Структурный анализ зубострогального механизма

G₂ = m₂ * g = 10 * 9,8 = 98 H.

Силы инерции приложены также в центрах масс звеньев, направлены противоположно направлениям ускорений центров масс (см. план ускорений) и равны:

F_И3 = m₃ * a_S3 = m₃ * рs₃ * м_a = 30 * 26 * 0,14 = 109,2 H,

F_И2 = m₂ * a_A = 10 * 0,9 = 4,5 H.

Кроме того, на звено 3 будет действовать момент пар сил инерции:

M_И3 = J_S3 * е₃ = 7,5 * 9,3 = 69,75 Н*м,

направленный против углового ускорения звена 3 (против часовой стрелки).

Реакции в кинематических парах и являются целью анализа, т.е. в каждой реакции необходимо определить по две неизвестные составляющие.

Реакция F₀₃ в кинематической паре В (реакция отсоединенной стойки 0 на кулисе 3) неизвестна по величине и направлению, но известна точка приложения - центр шарнира В. В данном случае раскладывать ее на две составляющие нецелесообразно, поэтому просто покажем эту реакцию пунктиром на плане групп.

Реакция F₂₃ в кинематической паре А' (реакция со стороны кулисного камня 2, на кулису 3) известна по направлению - перпендикулярно направляющей, но известны ее величина и точка приложения (как для любой поступательной пары 5-го класса).

Реакция F₃₂ действует на второе звено, равна по величине и противоположна по направлению реакции F₂₃.

Реакция F₁₂ в кинематической паре А (отсоединенного кривошипа 1, на звено 2) неизвестна по величине и направлению; известна точка приложения - центр шарнира А (на плане положений группы также показана пунктиром).

Наиболее просто поставленная задача может быть решена следующим образом:

Из равновесия звена 2 (камня кулисы) можно определить точку приложения реакции F₃₂: так как сумма моментов всех сил относительно точки А должна быть равна нулю, то, следовательно, реакция F₃₂ проходит через точку А, как и все остальные силы, действующие на звено 2. На третьем звене, следовательно, точкой приложения реакции F₂₃ будет точка А'.

Из условий равновесия звена 3 составим уравнение моментов всех сил относительно точки В:

F₂₃ * l_BA' + G₃ * h₃ * м_L - M_И3 - F_И3 * h₄ *м_L - F₄₃ * h₅ * м_L = 0,

где h_i - плечи соответствующих сил, измеряемых на плане группы.

Из приведенного уравнения можно найти величину реакции F₂₃ как единственную неизвестную величину:

F₂₃ = (M_И3 + F_И3 * h₄ * м_L + F₄₃ * h₅ * м_L - G₃ * h₃ * м_L) / l_BA'

F₂₃ = (69,75 + 93,2 * 65 * 0,0038 + 167 * 159 * 0,0038 - 294 *85 * 0,0038) / 151* 0,0038 = 15020 Н

Величина реакции получилась положительной, следовательно, на плане положений направление силы было выбрано верно.

Далее составим и решим векторное уравнение равновесия звена 3 (неизвестную реакцию в уравнении запишем последней):

> > > > >

F₄₃ + F₂₃ + F_И3 + G₃ + F₀₃ = 0.

Выбрав масштабный коэффициент (для данного плана также м_F = 16 Н/мм) на плане сил звена 3 суммируем силы, откладывая их по порядку, начиная с F₄₃ и замыкая многоугольник вектором F₀₃. Измерив полученный вектор на плане и умножив его на масштабный коэффициент, получим:

F₀₃ = 84 мм * 85,3 Н/мм = 7165,2 Н.

Аналогично построим план сил звена 2:

> > > >

G₂ + F_И2 + F₃₂ + F₁₂ = 0

По правилу сложения векторов в масштабе (м_F = 85,3 Н/мм) откладываем векторы сил, входящих в уравнение. Замыкающим вектором будет искомая F₁₂, величина которой определяется также произведением длины соответствующего вектора на плане сил на масштабный коэффициент:

F₁₂ = 176мм * 85,3Н/мм = 15012,8Н

Осталось провести силовой анализ начального механизма - механизма 1-го класса. Будем считать, что механизм приводится в движение от двигателя через зубчатую передачу, последнее зубчатое колесо которой с числом зубьев Z₂ = 30 находится на одном валу с кривошипом ОА. В зацеплении с ним находится колесо с числом зубьев Z₁= 20, модуль передачи m = 6мм. Вычертим план механизма 1 класса в соответствующем положении совместно с указанной парой зубчатых колес (см. рис.: механизм 1 класса). Для этого необходимо определить диаметры делительных окружностей колес:

D₂ = m * Z₂ = 6мм * 19 * 10^-3 м/мм = 0,114м;

D₁ = m * Z₁ = 6мм * 20 * 10^-3 м/мм = 0,08м.

