Многопролётная балка

Графическая работа №1

Расчёт многопролётной статически определимой балки

Исходные данные:

кН, кН, кН, м, м, м

Рис.1 Схема многопролётной балки.

1. Кинематический анализ заданной балки

Кинематический анализ задачи выполняется с использованием следующей формулы:

где - число степеней свободы задачи,

- число пролетов,

- число шарниров,

- число кинематических закреплений (опорных стержней).

Т.к. , значит задача статически определимая.

2. Образование поэтажной схемы многопролётной балки

Для удобства расчета и наглядности представления о характере работы каждого из дисков многопролетной статически определимой балки строится ее поэтажная схема.

Так как шарнир эквивалентен шарнирно-неподвижной опоре по числу связей и степеней свободы, то, заменив шарниры в балке на шарнирно-неподвижные опоры, можно построить поэтажную схему (Рис.2.).

Для обеспечения статической определимости балок-вставок горизонтальная связь одной из опор этих балок переносится на соседнюю справа основную балку (рис.2.). В поэтажной схеме балки нижний этаж - основная балка, а верхний - второстепенная.

Рис. 2 Поэтажная схема многопролётной балки.

3. Определение реакций опор в многопролётной балке

3.1 Определение реакций начнем с балки

кН, знак минус говорит что реакции опор направлены в противоположную сторону силе

3.2 Определим реакцию опор участка

Сумма моментов относительно точки =0, из условия равновесия определим реакцию опоры

Тем же методом определим реакцию опоры

Сделаем проверку: сумма сил на У должна быть равна нулю

3.3 Определим реакцию опор участка

Сумма моментов относительно точки =0, из условия равновесия определим реакцию опоры

Тем же методом определим реакцию опоры

Сделаем проверку: сумма сил на У должна быть равна нулю

3.4 Участок : определяем значение реакции и значение момента

Проверка:

3.4 Участок : определяем значение реакциии значение момента

Проверка:

Так как суммы всех сил во всех балках равны нулю, то и в общей схеме все реакции опор определены верно.

4. Построение эпюры поперечных сил

4.1 Участок

На всем участке будет действовать сила

4.2 Участок :

4.3 Участок :

4.4 Участок :

4.5 Участок :

5. Построение эпюры моментов

5.1 Участок :

;

5.2 Участок :

;

;

5.3 Участок :

5.4 Участок :

;

5.5 Участок :

;



Рис .3 Эпюры внутренних силовых факторов для каждой балки из поэтажной схемы

Эпюры внутренних силовых факторов для многопролетной балки.

6. Построение линии влияния опорных реакций для двух средних опор и линии влияния и в двух сечениях, расположенных в первом пролете на расстоянии от левой опоры и во втором пролете на расстоянии от левой опоры (рис. 4)

Линии влияния опорных реакций, внутренних поперечных сил и изгибающих моментов для многопролетных статически определимых балок состоят только из прямолинейных участков.

7. Определение с помощью линий влияния опорных реакций для двух средних опор, и в заданных сечениях для неподвижной нагрузки: реакций опор, изгибающего момента и поперечной силы в заданных сечениях

Значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении по соответствующей линии влияния определяется по формуле:

где - искомая величина;

- внешняя сила;

- распределенная нагрузка;

- изгибающий момент;

- ордината линии влияния в сечении балки под действующей силой;

- площадь участка линии влияния под распределенной нагрузкой;

- угол наклона линии влияния под изгибающим моментом.

Правило знаков для данной формулы:

1. Сила и распределенная нагрузка положительные, если они направлены вниз, т.е. по направлению единичного груза.

2. Изгибающий момент положительный, если направлен против часовой стрелки.

3. Ордината и площадь берутся со своим знаком на линии влияния.

4. Угол наклона линии влияния положительный, если он образуется вращением нулевой линии по часовой стрелке.



Рис.4 Линии влияния опорных реакций для двух средних опор и линии влияния и в двух заданных сечениях.

