, то две различные прямые могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. В проективной плоскости понятия параллельной прямой нет, и так как любые две прямые пересекаются, то и нет смысла употреблять слово пересекающиеся. В случае если не известно являются ли прямые различными, то возникает еще один случай - совпадающиеся прямые.

Еще одной особенностью антонимов в математическом тексте, является синонимия антонимов. Например, возьмем две пары антонимов: открытый - неоткрытый, замкнутый - незамкнутый. Слова незамкнутый и неоткрытый по своему значению обозначают одно и тоже, поэтому являются синонимами. И получается следующая шкала: открытый - неоткрытый (незамкнутый) - замкнутый. А пару неоткрытый - незамкнутый можно рассматривать как конверсив.

Следующей особенность антонимии является тот факт, что в математических текстах распространен эффект, подобный антонимам многозначных слов, но имеющий совсем другую структуру. Например, антонимами компактный выступают неограниченный и незамкнутый. Компактный означает замкнутый и ограниченный. Если множество незамкнутое или неограниченное, то оно не является компактом. В этом проявляется отличие от многозначных слов: слово выражает все свои значения одновременно. Аналогично слову компактный, следующие слова так же имеют несколько антонимов: устойчивое, липшицева, изоморфный, гомеоморфный, эквивалентность и др.

Антонимия предложений, абзацев и слов, со составным логическим смыслом, подчиняется простым законам логики.

Как уже упоминалось выше, единственная функция антонимов в математическом тексте - это построение отрицания высказываний и суждений. Необходимость в этом возникает в следующих случаях:

1. Построение контр-примеров. Если у автора есть гипотеза, которую довольно сложно доказать можно построить отрицание этой гипотезы и найти пример удовлетворяющий отрицанию. Перечислим самые известные примеры построенные таким образом: множество лебеговой меры нуль, обладающей мощностью континуума (множество Кантора); непрерывная функция нигде не дифференцируемая (функция Неймана); всюду разрывная функция Дирехле.

2. Доказательство противоположной теоремы вместо простой.

3. Доказательство теоремы от противного. Примеры можно найти в любом учебнике школьной математики, математического анализа и алгебры.

4. Доказательство рассмотрения всевозможных случаев. В данном случае используются градуальные антонимы. Примеры можно найти в геометрии. Простейший пример теорема Пика.

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

1. Антонимы в логической части математического текста выступают только как средство выражения категории “противоположность”. Согласно закону исключения третьего, большинство антонимов являются бинарными.

2. Все антонимы являются ситуационными, существование противоположности зависит не только от рассматриваемой конкретной теории или задачи, но и от вида логики используемой в данном контексте.

3. Большинство антонимов выражают отрицание, которое строится в соответствие законов де Моргана.

4. С лексической точки зрения большинство антонимов -- прилагательные. Наиболее часто при образовании антонимов используется частица не или приставка не- (not и non-).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования англоязычного математического текста можно сделать вывод что, антонимия наблюдается, как среди математических терминов, так и среди общелитературной лексики. Для антонимии в математической лексике характерны следующие черты:

1. наиболее часто антонимия наблюдается среди прилагательных, и, как правило, антонимы в данном случае образуются с помощью приставок a-, anti-, non-, dis-, il-, im-, in-, un-, ir- и суффиксов -less, и иногда -ful;

2. для глаголов образование антонимов наблюдается только с помощью частицы not или приставки non-, разнокорневых антонимов среди глаголов нет;

3. среди существительных антонимов практически не наблюдается;

4. антонимы в математической лексике выражают противоположность, и, ввиду того, что обычно в математике используется классическая логика, использующая закон исключения третьего, антонимы выражают не просто противоположность, а отрицание, хотя при этом антонимы являются неинформативными;

5. как правило, антонимы среди прилагательных имеют сложное логическое строение, их семантика выражается с помощью конъюнкции, а противоположное высказывание -- раскрывается с помощью дизъюнкции; поэтому для прилагательных характерно существование нескольких несинонимичных антонимов;

6. для большинства математических антонимов характерно существование эквиваленций в их семантике (иногда в целом, иногда при рассмотрении конкретных математических структур), поэтому для их отрицаний так же характерна эквивалентность, хотя эквивалентность проявляется на уровне математической теории, а не на уровне семантики слова;

7. для некоторых антонимичных пар характерна контекстуальность: в одном контексте (в определенной математической структуре) слово может иметь антоним, а в другом контексте (в другой математической структуре) слово уже не обладает антонимом; иногда проверка существования антонима требует математического исследования;

8. при использовании неклассической логики (т.е. в конструктивной и интуиционистской математике) многие антонимичные пары теряют свои эквиваленции, либо приобретают новые.