Диаметры делительных окружностей вычерчиваем в принятом ранее масштабе м_L=

=0,0038 м/мм.

Определим силы, действующие на кривошип ОА и соединенное с ним зубчатое колесо.

Реакция со стороны присоединяемой группы Ассура F₂₁ (давление звена 2 на звено 1) определена при анализе предыдущей группы Ассура, равна реакции F₁₂ и направлена противоположно ей.

Сила тяжести приложена в точке О (считаем кривошип уравновешенным звеном), направлена вертикально вниз и равна:

G₁ = m₁ * g = 10 * 9,8 = 98 H

Реакция F₀₁ (внутренняя реакция действия стойки О на кривошип 1) - неизвестна по величине и направлению (на плане показана пунктирной линией).

Уравновешивающая сила F_y - cила, сообщаемая двигателем и приводящая в движение механизм. В данном случае она может рассматриваться как реакция в зацеплении зубчатых колес. Поскольку это высшая пара, то для нее известны и точка приложения - полюс зацепления (на плане точка «к») и направление - линия зацепления. Для стандартных нулевых колес линия зацепления образует угол 20^о с перпендикуляром к межосевому расстоянию (3,4). Так как для пары колес в зависимости от их направления вращения и передачи мощности возможны две линии зацепления, воспользуемся следующим правилом для нахождения действующей линии зацепления у колес с внешним зацеплением: повернем вектор скорости точки «к» (в данном случае направленной вверх) на угол зацепления б_W в сторону вращения ведомого колеса. Ведомым колесом в нашем случае является колесо 2, соединенное с кривошипом, т.к. сила F₂₁ создаем момент, направленный против вращения колеса и является силой сопротивления. Меньшее колесо является ведущим, а сила F_y является движущей силой. Она создает крутящий момент, действующий в направлении угловой скорости щ₁.

Величину уравновешивающей силы можем определить из уравнения моментов всех сил относительно точки О.

F_y ·h_y - F₂₁ ·h =0,

Откуда

F_y = (F₂₁ ·h)/ h_y

Отметим, что силы инерции для данного механизма не учитываются, так как центр масс кривошипа находится в неподвижной точке, а угловое ускорение равно нулю.

Оставшуюся неизвестную реакцию F₀₁ определим на плане сил, для чего составим векторное уравнение кривошипа:

> > > >

F₂₁ + F_у+ G₁ + F₀₁ = 0.

Величина и направление F₀₁ определяется также с помощью плана сил. Складываем первые три силы с учетом масштабного коэффициента; замыкая силовой многоугольник, получаем изображение реакции F₀₁. Измерив величину данного вектора на плане и умножив ее на масштабный коэффициент, получим:

F₀₁=141*26,89= 37631,49

Проверить правильность выполненных расчетов следует, определив с помощью метода Н.Е. Жуковского значение уравновешивающей силы F и сравнив полученные результаты.

Определение Уравновешивающей силы по методу Н.Е. Жуковского

Теорема Н.Е. Жуковского основана на принципе возможных перемещений: «для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю».

Сформулируем теорему Жуковского: если все внешние силы, действующие на механизм в рассматриваемый момент времени, в том числе силы инерции, перенести параллельно самим себе в соответствующие точки повернутого на 90° плана скоростей, то такой план скоростей можно рассматривать как жесткий рычаг с опорой в полюсе плана, находящийся под действием всех рассматриваемых сил в равновесии. Действующие на звенья моменты следует заменить парами сил.

Метод Жуковского может быть применен для нахождения любой одной неизвестной силы, если точка приложения и линия действия этой силы неизвестны.

Воспользуемся данным методом для проверки правильности выполненного силового анализа механизма. Определим уравновешивающую силу, считая ее неизвестной по величине и в случае, если величина F_y , найденная по методу Жуковского, совпадает или будет отличаться в пределах 5% от величины, найденной кинетостатическим методом, будем считать силовой расчет выполненным верно.

На свободном поле листа графических расчетов вычертим повернутый на 90° план скоростей механизма для того же первого положения. Здесь же на плане поместим и вектор скорости точки «к» - токи приложения уравновешивающей силы. Для определения точки «к» на плане скоростей можно воспользоваться принципом подобия в плане скоростей.