Для определения опорной реакции загрузим соответствующую линию влияния внешней нагрузкой:

с эпюры поперечных сил:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре поперечных сил составляет

1. Определим опорную реакцию по линии влияния:

с эпюры поперечных сил:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре поперечных сил составляет

2. Определим изгибающий момент в сечении I-I по соответствующей линии влияния:

с эпюры моментов:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре изгибающих моментов составляет

3. Определим поперечную силу в сечении I-I по соответствующей линии влияния

с эпюры поперечных сил:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре поперечных сил составляет



6. Определим изгибающий момент в сечении II-II по соответствующей линии влияния:

с эпюры моментов:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре изгибающих моментов составляет

4. Определим поперечную силу в сечении II-II по соответствующей линии влияния:

с эпюры поперечных сил:

Погрешность в значениях , полученных по линии влияния и по эпюре поперечных сил составляет

Исследуемый фактор	Значение	Погрешность %
	Аналитическое	По линиям влияния
,кН	122.26	122.396	0,11
,кН	60.29	59.68	1,01
,кН*м	5.003	5.02	0.34
,кН	8.34	8.256	1,01
,кН*м	32.5	32.5	0,00
,кН	50	50	0,00

Графическая работа №2

Расчёт плоской статически определимой фермы.

1. Исходные данные

Рис. 1 Расчетная схема фермы

2. Кинематический анализ фермы

Кинематический анализ задачи выполняется с использованием следующей формулы:

,

где - число степеней свободы;

- число дисков (стержней);

- число простых шарниров;

- число кинематических закреплений (опорных стержней).

Если , то задача статически определимая. При задача статически неопределимая, а при - геометрически изменяемая.

Для данной фермы число степеней свободы будет определяться:

,

где - число дисков (стержней);

- число простых шарниров;

- число опорных стержней;

, следовательно, рассматриваемая ферма - статически определимая стержневая система. Кроме того, она геометрически неизменяема, так как стержни сгруппированы в шарнирные треугольники и каждый следующий узел крепится к предыдущему шарнирному треугольнику двумя стержнями. Рассматриваемая ферма не является мгновенно изменяемой системой, так как три опорных стержня не пересекаются в одной точке.

Определение опорных реакций.



Рис. 2 Опорные реакции фермы.

Для определения опорных реакций используем уравнения равновесия:

4. Приведение распределенной нагрузки и опорных реакций к узловой нагрузке

Рис. 3 Распределенная нагрузка и опорные реакции, приведенные к узловой нагрузке

5. Определение усилий в стержнях заданной панели

Рис. 4 Расчетная схема для определения усилий в заданной панели.

Стержень 5-6 является нулевым и не воспринимает нагрузку.

5.1 Определение усилия в нижнем поясе

Для определения усилия в нижнем поясе применим метод моментной точки, для этого выполним сечение по заданной панели и отбросим правую часть фермы.

Запишем уравнение равновесия для оставшейся части фермы:

где - плечо усилия , определим из геометрических соображений:



Рис. 5 Схема для определения геометрических параметров фермы.

Знак (-) перед усилием означает, что стержень сжат.

5.2 Определение усилия в наклонном стержне.

Для определения усилия в наклонном стержне воспользуемся методом проекций, для этого выполним сечение по заданной панели и составим уравнение равновесия:

Знак (-) перед усилием означает, что стержень сжат.

5.3 Определение усилия в верхнем поясе

Для определения усилия в верхнем поясе применим метод моментной точки, для этого выполним сечение по заданной панели и отбросим правую часть фермы.

Запишем уравнение равновесия для оставшейся части фермы:

6. Построение линий влияния опорных реакций и усилий в стержнях заданной панели

Линия влияния усилия в стержне фермы представляет собой график изменения усилия в рассматриваемом стержне, когда груз медленно движется по нижнему или верхнему поясу фермы без толчков и ускорений. Тот пояс, по которому движется единичный груз, называется грузовым поясом.

6.1 Построение линий влияния опорных реакций.

Для построения линии влияния опорной реакции необходимо взять

Аналогично запишем для опорной реакции :

6.2 Построение линии влияния усилия в нижнем поясе фермы

Для построения линии влияния усилия в нижнем поясе выполним сечение I-I по заданной панели (см. рис. 6). Пусть единичный груз находится справа от сечения. Рассмотрим равновесие левой части фермы:



Таким образом, правая часть линии влияния будет представлять собой линию влияния опорной реакции , все ординаты которой умножены на величину (3,75).

