1.2.3.4 Симуляция размерных цепочек

При выборе опции Simulate из инструментальной панели Analysis, на экран выводится меню Simulations (Рисунок 3.3.3). Это меню позволяет запустить симуляцию.

Рис. 4.5.1. Окно симуляции

Шаги симуляции:

В процессе операции симуляции создаются случайные комбинации критических значений допуска для всех допусков. Результаты симуляции это резюме всех этих случайных комбинаций.

При выполнении симуляции, система выполняет следующие шаги:

1. Создает модель симуляции;

2. Создает список упорядоченных элементов;

3. Создает список упорядоченных допусков для симуляции;

4. Производит симуляцию каждого допуска для симуляции;

5. Изменяет элементы для симуляции каждого допуска;

6. Производит симуляцию каждого элемента основываясь на примененных к нему допускам;

7. Выполняет требуемое количество симуляций;

8. Вычисляет результаты отклонений;

9. Вычисляет результаты составляющих.

Описание шагов симуляции:

1. Модель симуляции;

Модель симуляции основана на:

· Геометрии;

· Заданных допусках;

· Последовательности сборки;

· Условиях сопряжения;

2. Список упорядоченных элементов;

Порядок, в котором элементы моделируются, который является подобным порядку, использованному в производстве и сборке, определяется по:

1) Базам;

2) Элементам начала координат для каждого допуска;

3) Остальной части элементов.

3. Список упорядоченных допусков;

Порядок основан на типе управления каждого допуска. Допуски упорядочивают от наименьшего количества степеней свободы к большему по:

1) Форме;

2) Размеру -- допуск на размер (ширина, радиус и диаметр) управляют размером элемента;

3) Ориентации -- включает отклонение в величину допуска. Она также включает положительные/отрицательные и симметричные допуски;

4) Расположению -- включает отклонение в величину допуска. Она также включает положительные/отрицательные и симметричные допуски;

4. Симуляция допусков;

Каждый допуск проходит симуляцию в соответствии с параметрами заданным к этому допуску:

· Положение;

· Ориентация;

· Форма.

Каждое значение принимает или максимальное или минимальное значение, заданное допуском в Extrime Distribution (Предельной симуляции) или любым значением в пределах диапазона для Normal Distribution (Cимуляци Монте-Карло).

5. Модификация элементов;

Однажды определенные для симуляции значения задания расположения, ориентации и формы применяются к элементу.

6. Симуляция;

Каждый элемент симуляции, основан на допусках, которые применялись к нему, следуя правилам, которые описаны ранее. В конце процесса, "разработанный" компонент преобразуется в компонент "симуляции".

Все компоненты симуляции собираются вместе, согласно заданным условиям сопряжения. Каждый элемент симуляции "от" соответствует заданному элементу симуляции "до". Это приводит к симуляции сборки, которая содержит все компоненты, которые были "искажены" применением допуска (то есть, случайными комбинациями их минимальных или максимальных значений).

7. Кол-во симуляций;

Количество симуляций составляющих зависит от количества элементов допуска в анализе.

8. Результаты измерения;

Как только полная сборка проходит симуляцию, измерение между гранями можно рассчитать. Измерение рассчитывается по направлению, которое задается при задании измерения, или углом между гранями или линейным расстоянием между двумя гранями. (Измерение для расстояния основано на расстоянии между установленными точками: или заданная по умолчанию точка в середине каждой грани, или точки которые указаны.)

9. Составляющие результатов.

Расчет процента вклада каждого допуска в общее отклонение, выполняется следующим образом:

1) Основной набор симуляций выполняется, чтобы получить основное отклонение;

2) Записываются значения основного отклонения для каждого измерения (V1, V2, ..., Vn);

3) Для каждого допуска:

· Допуск устанавливается в ноль;

· Выполняется новая симуляция и рассчитывается новое отклонение для каждого измерения (W11, W12, ..., W1n);

· Разность между новым изменением и основным изменением -- это процент вклада в измерение установленного на ноль допуска;

· Допуск восстанавливается в исходное значение.

