Расчет параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго-защемленными концами
Решение задачи на нахождение параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго-защемленными концами. Определение значения изгибающих моментов, действующих на балку в любом сечении по её длине и экстремального значения изгибающего момента.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.12.2009 |
| Размер файла | 74,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
10
«Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами»
10
Дано:
L = 7,9 м = 790 см.
q0 = 33,3 кгс/см
E = 210000 МПа
J = 7800 см4
? = 0.94
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
, (2)
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII (0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
(6)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0 , (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
( 8)
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
(9)
(10)
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
(13)
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
(14)
или ,
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
(15)
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
(16)
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
(17)
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
; (18)
, (19)
где: ?0 - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
?А - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:
?С - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:
Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
,
которые после несложных преобразований примут вид:
Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
(20)
(21)
в которых введены обозначения:
(22)
(23)
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:
5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
(24)
6. Значения изгибающих моментов M(x) , действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
(25)
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
(26)
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:
или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
,
Откуда (xпр) (27)
Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:
(28)
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).
Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:
(29)
7. Коэффициент опорной пары ? определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
? (30)
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:
, (31)
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары ? упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
? (32)
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары ?:
(33)
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары ?:
(34)
(35)
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары ?:
(36)
(37)
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
(38)
8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
,
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
(39)
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
(40)
и в районе упругой заделки (при x = L ):
(41)
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
;
,
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
или в безразмерном относительном виде:
0.3825
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(302,175) -3040614,03 кг*с*см
2441947,28 кг*с*см
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = - 10062,43 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 16244,57 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:
,00 Н.
Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М(х) и перерезывающие силы N(x).
|
L |
wx) |
M(x) |
N(x) |
|
|
0 |
0 |
0 |
-5680 |
|
|
0,05 |
0,4842 |
-207206 |
-4807,39 |
|
|
0,1 |
0,9418 |
-379930 |
-3934 |
|
|
0,15 |
1,3503 |
-518172 |
-3062 |
|
|
0,2 |
1,6917 |
-621933 |
-2189 |
|
|
0,25 |
1,9525 |
-691213 |
-1316 |
|
|
0,3 |
2,1238 |
-726011 |
-443 |
|
|
0,35 |
2,2009 |
-726327 |
430 |
|
|
0,4 |
2,1840 |
-692162 |
1303 |
|
|
0,45 |
2,0775 |
-623515 |
2176 |
|
|
0,5 |
1,8904 |
-520387 |
3049 |
|
|
0,55 |
1,6362 |
-382777 |
3922 |
|
|
0,6 |
1,3328 |
-210686 |
4795 |
|
|
0,65 |
1,0028 |
-4114 |
5668 |
|
|
0,7 |
0,6730 |
236941 |
6541 |
|
|
0,75 |
0,3750 |
512476 |
7414 |
|
|
0,8 |
0,1448 |
822494 |
8286 |
|
|
0,85 |
0,0228 |
1166992 |
9159 |
|
|
0,9 |
0,0539 |
1545973 |
10032 |
|
|
0,95 |
0,2876 |
1959435 |
10905 |
|
|
1 |
0,7779 |
2407378 |
11778 |
Подобные документы
Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки. Граничные условия для параметров изгиба. Характер изменения прогиба по длине, изгибающие моменты, действующие на балку в любом ее сечении. Значение перерезывающей силы в районе упругого защемления.
курсовая работа [71,2 K], добавлен 28.11.2009Определение суммарных величин изгибающих моментов от сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки. Построение линий влияния поперечной силы в сечениях. Проверка сечения балки по условиям прочности. Обеспечение местной устойчивости балки.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 25.10.2014Рассмотрение использования двутавровой балки в широких пролетах промышленных объектов. Описание конструкции сварной подкрановой балки со свободно опертыми концами. Расчёт эквивалентного напряжения в сечении, поясных швов. Конструирование опорных узлов.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 29.04.2015Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин судового корпуса. Перемещения пластины и значения изгибающих моментов. Цилиндрическая жесткость пластины. Влияние цепных напряжений на изгиб пластин. Определение напряжений изгиба пластины.
курсовая работа [502,8 K], добавлен 28.11.2009Экспериментальное определение максимальных прогибов и напряжений при косом изгибе балки и их сравнение с аналогичными расчетными значениями. Схема экспериментальной установки для исследования косого изгиба балки. Оценка прочности и жесткости балки.
лабораторная работа [176,9 K], добавлен 06.10.2010Расчетная схема сварной подкрановой балки. Расчет конструкции и краткая технология изготовления балки. Построение линий влияния и определение величины изгибающего момента для различных сечений балки от веса тяжести. Конструирование опорных узлов балки.
курсовая работа [835,8 K], добавлен 05.03.2013Оценка размеров поперечного сечения. Нахождение момента инерции относительно центральных осей. Расчет прочно-плотного заклепочного шва. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Проектный расчет вала при совместном действии кручения и изгиба.
курсовая работа [535,6 K], добавлен 19.11.2012Нахождение наибольшего напряжения в сечении круглого бруса и определение величины перемещения сечения. Построение эпюр крутящих моментов по длине вала. Подбор стальной балки по условиям прочности. Определение коэффициента полезного действия передачи.
контрольная работа [520,8 K], добавлен 04.01.2014Определение расчетных значений изгибающих и поперечных моментов балки, высоты из условия прочности и экономичности. Расчет поперечного сечения (инерции, геометрических характеристик). Обеспечение общей устойчивости балки. Расчет сварных соединений и опор.
курсовая работа [1023,2 K], добавлен 17.03.2016Действие внешних сил в опорах. Построение эпюры крутящих моментов по длине вала. Значения допускаемого напряжения на кручение. Условия прочности вала. Определение полярных моментов инерции. Расчет передаточного отношения рядной зубчатой передачи.
контрольная работа [342,1 K], добавлен 29.11.2013
