Первые два члена уравнения (10) характеризуют тепловые потоки входных и выходных продуктов, определяемые из уравнений:

где Фшх, Фд, Фшт, Фшл, Фо.г. - потоки шихты, дутья, штейна, шлака и отходящих газов; , - теплоемкости входных потоков; , - теплоемкости выходных потоков, причем остается постоянным в рабочем диапазоне изменения состава и температур, а теплоемкость штейна зависит от содержания меди в нем и рассчитывается: - потери тепла с потоками компонентов отходящих газов; - плотность i-го компонента отходящих газов; ai и bi - параметры температурной зависимости теплоемкости (удельной энтальпии) i-го компонента газа, численные значения которых определены А.Д. Васкевичем /9/; Qисп - теплота, расходуемая на испарение поступающей с шихтой влаги ; - удельная теплоемкость испарения влаги; - теплота диссоциации высших сульфидов; , - удельная теплота диссоциации высших сульфидов, определяемая по экспериментальным данным.

Третий член уравнения (10) характеризует тепловыделение или потери тепла при химических реакциях, определяемые из уравнений:

где q3, q4, q5, q6, q7, q8 - удельные теплоты химических реакций (1) - (6).

Последний член уравнения (10) характеризует тепловой поток, уносимый системой охлаждения. Причем коэффициент теплоотдачи () можно оценить по формуле, полученной по экспериментальным данным /10/:

где q - удельный тепловой поток от ванны, зависящий от температуры Т, Вт/м2.

Предложенная математическая модель НЗ ППВ по сравнению с существующими моделями расчета статических режимов отражает динамику протекания физико-химических и теплотехнических явлений НЗ агрегата и в отличии от /9/ позволяет посредством включения в систему реакций (5), (6) учесть к тому же динамику взаимодействия продуктов (штейна, шлака), образующихся в процессе плавки и оценить поток магнетита, восстанавливаемого диссоциированной серой. Это позволит учитывать изменение величины тепловыделения и, следовательно, структуры теплового баланса в условиях равновесия в системе штейн - шлак - газовая фаза.

2.3.3 Описание гидродинамической модели

В процессе Ванюкова высокие скорости сжигания горючих компонентов исходных материалов и формирование металлсодержащей, шлаковой и газообразной фаз конечных составов обеспечиваются интенсивным барботажем шлаковой ванны с образованием развитых межфазных поверхностей: газ - жидкость, твердое - жидкость, жидкость -жидкость. Выделение целевого металлсодержащего продукта с максимальным извлечением в него ценных компонентов связано с полнотой последующего разделения эмульсии жидкость--жидкость на две самостоятельные фазы с минимальной поверхностью раздела. Достижение желаемой полноты отделения одной жидкости от другой осуществляется путем изменения режима перемешивания ванны расплава с турбулентного (в фурменной зоне печи) на ламинарное (в подфурменной зоне) и создания условий для протекания процессов отстаивания /12/. Универсальность процесса Ванюкова дает основание рассматривать гидродинамическое моделирование ванны расплава в рабочем объеме печи как одно из направлений в совершенствовании существующих и создании новых технологий.

Гидродинамическое моделирование ванны расплава печи Ванюкова (ПВ) включает последовательно связанные модели фурменной и подфурменной зон.

Гидродинамическая модель фурменной зоны /2/. Создание гидродина-мической модели фурменной зоны печи Ванюкова в первую очередь связано с определением поверхности контакта формирующихся фаз и условного времени пребывания капель металлсодержащей фазы в фурменной зоне печи, которые обуславливают скорости межфазных физико-химических превращений в интенсивно барботируемом объеме ванны расплава.

Общая поверхность контакта конденсированных фаз (FK) в дисперсной системе представляет собой сумму поверхностей всех капель (частиц) металлсодержащей дисперсной фазы, находящейся одновременно в контакте со сплошной шлаковой фазой в рабочем объеме печи. Удельная поверхность контакта фаз (f) представляет собой поверхность контакта, отнесенную к единице объема эмульсии:

где S - горизонтальная площадь сечения печи, -- высота слоя эмульсии в печи.

Выразив FK через объемную долю и размер капель дисперсной фазы эмульсии, получим выражение для расчета удельной поверхности контакта фаз в виде

где - объемная доля дисперсной фазы в печи, r - характерный размер капель дисперсной фазы эмульсии.

Условное время пребывания капель металлсодержащей фазы в фурменной зоне печи ( ) определяется по формуле

где - суммарный объем капель металлсодержащей фазы в эмульсии, равный

а - поток металлсодержащей фазы, приходящий в фурменную зону (выход от плавления).

Важнейшей задачей исследования гидродинамики процессов фурменной зоны печи Ванюкова является также определение скорости стесненного осаждения дисперсной металлсодержащей фазы и ее объемной доли в эмульсии.

В литературе имеется вывод уравнения непрерывности для расслаивания эмульсии с прямоточным и противоточным движением фаз /7/. Рассмотрим вывод этого уравнения применительно к процессу плавки медных материалов на штейн в ПВ.

Из барботируемой зоны печи медный штейн выходит двумя потоками: осаждение штейна в виде крупных капель в подфурменную зону (поток ) и вынос части штейновых капель, не успевших скоалесцировать, вместе со шлаком (поток ). Величины этих потоков можно определить по следующим формулам.

Осаждение крупных капель гидродинамически устойчивого размера происходит со скоростью стесненного осаждения дисперсной штейновой фазы в эмульсии ():

где - объемная доля штейна в эмульсии, S -- площадь сечения печи в плоскости фурм.