Таким образом для антонимов в подъязыке математики характерны особенности, присущие только подъязыку математики.

Анализируя литературу по исследованию антонимов, можно видеть, что данные особенности не изучались вовсе, хотя они имеют значение для

· процесса автоматизации доказательства и верификации теорем, как на уровне двустороннего перевода с естественного языка на формальный язык математической логики, так и на уровне двустороннего перевода на формализированный язык программы;

· построения баз данных математических знаний;

· автоматизации поиска непротиворечивости и полноты аксиоматики математической теории и т.д.

· Просматривая труды конференций в области искусственного интеллекта, можно заметить возрастающий интерес к вышеперечисленным проблемам, и в ближайшем будущем следует ожидать работ по данной тематике.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Bibliography of Antonymy (English Sources)// http://www.f.waseda.jp/vicky/complexica/biblio.html (май 2008)

2 Bibliography of Antonymy Sources written in languages other than English// http://www.f.waseda.jp/vicky/complexica/nonEnglish.html (май 2008)

3 Степанова Л.А. Изучение экономического сознания методом семантического дифференциала/ Л.А. Степанова,-- Социологические исследования. 1992. № 8. С. 50--63.

4 Математика в социологии: моделирование и обработка информации. М.: Мир, 1977.--500с.

5 Осгуд Ч., Приложение методики семантического дифференциала к исследованиям по эстетике и смежным проблемам/Ч. Осгуд, Дж. Суси, П. Танненбаум // Семиотика и искусствометрия. М.: Мир, 1972.

6 Osgood, C.E., Suci, G., & Tannenbaum, P. (1957) The measurement of meaning. Urbana, IL: University of Illinois Press

7 Волохонский В.Л., Влияние пространственно-временных эффектов на результаты семантического дифференциала / Сборник лучших работ выпускников факультета психологии СПбГУ 2002 года. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. - С. 4-10.

8 Петренко В.Ф., Психосемантика сознания/ В.Ф. Петренко,-- М.: МГУ, 1987. 207 с.

9 Комиссаров В.Н., Слово о переводе/ В.Н. Комиссаров,-- М. 1973-211с.

10 Микушевич В., Вопросы теории художественного перевода/ В. Микушевич,-- М., 1970.--428с.

11 K. Vershinin, A. Paskevich., ForTheL -- the Language of Formal Theories// II Information Theories and Applications. - 2000. - V. 7-3. - P. 121-127.

12 A. Degtyarev, A. Lyaletski, M. Morokhovets, Evidence Algorithm and Sequent Logical Inference Search // Lecture Notes in Artificial Intelligence. - 1999. - V. 1705. - P. 44-61.

13 A. Degtyarev, A. Lyaletski, M. Morokhovets. On the EA-Style Integrated Processing of Self-Contained Mathematical Texts // Symbolic Computation and Automated Reasoning (Proc. of CALCULEMUS-2000 Symposium). - A.K. Peters, Ltd., USA - 2001. - P.126-141.

14 K. Verchinine, A. Degtyarev, A. Lyaletski, A. Paskevich. SAD, a System for Automated Deduction: a Current State // Proceedings of the Workshop on 35 Years of Automating Mathematics. - Edinburgh, Great Britain. - 2002. - 12p.

15 Z. Aselderov, K. Verchinine, A. Degtyarev, A. Lyaletski, A. Paskevich, A.Pavlov. Linguistic Tools and Deductive Technique of the System for Automated Deduction // Proceedings of the 3rd International Workshop on the Implementation of Logics. - Tbilisi, Georgia. - 2002. - P. 21-24.

16 Асельдеров З.М., Особенности обработки математических текстов в Системе Автоматизированной Дедукции (САД)/ З.М. Асельдеров, К.П. Вершинин, А.И. Дегтярев, А.И. Лялецкий, А.Ю. Паскевич// Искусственный Интеллект. - 2002. - Т. 4 (труды Третьей Международной Конференции «Искусственный Интеллект»). - С. 164-171.

17 Фролова И.Т., Философский словарь/И.Т. Фролова,-- М. Политиздат, 1991. --371с.

18 Кондаков Н.И., Логический словарь справочник/Н.И. Кондаков,-- М. Наука, 1975. 486с.

19 Ярцева В.Н., Лингвистический энциклопедический словарь/В.Н. Ярцева,-- М. Советская энциклопедия, 1995. 576с.