4) Все отклонения складываются;

5) Каждое расчетное отклонение нормализуется к 100. Рассчитываются значения вклада допуска в изменение.

1.2.3.5 Проставление допусков и задание измерений

Поставим размерный допуск на диаметры отверстий в плите (0.015мм и 0.021мм).

Рис.4.6.1



Рис.4.6.2

Поставим позиционные допуски на диаметры отверстий в плите относительно баз А и В (0.006 и 0.0025).

Рис.4.6.3

Аналогичным образом выставляем все допуски на размеры в сборке.

1.2.3.6 Анализ в Tolerance Stackup Validation

После выставления всех допусков на размеры и позиционных допусков модель готова к анализу.

Рис.



Выводы

Рассмотренные классические методы размерного анализа, а также САПР, реализующие этот анализ, позволяют сделать следующие выводы:

1) ни один из рассмотренных методов, применяемых в САПР, не поддерживает полностью требования, описанные в стандартах;

2) некоторые системы представляют анализ допусков с использованием модели векторного контура, который вообще не может учитывать зазоры в сопряжениях деталей сборки, не поддерживает взаимодействие полей допусков и весьма ограничен при работе с допусками формы;

3) исследования в данной области являются актуальными, а разработка новых подходов к размерному анализу позволит устранить указанные недостатки, что в конечном итоге скажется на качестве выпускаемых изделий.



Глава 2. Возможности проведения пространственного размерного анализа в системе ГеПАРД

ГеПАРД - система, разрабатываемая на кафедре "Технологии машиностроения" под руководством доктора технических наук Журавлева Д.А., предназначена для геометрического проектирования, анализа и расчёта допусков, позволяющая проводить анализ собираемости при автоматизированном проектировании сборок. Разработка данной системы началась в 2003 году, и в настоящее время работа над ней продолжается в плане усовершенствования существующих механизмов анализа.

ГеПАРД - система геометрического проектирования, анализа и расчета допусков, ориентированная для работы на персональных компьютерах под управлением операционной системы Windows.

В этой системе предусмотрен импорт данных о модели из обменных файлов стандарта STEP. При помощи этого стандарта можно обмениваться данными о геометрии модели.

Данная система создавалась для помощи инженерам проектировщикам в выявлении критических областей сборки и оценки влияния составляющих допусков отдельных компонентов на совокупное качество сборки.

Программа позволяет вычислять, оптимизировать и управлять качеством сборок, варьируя параметры допусков, как отдельных элементов, так и сборки в целом.

Данная система является экспериментальной, основанной на новых математических методах описания трехмерных допусков, которые базируются на применении конфигурационных пространств, описываемых с помощью кватернионов. С использованием кватернионов разработаны модели описания пространственных допустимых отклонений.

Кроме того, разработчиками было предложено топологическое представление сборки, объединяющее детали по топологическим свойствам (например, по наличию сквозных или несквозных отверстий, и т.д.) Данное представление является универсальным, позволяя моделировать и анализировать сборки и контактные состояния с любой геометрией, любого уровня вложенности. Метод различает допуски детали и допуски сборки, что адекватно отражает реальную процедуру проектирования и позволяет реалистически моделировать сборки с учетом допусков.

2.1 Импорт геометрической информации в формате Step

STEP (Стандарт ISO 10303) - это стандарт, который предназначен для хранения данных об изделии, в том числе состава изделия, структуры, геометрических моделей, свойств и характеристик и т.д. Созданная однажды модель изделия используется многократно. В нее вносятся дополнения и изменения, она служит отправной точкой при модернизации изделия. Модель изделия в соответствии с этим стандартом включает: геометрические данные, информацию о конфигурации изделия, данные об изменениях, согласованиях и утверждениях.