Обозначим исходные потоки штейна и шлака (выходы от плавления в единицу времени) как соответственно. Так как уровень расплава в печи поддерживается постоянным, то совместный поток массы расплава из фурменной в подфурменную зону печи () равен

При этом вынос медного штейна с массой расплава () находится по выражению

Дифференциальное уравнение материального баланса потоков медного штейна в фурменной зоне печи имеет вид

где - объем штейна в фурменной зоне печи. Учитывая, что объемная доля штейна равна

где V-- объем фурменной зоны печи, разделим обе части уравнения (18) на V и подставим в него значения из (15) и (17). В результате получим дифференциальное уравнение вида

Для стационарного режима плавки (= 0) получим уравнение



Преобразуем уравнение (20) относительно следующим образом:

Знак минус перед квадратным корнем выбирается из условия < 1.

Уравнение (21) неразрешимо относительно без определения величины , в наибольшей степени зависящей от той же объемной доли дисперсной фазы эмульсии. Поэтому возможно совместное решение уравнения (21) с уравнением вида = f() /7,13/. Для последнего предполагаются различные формулы, исходя из экспериментальных и теоретических данных по стесненному осаждению капель в эмульсии. Для эмульсий с объемной долей дисперсной фазы менее 30% выражение для расчета скорости стесненного осаждения имеет вид /14/:

где и - скорости стесненного и свободного осаждения капель дисперсной фазы.

Для объемных содержаний дисперсной фазы более 30% предлагается формула /14/:

Скорость свободного осаждения капли штейна в шлаке подчиняется закону Стокса:

где - радиус устойчивой капли штейна, - плотности штейна и шлака, -динамическая вязкость шлака.

Для расчета величины , определяющей скорость расслаивания жидких продуктов плавки в фурменной зоне ПВ, необходимо также знать тип образующейся эмульсии и характерный размер капель дисперсной фазы в ней. Расчет этих характеристик дисперсных систем связан с оценкой интенсивности перемешивания расплава. Количественной мерой интенсивности перемешивания расплава служит мощность, расходуемая на преодоление сил вязкости. Методика подобных расчетов для процесса Ванюкова подробно рассмотрена в работе /15/.

Определяющим фактором в формировании среднего состава дисперсной фазы являются процессы турбулентного дробления и коалесценции, которые приводят к усреднению размера капель штейна эмульсии в фурменной зоне печи. За счет протекания этих процессов достигается высокая скорость всех физико-химических превращений и взаимодействий и в конечном итоге - высокая производительность плавки в целом. По данным /15/, 98% капель успевают скоалисцировать в единицу времени в фурменной зоне печи и только около 2% остаются в виде не укрупнившейся взвеси. Эти количественные данные получены в предположении об очень низкой частоте эффективных соударений при коалесценции (К=10-4) и позволили рассматривать эмульсию штейна в шлаке как близкую к монодисперсной. Размер капель штейна в этом случае равен максимально гидродинамически устойчивому при данных мощности перемешивания, вязкости сплошной шлаковой фазы и температуре.

Таким образом, для расчета объемного содержания медного штейна в фурменной зоне ПВ можно использовать выражение (21), определяя скорость стесненного осаждения для максимально устойчивых капель штейна в эмульсии.

Для количественной оценки величины устойчивого размера капли дисперсной фазы в эмульсии при больших значениях удельной мощности перемешивания обоснованно применение зависимости /15/

где - радиус устойчивой капли, - динамическая вязкость эмульсии, - плотность среды, ? - удельная мощность перемешивания.

При этом учитывалось, что вязкость и плотность в уравнении (15) зависят от вязкости, плотности и объемных долей дисперсной и сплошной фаз. Выражение для плотности штейно-шлаковой эмульсии при плавке на штейн имеет вид

С учетом того, что вязкость шлака значительно выше вязкости штейна, для эмульсии штейна в шлаке вязкость определялась из соотношения

Из приведенных зависимостей видно, что на строение и поведение дисперсной системы наибольшее влияние оказывают структурно-чувствительные свойства компонентов штейно-шлаковой эмульсии. К числу наиболее важных свойств, с точки зрения гидродинамики ванны расплава, относятся плотности и вязкости шлака и штейна, а также их зависимости от состава и температуры.

Зависимость плотности шлака от ее состава и температуры приведена в работе /16/ и хорошо согласуется с экспериментальными данными. Плотность шлака (т/м3) при температуре в рабочей зоне печи до 1400оС рассчитывается по формуле

где

Здесь содержания компонентов даны в % (по массе).

Псевдобинарная система Cu2S-FeS является наиболее близкой к составам медных штейнов. Пересчет экспериментальных данных /17/ на составы штейнов по содержанию в них меди и железа позволил получить аналитическую зависимость плотности штейна от состава его по меди и железу при Т=1200оС:

При составлении математического описания процесса плавки сульфидных медных концентратов в печи Ванюкова исходили из следующих положений:

- выделение тепла от окисления сульфидов, а также формирование фаз конечного состава происходят только в фурменной зоне печи;

- гидродинамические условия фурменной зоны печи отвечают аппарату идеального перемешивания.

Расчеты по математическому описанию поведения дисперсной фазы в фурменной зоне ПВ основываются на материальном балансе процесса плавки для различных составов штейнов и шлаков, расходов дутья и степени его обогащения кислородом, количеств дополнительного топлива на плавку, производительности печи по шихте и температуры.

Температура процесса рассчитывается из теплового баланса ПВ, который в общем виде можно представить следующим уравнением:

где , , - тепло от окисления серы, FeS и сгорания природного газа; , , - соответственно тепло продуктов плавки (штейна, шлака и отходящих газов), тепло, уносимое водой кессонов, и неучтенные потери тепла.

Искомая температура входит в величину : решая уравнение (31) относительно Т, можно найти температуру в рабочей зоне печи.