Пусть единичный груз находится слева от сечения. Рассмотрим равновесие правой части фермы:

6.3 Построение линии влияния усилия в раскосе фермы

Для построения линии влияния усилия в раскосе выполним сечение I-I по заданной панели (рис.6). Груз- справа от сечения. Рассмотрим равновесие левой части фермы:

Груз- слева от сечения. Рассмотрим равновесие правой части фермы:

6.4 Построение линии влияния усилия в верхнем поясе фермы

Для построения линии влияния усилия в верхнем поясе выполним сечение I-I по заданной панели (см. рис. 6). Пусть единичный груз находится справа от сечения. Рассмотрим равновесие левой части фермы:

Таким образом, правая часть линии влияния будет аналогична линии влияния опорной реакции , все ординаты которой умножены на величину (2,125), но противоположна по знаку.

Пусть единичный груз находится слева от сечения. Рассмотрим равновесие правой части фермы:

7. Определение реакций опор и усилий в стержнях заданной панели по соответствующим линиям влияния для заданной неподвижной нагрузки

Значения реакций опор и усилий в стержнях по соответствующей линии влияния определяется по формуле:

где - искомая величина;- внешняя сила;

- ордината линии влияния в сечении балки под действующей силой.

Правило знаков для данной формулы:

1. Сила положительна, если она направлена вниз, т.е. по направлению единичного груза.

2. Ордината берется со своим знаком на линии влияния.

Определим по линиям влияния реакции опор, для этого загрузим заданную ферму внешней нагрузкой:

Полученные значения совпали с ранее вычисленными значениями опорных реакций.

Определим по соответствующей линии влияния усилие в стержне, для этого загрузим заданную ферму внешней нагрузкой:

Полученные значения совпали с ранее вычисленным значением усилия .

Определим по соответствующей линии влияния усилие в стержне, для этого загрузим заданную ферму внешней нагрузкой:

Погрешность определения усилия аналитическим методом и по линии влияния составляет:

Определим по соответствующей линии влияния усилие в стержне, для этого загрузим заданную ферму внешней нагрузкой:

Погрешность определения усилия аналитическим методом и по линии влияния составляет:

Результаты расчета приведены в таблице 2.



Рис. 6 Линии влияния усилий в стержнях заданной панели



Рис. 7 Линии влияния опорных реакций

Таблица 2

Наименование	Значение
	Аналитическое	По линиям влияния
	1260	1260	0,00
	1260	1260	0,00
	1575	1575	0,00
	575,68	575,4	0,05
	-1338,84	-1338,54	0,02

Графическая работа №3

Расчет металлоконструкции фермы

1. Введение

В большинстве случаев фермы представляют собой пространственные конструкции четырехугольного или треугольного сечения. Фермы четырехугольного сечения состоят из двух вертикальных граней, которые соединены между собой в плоскостях обоих поясов горизонтальными решетчатыми связями.

Вертикальные грани могут быть выполнены решетчатыми или сплошностенчатыми.

Фермы треугольного сечения состоят из трех решетчатых граней.

В целях уменьшения веса стрелы выполняются в виде стержней переменной жесткости, некоторые варианты которых представлены ниже.



Вся нагрузка, действующая на ферму, принимается приложенной к узлам фермы. Если нагрузка приложена в панели, то в основной расчетной схеме она также распределяется между ближайшими узлами, но при этом дополнительно учитывается местный изгиб пояса от расположенной на нем нагрузки.

Для удобства расчета рекомендуется определять усилия в стержнях ферм для каждого вида нагрузки отдельно: собственной массы ферм и поддерживаемых конструкций, собственной массы подвесного потолка и т.д.

Для каждого стержня определяются усилия от основных, дополнительных и особых сочетаний нагрузок, несущую способность стержней проверяют по окончательному расчетному (наибольшему) усилию.

Подбор сечения сжатых стержней начинается с определения требуемой площади по формуле:

(1)

Коэффициент условий работы m в большинстве случаев равен единице. В формуле содержатся два неизвестных: требуемая площадь и коэффициент продольного изгиба , являющийся функцией гибкости.