На полученный жесткий рычаг действуют силы:

- в точке «к» - уравновешивающая сила F_y ;

- в точке «а» - силы тяжести G₂ и инерции F_И2 ;

- в точке «S₃» - силы тяжести G₃ и инерции F_И3 ;

- в точке «S₄» - силы тяжести G₄ и инерции F_И4 ;

- в точке «d» - силы полезного сопротивления F_п.с. , тяжести G₅ и инерции F_И5.

- в токе «с» - силы F_М3 и F_М4, полученные в результате замены моментов инерции М_И3 и М_И4 парами сил F_М3 = М_И3 / l_BC, F_М4 = М_И4 / l_CD, Вторые составляющие пар сил приложены соответственно в точка «b» и «d» ;

Запишем уравнение равновесия рычага Жуковского под действием всех приложенных сил:

F_y ·h_y+ G₂·h₁+ G₃·h₂ - F_М3 ·pc+ F_М4 ·h₄ - F_И4 ·h₅ + G₄·h₆ - F_М4 ·h₁ - pd(F_n.c. + F_И5 - G₃)=0,

где h_y - плечо уравновешивающей силы;

h₁ - плечи соответствующих сил относительно полюса, измеренные непосредственно на рычаге Жуковского.

Отсюда определим уравновешивающую силу:

F_y= G₂·h₁+ G₃·h₂ - F_М3 ·pc+ F_М4 ·h₄ - F_И4 ·h₅ + G₄·h₆ - F_М4 ·h₁ - pd(F_n.c. + F_И5 - G₃)/ h_y =0,

F_y=25697,2; д=3,71%

Расчет и построение диаграммы приведенного момента сил полезного сопротивления

Определение закона движения механизма, состоящего из n подвижных звеньев, осуществляется путем решения основного уравнения движения, связывающего работу внешних сил с изменением кинетической энергии

?(Ad-Ac)=?T (3)

где А_д, А_с - соответственно работа движущих сил и сил сопротивления, дж;

ДТ - изменение кинетической энергии за тот же промежуток времени, дж.

Для упрощения записи основного уравнения движения используется прием, называемый приведением сил и масс. Это позволяет заменить сложный, многозвенный механизм моделью, представляющей собой механизм I класса, к которому приложена одна сила (или момент пары сил), эквивалентная по своему действию всем силам, действующим на звенья реального механизма, и который характеризуется одной массой (или осевым моментом инерции), эквивалентной массам и осевым моментам инерции всех звеньев реального механизма.

Такая замена реального механизма одномассовой моделью возможна при соблюдении двух условий:

1) - мощность приведенной силы (приведенного момента пары сил) должна быть равна сумме мощностей всех внешних сил, действующих на звенья механизма;

2) - кинетическая энергия звена приведения должна быть равна сумме кинетических энергий всех звеньев реального механизма.

В качестве звена приведения обычно выбирают кривошип (начальное звено), поскольку задача динамического расчета состоит в том, чтобы определить истинную скорость кривошипа в течение цикла движения, т.е. определить закон движения начального звена.

Из первого условия определяют приведенный момент сил сопротивления, который для механизма. состоящего из n подвижных звеньев, совершающих поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение, рассчитывается по формуле

М_пр=?(F_iV_icosб_i +M_iщ_i )/щ_i (4)

где F_i, M_i - соответственно, сила и момент пары сил, приложенные к i - му звену;

V_i - скорость точки приложения i- й силы;

б_i - угол между вектором силы F_i и вектором скорости V_i;

щ_i -угловая скорость i- го звена.

Из второго условия определяют приведенный осевой момент инерции, который для механизма, состоящего из n подвижных звеньев, совершающих поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение, рассчитывается по формуле

J_пр= ?(m_iV_Si²+J_Siщ_i²)/щ_i² (5)

где m_i, J_i -соответственно, масса и осевой момент инерции I -го звена;

V_si - скорость центра масс I -го звена.