Данные, полученные из материального баланса, позволяют рассчитать физические свойства штейна, шлака и штейно-шлаковой эмульсии по уравнениям (26), (27), (28)-(30). Исходя из физических свойств компонентов эмульсии, дутьевых параметров, обогащения дутья кислородом и производительности печи по шихте, можно вычислить удельную мощность перемешивания ванны расплава газом (по уравнению, приведенному в /15/) и гидродинамически стабильный размер капли диспергированной штейновой фазы по зависимости (13). Совместным решением методом итераций уравнений (23)-(25) вместе со значением объемной доли штейна в эмульсии получим величины скоростей свободного и стесненного осаждения капель дисперсной фазы.

Поведение дисперсной фазы в подфурменной зоне /2/. Считая состояние эмульсии в зоне интенсивного барботажа как исходное, представляется интересным проследить поведение дисперсной фазы по мере движения расплава вниз от уровня фурм. Подфурменная зона ПВ является относительно спокойной в гидродинамическом отношении. В ней происходит разделение штейна и шлака. Рассмотрим влияние температуры на содержание штейновой фазы в эмульсии по мере опускания расплава ниже уровня фурм.

Совместный часовой поток шлака и штейна из фурменной зоны печи в подфурменную составляет

где Фэм, Фшт и Фшл -- потоки эмульсии, штейна и шлака соответственно.

Среднее время пребывания расплава в подфурменной зоне будет равно

где Vп.з - объем подфурменной зоны.

Весовые выходы продуктов плавки (Вшт, Вшл) в течении 1 часа рассчитываются по формулам

Искомая температура в подфурменной зоне печи Т п.з на определенном уровне (глубине h) от плоскости фурм находится из уравнения

где - потери тепла в подфурменной зоне (как функции глубины подфурменной зоны h), определяемые экспериментально.

Падение температуры в подфурменной зоне печи определяется как

где Тф.з - температура в фурменной зоне печи.

Далее с учетом температуры Тп.з рассчитываются физические свойства шлака, штейна, эмульсии, скорости стесненного и свободного осаждения и объемная доля штейна в эмульсии.

Модель расслаивания эмульсии в подфурменной зоне позволяет определить необходимую глубину зоны отделения штейна от шлака в зависимости от изменения технологических параметров процесса плавки. Критерием в оценке глубины зоны отделения может служить формальное равенство скорости стесненного осаждения капель дисперсной фазы (Uд) потоку ее от плавления (Фшт), отнесенному к площади горизонтального сечения зоны отделения штейна от шлака (Sотд). При этом условии по величине температуры Тп.з рассчитывается глубина зоны отделения штейна от шлака (h) из зависимости

где qп.з - удельные потери тепла в подфурменной зоне, Р - периметр зоны отделения штейна от шлака (подфурменной зоны печи).

Математическое моделирование процесса Ванюкова для плавки сульфидного сырья на штейн после некоторой корректировки применимо и для описания процесса непрерывного конвертирования медных штейнов на черновую медь.

2.3.4 Разработка замкнутой динамической модели

Полученные в работе /1/ результаты позволяют моделировать процессы в надфурменной зоне ППВ, описывающие кинетику химических реакций с учетом входных и выходных потоков исходных веществ и продуктов реакций. Однако эти соотношения не учитывают гидродинамическую обстановку в зоне, а также не позволяют описать процессы разделения фаз в подфурменной зоне.

В исследованиях /2/, напротив, хорошо описывается гидродинамика в фурменной и подфурменной зонах, однако не приводятся соотношения, описывающие кинетику протекающих реакций. Кроме того, модель /2/ не описывает процесс в динамике. При этом полученные в /2/ результаты позволили авторам не только находить оптимальные режимы в уже существующих печах ПВ, но прогнозировать режимы новых технологий. В частности, разработанная гидродинамическая модель фурменной зоны ПВ была использована при моделировании процесса конвертирования медных штейнов в печах ПВ /18/.

С учетом отмеченных достоинств и недостатком моделей /1/ и /2/ предлагается объединить основные уравнения этих двух работ, дополнив их уравнениями для согласования моделей.

Поскольку поток серы на реакцию (5) - Ф(5)S является массовым расходом серы и для сохранения размерности в уравнениях (7), (8) и (9) перепишем их в следующем виде:

В уравнении материального баланса по штейну необходимо учесть, что из барботируемой зоны печи медный штейн выходит двумя потоками: осаждение штейна в виде крупных капель в подфурменную зону (поток ) и вынос части штейновых капель, не успевших скоалесцировать, вместе со шлаком (поток ). Величины этих потоков можно определить по формулам (15) и (17), тогда уравнение по расчету количества штейна в фурменной зоне можно рассчитать по формуле:

Тепловой баланс НЗ описывается дифференциальным уравнением, определяющим изменение количества тепла реакционной зоны как разность приходящего и уходящего потоков тепла, и описывается уравнением (10) без изменения. Все остальные уравнения моделей /1/ и /2/ также остаются без изменения.

2.4 Выбор и описание метода оптимизации

Применение современных информационных технологий и компьютерной техники позволило широко использовать методы оптимизации и адаптации при создании и эксплуатации автоматизированных систем управления технологическими процессами на предприятиях различных отраслей экономики.

Для правильной постановки оптимизационной задачи необходимо выполнение следующих условий: требование оптимизации только одной величины; наличие степеней свободы у оптимизируемого объекта -управляющих воздействий; возможность количественной оценки оптимизируемой величины. А для решения оптимизационных задач необходимы математические методы целенаправленного поиска таких управляющих воздействий, которые бы обеспечивали достижения поставленной цели оптимизации.

Решение любой задачи оптимизации начинается с выявления цели оптимизации, т.е. формулировки требований, предъявляемых к объекту оптимизации. От того, насколько правильно выражены эти требования, может зависеть возможность решения задачи.