20 Львов М.Р., Словарь антонимов русского языка/М.Р. Львов,-- М. Рус.язык, 1984. - 896с.

21 Гегель Г.Ф.К., Наука о логике/ Г.Ф.К. Гегель,-- М. Наука, 1971.-Т.2, 642с.

22 Булаховский Л.А. Введение в языкознание/Л.А. Булаховский,--М. Политиздат, 1953.-Ч.2, 458с.

23 Миллер Е.Н. Межчастеречная антонимия // Филологические науки. 1981, №7.

24 Иванова В.А., Антонимия в системе языка/В.А. Иванова,-- Кишинев, 1982.

25 Новикова Л. А. Семантика русского языка/Л.А. Новикова,-- М.,1982.

26 Комиссаров В.Н. Словарь антонимов современного английского языка/ В.Н. Комиссаров,-- М. Изд - во “Международные отношения”, 1964. --538с.

27 Арнольд И.В., Стилистика. Современный английский язык: Учебник для вузов. - 5-е изд., испр. и доп./И.В. Арнольд, - М.: Флинта: Наука, 2002.

28 Новикова Л.А. Антонимия в русском языке: семантический анализ противоположностей в лексике/Л.А. Новиков,- М., 1973.

29 Шубина О.И. Условия актуализации антонимических отношений.// Систематические взаимодействия языковых единиц. Л., 1985. -324с.

30 Мантуров О.В., Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей/ О.В. Мантуров. -- М.: Просвещение, 1965. - 539с.

31 Александров П.С., Англо-русский и русско-английский словари математических терминов/ под ред. П.С. Александрова -- М.: Мир, 1994. -- 414с.

32 Глушко М.М., Учебный словарь-минимум для студентов-математиков/ англо-русский словарь./ М.М. Глушко - М.: МГУ, 1976.- 151с.

33 Клековская И.Ф., Поурочный французко-русский словарь по математике: учеб. Пособие/И.Ф. Клековская, А.С. Захарова,- М.: МГПИ, 1972.-33с.

34 Тер-Микасянц З.Т., Частотный словарь математической лексики/ на базе русского языка/З.Т. Тер-Микасянц - Ереван. гос. ун-т, 1973.-68с.

35 Мансуров М.П., Математический частотный словарь немецкого языка/ М.П. Мансуров - Свердловск. гос. пед. ин-т, 1971.-55с.

36 Гальперин И.Р., Очерки по стилистике английского языка/ И.Р. Гальперин.-- М. Издательство литературы на иностранных языках, 1958.--448с.

37 Сосинский А.Б., Как написать математическую статью по-английски/ Сосинский А.Б. -- М.: Факториал-пресс, 2000. -- 112с.

38 Webster's Third New International Dictionary, Webster 3. 1961.

39 Арнольд И. В. Стилистика: Современный английский язык. М., 2002.

40 Глушко М.М., Функциональный стиль общественного языка и методы его исследования/М.М. Глушко -- М., 1974. -252с.

41 Реформатский А.А. Введение в языкознание/ А.А. Реформатский -- М., 1955.-- 300с.

42 Гореликова С.Н. Природа термина и некоторые особенности терминообразования в английском языке // Вестник ОГУ. 2002. №6. С. 42-55.

43 Wiener N. Cybernetics of Control and Communication in the Animal and the Machine. N. Y. - Ldn., 1961--346p.

44 A. J. Lohwater's Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences. - Second Edition, Revised and Expanded. Edited by R. P. Boas. - American Mathematical Society. Providence, Rhode Island.

45 Th. H. Sidebotham, The A to Z of Mathematics. A Basic Guide., New Zeland, Wiley-Interscience, 2002. - 483 pp.

46 Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. Kiyosi Ito, Vol. 1, The MIT Press, Cambridge, 1993. - 2171pp.

47 Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. Kiyosi Ito, Vol. 2, The MIT Press, Cambridge, 1993. - 2171pp.

48 Большой энциклопедический словарь. - М.: Большая российская энциклопедия, 1998.

49 Кушнир А., Математическая энциклопедия. -- М.: ООО «Астарта»,

50 Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.1./ Под ред. Сабинина Л.В.. - М.: Просвещение, 1978.

51 Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.2./ Под ред. Сабинина Л.В.. - М.: Просвещение, 1982.

52 Математический энциклопедический словарь / Прохоров Ю.В. - М.,1988.

53 Математическая энциклопедия /Виноградов И.М., т.5 - М.: Советская энциклопедия, 1985.