Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Нахождение асимптоты. Геометрический смысл асимптоты. Общий метод нахождения асимптоты. Виды. Горизонтальная асимптота. Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота. Асимптота - прямая или кривая линия, которая продолжена, приближается к другой кривой.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 26.05.2006
Размер файла 156,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех

x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х +

(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x 3x 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х + ,

так и при х .

5

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) - точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ - асимптота,

- угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ,

MP - перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q - точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) - (kx +l),

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х

х

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ).

6

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда

lim = k.

х

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) - kx).

х

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) - kx), то прямая y = kx + l является

х

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) - kx) имеем

х

lim f (x) (kx + l) = 0,

х

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) - kx)

х х

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) - kx)

х х

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x - 4, как при х , так и при х - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

9

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является

х

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

10

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b - f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b - f (x) стремится к 0 при х

lim [f (x) - (ax + b)] = 0.

x

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6)

12

Использованная литература

Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

Лекции по математике


Подобные документы

  • Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.

    презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013

  • Регулярная кривая и ее отдельные точки. Касательная к кривой и соприкасающаяся плоскость. Эволюта и эвольвента плоской кривой. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. Примеры точки возврата; понятие асимптоты и полярных координат.

    курсовая работа [936,1 K], добавлен 21.08.2013

  • Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.

    презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016

  • Области определения и значений функции. Заданная, монотонная, ограниченная и неограниченная, непрерывная и разрывная, четная и нечетная функции. Определение асимптоты. Степенная функция с вещественным показателем. Квадратичная и логарифмическая функции.

    реферат [417,9 K], добавлен 26.03.2013

  • Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла.

    практическая работа [373,2 K], добавлен 25.03.2011

  • Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.

    реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010

  • Общее понятие и признаки гиперболы. Асимптоты гиперболы как прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты. Общее понятие и формула эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине действительной оси гиперболы.

    презентация [79,0 K], добавлен 21.09.2013

  • Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.

    курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013

  • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

    контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009

  • Функциональные ряды. Неопределенный интеграл и его свойства. Асимптоты. Экстремум функции (для одной переменной). Производная: ее геометрический и физический смысл. Замечательные пределы. Точки разрыва функции, классификация. Предел функции по Гейне.

    шпаргалка [74,1 K], добавлен 05.01.2008

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.