Для решения задач оптимизации нужно располагать ресурсами оптимизации, под которыми понимают свободу выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Другими словами, объект оптимизации должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями, которые позволяют изменять его состояние в соответствии с теми или иными требованиями.

Наконец, еще одно условие правильной постановки оптимальной задачи заключается в наличии количественной оценки интересующего качества объекта оптимизации. Это условие также необходимо, поскольку лишь при его выполнении можно сравнить эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий. Количественная оценка оптимизируемого качества объекта обычно называется критерием оптимальности или целевой функцией, функцией качества, экономическим критерием и т.д. Вид критерия оптимальности определяется конкретным содержанием решаемой задачи оптимизации и может оказывать существенное влияние на выбор метода решения. В конечном итоге достигаемое значение критерия оптимальности дает количественную оценку эффекта оптимизации.

При решении конкретной задачи оптимизации цели необходимо выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисление (количество обращении метода к математической модели). К настоящему времени разработано достаточно большое количество методов, позволяющих «автоматизировать» процесс поиска оптимальных решений. Рассмотрев наиболее известные методы, которые чаще всего используются в практике разработки систем оптимального управления технологическими процессами, симплексный метод выбран как наиболее эффективный.

Попыткой избежать необходимости вычисления производных для определения направления наискорейшего продвижения к оптимуму и в то же время сохранить возможность достаточно быстрого движения к нему является алгоритм симплексного метода.

Основная идея этого метода заключается в том, что по известным значениям целевой функции в вершинах выпуклого многогранника, называемого симплексом, находится направление, в котором требуется сделать следующий шаг, чтобы получить наибольшее уменьшение (увеличение) критерия оптимальности. При этом под симплексом в n-мерном пространстве понимается многогранник, имеющий ровно п+1 вершин, каждая из которых определяется пересечением п гиперплоскостей данного пространства. Примером симплекса в двухмерном пространстве, т. е. на плоскости, является треугольник (рисунок 4, а). В трехмерном пространстве симплексом будет любая четырехгранная пирамида, имеющая четыре вершины, каждая из которых образована пересечением трех плоскостей -- граней пирамиды. (рисунок 4, б).

Рис. 4. Примеры симплексов на плоскости (а) и в пространстве (б)

Отметим одно свойство симплекса: против любой из вершин симплекса Sj расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего расположением новой вершины Sj, тогда как остальные вершины обоих симплексов совпадают. Вершина Sj нового симплекса, вообще говоря, может находиться и по другую сторону грани от вершины Sj. Именно это свойство симплекса и обусловило возможность его применения при решении оптимальных задач, в которых требуется отыскать экстремальные точки целевых функций.

Рассмотрим наглядную иллюстрацию алгоритма симплексного метода на примере задачи отыскания наименьшего значения целевой функции двух независимых переменных с линиями постоянного уровня, изображенными на рисунке 24.

Прежде всего производится расчет значений целевой функции в трех точках S10, S20 и S30, соответствующих вершинам симплекса (треугольника). Из найденных значений целевой функции выбирается наибольшее. В представленном на рисунке 5 случае наибольшее значение целевой функции получается в точке S10.

Рис. 5. Поиск оптимума симплексным методом

Далее строится новый симплекс, для чего вершина S10 исходного симплекса заменяется вершиной S11, расположенной симметрично вершине S10 относительно центра грани симплекса, находящейся против вершины S10. Для варианта, изображенного на рисунке 5, построение нового симплекса осуществляется определением центра А стороны треугольника S20 S30, после чего на продолжении прямой, проведенной через вершину S10 и точку А, откладывается отрезок АS11=АS10. Пунктирная стрелка, соединяющая прежнюю вершину с новой, показывает путь преобразования симплекса.

В новой вершине S11 вычисляется значение целевой функции, которое сравнивается с известными значениями для других вершин нового симплекса (S20 и S30), и снова находится вершина S30 с наибольшим значением целевой функции, подлежащая исключению при построении следующего симплекса S11S20 S31 и т. д.

В результате применения рассмотренной процедуры исключения вершин симплексов с наибольшим значением целевой функции процесс сходится к минимальному значению. На рисунке 24 видно, что вблизи от оптимума может возникнуть зацикливание, которое для рассматриваемого случая двух переменных сводится к тому, что вновь полученная вершина S35 последнего симплекса S13S22S35 исключается и образуется предыдущий симплекс S13S22S34. Для того чтобы устранить зацикливание, достаточно изменить размеры симплекса в сторону его уменьшения, что соответствует уменьшению шага спуска в районе оптимума, использующемуся и в градиентных методах. Наиболее просто это можно сделать, если вдоль прямой S34ВS35 от точки В отложить отрезок, равный половине отрезка S34В, в результате чего во вновь полученном деформированном симплексе S13S22S'35 исключению уже будет подлежать вершина S13. Если зацикливание возникнет снова, размеры симплекса опять уменьшатся, пока не будет достигнута требуемая точность определения оптимума.

Критерием окончания поиска могут служить размеры симплекса. Поиск можно прекратить, например, если все ребра симплекса станут меньше заданной достаточно малой величины.

Таким образом, алгоритм симплексного метода допускает автоматическое изменение величины шага, при использовании которого вдали от оптимума возможно применение симплексов большого размера, что обеспечивает более быстрый спуск.

Случаи зацикливания могут встретиться и в задачах более высокой размерности. Если на очередном шаге исключению подлежит вновь полученная вершина, то это и служит сигналом о возникновении зацикливания. В этом случае размеры симплекса изменяются и поиск продолжается до обнаружения нового зацикливания.

Рассмотрим порядок построения нового симплекса для задач произвольной размерности п. Пусть вершинам Si(i=1, ..., п + 1) исходного симплекса отвечают координаты:

i=1,…,n+1.