(2)

расчетная длина стержня, определяемая по формуле:

Здесь коэффициент приведения длины, зависящий от степени защемления концов стержня и принимается в фермах из уголков для поясов и опорного раскоса равным единице, в фермах из труб и гнутых профилей замкнутого сечения с бесфасоночными узлами для поясов и опорных раскосов он равен единице, для элементов решетки -0,9, как в плоскости, так и из плоскости фермы; l- геометрическая длина стержня: в плоскости фермы определяется расстояние между узлами фермы, а из плоскости- для элементов решетки расстоянием между узлами фермы, а для пояса- расстояние между закрепленными точками;

- радиус инерции сечения

Задавшись гибкостью для поясов 80-100 можно найти величину коэффициента продольного изгиба , потом величину площади по формуле (1).

По требуемой площади компонуется сечение из прокатных или сварных элементов.

При необходимости сечение корректируется и производится проверка устойчивости сжатого стержня по формуле:

2. Подбор сечений элементов фермы

2.1 Подбор сечения нижнего и верхнего поясов фермы

Величина изгибающего момента при расположении тележки на панели нижнего пояса приближённо находится как:

При торможении или трогании с места возникает момент в горизонтальной плоскости:

Возьмём в качестве нижнего и верхнего поясов половину прокатного двутавра №60.

Момент сопротивления изгибу относительно оси y:

Момент сопротивления изгибу относительно оси y:

Напряжение в панелях верхнего пояса:

Что полностью удовлетворяет условию

Проверяем устойчивость пояса относительно его горизонтальной оси.

Относительный эксцентриситет равен

Наименьший радиус инерции

Гибкость равна

,

Где -приведенная длина стержня.

Коэффициент, зависящий от профиля сечения

По гибкости стержня и произведениюнаходим коэффициент продольной жесткости ц_м.

ц_м=0.78

Условие прочности

-условие выполняется

2.2 Подбор сечений раскосов и стоек фермы

Наиболее нагруженным является стержень 6-7.

Требуемая площадь сечения

Принимаем в качестве нижнего пояса парный уголок №8 с толщиной стенки 7 мм.

Проверим выбранное сечение с точки зрения потери устойчивости.

Найдём радиус инерции сечения относительно оси x.

Гибкость стержня:

,

Где -приведенная длина стержня.

, что в пределах допустимого для сжатых раскосов(120).

По гибкости стержня находим коэффициент продольной устойчивости ц

ц=0.64

Условие прочности:

- условие выполняется

Сечение подобрано верно.

3. Расчёт сварных швов элементов главной фермы

Расчёт сварных швов раскоса 6-7 главной фермы.

Распределение швов по периметру уголка:

Суммарная длина швов одного уголка:

Определим максимальное усилие, которое выдержит уголок.

Условие прочности сварных швов:

где

-расчётное сопротивление среза в сварных швах, МПа.

При РДС электродами Э42

-коэффициент выносливости

где

k-катет сварного шва, мм.

Принимаем k=6 мм.

где

а-коэффициент, для мостов из углеродистой стали равный 0.6

b-коэффициент, равный 0.2

-эффективный коэффициент концентрации напряжений.

При соединении внахлёстку лобовым и фланговыми швами

Верхние знаки в знаменателе формулы берут в случаях, когда наибольшее по абсолютной величине напряжение является сжимающими.



Список литературы

1. Статически определимая многопролётная балка. Линии влияния/Сост. : А.Н.Чёрный ._ Ульяновск: УлГТУ, 2003._20с.

2. Расчёт ферм на подвижную нагрузку. И.П.Гречанинов .М.:

МВТУ им Н.Э.Баумана, 1983._15с.

3. Строительная механика: лекции, семинары, расчётно-графические работы: Учебн. Пособие/С.Н. Кривошапко.-М.: Высш. Шк., 2008._391с.: ил.

4. Примеры расчёта стальных конструкций. А.Г. Тахтамышев .М.: Стройиздат, 1978, 239с.

5. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. В 3т. М.: Машиностроение, 2001