Функцией положения механизма называется зависимость координаты выходного звена от обобщенных координат механизма.

Перемещения, скорости и ускорения звеньев и точек механизма является функциями перемещений, скоростей и ускорений звеньев механизма, принятых за ведущие. Число ведущих звеньев механизма должно быть равно числу степеней подвижности механизма или, что то же самое, числу обобщенных координат механизма.

Рассмотрим, в какой форме могут быть заданы законы ведущих звеньев. Эти законы называют функциями перемещений, скоростей и ускорений.

Функция перемещений может быть задана в аналитической форме в виде соответствующей функции, связывающей перемещение ведущего звена со временем (рис.2).

Рис.2

Если ведущее звено входит во вращательную пару со стойкой, то задается функция ц=ц (t), где: ц - угол поворота ведущего звена относительно неподвижной системы координат ХОY, связанной со стойкой, а t - время.

Если ведущее звено входит в поступательную пару, то задается функция s=s (t), где s - перемещение произвольно выбранной точки А ведущего звена относительно неподвижной системы координат, связанной со стойкой, а t - время.

Функции ц=ц (t) и s=s (t) могут быть также заданы графически в виде кривых, где по осям ординат отложены углы поворота ц или перемещения s в некоторых выбранных масштабах и , а по осям абсцисс время t в выбранном масштабе (рис.3).

Рис.3

ц₀ = 0; ц_i - ц₀ = · в;

Соответственно время t_i, за которое ведущее звено повернулось на угол ц_i равно:

t_i - t₀ = ·a;

Если закон движения ведущего звена задан в виде функций скоростей щ=щ (t) или v=v (t), то переход от функций скоростей к функциям перемещений может быть осуществлен путем вычисления интегралов:

кинематический анализ механизм ускорение

и ;

где: ц₀, s₀, t₀ - угол, перемещение и время, соответствующие начальному положению ведущего звена.

Если закон движения ведущего звена задан в виде функций ускорений е=е (t) и щ=щ (t), то переход к функциям скоростей осуществляется путем вычисления интегралов:

и

где: щ₀, v₀, t₀ - угловая скорость, линейная скорость и время, соответствующие начальному положению ведущего звена.

4. Основные уравнения для определения скоростей и ускорений

Из теоретической механики известно, что скорость любой точки абсолютно твердого тела можно представить как геометрическую сумму скоростей переносного и относительного движений.

Переносным движением для рассматриваемого звена будем считать поступательное движение со скоростью точки А, а относительным - вращательное движение звена вокруг точки А. Векторное уравнение для скорости точки В:

;

При вращении звена вокруг точки А точка В движется по окружности вв, описанной из точки А. Поэтому скорость V_BA направлена по касательной к дуге вв, т.е. перпендикулярна линии АВ.

Величина скорости V_BA=щ·АВ или V_BA=щ·.

По направлению V_BA можно найти направление щ и наоборот.

Т.к. переносное движение выбрано поступательным, то ускорение точки В можно составить из 2-х ускорений: ускорения точки А и ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А.

При движении точки В по окружности вв ускорение W_BA складывается из 2-х ускорений: нормального , направленного к центру вращения, и тангенциального , направленного по касательной к дуге вв, т.е. перпендикулярно линии АВ. Векторное уравнение для ускорения точки В:

;

Величины ускорений и определяем по формулам:

=·щ²=;

где: е - угловое ускорение;

б) две точки принадлежат двум звеньям, образующим поступательную пару и в данный момент времени совпадают (рис.5).

Рис.5

Точка А принадлежит звену 1, точка В - звену 2. В данный момент времени точки А и В совпадают (точка В лежит над точкой А). Звенья 1 и 2 образуют поступательную пару с направляющей Н₁₂.

Скорость точки В складывается из 2-х скоростей - переносной и относительной. Переносным движением здесь является движение звена 1, поэтому скорость точки А - V_A будет переносной. Относительная скорость точки В равна скорости движения звена 2 относительно звена 1. При движении звена 2 относительно звена 1 точка В движется по прямой линии вв, параллельной направляющей Н₁₂. Поэтому относительная скорость V_ВА параллельна Н₁₂.

Ускорение точки В, когда переносное движение не является поступательным, складывается из 3-х ускорений: переносного, т.е. ускорения точки А, относительного и поворотного, или Кориолисова. В относительном движении точка В движется по линии вв, поэтому в этом движении точка В имеет только тангенциальное ускорение, направленное по этой линии, т.е. параллельно направляющей Н₁₂. Обозначим это ускорение через . Поворотное (Кориолисово) ускорение обозначим через .

Векторные уравнения для скорости и ускорения точки В будут иметь вид:

Так как звенья 1 и 2 образуют поступательную пару, то они не имеют относительного вращения. Поэтому эти звенья обладают одинаковыми угловыми скоростями и угловыми ускорениями, т.е.: щ₂=щ₁ и е₂=е₁, где щ_{1 -} угловая скорость переносного движения (вращения звена 1).

Вектор направлен в ту сторону, в которую окажется направленным вектор , если повернуть его на 90⁰ в направлении угловой скорости щ₁. Величина его определяется по формуле:

Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-ползунного механизма.

Дан план механизма, размеры ?_ОА, ?_АВ, щ₂, е₂.

Найдем скорость и ускорение звена 4 (точки В) и угловые скорость и ускорение звена 3 (шатуна).

Рис.6

Зная щ₂, находим V_А=?_ОА·щ₂. Скорость V_А изобразим на плане скоростей в виде отрезка "Pа", перпендикулярного ОА (рис.7). Поршень (звено 4) движется поступательно, поэтому все его точки имеют ту же скорость и то же ускорение, что и точка В.

Рис.7 Рис.8

Однако точка В принадлежит не только звену 4, но и звену 3. Точно также точка А есть общая точка для звеньев 2 и 3. Таким образом, на звене 3 имеются две точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние ?_АВ. Поэтому скорость точки В:

где: ¦;

В соответствии с этим уравнением строим план скоростей. Проводим через точку а линию, перпендикулярную к АВ, а через точку Р - линию перпендикулярную Н₄₁. В точке пересечения ставим в. Отрезок Рв изображает скорость точки В, а отрезок ав - скорость точки В относительно А (V_ВА). Угловую скорость звена 3 находим по формуле:

Перенеся вектор в точку В, находим направление щ₃ (против часовой стрелки).

Ускорение точки А:

где: и ;

Отложив от полюса (рис.8) ускорение и в виде отрезков и , находим полное ускорение точки А (отрезок ).

Ускорение точки В:

где: ; ¦ и АВ;

Ускорение направлено от точки В к точке А. Отложив от точки а^? (на плане ускорений) отрезок а^?в^??, соответствующий , проводим через точку в^?? линию, перпендикулярную АВ. Через полюс Р^? проводим линию, параллельную Н₄₁. Эти линии пересекаются в точке в^?, отрезок Р^?в^? представляет искомое ускорение точки В (W_B), а отрезок в^??в^? - ускорение . Из сопоставления направлений W_B и V_B заключаем, что звено 4 в данный момент движется замедленно.

Угловое ускорение звена 3 находим по формуле: .

Перенос вектора в точку В показывает, что е_3, как и щ₃, направлено против часовой стрелки.

В уравнениях вектор, известный по величине и направлению подчеркиваем двумя линиями, а вектор, известный только по направлению - одной линией.

5. Кинематические диаграммы