Предположим, что наибольшее значение целевой функции соответствует вершине Sj. Определим координаты вершин нового симплекса.

Согласно правилу построения вершины нового симплекса, вершина располагается в точке, симметричной вершине Sj относительно центра грани, находящейся против вершины Sj. Координаты центра этой грани могут быть определены по формуле:

где суммирование ведется только по тем векторам , которые отвечают вершинам образующим грань.

Вектор и, характеризующий расстояние от вершимы до центра противолежащей грани, в данном случае будет:

Для того чтобы найти координаты вершины нового симплекса, следует воспользоваться выражением

подставляя в которое значение из формулы (9,2), в окончательном виде получим формулу

,

определяющую координаты вершины нового симплекса.

Если в процессе применения симплексного метода возникает зацикливание, то для уменьшения размеров симплекса вместо формулы (9,4) можно пользоваться выражением

,

которое после подстановки в него значения из формулы (9,2) может быть представлено в виде:

.

В качестве начального симплекса при применении симплексного метода поиска лучше всего использовать правильный симплекс со всеми вершинами и гранями, соответственно одинаково удаленными от центра симплекса. Для таких начальных симплексов поиск производится наиболее эффективно. Примерами правильных симплексов на плоскости и в трехмерном пространстве являются соответственно равносторонний треугольник и тетраэдр, образованный равносторонними треугольниками.

Доказано, что при применении правильных симплексов направление движения в симплексном методе совпадает с направлением градиента, если, естественно, симплекс достаточно мал. Вместе с тем, реализация данного метода не требует существенного увеличения вычислительных затрат с повышением размерности решаемой задачи, поскольку на каждом шаге рассчитывается только одно значение целевой функции независимо от числа переменных. В то же время при использовании градиентных методов поиска с возрастанием числа независимых переменных соответственно увеличивается число вычисляемых значений целевой функции при расчете производных по всем переменным.

2.5 Постановка задачи оптимального управления процессом

Основной задачей оптимизации является расчет такого режима ведения процесса, который доставлял бы выбранной функции цели экстремальное значение (минимум или максимум). При этом необходимо обеспечить соблюдение некоторых технологических ограничений, которые позволяют вести процесс в устойчивом и безаварийном режиме.

Математическая модель (39-42) процесса в ПВ позволяет рассчитать потери меди с отвальным шлаком в зависимости от производительности, химических и физических свойств исходной шихты, расхода дутья, содержания в нем кислорода, поддержания манометрического режима и т.д.. Поэтому содержательная постановка задачи оптимизации может быть сформулирована следующим образом: «Для заданного состава шихты рассчитать такие значения расхода дутья, содержания в нем кислорода и расхода шихты, которые обеспечили бы минимальные потери меди с отвальным шлаком, при соблюдении технологических ограничений на: расход шихты, температуру в печи, расхода дутья, содержание кислорода в дутье».

Потери меди с отвальным шлаком определяются количеством штейновых капель, не успевших скоалесцировать, вместе со шлаком - поток .

Постановка задачи оптимального управления в таком виде позволит, во-первых, управлять процессом оптимальным образом (минимизацией содержания меди в отвальном шлаке и во-вторых, вести процесс в устойчивом и безаварийном режиме (посредством соблюдения технологических ограничений).

Наличие математической модели (39-42), выбранного метода поиска и заводских требований соблюдения технологических ограничений позволяют сформулировать математическую постановку задачу оптимизации в виде

Fц = р min

При этом поток определяется с помощью математической модели (39-42), для заданных химических и физических свойств шихты. Однако выбранный алгоритма поиска экстремума симплексным методом не позволяет осуществлять поиск при наличии ограничений. Для использования этого метода необходимо преобразовать функцию цели (1) и ограничения (2) к виду

Fц*= Fц+ Fштраф

где Fц* - новая (преобразованная функция цели, Fштраф - так называемая функция штрафа, величина которой зависит от нарушения технологических ограничений.

При этом штраф накладывается только в случае нарушения верхнего или нижнего ограничения, а его величина может быть рассчитана по следующим образом:

Fштраф=

Таким образом при нарушении ограничений функция штрафа будет возрастать тем больше, чем больше нарушено какой-либо ограничение. При необходимости можно выставить «веса» за нарушения какого-либо ограничения, в зависимости от его важности. Тогда функция штрафа будет выглядеть следующим образом:

Fштраф=

где ?i - «вес» i-й переменной, обозначающей «цену» штрафа за нарушение ограничений на эту переменную.

Таким образом, содержательная и математическая постановки задачи оптимального управления позволяют разработать алгоритм оптимального управления и соответствующее программное обеспечение.

2.6 Разработка экспертной системы управления процессом

В приведенной на рисунке 3 структуре предполагается использовать интеллектуальную подсистему, которая на основе полученной от подсистемы оптимизации данных Х1, Х2 и Х3, а также входных переменных Х4 и Х5 рассчитывает уточненное значение скорости загрузки концентрата. Это связано с тем, что в случае, если классические методы построения математических моделей окажутся недостаточными для адекватного описания данного процесса необходимо задействовать современный математический аппарат теории нечетких множеств. Этот инструмент позволяет математически описывать не сам процесс, а строить модель управления им на основе знания, опыта и интуиции технологов-металлургов. Скорость загрузки концентрата является определяющей для всего процесса плавки, поэтому для ее расчета необходимо использовать знания, опыт и интуицию металлургов.

Для достижения конечной цели настоящей дипломной работы, поставленной в п. 2.2 был привлечен современный математический аппарат теории нечетких множеств, позволяющий получать адекватные модели управления процессом на основе экспертных знаний, опыта управления и интуиции. Причем получение таких моделей управления требует значительно меньших затрат всех ресурсов, и в первую очередь временных.