Для замены рассматриваемого механизма одномассовой моделью к начальному звену приводятся силы тяжести звеньев (G_i) и силы полезного сопротивления (F_пс). значения сил тяжести и полезного сопротивления, а также значения скоростей определены при выполнении первого листа курсового проекта; углы между направлениями векторов силы и скорости измеряются на плане скоростей, построенном на первом листе проекта. Для рассматриваемого нами механизма формула (4) примет вид:

М_пр= (6)

Представляя формулу (6) значения соответствующих скоростей, углов и силы полезного сопротивления для 1-го, 2-го, … 6-го положений механизма, получим значения приведенного момента сил сопротивления, значения которого свожу в таблицу

Приведенный момент сил

Положение механизма	0-6	1	2	3	4	5
Величина Мпр (Нм)	-1,7	-1500,6	-1496,7	-385,74	-145,33	-250

Знак «-» показывает, что приведенные моменты сил сопротивления направлены против скорости, поэтому диаграмма всегда располагается ниже оси абсцисс. F_пс в положении холостого хода равна нулю, в нашем примере это 4 и 5 положения механизма.

По этим значениям в масштабе м_м==21,43 строю диаграмму М_пр=f(ц) за весь цикл установившегося движения, т.е. за один оборот кривошипа, тогда L₂= -83,18мм, L₃= - 46,8мм, L₄=-7,2мм, L₅=-18,5мм, L₀?L₆?0мм.

Построение диаграммы работ сил сопротивления методом графического интегрирования

На оси абсцисс построенной диаграммы М_пр=f(ц) участки движения 0-1, 1-2, … 5-6, соответствующие углу поворота кривошипа ц, делим пополам. Значения М_пр , соответствующие серединам отрезков (на чертеже показаны пунктиром), сносим на ось ординат и полученные точки пересечения с осью ординат соединяю с точкой Р - полюсом интегрирования. Точка Р располагается на расстоянии Н=50мм от начала координат.

Углы наклона лучей, выходящих из точки Р, определяют изменение работы сил сопротивления на участках 0 -1; 1 - 2; ... 5 - 6. Поэтому в новой системе координат А - ц₁, расположенной ниже, проводим параллельно этим лучам отрезки в пределах соответствующих участков. Полученная ломаная линия представляет собой диаграмму работ сил сопротивления А_с =f(ц₁). Масштабный коэффициент этой диаграммы рассчитывается по формуле

м_А=Н м_мм_ц, Дж/мм (7)

где м_м , м_ц масштабные коэффициенты диаграммы М_пр =f(ц₁).

м_ц= рад/мм, тогда м_А=50•21,43•0,026=27,8 Дж/мм.

Согласно основному уравнению движения (3) при установившемся режиме за полный цикл движения Д Т = 0, то есть в начале и в конце цикла А_д = А_с . Это означает, что ординаты диаграммы работ в положениях 0 и 6 равны и противоположны по знаку. Соединив начало координат с последней точкой диаграммы А_с ⁼f(ц₁), которая соответствует значению работы А_с в положении 6, получим угол наклона б, под которым должна располагаться диаграмма изменения работ движущих сил. Эта диаграмма располагается выше оси абсцисс, поскольку работа движущих сил - величина положительная. Поэтому под тем же углом б проводим из начала координат прямую, в результате чего получаем диаграмму работ движущих сил А _д =f(ц₁ ).Графически дифференцируя диаграмму А_д= f(ц₁), строим диаграмму момента движущих сил М_д = f(ц₁ ). Для этого проводим из точки Р под углом б прямую до пересечения ее с осью ординат. Полученное значение определяет момент движущих сил, который является величиной постоянной, а значит диаграмма М_д = f(ц₁ ) представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.( см. Приложение).

Как было отмечено ранее, работы сил сопротивления и движущих сил внутри цикла не равны между собой, поэтому ДТ?0. Чтобы построить диаграмму изменения кинетической энергии измеряют на диаграмме А - ц₁ разность между значениями А_д и А_с. По этим значениям строят диаграмму ДТ= f(ц₁),в том же масштабе что и предыдущую диаграмму.

Расчет и построение диаграммы изменения приведенного момента инерции

Для рассматриваемого механизма, формула (5) примет вид:

J_пр= (8)

Расчет по формуле (8) проводится для каждого из 6-ти положений. Соответствующие значения скоростей точек и угловых скоростей звеньев принимаю из таблицы скоростей, полученной в результате расчетов, выполненных на первом листе проекта. Значения J_пр свожу в таблицу, а затем строю диаграмму J_пр= f(ц₁), в повернутой системе координат, с масштабным коэффициентом м_J= J_пр/ L_J1 кг м²/мм,

где L_J1 - произвольно выбранный размер (40мм).