Стандарт ISO 10303 построен таким образом, что помимо базовых элементов (интегрированных ресурсов) в его состав входят так называемые прикладные протоколы, определяющие конкретную структуру информационной модели для различных предметных областей. Все прикладные протоколы (прикладные информационные модели) базируются на стандартизованных интегрированных ресурсах. Таким образом, при создании нового прикладного протокола обеспечивается преемственность с уже существующими решениями.

Стандартный способ представления конструкторско-технологических данных позволяет решить проблему обмена информацией между различными подразделениями предприятия, а также участниками кооперации, оснащенными разнородными системами проектирования. Использование международных стандартов обеспечивает корректную интерпретацию хранимой информации, возможность оперативной передачи функций одного подрядчика другому, который, в свою очередь, может воспользоваться результатами уже проделанной работы. Это особенно важно для изделий с длительным ЖЦ, когда необходимо обеспечить преемственность информационной поддержки продукта, независимо от складывающейся рыночной или политической ситуации.

Стандарт STEP регламентирует: логическую структуру базы данных (БД), номенклатуру информационных объектов, хранимых в БД, их связи и атрибуты. Типовые информационные объекты, такие как данные о составе изделия, материалах, геометрии изделия, независимые от характера описания изделия, называются в стандарте "интегрированными ресурсами", на основе которых строятся схемы баз данных об изделии для разных предметных областей: автомобилестроения, судостроения, аэрокосмической промышленности и т.д. Готовые схемы баз данных называются в стандарте "протоколами (правилами) применения" и представляют собой типовые решения. Стандарт также предусматривает способы взаимодействия с хранилищем данных -- с помощью текстового обменного файла (ISO 10303-21) и через стандартный программный интерфейс (Standard Data Access Interface - SDAI - ISO 10303-22).

На основе стандартов семейства STEP:

· Создается структурированное электронное хранилище конструкторских данных об изделии, интегрирующего процессы разработки и получаемые результаты в единое целое;

· Подготавливается лицензионная документация, при продаже лицензии и передаче ее в электронном виде;

· Производится обмен данными между предприятиями, применяющими разнородные системы автоматизированного проектирования.

Система Гепард осуществляет двусторонний обмен данными через стандарт передачи данных STEP. Исходными данными для анализа сборки с допусками являются компьютерные трехмерные модели деталей сборок, созданные в какой-либо CAD системе и сохраненные в формате стандарта STEP. Причем, детали могут быть как ориентированы в пространстве определенным образом, формируя сборку, так и представлять собой набор отдельных геометрических тел, находящихся в любых точках пространства ("сборка в несобранном виде").

Рассмотрим пример создания сборочного узла и назначение допусков.

Для загрузки модели в систему Гепард в главном меню необходимо выбрать опцию Import. Загруженные детали показаны на рисунке 1.2.3.

Рисунок 5.1. Загружаемые детали

Импортированные детали добавляются в граф (дерево) сборки.

Дерево сборки показывает графически структуру сборки в отдельном окне и позволяет манипулировать ее компонентами. Структура сборки изображается в виде иерархического дерева (графа). Каждый узел дерева представляет отдельный компонент структуры сборки (Рисунок 5.2).

Рисунок 5.2. Дерево сборки



2.2 Задание параметров для реализации анализа собираемости

2.2.1 Задание условий сопряжения деталей

Проведем анализ сборки, которая состоит из четырех деталей: двух плит, соединенных двумя стержнями. Для этой модели мы уже составили и рассчитали линейную размерную цепь классическим способом [16] в предыдущей главе. В данной главе проведем размерный анализ с помощью программного модуля ГЕПАРД. Этим экспериментом продемонстрируем, что при линейных взаимосвязях допустимых отклонений в обоих случаях результаты размерного анализа получаются одинаковыми. Далее, на этой же сборке покажем работу модуля, когда кроме линейных присутствуют еще и пространственные взаимосвязи допусков.

Из загруженных трехмерных деталей можно формировать полноценные цифровые макеты изделий. Принцип создания сборки заключается в том, что на каждую деталь накладываются сопряжения, лишающие ее той или иной степени свободы. Ограничения накладываются таким образом, чтобы детали в компьютерной сборке двигались так же, как они двигаются в реальном механизме.