2.6.1 Постановка задачи построения управляющей модели в нечеткой среде

Применительно к процессу Ванюкова при безокислительной плавке сульфидного сырья физико-химические и гидродинамические модели не созданы по ряду объективных причин. Несмотря на это, процессы функционируют и успешно управляются операторами, осуществляющими выбор управляющих воздействий на основании опыта, т.е. неформализованной модели процесса, существующей в их сознании. Таким образом, при исследовании указанных процессов возникает необходимость учета качественной информации, которая зачастую является определяющей, хотя и не поддается точному описанию, т.е. является нечеткой по своей сути.

В связи с этим возникает задача построения управляющей модели в нечеткой среде на основе знаний технологов о моделируемом процессе с использованием лингвистических переменных (ЛП). В работе [1] показано, что эксперту удобнее всего представлять свои знания в виде причинно-следственных связей «Если …, то …». Так, например, эксперт описывает свои действия при управлении: «Если влажность концентрата высокая, то увеличить общее дутье или уменьшить скорость подачи шихты».

Понятие ЛП дает подходящее средство для описания различных процессов, в частности интеллектуальной деятельности человека. Для логико-лингвистического описания поведения системы будем считать причины входными параметрами, а следствия - выходными. например, влажность концентрата станет ЛП, если она ассоциируется с терм- множеством значений: низкая, ниже средней, средняя, выше средней, высокая.

Лингвистические переменные могут использоваться при опросе эксперта на основании теории планирования эксперимента в качестве входных (Хi) и выходных (Yj) переменных и параметров управления с дальнейшей аппроксимацией результатов аналитической функцией в виде полинома

При применении значений ЛП в качестве точек факторного пространства, характеризующих процесс, поведение исследуемой системы описывается экспертом на естественном (или близком к нему) языке. Это делает ЛП наиболее адекватным средством представления экспертных знаний, так как переход от словесных оценок к числовым не вызывает затруднений по любой из шкал.

Множество пар «ситуация-действие» задается в вершинах гиперкуба по методам планирования эксперимента.

Для реализации данной схемы необходимо использовать методы теории нечетких множеств и теории планирования эксперимента, элементы которых приведены ниже.

2.6.2 Элементы теории нечетких множеств

Основные этапы нечеткого вывода. Разработка и применение систем нечеткого вывода включает в себя ряд этапов.

Информацией, которая поступает на вход системы, являются измеренные входные переменные. Информация, которая формируется на выходе системы, соответствует выходным переменным, которыми являются управляющие переменные процесса.

Системы нечеткого вывода предназначены для преобразования значений входных переменных процесса управления в выходные переменные на основе использования нечетких правил продукций. Для этого системы нечеткого вывода должны содержать базу правил нечетких продукций и реализовать нечетких вывод заключений на основе посылок или условий, представленных в форме нечетких лингвистических высказываний.

Таким, образом, основными этапами нечеткого вывода являются:

1. Формирование базы правил систем нечеткого вывода (СНВ).

2. Фаззификация входных переменных.

3. Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.

4. Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.

5. Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.

Формирование базы правил СНВ. База правил СНВ предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний эксперта. В СНВ используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний. Совокупность таких правил будем называть базами правил нечетких продукций (БПНП).

БПНП представляет собой множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто БПНП представляется в форме структурированного текста

(F1)

(F2)

(Fn)

Fi - коэффициенты определенности или весовые коэффициенты соответствующих правил [0,1]. Обычно равен 1.

В СНВ ЛП, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными лингвистическими переменными, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продукций, часто называют выходными ЛП.

Таким образом, при формировании БПНП необходимо определить: множество правил нечетких продукций: P={R1 ,R2, …., Rn}, множество входных ЛП: V={1, 2,…, m} и множество выходных ЛП: W={1, 2,..,S}.

Порядок выполнения других этапов (фаззификации, агрегирования, активизации, аккумуляции и дефаззификации) приведен в / /, где описаны также элементы теории нечетких множеств.

2.6.3 Элементы теории планирования экспериментов

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

Опыт - это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента - совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента - выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действии направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Цель планирования эксперимента - нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких независимых переменных (X1, X2,,…, Xn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(X1, X2,,…, Xn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y - называется «отклик», а сама зависимость Y=F(X1, X2,,…, Xn) - «функция отклика».

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии

Y=F(X1 , X2,,…, Xn;B1,B2,,…,Bm)+e,

где B1,B2,,…,Bm - некоторые коэффициенты; e - погрешность.

Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y= f(x1, … ,xn) и записана в полиномиальном виде

Очевидно, что Bi?bi ,но

Y=F(X1, … , Xi, … , Xn) = f(x1 , … , xi , … , xn).

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетанй на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi. Для полинома в именнованных факторах величина коэффициента Bi еще не может быть записанв более компактной форме

.

При определении общего числа членов степенного ряда количество парных сочетаний для n факторов в полиноме, тройных сочетаний, i-ных сочетаний (Cin) при n>i находится по соотношению

.

Например, для набора четырех чисел (n=4) - 1, 2, 3, 4 число тройных сочетний составляет

- 123, 134, 124, 234.

Если считать, что существует фактор х0 всегда равный 1, то

Если дополнительно все двойные, тройные и т.д. сочетания факторов, а также квадраты факторов и все соответствующие и коэффициенты обозначить через xi и bi , для i=n+1, ... , m, то степенной ряд можно записать в виде

Здесь m+1 общее число рассматриваемых членов степенного ряда.

Для линейного полинома с учетом всех возможных сочетаний факторов

Полный квадратичный полином выглядит следующим образом:

где

Матричные преобразования при обработке результатов эксперимента. При матичной записи результатов различных N опытов для полиномиального представления результата будем иметь в виде

Y=X•B

где x - матрица сочетаний факторов

X=

N строк

m+1 столбец

Здесь 0,1, … ,i, … , m - номера членов уравнения; I, … , U, … , N… - номера опытов. Матрица Х элементы x0U=1, U=1,…, N, то матрицу Х можно записать

Х= .

