Пирамида с треугольником в основании
По заданным координатам пирамиды, ее основанию и высоте нахождение длины ребер и угла между ними, площадь основания и объем пирамиды, проекцию вершины на плоскость, длину высоты. Расчет угла наклона ребра к основанию пирамиды. Построение чертежа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.05.2012 |
| Размер файла | 66,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
В пирамиде SАBC: треугольник АBС - основание пирамиды, точка S - ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1). длину ребра АB;
2). угол между ребрами АB и АS;
3). угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;
4). площадь основания пирамиды;
5). объем пирамиды;
6). уравнение прямой АB;
7). уравнение плоскости АBC;
8). проекцию вершины S на плоскость АBC;
9). длину высоты пирамиды.
Задание 14.
A(3;2.0); B(1;2;0); C(0;4;2); S(1;-2;4)
- Сделаем чертеж
- 1. Длина ребра АB
- Длина ребра АB равна длине вектора АB.
- Найдем координаты вектора
- ;
- Тогда длина вектора равна:
- 2. Угол между ребрами АB и АS
- Угол между ребрами АB и АS равен углу между векторами и . Угол между векторами находим по формуле:
- Тогда
- Следовательно
- 3. Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды.
- Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды является углом между прямой AS и ее проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве нормали возьмем векторное произведение и .
- Следовательно,
- Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты
- Тогда угол между ребром АS и гранью АBC равен:
- 4. Площадь основания пирамиды
- Площадь основания пирамиды равна площади грани АBC и равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь же параллелограмма равна векторному произведению векторов и . Произведение векторов численно равно модулю нормального вектора. Т.о.
- Следовательно,
- 5. Объем пирамиды
- Объем пирамиды построенной на векторах найдем по формуле
- где
- Учитывая, что
- Следовательно
- 6. Уравнение прямой АB.
- Уравнение прямой АB найдем как уравнение прямой с направляющим вектором . Т.е.
- пирамида ребро угол основание
- или
- Т.е. искомая прямая лежит в плоскости .
- 7. уравнение плоскости АBC.
- Уравнение плоскости АBC будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- или
- Окончательно получаем
- 8. Проекцию вершины S на плоскость АBC
- Проекция вершины S на плоскость АBC - это точка пересечения плоскости ABC и прямой SD, перпендикулярной плоскости ABC.
- Уравнение высоты может быть найдено как уравнение прямой, проходящей через заданную точку A с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный вектор плоскости АBC.
- Нормальный вектор плоскости получим из ее уравнения (пункт 7).
- Таким образом уравнение искомой прямой имеет вид
- или
- Найдем точку пересечения плоскости и прямой. Для этого решим систему полученных уравнений
- Следовательно, точка D(1,1,1).
- 9. Длину высоты пирамиды
- Длину высоты пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости
- где, координаты точки S,
- A,B,C,D - коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.
- Следовательно
- Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные элементы пирамиды. Понятие правильной пирамиды. Нахождение площади основания, высоты пирамиды и высоты боковой грани, вписанной и описанной окружностей и точки пересечения диагоналей. Треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
презентация [561,8 K], добавлен 19.09.2011Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Поверхность пирамиды, основание и боковые грани. Определение высоты пирамиды. Произвольные, усеченные и правильные пирамиды. Нахождение боковой поверхности правильной пирамиды и ее объема.
презентация [726,6 K], добавлен 08.06.2011Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Определение пирамиды как геометрической фигуры, ее виды. Проекция треугольной пирамиды. Основные свойства полной и усеченной пирамиды, нахождение площади и объема, плоские сечения. Пример построения сечения пирамиды с плоскостью по заданным параметрам.
практическая работа [2,2 M], добавлен 16.06.2009Правильная пирамида. Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания. Ось правильной пирамиды. Апофема пирамиды. Усеченная пирамида. Боковые грани правильной усеченной пирамиды. Боковое ребро пирамиды.
доклад [7,8 K], добавлен 27.10.2006Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Египетские пирамиды как одно из семи чудес света. Пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе. Геометрическая форма строений. Апофема и свойства правильной пирамиды. Сущность понятия "тетраэдр". Площадь полной и боковой поверхности, объем, теорема.
презентация [3,1 M], добавлен 12.12.2013Понятие и определение пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Площадь боковой поверхности, основания и полной поверхности пирамиды. Свойства произвольных, усеченных и правильных пирамид. Определение высоты боковой грани.
презентация [726,8 K], добавлен 05.04.2012Понятие пирамиды, ее математическое обоснование, отражение в науке и искусстве. Принцип Кавальери. Сечение пирамиды как многоугольника, который образуется при пересечении пирамиды с секущей плоскостью. Правильная пирамида и ее основополагающие свойства.
презентация [1,5 M], добавлен 18.04.2014Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.
контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017