Первая, вставляемая в сборку, деталь является фиксированной (неподвижной), поэтому разумно начинать сборку с корпусной детали, основания и т.п.

В Гепарде возможны следующие ограничения степеней свободы деталей:

· Параллельность. Делает две плоские грани или плоскости объектов параллельными;

· Перпендикулярность. Делает две плоские грани или плоскости объектов перпендикулярными;

· На расстоянии. Устанавливает заданное расстояние между элементами геометрии;

· Под углом. Устанавливает заданный угол между элементами геометрии;

· Касание. Обеспечивает касание плоскости и круглой поверхности;

· Соосность. Обеспечивает соосность круглых поверхностей;

· Совпадение. Обеспечивает совмещение элементов геометрии в пространстве.

Сопряжения накладываются на элементы геометрии разных деталей в сборке. При этом такими элементами могут служить не только вершины, ребра и грани деталей, но и их координатные и вспомогательные плоскости.

Назначим параметры сопряжений и получим сборку 1-го уровня (у1 = д1+д2+д3 - рис. 5.3).

Рис. 5.3

Прежде чем создать сборку уровня 2, назначим допуски на диаметры стержней д2 и д3, исходя из заданных значений (т.е. ?д2, а ?д3). Стержни вставлены в отверстия с переходной посадкой (H7/n6), но мы будем учитывать только наихудший вариант, когда в сопряжении образуется натяг. Поэтому позиционные отклонения назначим прямо на поверхности стержней (позиционные допуски для д2и д3соответственно равны 0,0025 и 0,006). Затем назначим допуски на диаметры и позиционные допуски на отверстия плиты д4. Допуск на диаметр первого отверстия - , позиционный допуск равен 0,0025. Допуск на диаметр второго отверстия - ,позиционный допуск равен 0,006.

На следующем этапе создаем сборку уровня 2, т.е. присоединяем к узлу у1 деталь д4, назначая необходимые условия сопряжений (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Итак, на сборку назначено 8 допусков (4 позиционных и 4 на диаметры-рис. 5.5).

Рис. 5.5

2.2.2 Задание ссылочных баз и допусков

Ссылочная база - это поверхность, относительно которой можно назначить допуск на другую поверхность.

В Системе Гепард возможно назначение нескольких ссылочных баз с помощью следующей опции представленной на рисунке 5.2.3.

Рис. 5.2.3. Окно назначения ссылочных баз



При выделении желаемой поверхности, в поле "Объект геометрии" появляется номер и тип поверхности. В поле "Символ" назначается бука, которой будет обозначаться база.

Чтобы задать допуск на вал открываем Редактор допусков (Рис. 5.2.3.13).

Рис. 5.2.3.13. Меню Редактора допусков

Затем задаем следующие параметры:

· Выбирать поверхность вала;

В поле "Элемент геометрии" указывается номер и тип поверхности.

· В поле "Допуск" выбирать - допуск на цилиндричность;

· Указать значение допуска - верхнее отклонение - -0,007 нижнее отклонение - -0.010;

· Этап имитации 1;

Далее программа определяет нормируемый участок и конфигурационное пространство.

Описание опции "Нормируемый участок":

1. Участок карты - поверхность указанного участка детали, на который задается допуск;

2. Контрольный репер нормирующего участка -- точки, на которых основывается шкала измерений;

3. Нормируемые отрезки - фиксированная длина участка назначаемого допуска.

Следующим шагом программа создает конфигурационное пространство (Рис. 5.2.3.14).

Рис. 5.2.3.14. Конфигурационное пространство - линия

Далее задаем этап имитации для создания конфигурационного пространства сборки. Для этого укажем интересующие нас сопряжения (типа вал-отверстие) и допуски, участвующие в сборке данного узла (будем рассматривать узел у2). На рис. 5.2.3.15 показаны заданные параметры для данного этапа имитации.



Рис. 5.2.3.15

Для нашей сборки конфигурационное пространство состоит из 4096 точек.

3.3 Задание этапов имитации

Имитация в программе осуществляется с помощью Вариационного моделирования.

Вариационное моделирование -- метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно "проиграть" во времени как для одного испытания, так и заданного их множества.

При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Вариационное моделирование -- это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе.

Экспериментирование с моделью называют имитацией.

При нажатии кнопки Имитация на экране появляется меню редактора этапов имитации (Рис. 5.3.1).

Рис. 5.3.1. Меню редактора этапов имитации

Параметры этапов имитации:

· Номер этапа;

· Узел графа сборки - выбранная деталь;

· Условия сопряжения - содержатся созданные ранее сопряжения;

· Допуски - содержатся допуски назначенные на деталь.

Запускаем вариационный размерный анализ. При этом на каждой итерации алгоритма будем искать такое положение детали д4, чтобы поверхности стержня и отверстия в сопряжении не пересекались.

Результатом анализа является найденное максимальное отрицательное отклонение в сопряжении (рис. 5.3.2), равное -0,0025 (на рис. 5.10 и 5.11 показаны приближенные значения, равные -0,002483).



Рис. 5.3.2

На рис. 5.3.2 показано максимальное отрицательное отклонение для расстояния между осями стержней плюс значения радиусов. Изображение карты поверхности со значениями отклонений в каждой точке поверхности приводится на рис. 5.3.3.

Рис. 5.3.3.

Для расстояния между осями стержней минус значения радиусов максимальное отрицательное отклонение будет аналогичным (рис. 5.3.4, 5.3.5).



Рис. 5.3.4

Рис. 5.3.5

Значение максимального отрицательного отклонения (0,0025) можно использовать в качестве нижнего отклонения допуска на диаметр отверстия плиты д4(при этом значение нужно умножить на 2), т.е. скорректировать допуск - , или уменьшить значение верхнего отклонения допуска на диаметр стержня д2 - .

Найденные максимальные отрицательные отклонения равны значениям пересечений поверхностей, полученным при размерном анализе с использованием теории размерных цепей. Это говорит о том, что нами теория конфигурационных пространств и созданный на ее основе алгоритм размерного анализа включают в себя размерные взаимосвязи (цепи) в неявном виде [42].



Выводы

Пространственный размерный анализ в системе ГеПАРД позволяет определять критические области сборки и корректировать назначенные допустимые отклонения. Используемый в системе подход на основе конфигурационных пространств допусков и сборок показывает свою эффективность и преимущества перед другими системами, однако, имеет свои недостатки. Так, в частности, остается открытым вопрос о количестве рассматриваемых точек конфигурационного пространства, что существенно влияет на вычислительные ресурсы.

Поэтому целью моей работы является разработка математической модели, которая позволит ограничить число расчетных точек конфигурационного пространства в одном из видов сопряжений, а именно, в соединении типа "отверстие-вал-отверстие".



Глава 3. Пространственный размерный анализ с использованием подмногообразий конфигурационных пространств

3.1 Понятие конфигурационного пространства сборки в системе ГеПАРД

Конфигурационное пространство -- Пространство возможных изменений параметров данной поверхности, полностью характеризующих ее отклонение от номинальных размеров и формы, при заданных значениях допусков.

Существуют следующие несколько типов конфигурационных пространств, они определяются в зависимости от отклонений расположения поверхностей элементов деталей и некоторые типичные суммарные отклонения:

1. Поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор , а наибольшим углом отклонения является угол г (Рис. 3.1.1).

Рис. 3.1.1. Поверхность единичной сферы

Эти параметры индивидуальны для каждого конкретного типа отклонения.

Данное конфигурационное пространство относится к следующим типам отклонений:

· Отклонение от параллельности плоскостей (Рис. 3.1.2).

Конфигурационное пространство характеризует отклонение вектора нормали данной плоскости от вектора нормали базовой поверхности. При этом центр этого сегмента (полюс) означает номинальное положение нормали данной поверхности, то есть параллельность плоскостей.

Рис. 3.1.2. Отклонение от параллельности плоскостей.

· Отклонение от плоскостности. (Рис. 3.1.3)

Конфигурационное пространство характеризует отклонение вектора нормали к прилегающей плоскости данной реальной поверхности от вектора нормали номинальной поверхности. При этом центр этого сегмента (полюс) означает номинальное положение нормали данной поверхности.

Рис. 3.1.3. Отклонение от плоскостности.

· Суммарное отклонение от параллельности и плоскостности; (Рис. 3.1.4).

Конфигурационное пространство характеризует отклонение вектора нормалик прилегающей плоскости данной реальной поверхности от вектора нормалибазовой поверхности. При этом центр этого сегмента (полюс) означает номинальное положение нормали данной поверхности.



Рис. 3.1.4. Суммарное отклонение от параллельности и плоскостности

· Суммарное отклонение от перпендикулярности и плоскостности.

Конфигурационным пространством данной плоскости является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом с осью , а наибольшим углом отклонения является угол г. Оно характеризует отклонение вектора нормалик прилегающей плоскости данной поверхности от вектора . Здесь угол г - это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор нормали к прилегающей плоскости данной поверхности от вектора при заданном суммарном допуске перпендикулярности и плоскостности.

· Отклонение от перпендикулярности оси относительно плоскости (Рис. 3.1.5).

Конфигурационное пространство характеризует отклонение вектора оси данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности. При этом центр этого сегмента (полюс) означает ортогональность оси данной поверхности относительно базовой плоскости. Здесь угол г - это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор оси данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности (Рис. 3.1.5).



Рис. 3.1.5. Отклонение от перпендикулярности оси относительно плоскости

· Отклонение от соосности относительно общей оси (Рис. 3.1.6).

Конфигурационным пространством каждой из двух рассматриваемых поверхностей, которое соответствует данному допуску, является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом с осью и углом г_i. Оно характеризует отклонение вектора оси i-ой поверхности от направляющего вектора общей оси. При этом центр этого сегмента (полюс) означает совпадение оси i-ой поверхности с общей осью. Угол г_i - есть наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор оси i-ой поверхности от вектора .

Рис. 3.1.6. Отклонение от соосности относительно общей оси

· Отклонение от соосности относительно оси базовой поверхности. (Рис. 3.1.7)

Конфигурационным пространством, которое соответствует данному допуску, является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом с осью, и углом г. Здесь угол г - это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор оси рассматриваемой поверхности от вектора .

Рис. 3.1.7. Отклонение от соосности относительно оси базовой поверхности

2. Дуга единичной окружности с осью и углом г.

Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора (Рис. 3.1.8).

Рис. 3.1.8. Дуга единичной окружности

Данное конфигурационное пространство относится к следующим типам отклонений:

· Отклонение от перпендикулярности плоскостей (Рис. 3.1.9).

Конфигурационным пространством данной плоскости, при наложенном на нее только допуске перпендикулярности, является дуга единичной окружности с осью и углом г. Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора . При этом середина этой дуги означает перпендикулярность плоскостей.



Рис. 3.1.9. Отклонение от перпендикулярности плоскостей.

· Отклонение от наклона плоскости;

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску наклона плоскости является дуга единичной окружности, с осью:

.

Оно характеризует отклонение вектора нормали данной поверхности от вектора . Здесь угол г - это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор нормали к данной плоскости от вектора при заданном допуске наклона плоскости.

· Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности (Рис. 3.1.10).

Конфигурационным пространством данной поверхности при единственном заданном на нее допуске перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности, является дуга единичной окружности с осью и углом г. Угол г - есть наибольший возможный угол в плоскости на который может отклониться вектор оси данной поверхности от вектора .



Рис. 3.1.10. Отклонение от перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности

3. Круг с диаметром и центром в начале координат. Оно характеризует отклонение центра оси поверхности в плоскости, ортогональной этой оси. Центр такого круга означает номинальное положение оси (Рис. 3.1.11).

Рис. 3.1.11. Отклонение центра оси поверхности в плоскости

Данное конфигурационное пространство относится к следующим типам отклонений:

· Позиционное отклонение оси отверстия (Рис. 3.1.12).

Рис. 3.1.12. Позиционное отклонение оси отверстия



4. Отрезок правая точка которого характеризует наибольшее значение радиуса цилиндра, а левая - наименьшее. (Рис. 3.1.13б).

Данное конфигурационное пространство характеризует допуск на диаметр цилиндра (Рис. 3.1.13а).

Рис. 3.1.12. Допуск на диаметр цилиндра

3.2 Разработка и реализация математической модели подмногообразия конфигурационных пространств сборки в соединении типа "отверстие-вал-отверстие"

В общем случае при анализе собираемости изделий необходимо по каждой точке конфигурационного пространства сборки вычислять всевозможные допустимые положения поверхностей ее деталей. Количество точек конфигурационного пространства, необходимое для тестирования возможности сборки, берется как произведение количества точек в конфигурационных пространствах всех допусков, участвующих в определенном этапе сборки. Хотя, как правило, в конфигурационном пространстве каждого отдельного допуска для тестирования может быть достаточно двух или четырех точек, но для всей сборки мощность множества точек тестирования может оказаться достаточно большой, что затрудняет общие вычисления. Этого можно избежать, если в некоторых стандартных частных случаях конфигурационные пространства сборок аналитически ограничивать подмногообразиями, в пределах которых гарантирована успешная сборка. Такие подмногообразия будем называть успешными конфигурационными подпространствами(или коротко, успешными подмногообразиями) сборки.

Рассмотрим далее метод поиска успешного подмногообразия на примере наиболее распространенного вида соединений отверстие-вал-отверстие. Разобьём эту сборку на два этапа.

Пусть на первом этапе сборки (вал-отверстие) заданы следующие допуски: на диаметр отверстия --?D; на диаметр вала --?D и на ортогональность оси вала относительно базовой плоскости -- Д (см. рис. 3.2.1).

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску на диаметр вала, будет отрезок .

Конфигурационным пространством, соответствующим допуску на диаметр отверстия, будет отрезок .

Рис. 3.2.1

Конфигурационным пространством K₃, соответствующим допуску на ортогональность оси вала относительно базовой плоскости, будет поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом с осью и углом г. Здесь угол г -- это наибольший возможный угол в пространстве, на который может отклониться вектор оси данной поверхности от вектора нормали базовой поверхности. Косинус этого угла вычисляется по следующей формуле:

(3.2.1)

Положение каждой точки на сфере описывается двумя углами--, . Однако в случае данной сборки значение угла в не влияет на саму сборку. Поэтому конфигурационное пространство K₃ вырождается в отрезок . Таким образом, успешным конфигурационным подпространством первого этапа сборки будет некоторое подмногообразие KK₁Ч K₂Ч K₃.То есть

где P(d₁, d₂, б) -- некоторые условия, связывающие параметры d₁, d₂, б, при которых данная сборка будет успешной.

Итак, найдем условия P(d1, d2, б). Пусть D -- номинальный диаметр отверстия и вала, D1 = D + d1 -- некоторое допустимое значение диаметра вала, D2 = D+d2 -- некоторое допустимое значение диаметра отверстия, б -- некоторое допустимое значение угла, на который может отклониться ось вала.

Тогда, во-первых, , а значит

d1?d2; dSmin? dOmin; dSmax? dOmax.

То есть для успешной сборки пара (d1, d2) должна лежать в заштрихованном пятиугольнике (рис. 3.2.2), который может вырождаться и в треугольник в случае dSmin= dOminи dSmax= dOmax.



Рис. 3.2.2

Перейдем теперь непосредственно к условию, связывающему угол б и диаметры цилиндров (рис. 3.2.3).

Рис. 3.2.3

Рассмотрим подобные треугольники: ?ACB?NPB. В них



.

нам подходит только положительный корень, т.к. четверти, а значит и четверти, при этом CM > h, таким образом:

.

Окончательно



Графически всевозможные значения параметров, при которых будет успешная сборка, можно изобразить как фигуру, ограниченную поверхностью б(d1, d2) и соответствующими плоскостями по бокам и снизу (рис.2.23).

Исследуем функцию б(d1, d2) на максимум. Найдем ее первые частные производные по d1 и d2:

значит, стационарных точек нет. Следовательно, максимальное значение данная функция достигнет на границе области, изображенной на рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.4

1. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка. Итак, в этом случае



2. На прямой функция б постоянна и равна нулю.

3. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

4. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

5. На прямой функция стационарных точек не имеет, значит, наибольшее значение принимает на концах отрезка . Итак, в этом случае

Итак, наибольшее значение из всех найденных будет следующее:

и достигается оно при , .



Рис. 3.2.5

При этом можно, регулируя значения параметров d₁и d₂, увеличивать или уменьшать максимальное значение б: увеличение значения б будет при уменьшении dSmin и/или увеличении dOmax (вдоль стрелок на рис. 3.2.5).

Далее возможны следующие варианты:

1. -- это означает, что допуск выдержан и в случае, если , то допуск на ортогональность можно ослабить до значения , а если допуск на ортогональность нельзя ослабить, тогда необходимо изменить допуски на диаметры так, чтобы стало равно ;

2. -- это означает, что допуск не выдержан. Тогда нужно либо ужесточить допуск ортогональности до, либо изменитьдопуски на диаметры так, чтобыстало равно .

При подборе параметров dSmin и dOmax для заданного максимального значения справедливы следующие формулы:

.

Или

,



при этом Д может быть как положительным, так и отрицательным.

Пусть на следующем этапе сборки необходимо вал (из сборки I этапа) вставить в отверстие другой детали с назначенным допуском параллельности одной из ее плоскостей относительно базовой плоскости (рис. 3.2.6.).

Рис. 3.2.6.

В этом случае, зафиксировав крайнее положение вала в отверстии I этапа сборки (), будем поворачивать вторую деталь до наименьшего возможного угла, соответствующего допуску параллельности (рис. 3.2.7.).

Рис. 3.2.7

Отметим, что на самом деле можно наоборот зафиксировать новую деталь и производить повороты сборкой из I этапа, что мы и сделаем, так как тогда задача поиска углов сводится к предыдущей. Кроме того, нам не нужно производить повороты как таковые, а достаточно просто вычислить необходимые углы по приведенным выше формулам. Понятно, что при проверке выдержанности допуска на параллельность нас интересует угол , где -- это угол между базовой осью конфигурационного пространства, соответствующего допуску параллельности, и вариационной осью вала (при необходимостью этот угол не трудно вычислить), -- наибольший возможный угол отклонения оси вала относительно оси отверстия, который вычисляется по формуле, полученной в результате проведенных выше исследований. Итак, пусть конфигурационным пространством, соответствующим допуску параллельности, является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор, а наибольшим углом отклонения является угол .

Тогда, если угол ,то сборку будем считать успешной, иначе сборка признается неуспешной, и в этом случае переходим к корректировке параметров, ограничивающих успешное подмногообразие сборки.



Выводы

Разработанная математическая модель подмногообразия конфигурационных пространств сборки в соединении типа "отверстие-вал-отверстие" позволяет оптимально ограничить число расчетных точек конфигурационного пространства. Это, в свою очередь, влияет на время работы алгоритма размерного анализа, а также дает возможность конечному пользователю более эффективно принимать решение о корректировке первоначальных заданных допустимых отклонениях.

Размещено на Allbest.ru