матрица столбец результатов опыта,

- матрица столбец коэффицента полинома.

Домножим левую и правую части этого равнения на ону и ту же матрицу Xt - транспонированную матрицу Х

Xt•X•B=Xt•Y.

Транспонированная матрица - это матрица, у которой по отношению к исходной мтолбцы и строки поменяны местами.

Xt=

m+1 строка

N столбцов

C=Xt•X матрица, получившаяся в результате произведения траспонированной матрицы на исходную. Она является квадратной матрицей, содержащей m+1 строку и m+1 столбец.

C•B=Xt•Y.

Для того чтобы получить в общем виде матрицу-столбец коэффициентов В необходимо домножить обе части последнего матричного уравнения слева на матрицу С-1 - матрицу обратную матрице С.

C-1•C•B=C-1•Xt•Y.

Обратная матрица строится так (используется процедура обращения матрицы), что при умножении ее на исходную матрицу получается единичная матрица - Е, у которой на главной диагонали расположены 1, а вне ее - 0.

С-1•С=Е=

Окончательная в общем виде матрица-столбец коэффициентов полинома

B=C-1•Xt•Y.

Рассмотрим в качестве простого примера полином в виде

YU=b0x0+b1xU; x0=1; U=1,…, N;

формируемого по резльтатам N опытов.

X= Y= B= Xt=

C=Xt•X=;

C•B=

Xt•Y=

C•B=Xt•Y;

или

Откуда решение системы относительно коэффициентов b0 и b1

Этот результат полностью совпдет с соотношениями для такого же полинома при использовании метода наменьших квадрантов, где используетсячисленный показатель минимальности суммы квадрантов отклонений во всех N опытах. Следовательно, построенный таким образом полином будет проходить самым ближайшим образом к результатам эксперимента.

Существуют несколько видов планирования эксперимена:

· ортагональное планирование эксперимента;

· планы полного факторного эксеримента 2n (планы ПФЭ 2n );

· планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ);

· насыщенные планы первого порядка;

· планы второго порядка;

· ортогональный центрально-композиционный план второго порядка;

· рототабельные планы;

· рототабельный ортогональный центрально-композиционный план;

· планы второго порядка с единичной областью планирования;

· рототабельный план на основе правильного многоугольника n=2;

2.6.4 Разработка алгоритма нечеткого управления плавкой в ПВ

При построениях управляющей модели процессом безокислительной плавки медного концентрата цеха разделения файнштейна (ЦРФ) в качестве экспертов выступали квалифицированные операторы и технологи.

В результате их опроса были выявлены следующие переменные, используемые при управлении процессом:

Х1 -скорость загрузки концентрата;

Х2 - соотношение дутье-загрузка, нм3/т;

Х3 - обогащение дутья кислородом, %;

Х4 - влажность концентрата;

Х5 - разность температур воды на входе и выходе, 0С.

В качестве выходного параметра была выбрана уставка скорости загрузки Y, т/ч.

План опроса представлял собой набор продукционных правил типа «ситуация-действие». Была реализована матрица полного факторного эксперимента типа 25. Ситуация задавались в следующей форме: «если Х1 - низкая, Х2 - высокое, Х3 - низкое,Х4 - высокая, Х5 - высокая, то Y- ? »

Числовые значения Y представлены в виде унимодальных нечетких чисел (L-R). Лингвистическая переменная Y - скорость загрузки концентрата.

Математической обработкой результатов опроса по матрице планирования получена следующая зависимость:

Y=16,06+1,63Х1+4,5Х2+4Х5-1,81Х1 Х2+1 Х1Х3+2,06 Х2Х4-2 Х3 Х5+0,69 Х4 Х5 (1)

Здесь приведены только значимые коэффициенты полинома. ошибка при уровне значимости 0,05 составила s{bi}=0,06. Коэффициентами при квадратичных членах в указанном полиноме можно пренебречь, так как

b0 - Y0<s{bi}.

Анализ проведения графиков расхода концентрата, расчетных по уравнению (1) и фактических, показывает высокую степень адекватности модели процессу управления им оператором, наблюдающиеся различия в загрузках не противоречат практике ведения процесса, что было подтверждено экспертами-технологами. Таким образом, прогностические возможности полученного полинома весьма высоки и данная модель может быть рекомендована к внедрению в виде советчика оператору.

Важно отметить следующие особенности предлагаемого метода. Полученная модель несет дополнительную и эвристическую информацию, позволяющую судить о логике оператора-технолога при управлении процессом. Известно, что эксперт способен оперировать с небольшим количеством входных переменных, но, как видно из уравнения (1), количество линеаризованных (нелинейных) значимых коэффициентов существенно превышает указанный верхний предел. Следовательно, эксперт не в состоянии их формализовать при описании своей понятийной модели, используемой при выборе управляющего воздействия. Другими словами, только предлагаемым расчетным путем удается оценить влияние неформализованных переменных, интуитивно учитываемых экспертом, и выявить их смысл. Например, переменная Х3 (содержание кислорода в кислородно-воздушной смеси (КВС)) в линейном виде оказывает незначимое воздействие на изменение загрузки, но ее влияние происходит через парные взаимодействия с разностью температур охлаждающего контура (Х3 Х5 ) и загрузкой концентрата ЦРФ (Х1 Х3).

Значимость взаимодействия такого типа, по видимому, следует отнести к процессам, происходящим в подсознании эксперта на уровне интуиции. Таким образом, можно полагать, что разработанный метод позволяет количественно оценить кроме входных еще и «интуитивную составляющую», существенно влияющую на выбор управляющего воздействия.