Приведенный момент инерции

Положение механизма	0-6	1	2	3	4	5
Величина Jпр (кгм2)	2,29	77,6	135,8	64,02	23,28	213,4

В соответствии с масштабным коэффициентом: L_J2=70мм, L_J3=33мм, L_J4=12мм, L_J5=110мм.

Построение диаграммы Виттенбауэра. Определение закона движения начального звена

Решение основной задачи динамики, т.е. определение истинной скорости начального звена производится с помощью кривой Виттенбауэра, которая строится путем исключения переменной ц₁ из полученных ранее диаграмм ДТ= f(ц₁) и J_пр= f(ц₁). Новое начало координат определяется пересечением осей абсцисс этих диаграмм. Проводятся новые координатные оси: вертикальная, на которой откладываю значения ДТ, и горизонтальная, на которой откладываю значения J_пр. Точки пересечения (0, 1,2, … и т. д.) соответствующих значений ДТ и J_пр соединяю последовательно плавной кривой, которая и называется диаграммой Виттенбауэра.

Из теоретического курса известно, что тангенс угла наклона секущей, проведенной из начала координат в любую точку кривой Виттенбауэра, пропорционален квадрату угловой скорости начального звена[4].

tgш=щ₁м_J/2м_T (9)

Отсюда можно определить скорость в любом положении механизма, при этом максимальное и минимальное значение угловой скорости соответствуют верхней и нижней касательным, проведенным к диаграмме Виттенбауэра под углами ш_max и ш_min (см. Приложение 3). Значения этих углов вычисляю согласно формулам:

tgш_max =щ₁² (1+д) м_J/2м_T

tgш_min =щ₁² (1-д) м_J/2м_T,

Подставив числовые значения, получаю :

tgш_max =9,8²(1+0,1)1,94/2•26=3,9

tgш_min =9,8²(1-0,1)1,94/2•26=0,3

Определяю значения углов ш_max =4,7°, ш_min =3,7° и провожу касательные к диаграмме, которые отсекают на оси ординат отрезок АВ.

Тогда щ_max=v tgш_max(2м_T/ м_J)= 10м/с^-1

щ_min==v tgш_min(2м_T/ м_J)=8.1м/с^-1

Для определения значения скорости кривошипа во всех шести положениях, использую метод интерполяции, тогда:

, отсюда

щ_i =,

где АD_i - отрезки, полученные при пересечении касательных к точкам 1,2,…6, параллельных ш_max и оси ординат.

Значения угловой скорости кривошипа в 6 положениях сведены в таблицу:

Истинные значения угловой скорости начального звена

Положение Механизма	0(6)	1	2	3	к	4	5
Угловая Скорость щ, м/с-1	10	9,80	8,10	8,95	9,08	9,44	9,60

Определение момента инерции маховика

Поскольку отрезок АВ на диаграмме Виттенбауэра изображает в масштабе м_Т изменение кинетической энергии за цикл движения, то с учетом коэффициента неравномерности момент инерции маховика определяется по формуле[4]:

J_M=AB м_Т/д щ₁² (10)

АВ - значение отрезка на диаграмме, мм

J_M=64•20/0,12•7,7²=180,3

После определения момента инерции маховика рассчитывается средний диаметр обода D, на котором сосредоточена масса маховика

D= (11)

где k₁ ,k₂ - коэффициенты, принимаемые по конструктивным соображениям в размере 0,1 - 0,2. Эти коэффициенты показывают относительные размеры поперечного сечения обода маховика (аЧb) в долях от среднего диаметра а=k₁D ; b= k₂В

г- удельный вес материала маховика (для стали принимают 78000Н/м³).

отсюда

D=

Размер маховика превышает допустимый (D<750 мм), то, по конструктивным соображениям маховик устанавливают на более быстроходный вал

J_M'= J_M(²

где щ^, - скорость вращения двигателя, щ^, =, n - частота вращения кривошипа.

тогда J_M'=180,3(7,7•30/3,14•1430)²= 0,47, подставляя это значение в (11), получаю, что D=.

а=0,2•285=57мм,

b=0,2•285=57мм.

Затем вычерчиваю эскиз маховика на листе

Список литературы

1. Методические указания по выполнению курсового проекта по ТММ (Раздел: Структурный и кинематический анализ). Екатеринбург: Изд-во Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2004. 38с.

2. Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине «Теория механизмов и машин» (Раздел: Силовой анализ). Екатеринбург: Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2004. 24с.

3. Методические указания по выполнению курсового проекта по ТММ (Раздел: Динамика механизмов). Екатеринбург: ГОУ ВПО Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2007. 17с.