По методу построения управляющих моделей металлургических процессов на основе оценки качественной информации, полученной от оператора-технолога, построена управляющая модель процесса плавки концентрата ЦРФ в ПВ.

АСУТП, использующая эту модель как базу знаний, в принципе способна вести процесс на уровне оператора-технолога.

Опыт технолога-эксперта, зафиксированный в виде полиномиальной модели, может быть тиражирован для управления аналогичными агрегатами либо в качестве базы знаний на тренажере для обучения операторов.

2.7 Разработка системы автоматической стабилизации разряжения под сводом печи

Одной из основных автоматических систем в печи Ванюкова является система стабилизации разряжения под сводом печи. Стабилизация разряжения обеспечивается регулированием его с помощью изменения числа оборотов газодувки, установленной за циклонами системы пылеочистки.

Расчет автоматических систем регулирования основывается на статических и динамических характеристиках объекта. Временными динамическими характеристиками объекта управления называют изменение выходной величины во времени при изменении входной величины типового вида. В качестве типового входного воздействия рассмотрена единичная ступенчатая функция. По экспериментальным кривым разгона, снятых на объекте во время преддипломной практики (см. рисунок 4), можно принять допущение о данном объекте как объекте с апериодическим (инерционным) звеном с запаздыванием, линеаризованного первым порядком:

где Тоб - постоянная времени объекта, характеризующая его инерцию; - время запаздывания; k - передаточный коэффициент.

2.7.1 Определение статических и динамических характеристик

Для определения динамических характеристик объекта, на заводе «Балхашмыс» были проведены эксперименты по снятию кривой разгона. Для получения характеристик Тоб,, k экспериментальную кривую разгона, представленную на рисунке 4, обработаем следующим образом: для определения k воспользуемся в установившемся динамическом режиме зависимостью выходной величины от входной. Объект управления, представленный, как инерционное звено первого порядка, в общем виде описывается дифференциальным уравнением:



Рис.8. Кривая разгона по каналу «разряжение в печи - число оборотов дымососа»

Проекция касательной, приведенной в точке перегиба кривой разгона на ось абсцисс представляет собой постоянную времени объекта Тоб, характеризующую инерционность объекта. Она составляет 50 секунд. Время запаздывания составляет 17 секунд и складывается из запаздывании объекта и так называемого транспортного запаздывания, которое составляет 6 секунд.

Рис. 9

Воспользуемся линеаризацией по методу касательной. Геометрический смысл заключается в замене кривой y=f(x) касательной проведенной к кривой в точке А(y0;x0). Если рассматривать характеристику в отклонениях переменных «x» и «y» от значений в точке А(y0;x0), т.е. то уравнение запишется в виде

где следовательно коэффициент может быть определен, как тангенс угла наклона касательной

где my и mx - масштабные коэффициенты.

Таким образом, передаточная функция объекта по основному каналу запишется в виде:

где, k=3 - коэффициент усиления,

=17 сек - время запаздывания объекта,

Т=50 сек - постоянная времени объекта.

2.7.2 Расчет оптимальных настроечных параметров регулятора

Как уже было сказано передаточная функция объекта имеет вид:



Выбор закона регулирования, в соответствии с которыми функционирует регулятор, продиктован качеством переходного процесса.

где Кр - коэффициент передачи регулятора,

Ти - время изодрома, с.

Рассчитывается и строится АФХ объекта регулирования по каналу «регулирующее воздействие - регулируемая величина».

Расчет амплитудно-фазовых характеристик с применением ЭВМ выполняем следующим образом. АФХ представляется в виде:

Для объекта регулирования с передаточной функцией (2.7.1) вещественная и мнимая составляющие числителя и знаменателя (2.7.3) равны

Вещественная и мнимая части АФХ объекта



Амплитудно-частотная характеристика

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Отсюда характеристическое уравнение замкнутой системы

Подставляя сюда значение , получим уравнение границы устойчивости автоматической системы в общем виде

Здесь - вещественная и мнимая частотные характеристики регулятора. Определяем последние из передаточной функции (2.7.2)

Подставив эти значения в (2.5.10) и выполнив необходимые преобразования получаем расчетные формулы для определения границ устойчивости Кр и .

Для определения пар настроек регулятора Кр и , обеспечивающих m=const, подставляя значение в передаточные функции (2.5.1) и (2.5.2) находим расширенные АФХ объекта и регулятора в виде составляющих .

В частном случае m=0 формулы (2.7.14) совпадают с формулами (2.7.13).

Выбор оптимальных настроечных параметров и на линии равной степени затухания (см. рисунок 6) производят из условия минимума принятого критерия качества. Из практики расчетов известно, что точка, соответствующая оптимальным значениям и , лежит несколько правее максимума линии равного затухания.



Рис.10 . Линии равной степени затухания для m=0, m=0,366

2.7.3 Построение переходного процесса

Система стабилизации температуры, состоит из объекта с передаточной функцией (2.7.1) и регулятора (2.7.2), уравнение которого в дифференциальной форме имеет вид:

где - отклонение регулируемой величины;

- величина управляющего воздействия.

Расчеты показали, что оптимальными являются настройки регулятора = 0.69 и = 0,0239.

Для исследования динамических характеристик системы стабилизации температуры построим кривую переходного процесса. Уравнение апериодического звена первого порядка с запаздыванием в дифференциальной форме имеет вид:

где - входная величина объекта с учетом времени запаздывания - ;

- выходная величина объекта.

Так как в замкнутой системе выходная величина регулятора является входной величиной объекта, т.е.

то, учитывая (2.7.16) и (2.7.17)

Для определения (t) приведем уравнение расчета управляющего воздействия для ПИ закона регулирования (2.7.15) к виду, удобному для численного интегрирования на ЭВМ: